Proprietà magnetiche della materia February 14, 2014 Paola Giacconi 1 Spira percorsa da corrente Consideriamo una piccola spira circolare di raggio r percorsa da una corrente I immersa in un campo magnetico non uniforme generato, ad esempio, da un solenoide, vedi figura 1. Per semplicità ipotizziamo che il campo B = (B r, 0, B z ) sia simmetrico rispetto all asse z in modo tale che B r abbia lo stesso valore in ogni punto della spira, che la componente B z del campo diminuisca con la quota e che sia 1
nulla la sua componente azimutale. Determiniamo la forza F = (F r, 0, F z ) alla quale la spira è soggetta, dove con F r si intende la componente di F lungo il raggio della spira e con F z la componente di F lungo l asse z mentre la componente azimutale della forza è nulla. Quindi, se la corrente nella spira gira in senso antiorario, si avrà, nel sistema cgs df = I dl B (1.1) c df r = I c dl B z = F r = I c 2πr B z forza deformante (1.2) df z = I c dl B r = F z = I c 2πr B r forza verso il basso (1.3) La spira percorsa di corrente, in questo caso, è quindi attratta verso zone di campo magnetico più intenso. Ora, ricordando che Φ(B) s.c. = 0, esprimiamo B r in funzione di B z. A questo scopo prendiamo in considerazione una superficie chiusa a forma di cilindro circolare retto di altezza dz e raggio r uguale al raggio della spira in modo tale che la superficie di base del cilindro sia parallela alla superficie della spira e tangente all asse della spira stessa. Si avrà quindi e quindi Φ(B) s.c. = Φ(B) basi + Φ(B) sup. laterali = πr 2 [B z (z + dz) B z (z)] + 2π r B r dz = 0, (1.4) B r = r ( ) Bz (z + dz) B z (z) = r ( ) dbz (z) ; (1.5) 2 dz 2 dz il segno meno ci dice che B r aumenta se B z < 0, cioè se B z diminuisce, mentre diminuisce se B z aumenta. Sostituendo l espressione ottenuta per B r, eq. (1.5), nella eq. (1.3) otteniamo: F z = [ πir2 c ( db z(z) dz )] ẑ = µ db z (z) dz ẑ (1.6) dove µ (πir 2 /c) è il modulo del momento magnetico orbitale della spira, la cui direzione è perpendicolare alla spira stessa ed il verso è stabilito con la regola della mano destra seguendo con le dita il verso della corrente in modo che il pollice indichi quello del momento. Le dimensioni del momento magetico nel sistema cgs gauss sono [µ] = gauss cm 3. Più in generale, sapendo che l energia magnetica di una spira di momento magnetico µ in un campo esterno B è U = µ B si ha F = U = ( µ B) (1.7) 2
In conclusione dalla eq. (1.6) o dalla sua espressione più generale eq. (1.7), si evince, come risulta chiaro anche dalla figura 1, che: 1. quando µ è parallelo a B la forza è diretta verso zone di campo magnetico crescente 2. quando µ è parallelo a B la forza è diretta verso zone di campo magnetico decrescente. 2 Magnetismo nella materia: fenomenologia Supponiamo ora di porre diversi materiali all interno del campo magnetico generato dal solenoide di cui al paragrafo precedente e di misurare la forza alla quale tali materiali sono soggetti. Si osserva che: 1. generalmente si nota la presenza di una forza che si annulla quando si interrompe la corrente che circola nel solenoide; 2. la forza è massima non quando il campione è collocato al centro della bobina dove il campo magnetico B z è massimo, ma quando il campione è posto agli estremi del solenoide stesso dove è elevato il gradiente di B z. In altre parole, come nel caso della spira percorsa da corrente, anche in questo caso la forza dipende dalla variazione di B z ; 3. per alcune sostanze la forza è repulsiva, per altre debolmente attrattiva e per altre ancora fortemente attrattiva. Si dicono: 1. diamagnetiche quelle sostanze che vengono debolmente respinte verso regioni dove il campo magnetico è meno intenso. Sono diamagnetici la maggior parte dei composti inorganici e praticamente tutti i composti organici. L elemento maggiormente diamagnetico è il Bismuto Bi il cui valore della suscettività magnetica è χ Bi = 1700 10 7, mentre per il Rame e per l Argento si hanno rispettivamente i seguenti valori della suscettività magnetica χ Cu = 100 10 7 e χ Ag = 190 10 7. 2. paramagnetiche quelle sostanze che vengono attratte verso regioni dove il campo magnetico è più intenso. Sono debolmente paramagnetici i metalli alcalini (paramagnetismo di Pauli dovuto agli elettroni liberi che si muovono nel reticolo cristallino) mentre presentano un paramagnetismo più intenso i sali quali il nitrato di zolfo e il cluroro di rame 3
(NiSO 4, CuCl 2 ) ed alcuni metalli come il Platino P l la cui suscettività magnetica è χ P l = 3600 10 7 e l Alluminio Al con χ Al = 220 10 7. 3. ferromagnetiche quelle sostanze che vengono fortemente attratte verso regioni dove il campo magnetico è più intenso. Sono ferromagnetici cinque elementi della tavola periodica degli elementi: il Ferro (magnetite) F e, il Nichel Ni, il Cobalto Co, il Disprosium Dy ed il Gadolinium Gd. Gli ultimi due elementi fanno parte del gruppo VI delle Terre rare. Le sostanze ferromagnetiche hanno un comportamento paramagnetico al di sopra di una determinata temperatura, detta temperatura critica o temperatura di Curie 1 T c, mentre diventano dei magneti permanenti per T < T c. In altre parole, per temperature inferiori alla temperatura critica le sostanze ferromagnetiche compiono una transizione di fase di II specie, cioè una transizione di fase senza scambio di calore, diventando dei magneti permanenti. (Le transizioni di fase solido liquido o liquido vapore sono transizioni di fase di I specie in quanto avvengono con scambio di calore). Qui di seguito sono riportati i valori della temperatura critica T c e della temperatura di fusione T f di alcune sostanze ferromagnetiche: Ferro T f = 1808 o K, T c = 1043 o K, Nichel T f = 1726 o K, T c = 631 o K, Cobalto T f = 1768 o K, T c = 1295 o K. 3 Modello di Bohr per il diamagnetismo Il diamagnetismo può essere spiegato in maniera completamente soddisfacente solo facendo riferimento alla meccanica quantistica. Tuttavia è possibile cogliere la natura del fenomeno facendo riferimento al modello atomico di Bhor, storicamente noto come vecchia teoria dei quanti, che ha avuto un ruolo fondamentale nello sviluppo della moderna meccanica quantistica. Facciamo quindi le seguenti assunzioni: 1 Maria Sklodowska Curie nata il 7 novembre 1867 a Varsavia da una famiglia della piccola nobiltà polacca. Premio Nobel per la Fisica e la Chimica. La madre era cattolica osservante ma alla sua morte Maria perse ogni fede religosa e rimase atea per tutta la sua vita. Insegnante di Scienze con una grande passione per la Fisica, nel 1891 salì su un vagone di IV classe con 40 rubli in tasca (una somma che le avrebbe garantito la sopravvivenza per al massimo un mese) diretta a Parigi a studiare Fisica. Lì incontrò il compagno della sua vita Pierre Curie. Questa celebre coppia di scienziati dette alla luce Irène, anch ella premio nobel per la Fisica. 4
1. supponiamo di aver generato un campo magnetico esterno non uniforme tutto diretto lungo l asse z : B = (0, 0, B z ), 2. supponiamo che gli elettroni ruotino in orbite stazionarie di raggio r attorno ai nuclei. Durante il moto non vi è quindi emissione di energia 2 : la materia è stabile (ipotesi ad hoc di Bohr). Supponiamo ancora che le orbite degli elettroni attorno al nucleo siano circolari e T sia il periodo dell orbita in modo tale che, in assenza di campo magnetico esterno, ci sia equilibrio tra la forza coulombiana e la forza centrifuga e 2 r 2 = m ω2 0 r. (3.1) L atomo può quindi essere assimilato ad una spira percorsa da una corrente I con I = e T = eω 0 2π, (3.2) dove con e abbiamo indicato la carica elettronica e con ω 0 la velocità angolare dell elettrone, cambiata di segno, in assenza di campo magnetico esterno, in modo tale da tenere conto del fatto che la corrente fluisce in verso opposto rispetto al moto dell elettrone nella sua orbita stazionaria attorno al nucleo. Accendiamo ora il campo B = (0, 0, B z ), l elettrone, in moto orario (I in senso antiorario), subirà la forza di Lorentz F = e c v B (3.3) che, in questo caso, risulterà parallela alla forza centrifuga (vedi figura 2). La condizione di equilibrio stabilita dall equazione (3.1) impone, in questo caso, che la velocità angolare dell elettrone diminuisca di una quantità ω in modo tale che: da cui ω = e ω r B = 2 m r ω ω (3.4) c eb 2mc f requenza di Larmor. (3.5) 2 L energia emessa per unità di tempo per irraggiamento da una particella carica accelerata con accelerazione a è de dt = 2e2 3c a 2 dove e è la carica elettronica e c la velocità 3 della luce. 5
La velocità angolare finale dell elettrone sarà quindi ω = ω 0 ω. (3.6) Supponiamo ora che il moto dell elettrone avvenga in senso antiorario (I in senso orario): in questo secondo caso la forza di Lorentz risulterà antiparallela alla forza centrifuga (vedi figura 3) e quindi la condizione di equilibrio, data dall eq. (3.1), impone che la velocità angolare dell elettrone aumenti della quantità ω data ancora dall eq. (3.5). Pertanto, in questo secondo caso, la velocità angolare finale dell elettrone sarà ω = ω 0 + ω. (3.7) Le due equazioni (3.6) (3.7) ci dicono che la variazione di velocità angolare, eq. (3.5), produrrà una variazione del momento magnetico sempre antiparallela al campo magnetico esterno, qualsiasi sia il verso di rotazione dell elettrone nella sua obita attorno al nucleo. Infatti, quando l elettrone ruota in senso orario e quindi la corrente in senso antiorario, vi sarà 6
una diminuzione di velocità angolare e quindi un momento magnetico indotto che punta verso l asse z negativo mentre invece, quando l elettrone ruota in senso antiorario e quindi la corrente in senso orario, vi sarà un aumento di velocità angolare e quindi di nuovo un momento magnetico indotto che punta sempre verso l asse z negativo. Quindi, in entrambi i casi, il momento magnetico indotto risulta opposto al campo magnetico esterno. La variazione del momento magnetico è data da: µ = πr2 c I ẑ = e2 B 4mc 2 r2 momento magnetico indotto (3.8) È importante osservare che il risultato ottenuto non dipende dal tipo di forza che tiene l elettrone legato all atomo ma solamente dall ipotesi che l orbita sia stazionaria cioè che r non varii. Questo fatto rende i risultati ottenuti molto generali anche se attualmente essi sono basati su di un modello atomico costruito ad hoc. Naturalmente tutto ciò vale a patto che ω/ω 1. In sintesi, l effetto che l applicazione di un campo magnetico B produce sulle orbite degli elettroni si può rappresentare in questi termini: ogni elettrone continua a ruotare su di un orbita di raggio costante, ma la sua velocità angolare (± ω 0 ) subisce un incremento ω dato dall equazione (3.5). Questo incremento della velocità angolare dipende solamente dall intensità del campo applicato e dal rapporto carica/massa. Nel semplice modello sopra discusso 7
abbiamo considerato solo l orbita di un elettrone che ruoti su di un piano perpendicolare al campo magnetico se volessimo tenenere conto del contributo di tutti gli elettroni dovremmo fare una media su r e sull angolo tra il piano dell orbita e la direzione di B, il risultato per il momento magnetico indotto sarebbe quindi µ totale = n e2 B 6mc 2 r2 momento magnetico indotto totale (3.9) dove n è il numero di elettroni per grammo di materiale. Proviamo ora a dare una stima di questo effetto, nel caso di un campo magnetico abbastanza intenso 3. Il numero n di elettroni per grammo è circa lo stesso di quello che si ha in una sostanza di peso atomico 2 e il raggio è il raggio atomico caratteristico: n 3 10 23 g 1 r 0, 5 10 8 cm B 20 10 3 gauss µ totale 70 10 3 gauss cm 3 se B z 19 10 2 gauss/cm allora F totale = B µ totale 13 dine. z Il valore ottenuto è in buon accordo con i valori sperimentali, la forza risultante, decisamente debole, dà ragione del fatto che il diamagnetismo è un fenomeno poco appariscente effettivamente rilevabile solo per quelle sostanze con momento magnetico intrinseco nullo. Il diamagnetismo anomalo della grafite è dovuto ad una struttura interna particolare che consente a taluni elettroni di circolare piuttosto liberamente all interno di un gruppo di atomi del reticolo cristallino. È utile introdurre un nuovo vettore m, magnetizzazione, definito come il rapporto tra il momento magnetico totale ed il volume, nonchè la suscettività magnetica χ m m µ V χ mb, (3.10) [m] = [B] = ues cm 2 = gauss, χ m grandezza adimensionale. Per le sostanze diamagnetiche χ m < 0. 3 L intensità del campo magnetico terrestre varia la sua intensità dall equatore ai poli da un valore di 0,2 gauss ad un valore di 0,7 gauss 8
4 Paramagnetismo Anche il paramagnetismo può essere spiegato in maniera completamente soddisfacente solo facendo riferimento alla meccanica quantistica, in quanto esso è dovuto alla quantizzazione del momento angolare dell atomo. Tuttavia è possibile darne una pittura intuitiva assimilando il momento magnetico orbitale dell elettrone a quello di una spira percorsa da corrente e quello intrinseco a quello di un ago magnetico. Il momento angolare totale è la somma del momento angolare orbitale L e del momento angolare intrinseco di spin S. Si ha quindi: che nel caso di orbita circolare diventa L = r p, p = m v, (4.1) (4.2) L = mωr 2. (4.3) Tenendo conto dell eq. (4.3) e dell eq. (3.2) il modulo del momento magnetico orbitale assume quindi la forma µ = πr2 I c = el 2mc. (4.4) L equazione (4.4) può essere estesa anche al caso in cui il momento angolare sia quantizzato e l elettrone e/o l atomo abbiano un momento angolare di spin: µ = e (L + 2S), (4.5) 2mc il fattore 2 è chiamato fattore di Landè (lavoro del 1923). Fu Ampère ad avanzare l ipotesi secondo cui i corpi magnetizzati contengono al loro interno minuscole spire nelle quali circola in permanenza della corrente. Il momento magnetico associato a queste spire è usualmente orientato a caso dando così un contributo totale nullo. Quando però viene acceso un campo magnetico esterno i momenti magnetici tendono ad allinearsi con il campo esterno, in quanto essi subiscono un momento torcente M = µ B. Tali effetti si sommano ed il corpo risulta quindi polarizzato magneticamente o magnetizzato: per le sostanze paramegnetiche vale ancora l equazione (3.10) e si ha χ m > 0. Il materiale paramagnetico è quindi attratto verso zone di campo magnetico crescenti. Oggi sappiamo che l ipotesi di Ampère è molto vicina alla moderna descrizione anche se non la rispecchia in dettaglio 9
in quanto non dà alcuna spiegazione dello spin. Possiamo quindi affermare che il comportamento paramagnetico dei materiali è dovuto al momento magnetico proprio, eq. (4.5), che prevale su quello indotto, eq. (3.9), rendendo così non rilevabile per molti materiali il comportamento diamagnetico. La magnetizzazione usualmente, ha una intensità modesta e scompare quando il campo magnetico esterno viene spento. Fanno eccezione i materiali ferromagnetici nei quali la magnetizzazione può raggiungere valori elevatissimi mantenendosi tale anche quando il campo magnetico esterno viene spento. 5 Ferromagnetismo Il ferromagnetismo ha fatto letteralmente scervellare l uomo per lungo tempo e la sua completa comprensione, in termini della fisica atomica, non è ancora del tutto soddisfacente. Per magnetizzare un peszzo di Traferro si può ad esempio usare un dispositivo come quello rappresentato in figura 4 Il ferromagnetismo è dovuto solo allo spin (S) dell elettrone e non al mo- 10
mento angolare totale dell atomo ed è presente solo se la temperatura del materiale è minore di una determinata temperatura critica caratteristica dell elemento in questione. Se T > T c il materiale si comporta come un materiale paramagnetico. Il primo a proporre un modello in grado di spiegare tale comportamento della materia, introducendo un parametro fenomenologico corrispondente alla temperatura critica T c di Curie, fu Weiss 4 : modello di Weiss per il ferromagnetismo. Tale modello non è derivato dai principi primi della fisica atomica ma è semplicemente basato sull idea del campo medio molecolare, secondo la quale il campo magnetico che agisce su un generico atomo è dato dalla somma del campo magnetico esterno e del campo magnetico molecolare medio creato dagli atomi immediatamente vicini a quello considerato: campo medio di interazione tra primi vicini. Per comprendere, almeno a livello qualitativo, le caratteristiche del comportamento forromagnetico è istruttivo studiare l andamento della magnetizzazione, ad esempio del ferro, in funzione del campo magnetico esterno applicato: il grafico di tale curva prende il nome di ciclo di isteresi per il ferromagnete. Si veda figura.5 dove la magnetizzazione è indicata con B (per noi m), campo di induzione magnetica interno al ferromagnete, ed il campo esterno con H (per noi B ext ) campo magnetico esterno. In fig.4 è mostrato il circuito usato per magnetizzare due travi di ferro (Traferro). Inizialmente il ferro non è magnetizzato, m = 0 e B ext = 0. All aumentare del campo esterno cresce la magnetizzazione m, ramo O P della curva. Si noti come l andamento sia altamente non lineare, nella fase iniziale a piccoli incrementi di B ext corrispondano grandi incrementi di m, mentre quando i valori del campo esterno diventano particolarmente elevati la curva si appiattisce: la magnetizzazione ha ragiunto il suo valore di saturazione (P). Supponiamo ora di diminuire il campo magnetico esterno fino a spegnerlo, osserviamo che quando B ext = 0 vi è ancora una magnetizzazione residua (nel grafico punto Q): il nostro pezzo di ferro è diventato un magnete permanente. Se ora invertiamo il verso della corrente nel solenoide in modo da invertire il segno del campo magnetico, notiamo che la magnetizzazione continua a rimanere positiva e, seguendo la curva P R, si inverte passando per lo zero molto rapidamente. Tutti gli stati tra i due stati di saturazione P ed R sono altamente instabili, il ferromagnete si posiziona quindi o in P o in R a seconda del segno del campo magnetico esterno. Se infatti di nuovo si porta la corrente e quindi il campo esterno a zero, m segue il ramo R P della curva raggiungendo ancora il valore positivo di saturazione P. Alternando la corrente nel solenoide tra valori grandi positivi e grandi negativi 4 Pierre Ernest Weiss, fisico francese nato nel 1865 e morto nel 1940 11
la curva m B va avanti e indietro seguendo molto da vicino i due rami R P e P R. Se però B varia in modo arbitrario si ottengono curve più complicate che in generale giacciono fra le curve P R e R P. È importante osservare che non si può scrivere una relazione tra m e B del tipo (3.10) in quanto il valore di m in un certo istante dipende non soltanto dal valore di B in quell istante ma dall intera sua storia passata. Il ciclo di isteresi rappresenta un tipico esempio di fenomeno irreversibile in cui l autointerazione svolge un ruolo fondamentale. Per quanto concerne la suscettività magnetica χ m, la relazione che la lega alla magnetizzazione e al campo magnetico esterno diviene più complicata rispetto all equazione (3.10). Possiamo tuttavia affermare che,per le sostanze ferromagnetiche, χ m assume valori grandi positivi quando T < T c. La curva di isteresi dipende anche dal tipo di materiale, dalla sua composizione e dai dettagli della sua preparazione. Cerchiamo ora di comprendere, a livello qualitativo, perchè in un ferromagnete un piccolo campo esterno produce una grande magnetizzazione. L idea essenziale è che in presenza di un campo esterno i magneti atomici tendono ad allinearsi con il campo, ma a tale allineamento si oppone 12
l agitazione termica. Per le sostanze paramagnetiche, o per T > T C, l effetto globale è quindi una debole magnetizzazione mentre per i ferromagneti, a causa della loro struttura atomica, per T < T C gli elettroni degli atomi risultano talmente vicini da produrre un effetto cooperativo di allineamento che rappresenta, per il metallo, la configurazione stabile di minima energia. Il meccanismo per cui si raggiunge tale minimo di energia è estremamente delicato e dipende dalla distanza interatomica e dalle caratteristiche cristallografiche del metallo. In questa sede non entreremo nei dettagli, ma ne daremo una descrizione qualitativa descrivendo il ciclo di isteresi di figura 5. Le forti interazioni tra gli elettroni degli atomi (interazione primi vicini) generano, all interno del cristallo ferromagnetico stesso, delle regioni dette domini di Weiss, di dimensione del micron e contenenti 10 11 /10 17 atomi, nelle quali esiste, al di sotto della temperatura critica, una magnetizzazione spontanea che tende ad allineare tutti gli spin. In assenza di campo esterno ogni dominio ha una diversa orientazione del vettore di magnetizzazione e quindi la magnetizzazione totale del materiale risulta mediamente nulla. Accendendo il campo magnetico esterno, i diversi domini, compatibilmente con la struttura cristallografica del materiale, tendono ad orientarsi parallelamente al campo magnetico esterno. All aumentare del campo aumenta il numero di domini allineati fino a che tutto il blocco di materiale non diventa un unico dominio con tutti gli spin allineati al campo esterno. Un ulteriore aumento del campo non può produrre un aumento di magnetizzazione: il materiale ha raggiunto la saturazione (P) ed il minimo della sua energia interna. Il processo di magnetizzazione non è reversibile in quanto, spegnendo il campo magnetico esterno, risulta energeticamente favorita, causa l interazione tra dominii adiacenti (domain walls interaction) una configurazione interna di parziale orientamento dei dominii. A questo proposito è importante osservare che invertendo il campo magnetico esterno la magnetizzazione non si inverte istantaneamente in quanto, per rompere l ordine raggiunto con i dominii parzialmente allineati (campo esterno nullo), è neccessario fornire al ferromagnete un energia di soglia attraverso il campo magnetico esterno (in figura H c ) che nella fattispecie prende il nome di campo coercitivo. Il campo coercitivo innesca il meccanismo di inversione della magnetizzazione fino a fare raggiungere al materiale la saturazione opposta (R) ed un nuovo minimo dell energia interna. 13