Microeconomia 2 Esercizio Aggiungete i valori mancanti nella tabella sottostante: Numero complessivo di lavoratori Quantità complessiva di Prodotto totale capitale 0 38 0 38 0 2 38 25 5 3 38 4 38 65 20 5 38 20 6 38 95 Prodotto marginale del lavoro I valori del prodotto totale sono: 0, 0, 25, 45, 65, 85, 95. I valori del prodotto marginale del lavoro sono: 0, 5, 20, 20, 20, 0. Esercizio 2 Un impresa che opera in mercati perfettamente concorrenziali dell output e dell input ha una funzione di produzione Q = KL, MRTS K,L = K/L, w =4, r =,dovemrts K,L è il saggio marginale di sostituzione tra capitale e lavoro, w è la remunerazione del fattore lavoro e r la remunerazione del capitale.. Quale tipo di rendimenti di scala caratterizza la funzione? 2. Determinare le quantità ottime di K e L che l impresa deve impiegare nel lungo periodo per produrre Q = 00 ed i costi che deve sopportare in tal caso. 3. Ricavate il costo totale di lungo periodo ed il costo medio di lungo periodo. Commentate il risultato ottenuto e spiegatene il significato economico.. La funzione di produzione ha rendimenti di scala crescenti: Q(θK, θl) =(θk)(θl) =θ 2 KL = θ 2 Q(K, L)
2. Per determinare le quantità ottimali di lungo periodo, devo eguagliare il saggio marginale di sostituzione tecnica al rapporto tra i prezzi dei fattori produttivi: MRTS K,L = w r da cui: K L = 4 = K =4L Sostituendo nella funzione di produzione si ricava: Q = KL =4L L =4L 2 = 00 L =5; K =20 3. Il costo totale di lungo periodo é: TC = wl + rk Nel punto di ottimo si ha che K =4L e Q Q =4L 2 = L = 2 Sostituendo nell espressione del costo totale si ha: TC =4L +4L =8L =4 p Q Il costo medio di lungo periodo è quindi: AC = TC Q = 4 Q Q = 4 Q Poiché il costo medio di lungo periodo diminuisce all aumentare del volume della produzione, ci sono economie di scala. Esercizio 3 Sia Q = L 0,5 K 0,5 la funzione di produzione. La produttività marginale dei fattori è MP L = Q/2L e MP K = Q/2K. Il tasso di remunerazione del capitale è r =4.. Determinare la quantità ottima di capitale e lavoro che l impresa deve impiegare nel lungo periodo per produrre Q =30e i costi minimi che deve sopportare quando: (i) w =4e(ii)w =9; 2. Rappresentare graficamente l isoquanto Q =30, le combinazioni ottimeneicasi(i)e(ii)eicorrispondentiisocosti; 3. Come sono i rendimenti di scala? 4. Sfruttando il punto precedente scrivete la funzione di costo medio di lungo periodo nel caso (i) e nel caso (ii). 2
. Per determinare le quantità ottimali di lungo periodo, devo eguagliare il saggio marginale di sostituzione tecnica al rapporto tra i prezzi dei fattori produttivi. Il saggio marginale di sostituzione tecnica non è altro che il rapporto tra le le produttività marginali dei fattori: MRTS K,L = MP L MP K Eguagliandolo al rapporto tra i prezzi dei fattori, si ha: Q/2L Q/2K = w r = K L = w r = K = w r L (i) Quando w =4e r =4,sihacheK = L. Sostituendo questa relazione nella funzione di produzione: Q = L 0,5 K 0,5 = L 0,5 L 0,5 = L = Q = L = K =30 Il costo minimo è il costo totale in corrispondenza di questi valori: TC = wl + rk =4 30 + 4 30 = 240 (ii) Quando w =9e r =4,sihacheK = 9 4L. Sostituendo questa relazione nella funzione di produzione: µ 9 0,5 Q = L 0,5 K 0,5 = L 0,5 4 L = 3 2 L = L = 2 3 30 = 20, K= 3 20 = 45 2 Il costo minimo è il costo totale in corrispondenza di questi valori: TC = wl + rk =9 20 + 4 45 = 360 2. L isoquanto è un ramo di iperbole: L 0,5 K 0,5 =30V K =900/L. Quando w =4,sihache240 = 4L +4K e l equazione dell isocosto è: K =60 L. Quandow =9,siha360 = 9L +4K V K =90 9 4 L. 3
K 90 60 45 30 20 30 60 L 3. La funzione di produzione ha rendimenti di scala costanti. Infatti: Q (θl, θk) =(θl) 0,5 (θk) 0,5 = θl 0,5 K 0,5 = θq(k, L) 4. Poiché i rendimenti di scala sono costanti, non ci sono né economie né diseconomie di scala e anche il costo medio sarà costante: AC = TC Q = 360 45 =8 Esercizio 4. Si determini come sono i rendimenti di scala delle seguenti funzioni: a. Q = KL/4 b. Q = K + L c. Q =min(k/6,l/3) 2. Si disegnino gli isoquanti. La funzione (a) ha rendimenti di scala crescenti. Infatti Q (θl, θk) = 4 (θl)(θk) = 4 θ2 LK = 4 θ2 Q 4
La funzione (b) ha rendimenti di scala costanti: Q (θl, θk) =θl + θk = θ (L + K) =θq La funzione (c) ha rendimenti di scala costanti: Q (θl, θk) =min(θk/6,θl/3) = θ min(k/6,l/3) = θq 2. L isoquanto in (a) è un ramo d iperbole: Q = KL/4 V K =4Q/L. In (b) i fattori sono perfetti sostituti e l isoquanto è rappresentato da una retta : Q = K + L V K = Q L. La funzione di produzione in (c) corrisponde al caso di fattori non sostituibili tra loro. K Caso (a) Caso (b) Caso (c) L Esercizio 5 Un impresa di aspirapolveri dispone di una tecnologia basata sul capitale (K) e sul lavoro(l), rappresentabile attraverso la funzione: Y = L a K b. Si determinino le condizioni sui coefficienti a e b per cui i rendimenti di scala sono costanti. 2. All interno del precedente insieme di valori per i parametri si consideri il caso speciale in cui a = b. Quanto valgono a e b? 3. Per i parametri a e b determinati al punto 2) si disegnino le curve di isoquanto. 4. Si supponga che i prezzi unitari di lavoro e capitale siano, rispettivamente, w e r e che la quantità da produrre sia Y. Si calcoli la domanda dei fattori rispetto a tali prezzi. 5
. Per avere rendimenti di scala costanti, deve valere che: Y (θl, θk) = θy che nel nostro caso implica (θl) a (θk) b = θ ³L b a K (θl) a (θk) b = θ a+b L a K b = θl a K b se e solo se a + b = 2. Se a = b e a + b =,alloraa = b = 2 3. L equazione dell isoquanto è data da: Y = L /2 K /2 da cui: che è un ramo di iperbole. K = Y 2 L 4. La domanda dei fattori si ottiene dalla seguente ottimizzazione: min wl + rk s.v. Y = K,L L/2 K /2 Il lagrangiano è: L = wl + rk + λ ³Y /2 L /2 K L L = w 2 λl /2 K /2 =0 L K = r 2 λl/2 K /2 2 λl /2 K /2 = w =0 V 2 λl/2 K /2 = r L λ = Y L /2 K /2 = Y L/2 K /2 =0 Dividendo la prima equazione per la seconda si ottiene: K L = w r = K = w r L Sostituendo questa espressione nella terza equazione si ha: ³ w /2 L = Y r da cui L = Y K = Y ³ r w /2 ³ w r /2 6
Esercizio 6 Si consideri un mercato perfettamente concorrenziale in cui operano due imprese. La prima è caratterizzata dalla funzione di costo totale C = q 2, la seconda dalla funzione C 2 =3q 2 2.Sicalcolino:. Le funzioni di offerta delle singole imprese; 2. La funzione di offerta dell industria; 3. Il costo marginale di produzione per ciascuna impresa per un dato livello di produzione per l industria.. In un mercato perfettamente concorrenziale, il prezzo è uguale al costo marginale: P = MC =2q = q = P 2 P = MC 2 =6q 2 = q 2 = P 6 2. La funzione di offerta dell industria non è altro che la somma delle due funzioni di offerta: Q = q + q 2 = P 2 + P 6 = 2 3 P 3. Il costo marginale sopportato da ciascuna impresa deve essere uguale al prezzo. Dalla funzione di offerta dell industria si ha che P = 3 2 Q e, quindi, MC = P = 3 2 Q. 7