Forulario di Meccanica Pagina 1 di 8 FOMULAIO DI MECCANICA NOTA: le grandezze ettoriali sono indicate in neretto. CINEMATICA Vettore posizione del punto ateriale r(t) x i + y j + z k (nel SI etri ) Vettore spostaento del punto ateriale r r(t ) - r(t 1 ) r - r 1 (nel SI etri ) Velocita' edia r spazio percorso tepo ipiegato (nel SI ) Velocita' istantanea li r Accelerazione edia a 1 dr x i + y j + z k dt (nel SI ) Accelerazione istantanea a li d dt d r ax i + a y j +a z k dt Moto rettilineo unifore cost (riferendoci all'istante iniziale t ): s s > s s + ( t ) t t t Moto rettilineo uniforeente accelerato a cost (scelto t ) o + a t s s o + o t + ½ a t per ciascuna coponente (riferendoci all'istante iniziale t ) : x ox + ax (t - to) x x o + ox (t - to) + ½ ax (t - to) x ox + ax (x - xo) ed eliinando il tepo tra queste due: Data ultia reisione 6/1/5 1
Forulario di Meccanica Pagina di 8 MOTI PIANI Moto di un proiettile Si tratta di un oto rettilineo unifore lungo l'asse x e rettilineo uniforeente accelerato lungo l'asse y, pertanto in un sistea cartesiano coe in figura: ax e a y - g di conseguenza x cosθ cost e y senθ - g t equazioni del oto x x + ( cosθ ) t y y + ( senθ ) t - ½ g t traiettoria y y + ( tgϑ )( x x ) ( x x ) gittata sen ϑ g ( sen ϑ) h ax g g cos ϑ Assuendo l'origine nel punto di lancio del proiettile, coe in figura, si arà x e y Moto circolare ( cost ) unifore ( cost) odulo della elocità angolare di rotazione attorno ad un asse fisso w periodo tepo necessario per fare un giro copleto frequenza T 1 nuero di giri fatti in un ondo relazioni tra grandezze lineari ed angolari: s θ s coordinata curilinea sulla circonferenza θ posizione angolare di un punto ateriale. ω accelerazione nel oto circolare: accelerazione centripeta π ω T πf ω a C θ t MOTI ELATIVI coposizione delle elocità: ' + u y y' u x' x Data ultia reisione 6/1/5
Forulario di Meccanica Pagina 3 di 8 DINAMICA DEL PUNTO MATEIALE FOZE (da F a nel SI le forze si isurano in Newton N kg ) forza peso ( nel capo graitazionale terrestre g 9.8 / ) F g forza elastica F - k r (assuendo posizione a riposo in x F - K (x - x ) forza centripeta F c a c ω diretta erso il centro 1 forza graitazionale: odulo F G diretta lungo la congiungente r 1 e alla superficie terrestre F g g G M T / T 9.8 / Moto di pianeti e satelliti: condizione di stabilita' dell'orbita F gra F centrip Per es. per un satellite intorno alla terra ad un'altezza h si ara' M T G a C doe r r r T + h forze di attrito - forza di attrito statico fs µ s N - forza di attrito dinaico fd µ d N - forza di attrito nei fluidi ff -K h con K 6 π per sfere (Stokes) - resistenza aerodinaica D 1/ c ρ A Moento eccanico di una forza M r Λ F doe r e' il ettore posizione del punto di applicazione della forza rispetto ad un punto scelto coe polo odulo di M forza x braccio Laoro (nel SI si isura in Joule J N ) r r Se la forza F e' costante L A B F s F s cosθ doe θ e' l'angolo fra la forza e lo spostaento In generale L A B B F dr integrale di linea lungo la traiettoria seguita dal punto A ateriale entre si sposta da A a B (quindi il laoro in generale dipende anche dalla traiettoria seguita dal punto). Se la forza e' conseratia: il laoro non dipende dal caino, a solo dagli estrei esiste la funzione energia potenziale U(x,y,z), che si puo' ricaare conoscendo la forza (. aanti) e si puo' diostrare che L A B (U A - U B ) - U Data ultia reisione 6/1/5 3
Forulario di Meccanica Pagina 4 di 8 Energia potenziale della forza peso U g h + cost Energia potenziale della forza elastica U ½ K x + cost ½ K (x - x ) + cost Energia potenziale graitazionale U - G 1 / r + cost Potenza dl ds P F F dt dt Energia cinetica del punto ateriale (nel SI si isura in Watt 1 W Joule ) K (nel SI si isura in Joule ) Teorea laoro - energia cinetica ( o delle forze ie ) : L A B ½ ( B - A ) KB - K A K L A B e' il laoro fatto da tutte le forze che agiscono sul corpo nello spostaento A B Teorea della conserazione dell'energia eccanica: se il capo di forze e' conseratio K B - K A U A - U B > K B + U B K A + U A cioè l'energia eccanica totale dee conserarsi: E K + U cost > Se esistono forze non conseratie: L fnc E (K f +U f ) - (K i +U i ) Quantità di oto p p per la risultante delle forze agenti sul punto Ftot d d t se F tot p cost conserazione della quantita' di oto Ipulso edio di una forza J F edia Teorea dell'ipulso J p - p 1-1 SISTEMI DI PATICELLE E COPO IGIDO Centro di assa Siilente areo ir i r per due punti su una retta x i + 1x 1+ x + 1 1 > quantità di oto p i i M tot 1+ 1 a a + a ΣF + ΣF 1 1 1 > F est Ma 1+ M tot est se F a e quindi p cost conserazione della quantita' di oto del sistea p i p f CONDIZIONI DI EQUILIBIO : a) Fi M est b) est i Data ultia reisione 6/1/5 4
Forulario di Meccanica Pagina 5 di 8 STATICA E DINAMICA DEI FLUIDI F Pressione: p S Densita': ρ V norale peso specifico p ρ s g P V Legge di Steino: p p 1 + ρ g ( h 1 - h ) se la densita' ρ e' costante Spinta di Archiede peso del fluido spostato dal corpo g fluido ρ fluido V ierso g FLUIDO IDEALE Equazione di continuità: la portata in un condotto e' costante per fluidi in oto stazionario A ρ A costante (portata in assa ρ1 1 1 se il fluido e' incopriibile A A costante (portata oluetrica 1 1 kg ) 3 ) Equazione di Bernoulli p 1 + ½ ρ 1 + ρ g h 1 p + ½ ρ + ρ g h costante L'equazione di Bernoulli si applica a oti stazionari di fluidi incopriibili, non iscosi e irrotazionali. Viene applicata su una stessa linea di flusso. Su linee di flusso dierse, la costante e' diersa. Data ultia reisione 6/1/5 5
Forulario di Meccanica Pagina 6 di 8 FLUIDO EALE MOTO LAMINAE Forza frenante: F η S d doe η e' il coefficiente di iscosità del fluido dy Flusso lainare in un condotto cilindrico di raggio e lunghezza L (ponendo ( ) ): r ( p 1 p ) ( r) 1 MAX doe MAX e' la elocità sull'asse del condotto 4ηL Legge di Poiseuille: Portata oluetrica 4 ( p1 p ) π Q 8ηL si noti che coe nei fluidi ideali si puo' definire la portata oluetrica coe Q edia S doe si assue 1 edio MAX e S π oppure Flusso di assa o portata in assa 4 d ρ(p1 p ) π dt 8ηL ( p1 p) 8 Q perdita di carico in un condotto η 4 L π resistenza idrodinaica di un condotto (p 1 p ) 8ηL 4 Q π Per stabilire se un fluido reale in oiento in un condotto cilindrico di raggio possa essere considerato in regie lainare occorre calcolare il ρ NUMEO DI EYNOLDS edio Q e doe edio e erificare che sia e < 1 η π MOTO DEI COPI NEI FLUIDI EALI Legge di Stokes: forza di attrito per una sfera di raggio r che si uoe a elocità all'interno di un fluido di iscosità η in regie lainare ( ρsfera ρfluido ) r g F 6πη r sedientazione (caso graitazionale) 9η Per stabilire se la sferetta aanza nel fluido in regie lainare senza creare turbolenze occorre calcolare il NUMEO DI EYNOLDS in odo leggerente dierso e ρ r η Se e > 1-1 si passa da regie lainare a regie turbolento e la forza di attrito non e' più proporzionale alla elocità a dienta F S (da e si può calcolare il alore della critica per cui il oto dienta turbolento) Data ultia reisione 6/1/5 6
Forulario di Meccanica Pagina 7 di 8 FENOMENI DI SUPEFICIE Tensione superficiale: τ F forza per unita' di lunghezza che agisce lungo il bordo L Energia superficie J τ N Legge di Laplace: se la superficie di un liquido e' cura, esiste una pressione di contrattilità p p int p > c est τ - superficie di separaz. sferica pint pest τ - superficie di separaz. cilindrica pint pest 4τ - per una bolla pint pest 1 1 - in generale pint p est τ + 1 Legge di Jurin - Borelli : innalzaento (abbassaento) di un liquido (ρ,τ) in un capillare di raggio r : h τ cos α ρgr doe α angolo di raccordo fra la superficie del liquido e il capillare Data ultia reisione 6/1/5 7
Forulario di Meccanica Pagina 8 di 8 PINCIPALI COSTANTI FISICHE DI INTEESSE PE LA MECCANICA elocita' della luce nel uoto c.9979 1 8 /s 3. 1 8 /s assa a riposo dell'elettrone e 9.191 1-31 Kg assa a riposo del protone p 1.675 1-7 Kg assa a riposo del neutrone n 1.6748 1-7 Kg raggio di Bohr a o 5.917 1-11.5917 Å costante graitazionale G 6.67 1-11 N Kg - accelerazione di graita' al liello del are ed all'equatore g 9.785 s - 9.8 s - distanza edia Terra-Sole 1.49 1 8 K distanza edia Terra-Luna 3.8 1 5 K raggio edio della Terra 6.37 1 3 K raggio del Sole 6.96 1 5 K assa della Terra 5.98 1 4 Kg assa del Sole 1.99 1 3 Kg elocita' edia orbitale Terra 977 /s elocita' angolare edia Terra 7.9 1-5 rad/s ( rotazione ) densita' aria ( a C ed 1 at) 1.9 Kg/ 3 densita' acqua ( a C ) 1. 1 3 Kg/ 3 densita' sangue 1.4 1 3 Kg/ 3 densita' osso 1.6 1 3 Kg/ 3 densita' ercurio ( a C ) 13.5 1 3 Kg/ 3 densita' edia terrestre 5.5 1 3 Kg/ 3 FATTOI DI CONVESIONE lunghezza 1 Å 1-1 1µ (icron) 1-6 1 anno-luce 9.46 1 1 K tepo elocita' 1 anno 365. giorni 8766 ore 5.6 1 5 in 3.156 1 7 s 1 giorno 864 1 /s 3.6 K/h forza 1 dyne 1-5 N 1 N 1 5 dyne.1 Kg p pressione 1 at 1.13 1 6 dyne/c 76. c Hg 1.13 1 5 N/ 76 Torr 1 dyne/c 9.869 1-7 at.1 N/ 1-6 bars 1 c Hg 1.316 1 - at 1333 N/ 1 N/ (Pa:pascal)9.869 1-6 at1 dyne/c 7.51 1-4 c Hg7.51 1-3 Torr 1 Torr 1 Hg 1-1 c Hg 1.3 1-3 at 133.3 Pa 1333 dyne/c energia, laoro, calore, potenza 1 erg 1-7 J.389 1-8 cal.778 1-14 KWh 6.4 1 11 ev 1 Joule ( J ) 1 7 erg.389 cal 6.4 1 18 ev 1 caloria (cal) 4.186 1 7 erg 4.186 J.613 1 19 ev 1 e V 1.6 1-1 erg 1.6 1-19 J 1 unita' assa atoica (au) 1.49 1-3 erg 1.49 1-1 J 9.31 1 8 ev 1 HP 746 W iscosita' 1Poise 1-1 Pa Data ultia reisione 6/1/5 8