GONIOMETRIA e TRIGONOMETRIA

RESTART fondamenti esercizi guidati verifiche di autovalutazione Carmelo Di Stefano RS5 ARGOMENTI FONDAMENTALI di GONIOMETRIA e TRIGONOMETRIA Risoluzione dei triangoli Identità goniometriche fondamentali Equazioni e disequazioni goniometriche S EDIZIONIE IMON Estratto della pubblicazione Se sistemi editoriali Gruppo Editoriale Esselibri - Simone

TUTTI I DIRITTI RISERVATI Vietata la riproduzione anche parziale Tutti i diritti di sfruttamento economico dell opera appartengono alla Esselibri S.p.A. (art. 64, D.Lgs. 10--005, n. 30) Della stessa Collana consigliamo: Restart 1 Argomenti fondamentali di Algebra (volume 1) Restart Argomenti fondamentali di Algebra (volume ) Restart 3 Argomenti fondamentali di Logica e Geometria Restart 4 Argomenti fondamentali di Geometria analitica Progetto grafico a cura di Gianfranco De Angelis Impaginazione e realizzazione grafici Lucia Molino Coordinamento redazionale e revisione del testo dott. Carla Iodice Finito di stampare nel mese di novembre 009 dalla «Officina Grafica Iride» - Via Prov.le Arzano-Casandrino, VII Trav., 4 - Arzano (NA) per conto della Esselibri S.p.A. - Via F. Russo, 33/d - 8013 - Napoli Grafica di copertina a cura di Roberto Lancia

Premessa La matematica è una delle discipline più impopolari agli occhi degli studenti che, spesso, ne rifiutano il linguaggio in quanto ritenuto troppo formalizzato e astratto. In realtà, il linguaggio matematico è un espediente per scrivere in maniera sintetica concetti che si possono esprimere anche a parole. Nell intento di consentire allo studente di essere in grado di utilizzare consapevolmente le tecniche e le procedure di calcolo, il volume presenta gli argomenti fondamentali di goniometria e di trigonometria concernenti la risoluzione dei triangoli, le identità goniometriche fondamentali e le equazioni e le disequazioni goniometriche. Ciascun capitolo è introdotto da test di accertamento dei prerequisiti, cui segue una parte teorica, esplicativa dell argomento sviluppato, corredata da numerosi esempi e grafici. Ciascun paragrafo è completato da esercizi guidati, in cui le fasi relative allo svolgimento sono illustrate e commentate tenendo conto delle esigenze dello studente che affronta una materia il cui contenuto, ricco di formule e grafici, richiede un assiduo impegno. Sulla falsariga degli esercizi svolti sono proposti numerosi esercizi da svolgere. A completamento dei capitoli, per un ulteriore ripasso degli argomenti, sono presentate verifiche di autovalutazione. Il volume è destinato agli studenti universitari che si apprestano ad affrontare l esame di Matematica generale o Analisi matematica. Tuttavia, per come è strutturato, può essere utile anche per gli studenti delle scuole superiori non solo per verificare il grado di preparazione raggiunto ma anche per ripassare agevolmente gli argomenti trattati. Estratto della pubblicazione

SIMBOLOGIA diverso da per ogni sen( α ) seno dell angolo α sen 1 ( α ) minimo angolo che ha il seno uguale ad α cos( α ) coseno dell angolo α cos 1 ( α ) minimo angolo che ha il coseno uguale ad α tan( α ) tangente dell angolo α tan 1 ( α ) minimo angolo che ha la tangente uguale ad α cot ( α ) cotangente dell angolo α cot 1 ( α ) minimo angolo che ha la cotangente uguale ad α csc( α ) cosecante dell angolo α csc 1 ( α ) minimo angolo che ha la cosecante uguale ad α sec( α ) secante dell angolo α sec 1 ( α ) minimo angolo che ha la secante uguale ad α

Capitolo 1 Risoluzione dei triangoli Prerequisiti Angoli e loro misurazione Geometria del triangolo Concetto di funzione Sistema di riferimento cartesiano ortogonale Equazione della retta e coefficiente angolare Obiettivi Comprendere il concetto di risoluzione di un triangolo Sapere risolvere triangoli Sapere applicare le funzioni goniometriche a problemi reali Estratto della pubblicazione

1 Risoluzione dei triangoli Test di accertamento dei prerequisiti Di seguito sono proposte alcune domande di varie tipologie, per stabilire la capacità personale di affrontare gli argomenti svolti in questo capitolo. Ogni tipologia ha un punteggio associato, per un totale massimo di 80 punti, se si ottiene un punteggio inferiore a 48 vuol dire che non si è raggiunta la sufficienza. Le risposte esatte sono riportate a fine capitolo. Quesiti a scelta multipla con più risposte esatte (1 punto per ogni risposta esatta, 1 punto di penalità per ogni risposta errata, 5 punti se si forniscono solo tutte le risposte esatte) Per ogni quesito tracciare un segno nell apposito quadratino sulle scelte corrette. 1 Quali fra le seguenti affermazioni sono corrette? A Gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono fra loro complementari B C Un triangolo rettangolo non può essere anche isoscele Un angolo di 3,5 è un angolo di 3 50' D La diagonale di un quadrato è lunga E volte il lato Nel sistema sessagesimale per passare da una misura a una sua multipla si deve dividere per 360 Conoscendo quali fra i seguenti dati possiamo costruire un solo triangolo? A Tre angoli C B Due angoli e un lato D Due lati e un angolo E Due lati e un altezza Tre lati 3 Quali fra le seguenti coppie di oggetti geometrici sono certamente fra loro simili? A Due rettangoli C B Due triangoli isosceli D Due esagoni regolari E Due trapezi isosceli Due cerchi Quesiti a scelta multipla con una sola risposta esatta (5 punti per ogni risposta corretta) Per ogni quesito tracciare un segno nell apposito quadratino sull unica scelta corretta. 4 L equazione della circonferenza con centro nell origine e raggio unitario è: A x +y =0 6 Estratto della pubblicazione Capitolo 1

Test di accertamento dei prerequisiti B ( x 1) +y =0 C x + y 1 D =0 ( x 1) + ( y 1) =1 E x + y =1 5 L equazione y = x rappresenta: A Una retta parallela all asse delle ascisse B Una retta per l origine che determina un angolo ottuso con il semiasse positivo delle x C Una retta che forma angoli isometrici con gli assi coordinati D Una circonferenza con centro nell origine E Una circonferenza passante per l origine 6 In una circonferenza un angolo al centro determina un arco lungo π volte la misura 8 del raggio della circonferenza, quanto vale la sua misura in gradi sessagesimali? A 30' C 40 E Nessuno è corretto B 8 D 0,39 Quesiti a risposta numerica (10 punti per ogni risposta esatta) Rispondere con un numero alle seguenti domande. 7 Il rapporto fra due cateti di un triangolo rettangolo di ipotenusa 1 è 3, quanto sono lunghi i cateti?... 8 9 10 Quanto vale il rapporto fra l ipotenusa e un cateto di un triangolo rettangolo isoscele?... Quanto vale l ordinata di un punto della circonferenza di centro l origine e raggio 1, la cui ascissa è 1 4?... Il coefficiente angolare della retta passante per i punti (1; ) (3; 1) è:... 11 Dato un triangolo di perimetro 3, tracciamo una parallela a uno dei lati passante per il baricentro del triangolo. In tal modo otteniamo un triangolo più piccolo di quello dato. Quanto misura il suo perimetro? Estratto della Risoluzione pubblicazione dei triangoli 7

1 Capitolo Risoluzione dei triangoli 1.1. Funzioni goniometriche elementari e risoluzione di triangoli rettangoli Cominciamo subito a definire il problema di cui ci occuperemo in questo capitolo. Dato un triangolo diciamo sua risoluzione la determinazione delle misure di tutti i suoi lati e di tutti i suoi angoli. La disciplina matematica che si occupa della risoluzione dei triangoli è chiamata trigonometria, che letteralmente significa «misura dei triangoli». Cominciamo a risolvere i triangoli rettangoli. Stabiliamo alcune convenzioni di scrittura, che ci aiuteranno a semplificare il linguaggio. In un triangolo ABC, indichiamo con a la misura del lato BC, con b la misura del lato AC e con c la misura del lato AB; inoltre, indichiamo con α la misura dell angolo di vertice A, con β la misura dell angolo di vertice B e con γ la misura dell angolo di vertice C. A c α b B β a γ C Ricordiamo che due triangoli simili hanno gli angoli a due a due isometrici e i lati corrispondenti nella stessa proporzione. Quindi, considerando in generale un triangolo ABC, deve esservi una relazione stretta fra le proporzioni dei lati e gli angoli. Per comprendere tale relazione consideriamo la seguente figura: A F G D E B C 8 Estratto della pubblicazione Capitolo 1

In essa vi sono tre triangoli: ABC, ADE e AFG, che sono evidentemente simili poiché i lati BC, DE e FG sono fra loro paralleli e pertanto gli angoli indicati con lo stesso segno sono isometrici perché corrispondenti rispetto a queste parallele tagliate rispettivamente dalla trasversali AB e AC. Si verifica allora la validità delle seguenti uguaglianze: AB BC = AD DE = AF FG ; AC BC = AE DE = AG FG ; AB AC = AD AE = AF AG Valgono naturalmente anche le uguaglianze ottenute da queste scambiando fra loro numeratore e denominatore. Ciascuna di queste proporzioni determina perciò un numero positivo, che deve essere legato agli angoli del triangolo. In particolare, ciò vale per i triangoli rettangoli. Quindi ciascuna di queste proporzioni è una funzione degli angoli acuti. 1.1.1. Funzioni goniometriche elementari Conveniamo di definire delle funzioni matematiche associate appunto ai lati di un triangolo rettangolo con i suoi angoli. C D b F γ a E G A α c β B Dato un triangolo rettangolo ABC di ipotenusa BC, chiamiamo seno di un suo angolo acuto il rapporto fra la misura del cateto opposto all angolo e la misura dell ipotenusa. Il seno di un angolo x si indica con sen(x). Siano a l potenusa e b e c i cateti, si ha: sen( β)= b a, sen ( γ )= c a Sottolineiamo che il seno è una funzione, non una costante, dato che il suo valore dipende dall ampiezza dell angolo x a cui è riferito. È un gravissimo errore la seguente semplificazione: sen( /x) = sen. /x Estratto della Risoluzione pubblicazione dei triangoli 9

Infatti la scritta sen, priva di un argomento, ossia della misura di un angolo, non ha alcun significato; è una funzione con il proprio argomento. Dato un triangolo rettangolo ABC di ipotenusa BC, chiamiamo coseno di un suo angolo acuto il rapporto fra la misura del cateto adiacente all angolo e la misura dell ipotenusa. Il coseno di un angolo x si indica con cos(x). Siano a l ipotenusa e b e c i cateti, si ha: cos( β)= c a, cos ( γ )= b a Anche il coseno è una funzione. Notiamo immediatamente che sen( β)= cos ( γ);sen( γ)= cos ( β) In effetti, il motivo per cui usiamo la parola coseno (formata dal prefisso co e dal vocabolo seno) sta proprio nel fatto che se β e γ sono due angoli complementari (e gli angoli acuti di un triangolo rettangolo lo sono certamente), allora il seno di ciascuno dei due angoli è sempre uguale al coseno dell altro. Il prefisso co sta, appunto, per complementare del seno. Inoltre sia il seno che il coseno di un angolo acuto sono numeri positivi e minori di 1, essendo rapporto fra cateto e ipotenusa di uno stesso triangolo rettangolo. ESEMPIO Consideriamo un triangolo rettangolo i cui angoli acuti misurano 30 e 60. È facile vedere che tale triangolo può considerarsi come metà di un triangolo equilatero: infatti se tracciamo un altezza di un triangolo equilatero, questa divide il triangolo dato in due triangoli rettangoli isometrici, i cui angoli acuti misurano appunto 30 e 60. C 30 60 D A B 10 Estratto della pubblicazione Capitolo 1

Questo ci consente di affermare che il cateto adiacente all angolo di 60, nella figura precedente denotato con AB, misura quanto metà dell ipotenusa, mentre 3 l altro cateto, denotato con AC, misura BC, come sappiamo dalle relazioni tra altezze e lati di un triangolo equilatero. Quindi per le definizioni precedenti possiamo scrivere: ma anche: sen(60 )= AC BC = 3 BC = 3 BC =cos(30 ) 1 sen(30 )= AB BC = BC BC = 1 = cos(60 ) Un altra interessante proprietà è l interpretazione trigonometrica del teorema di Pitagora. TEOREMA 1 Si ha: sen (x)+ cos ( x)=1, 0 <x < 90 DIMOSTRAZIONE Il teorema di Pitagora, applicato a un triangolo rettangolo ABC di ipotenusa BC, è espresso dall identità: AB + AC = BC. Dividiamo tutto per BC ottenendo: AB BC + AC BC = BC BC AB + AC =1 BC BC Adesso basta sostituire a ciascuno dei due rapporti le loro espressioni mediante le funzioni goniometriche, per ottenere la tesi. Passiamo ad altre definizioni. Dato un triangolo rettangolo ABC di ipotenusa BC, chiamiamo tangente di un suo angolo acuto il rapporto fra la misura del cateto opposto all angolo e la misura dell altro cateto. La tangente di un angolo x si indica con tan(x). Si ha: tan( β)= b c,tanγ = c b. Risoluzione dei triangoli 11

Visto quel che abbiamo detto a proposito delle relazioni fra seno e coseno, risulta naturale considerare una funzione complementare della funzione tangente. Dato un triangolo rettangolo ABC di ipotenusa BC, chiamiamo cotangente di un suo angolo acuto il rapporto fra la misura del cateto adiacente all angolo e la misura dell altro cateto. La cotangente di un angolo x si indica con cot(x). Si ha: cot( β)= c b, cot ( γ )= b c. Dalle precedenti definizioni si deduce facilmente il seguente teorema. TEOREMA Si ha: 1 tan(x) =,0 <x < 90 cot(x)' Per completare consideriamo gli inversi del seno e del coseno. Dato un triangolo rettangolo ABC di ipotenusa BC, chiamiamo cosecante di un suo angolo acuto il rapporto fra la misura dell ipotenusa e la misura del cateto opposto all angolo. Dato un triangolo rettangolo ABC di ipotenusa BC, chiamiamo secante di un suo angolo acuto il rapporto fra la misura dell ipotenusa e la misura del cateto adiacente all angolo. La cosecante di un angolo x si indica con csc(x). Si ha: csc( β)= a c, csc ( γ )= a b La secante di un angolo x si indica con sec(x). Si ha: sec( β)= a b, sec ( γ )= a c Proprio per come abbiamo definito le precedenti funzioni, si ha la validità del seguente risultato. TEOREMA 3 Si ha: csc( x)= 1 sen(x),sec( x)= 1,0 <x < 90 cos x 1 Capitolo 1

Ovviamente secante e cosecante di un angolo acuto sono sempre numeri positivi maggiori di 1. Vale anche un altro importante teorema. TEOREMA 4 La tangente di un angolo acuto x verifica la seguente identità: tan(x) = sen(x) cos(x) DIMOSTRAZIONE Per definizione abbiamo detto che: Ma possiamo anche scrivere: tan(β) = b c tan(β)= b c = b a a c =sen(β) 1 cos(β) = sen(β) cos(β) Lasciamo per esercizio la dimostrazione del seguente teorema. TEOREMA 5 La cotangente di un angolo acuto x verifica la seguente identità: cot ( x)= cos(x) sen x Per calcolare le funzioni goniometriche possiamo usare una calcolatrice scientifica. Il loro uso è diverso a seconda dei vari modelli e marche. Per il calcolo del seno e del coseno di un dato angolo il metodo usato dalle calcolatrici più recenti è quello di digitare nello stesso ordine di scrittura. Per esempio se vogliamo calcolare sen(57 ), digitiamo intanto il tasto con la scritta sin quindi il valore 57. Si noti che in questo testo abbiamo adottato la convenzione di indicare con sen la funzione seno, le calcolatrici la indicano con sin. Si deve però fare attenzione che l unità di misura sia quella corretta, dato che le calcolatrici di solito calcolano in 3 diverse unità di misura: gradi, radianti e gradienti. Anche in questo caso dipende dalla calcolatrice usata, come variare l unità di misura, così come mostrare l unità di misura attiva. In genere i gradi sessagesimali sono scritti sul display Estratto della Risoluzione pubblicazione dei triangoli 13

della calcolatrice con una piccola D o con la scritta DEG o con una equivalente. Vedremo, di seguito, l unità di misura denominata radiante. Inoltre sulle calcolatrici, come sulle tavole, sono presenti solo i tasti relativi alle funzioni sin, cos e tan. Non sono presenti i tasti per secante, cosecante e cotangente, ciò perché questi si possono ottenere mediante coseno, seno e tangente rispettivamente. Negli esempi seguenti, otterremo dei numeri decimali in cui le cifre dei decimali sono separate dalla parte intera del numero da punti, così come si ottiene usando le calcolatrici. ESEMPI 1. Per calcolare il valore del seno di 7, dobbiamo intanto controllare se sul display appare la scritta DEG, ossia se il calcolo dei gradi viene effettuato nel sistema sessagesimale e poi si procede come stabilito dalla calcolatrice in uso, si ottiene un valore abbastanza vicino a 0.45399050, a seconda del grado di approssimazione della calcolatrice usata. Se invece il calcolo fosse stato effettuato in RAD avremmo ottenuto 0.9563759. Infine in GRAD il risultato sarebbe stato 0.41151435. Osserviamo altresì che le calcolatrici indicano la parte decimale con il punto e non con la virgola.. Si voglia calcolare il coseno di 3 3'45". Ci si deve informare, leggendo sul manuale della calcolatrice utilizzata, come si fa a introdurre il precedente valore. In ogni caso un metodo universale è quello di portare tutti i valori in gradi, ossia di inserire il numero come 3+ 3 60 + 45 3600 dato che 60 primi e 3600 secondi formano un grado. In tal modo sul display apparirà 3.39583333. Quindi si calcola il coseno, ottenendo un valore simile a 0.844366890. 3. Si voglia calcolare la cotangente di 47 1'36". Introdotto il valore dell angolo, nei modi suggeriti dal manuale della calcolatrice o come visto in precedenza, si calcola la sua tangente, ottenendo circa 1.08079909. A questo punto si digita il tasto corrispondente al simbolo 1/x e si ottiene circa 0.95686011 che è perciò il valore approssimato cercato. Un altro importante problema da risolvere è quello cosiddetto inverso, cioè determinare il valore dell angolo di cui conosciamo una sua funzione goniometrica. 14 Capitolo 1

ESEMPIO Vogliamo sapere quale angolo x ha seno uguale a 0,1. Nella nostra calcolatrice osserviamo che in piccolo sopra i tasti sin, cos e tan, scritti in un dato colore, vi sono sin 1,cos 1,tan 1. Il colore in cui sono scritti è lo stesso di un tasto particolare, il cui nome è nd oppure INV o anche Shift o un altro nome. Ciò significa che se vogliamo usare tali tasti dobbiamo prima premere questo tasto. In questo caso quindi digitiamo detto tasto, poi sin e infine 0.1, ottenendo circa 6.891057 (ovviamente se siamo in DEG). Il risultato è espresso solo in gradi, se volessimo scriverlo in gradi, primi e secondi, anche in questo caso c è un opportuno tasto (di solito indicato con DMS), che ci permette di dire che l angolo è circa 6 53'3". La calcolatrice fornisce sempre il minimo angolo in valore assoluto che ha quella data funzione goniometrica. Per indicare il minimo angolo x in valore assoluto per cui una sua funzione goniometrica è uguale al numero reale x, scriveremo, con ovvio significato dei simboli: cos 1 ( x ); cot -1 x () ; csc 1 x ; sec 1 ( x ); sen 1 ( x ); tan 1 x 1.1.. Risoluzione dei triangoli rettangoli Grazie alle definizioni delle funzioni goniometriche, possiamo risolvere i triangoli rettangoli di cui sono note le misure di due lati, o di un lato e di un angolo acuto. ESEMPIO Si voglia risolvere il triangolo rettangolo i cui cateti misurano 3 e 4 unità. Grazie al teorema di Pitagora determiniamo la misura, uguale a 5 unità, dell ipotenusa. Per quel che riguarda le misure degli angoli, abbiamo: sen( β)= 3 5 =0,6 β 36 5'1" il valore dell angolo è ottenuto mediante la calcolatrice. Data la complementarità degli angoli acuti di un triangolo rettangolo, abbiamo: γ 53 07'48" Si può determinare anche una formula per il calcolo dell area di un triangolo qualsiasi, note le misure di due lati e dell angolo compreso fra i detti lati. Vale infatti il seguente teorema. Risoluzione dei triangoli 15

TEOREMA 6 La misura dell area di un triangolo qualsiasi si ottiene mediante il semiprodotto delle misure di due lati per il seno dell angolo da essi compreso. DIMOSTRAZIONE Ci riferiamo alla seguente figura: A B H C in cui abbiamo tracciato l altezza AH relativa a uno dei lati, ora determiniamo l area del triangolo: S ABC = 1 BC AH Adesso troviamo la misura di AH applicando le relazioni fra i lati e gli angoli di un triangolo rettangolo: AH = AB sen( β) Sostituiamo questo risultato nella prima formula: S ABC = 1 BC AB sen β. ESEMPIO Vogliamo trovare l area di un triangolo in cui due lati sono lunghi 4 e 7 e l angolo da essi compreso è 67. Applicando la formula stabilita dal teorema precedente avremo: S = 1 4 7 sen( 67 ) 1,89 Come corollario del precedente teorema, segue una formula per il calcolo dell area di un parallelogramma mediante i suoi lati. COROLLARIO L area di un parallelogramma è data dal prodotto delle misure di due lati consecutivi per il seno dell angolo da essi formato. 16 Estratto della pubblicazione Capitolo 1

DIMOSTRAZIONE La dimostrazione del corollario segue immediatamente dal Teorema 6 perché una diagonale del parallelogramma lo divide in due triangoli isometrici. A D B C Mostriamo ora un risultato generale per i quadrilateri convessi. TEOREMA 7 La misura dell area di un quadrilatero convesso qualsiasi si ottiene mediante il semiprodotto delle misure delle sue diagonali per il seno dell angolo da esse compreso. DIMOSTRAZIONE Per la dimostrazione ci riferiamo alla seguente figura: D C A E B Le diagonali dividono il quadrilatero in 4 triangoli, la somma delle cui aree equivale ovviamente a quella del quadrilatero. Del resto, le aree dei triangoli si possono calcolare mediante la formula stabilita nel Teorema 6. Estratto della Risoluzione pubblicazione dei triangoli 17

Si ha perciò: + 1 S ABCD = 1 AE EB sen AÊB + 1 AE DE sen( DÊA) EC EB sen( BÊC)+ 1 EC ED sen( CÊD)+ D altro canto, i seni che compaiono nella precedente espressione sono tutti uguali perché si riferiscono o ad angoli fra loro isometrici (quelli opposti al vertice) o ad angoli fra loro supplementari. Pertanto, possiamo scrivere più semplicemente: S ABCD = 1 sen( AÊB) ( AE EB + EC EB + EC ED + AE ED)= = 1 sen( AÊB) AE ( EB + ED)+ EC ( EB + ED) = = 1 sen( AÊB) ( AE + EC) ( EB + ED)= 1 sen( AÊB) AC BD che è proprio quello che volevamo dimostrare. La formula stabilita per i quadrilateri convessi vale ovviamente anche per un rombo, nel quale le diagonali sono perpendicolari. Ne discende quindi facilmente la formula ben nota: 1 d 1 d sen( 90 )= 1 d 1 d dove d 1 e d sono le diagonali del rombo. La precedente formula vale ovviamente per tutti quei quadrilateri le cui diagonali sono perpendicolari, anche per i cosiddetti aquiloni, di cui mostriamo un esempio in figura. Se la usiamo anche per i trapezi, per esempio per quelli isosceli le cui diagonali sono isometriche, la formula diviene più semplicemente 1 d sen( x), con x uno degli angoli formati dalle diagonali. 18 Estratto della pubblicazione Capitolo 1

Più in generale si può provare un risultato sui poligoni regolari. TEOREMA 8 La misura dell area di un poligono regolare di n lati il cui lato è lungo l, in funzione del raggio R della circonferenza a esso circoscritta è: n 1 R sen 360 n DIMOSTRAZIONE Ci riferiamo alla seguente figura, in cui per semplicità abbiamo considerato un ottagono regolare: B A O Il poligono è, ovviamente, inscrivibile in una circonferenza. I segmenti che uniscono i vertici con il centro della circonferenza dividono l ottagono in 8 triangoli isosceli isometrici, il cui lato è lungo quanto il raggio della circonferenza. L angolo al vertice di questi triangoli è lungo ovviamente 360. Quindi, l area dell ottagono è 8 1 8 R sen 360. In generale quindi per un poligono di n lati sarà: 8 n 1 R sen 360 n L area di un quadrato in funzione del raggio della circonferenza a esso circoscritta, che ovviamente misura quanto metà della sua diagonale, per il Teorema 8 vale: 4 1 R sen 360 4 = R sen( 90 )= R Estratto della Risoluzione pubblicazione dei triangoli 19

E, in effetti, dato che il raggio è pari a metà diagonale, cioè, in funzione del lato l del quadrato a l, la formula precedente diventa: l = l 4 =, l cioè la ben nota formula per il calcolo dell area del quadrato. 1 Risoluzione dei triangoli Esercizi svolti 1 3 1 Sappiamo che per un dato angolo acuto x, si ha: sen(x) = 0,34; vogliamo sapere quanto vale cos(x). Per il Teorema 1 possiamo scrivere: 0,34 +cos ( x )=1 cos ( x )=1 0,34 cos ( x )=1 0,1156 cos ( x )=0,8844 cos( x )= 0,8844 cos(x ) 0,94 Osserviamo che abbiamo una sola soluzione, dato che la soluzione negativa non può essere accettata, essendo il coseno di un angolo acuto un numero positivo. Inoltre il valore ottenuto è approssimato, dato che il radicando non è un quadrato perfetto. Si voglia risolvere il triangolo rettangolo in cui un cateto misura 7 unità e l ipotenusa 9 unità. Con il Teorema di Pitagora troviamo la misura dell altro cateto: Passiamo agli angoli: 9 7 = 81 49 = 3 =4 tan( β)= 7 4 β 51 3'7",γ=90 β 38 56'33" 3 Risolvere il triangolo rettangolo in cui un cateto misura 6 unità e l angolo acuto opposto 31. Chiaramente l altro angolo acuto è 59. Il rapporto tra il cateto dato e l ipotenusa è sen(31 ), quindi l ipotenusa è: 6 sen 31 11,65 Troviamo l altro cateto usando sempre le relazioni trigonometriche: 6 6 =tan( 31 ) x = x tan 31 9,99 Abbiamo preferito effettuare il calcolo in questo modo perché usando il teorema di Pitagora avremmo usato un valore approssimato, quindi avremmo approssimato due volte, invece che una volta sola come con la formula precedente. 0 Estratto della pubblicazione Capitolo 1

4 Risolvere un triangolo rettangolo del quale conosciamo la somma dei suoi cateti, che vale 17, e la misura dell angolo acuto maggiore, che vale 67 ' 48". Siano b e c i cateti del triangolo, dove b è il cateto maggiore, possiamo impostare il seguente sistema: b+c =17 b c =tan(67 '48") Il sistema diviene allora: b+c =17 b,4 c le cui soluzioni sono b = 1 e c = 5. Mediante il teorema di Pitagora troviamo che l ipotenusa è uguale a 13, mentre l altro angolo acuto (complementare di quello dato) misura circa 37'". 5 Di un triangolo sappiamo che due lati sono lunghi 3,1 e 6,14, mentre l area è 8,4. Vogliamo sapere quanto misura l angolo compreso dai lati noti. Basta applicare la formula inversa del Teorema 6: 8,4= 1 3,1 6,14 sen ( x ) sen( x )= 8,4 0,836 x 56 44'9" 3,1 6,14 6 Di un triangolo qualsiasi conosciamo la misura dell area, 1, di un lato, 3, e di uno degli angoli adiacenti a tale lato, 34, vogliamo determinare la misura dell altro lato adiacente al dato angolo. Indicando con x la misura incognita possiamo scrivere, per il Teorema 6, 1= 1 Quindi avremo: 1 4 x = 3 1 sen 34 = 8 sen( 34 ) 14,3 3 x sen( 34 ). 7 Vogliamo verificare se la seguente uguaglianza è un identità, in un triangolo rettangolo in cui a è la misura dell ipotenusa: ab cos( γ) bc sec( β) ab csc( γ)+ac tan( β) =cos ( β ) b a a+c Estratto della Risoluzione pubblicazione dei triangoli 1

Basta sostituire alle funzioni goniometriche la relativa espressione mediante i lati del triangolo. Abbiamo così: a b b a bc a c ab a c +ac b = c a b a a+c b ab c ( b a ) = a b c c +ab a a+c b ( b a) a b ( a+c) c c b a = a a+c c =c Abbiamo ottenuto la stessa espressione in ambo i membri, quindi abbiamo a che fare con un identità. 8 Vogliamo verificare se la seguente uguaglianza è un identità, in un triangolo rettangolo in cui a è la misura dell ipotenusa: a cos( γ) cot( γ)+a tan( γ) sen( β)= b Procedendo come nel precedente esercizio: a b a b c + a c b b a = b c b c +c=b c b +c c c = b c c =b Come si vede non abbiamo ottenuto un identità, dato che in generale b è diverso da c. Possiamo quindi dire che la data uguaglianza è un identità solo se il triangolo è rettangolo isoscele. 1 Risoluzione dei triangoli Le risposte esatte sono riportate a fine capitolo. Esercizi proposti 3 1 Determinare valori approssimati al secondo decimale degli angoli acuti dei triangoli rettangoli di cui forniamo le misure di due dei loro lati (a indica l ipotenusa) 1 b = 5, c = 8 b = 1,3, c =,54 3 a = 5, c = 3 4 a = 6 7, b = 3 5 Semplificare le seguenti espressioni 5 a) tan( 30 ); b) cot ( 30 ); c) sec( 30 ); d) csc ( 30 ) Capitolo 1

6 a) tan( 60 ); b) cot ( 60 ); c) sec( 60 ); d) csc ( 60 ) 7 8 sen( 30 )+1 cos 45 sec( 45 ) +tan( 45 ) cot( 60 ) 1+cot 30 30 +1 tan csc 60 1 sen 45 1+tan 30 9 cos( 60 ) csc( 30 ) 1+cos 45 1 cot 30 Risolvere i triangoli rettangoli di ipotenusa a, noti i seguenti enti 10 a = 1,3, β = 13 1'45" 11 b =,7, β = 48 4'3" 1 b = 3,15, γ = 10 8'41" 13 a = 4, b = 14 a = 1,37, c = 0,48 15 b =,47, c = 1,89 Determinare area e perimetro dei triangoli rettangoli di cui si conoscono le misure dei seguenti enti 16 La somma dei cateti, 10, e un angolo acuto, 40 17 La differenza dei cateti, 6, e un angolo acuto, 4 18 La somma di un cateto con l ipotenusa, 1, e l angolo acuto opposto al cateto, 6 19 La tangente di un angolo acuto,, e l area, 1 0 La differenza fra l ipotenusa e un cateto, 8, e l angolo adiacente al cateto dato, Determinare gli elementi incogniti dei seguenti triangoli qualsiasi di cui sono dati alcuni enti (con A si indica la misura dell area, con p quella del perimetro) = 0,63, A =? 1 a = 5,7, b = 8,1, sen γ a = 3, b = 4, γ = 70, A =? 3 A = 7,5, b = 3,14, γ = 40 31'1", a =? 4 a = 1,75, β = 47, γ = 75, A = 4,78, p =?, b =?, c =? 5 a = 5, p = 11, γ = 50, A = 4, β =?, α =? Risoluzione dei triangoli 3

Verificare se le seguenti uguaglianze sono identità, in un triangolo rettangolo in cui a è la misura dell ipotenusa 6 a cos( γ) csc( β) b tan( β) sec γ =a 1 b c 7 c csc( β) cos( γ)+b tan( β) sen( γ)= b +ac a 8 asen( β) tan( γ) acot( β) csc( γ)=c tan β 9 a sen( β) tan( β)+ cos β sen ( α) ( sen β)+cos ( β) =c tan( β) sen ( α) cot ( γ )+cos( β) 30 a sec( β) tan( γ)+b cos( γ) csc( β)=a csc( γ) tan( β)+b sen( β) sec( γ) 31 tan(β) cot(β)+ b a cot(γ) tan(γ)+ b = c a cos(γ) +b a 3 33 tan(β) cot(γ) b ( sen( β) cos( γ)+b =csc γ) b c a +b sen(β) cos(γ) sen γ cos(β) sen(γ) cos (γ) = tan ( β ) cot β Nei seguenti esercizi è richiesta la determinazione di uno o più angoli 34 Un trapezio rettangolo ha le basi lunghe 6 e 15, l altezza 8. Determinare il minore angolo che formano le diagonali. 35 Un trapezio isoscele ha le basi lunghe 5 e 8, l altezza 4. Determinare il minore angolo che formano le diagonali. 36 Un rettangolo ha le dimensioni lunghe 3 e 4. Determinare il minore angolo che formano le diagonali. 37 Un parallelogramma ha area 10 e i lati lunghi 3 e 5, determinare le misure dei suoi angoli. 38 Determinare una formula per calcolare l angolo formato dalle diagonali di un rettangolo di cui conosciamo le misure delle sue dimensioni, b e h. 39 Determinare una formula per calcolare l angolo formato dalle diagonali di un trapezio rettangolo di cui conosciamo le misure delle sue basi, b e B e dell altezza h. 40 Determinare una formula per calcolare l angolo formato dalle diagonali di un trapezio isoscele di cui conosciamo le misure delle sue basi, b e B e dell altezza h. 4 Estratto della pubblicazione Capitolo 1