I FLUIDI
Pressione P = Pressione: è il rapporto P = F n /S tra la componente della forza ortogonale alla superficie e l area della superficie su cui la forza è applicata. È una grandezza scalare che ci dice quale può essere la forza esercitata dal fluido su una superficie (anche immaginaria in mezzo al fluido!) con cui si trova in contatto. Fn S S F F n Nel sistema SI si misura in pascal (Pa) 1 Pa = 1 N/m 2 Altre unità di misura sono: 1 bar = 10 5 Pa 1 atm = 1,013 10 5 Pa = 1,013 bar 1 atm = 760 mmhg 1 torr = 1 mmhg = 1/760 atm
Densità ρ = La densità dei solidi e dei liquidi dipende dalla temperatura ed è pressochè costante al variare della pressione. Normalmente ρ diminuisce al crescere della temperatura T perchè un aumento di T comporta un aumento di volume. m V Unità: kg/m 3 o g/cm 3 1 g/cm 3 = 1000 kg/m 3 ρ ρ 3 H = 1000 kg/m = 2 O Aria = 3 1.29 kg/m 1g/cm 3 a T=4 0 C a T=0 0 C e p= 1 atm Peso specifico: mg [kg m -2 s -2 = N/m 3 ] σ = = ρg V
I FLUIDI: LIQUIDI E GAS Idrostatica: fluidi fermi Idrodinamica: fluidi in moto Definizione di fluido: mezzo continuo senza forma propria ma che si adatta a quella del recipiente che lo contiene. Può essere nella fase liquida (es. acqua) o gassosa (es. un gas). Anche se non possiede una forma propria, una massa M di fluido possiede un volume V. Differenze principali tra solidi, liquidi e gas: il libero cammino medio: le particelle che costituiscono i fluidi sono libere di muoversi, nei solidi sono legate tra loro a formare un reticolo cristallino la compressibilità: se esercito una forza su un corpo rigido non ottengo una variazione di volume V. Su un fluido sì. Per i liquidi V è piccolo, per i gas è grande.
Altra caratteristica del fluido è di esercitare la forza nella direzione perpendicolare ad una qualunque superficie toccata dallo stesso. F =0 altrimenti il liquido si muoverebbe a causa di F F =0 Esempi: l acqua contenuta in una bottiglia esercita una forza verso l esterno normale alla parete della stessa; l acqua del mare esercita sui pesci una forza diretta verso l interno del corpo; l'aria esercita su di noi una forza diretta verso l interno del nostro corpo.
I FLUIDI: LIQUIDI E GAS Descrizione macroscopica Poichè il fluido è un mezzo continuo senza forma propria, per descriverne il comportamento fisico dal punto di vista macroscopico è opportuno considerare volta per volta elementi di volume V a forma di parallelepipedo ed analizzare le forze che agiscono su di esso. P=forza peso F V =forze che agiscono su facce verticali F L =forze che agiscono su facce laterali P
In un qualsiasi elemento di liquido le condizioni di equilibrio comportano che le forze laterali F L = p S siano uguali, cioè: F =F p S =p S Se scelgo la forma di parallelepipedo allora sarà: S = S da cui p =p Idrostatica F y F y+dy F 1 P=mg F 2 Di conseguenza, la pressione in un fluido in equilibrio ha gli stessi valori nei punti alla stessa distanza dalla superficie libera
Le forze verticali sono in equilibrio se si ha F 1 + mg = F 2 quindi p 1 S+mg = p 2 S Legge di Stevino poichè m=ρv=ρs(y 2 -y 1 ) p 1 S+ ρs(y 2 -y 1 ) g = p 2 S p 2 -p 1 =ρg(y 2 -y 1 ) y 2 =y+dy F 1 P=mg y 1 =y Se y 1 = 0, y 2 =h p 1 p 0, p 2 p F 2 p=p 0 +ρgh o anche dp/dy = -ρg Di conseguenza, la pressione in un fluido in equilibrio non dipende dalla forma del contenitore ma solo dalla profondità p = p 0 + ρgh (pressione esterna e idrostatica). Due punti si trovano a diversa altezza nel fluido la pressione sarà maggiore nel punto di profondità maggiore, inoltre in due punti che si trovano alla stessa altezza nel fluido la pressione è la stessa.
La legge di Stevino spiega perché è consuetudine misurare le pressioni tramite altezze di fluidi: cmh 2 O, mmhg, p= ρ g h 1 cmh 2 O 10 3 kg/m 3 10 m/s 2 10-2 m= 100 Pa 1 mmhg 13.3 10 3 kg/m 3 10 m/s 2 10-3 m=133 Pa La pressione IDROSTATICA gioca un ruolo non trascurabile anche nei sistemi biologici. Se assumiamo che la densità del sangue sia pari a quella dell acqua: 50 cm P CUORE = 100 mmhg 120 cm p capo = 100 mmhg- 50 100/133 = 63 mmhg Legge di Stevino p piedi = 100 mmhg+ 120 100/133 = 190 mmhg
Problema Calcolare la pressione in una piscina piena d acqua (10 3 kg/m 3 ) alla profondità di 2 m. Soluzione: non appena conosciamo il valore della pressione in un punto della piscina, potremo applicare la legge di Stevino. Questo punto è la superficie dove l acqua è in contatto con l aria (altro fluido). Quindi sulla superficie la pressione è pari alla pressione atmosferica p o = 1,013 10 5 Pa. A due metri di profondità la pressione è di conseguenza: p = p o + ρgh = 1,013 10 5 Pa + 10 3 kg/m 3 9.8 m/s 2 2 m = 1.21 10 5 Pa Si noti che ogni 10 metri di profondità la pressione nell acqua aumenta di 1 atmosfera.
Misura della pressione Barometro a tubo aperto Barometro a mercurio
Principio di Pascal La legge di Pascal dice che una variazione di pressione p in un fluido incompressibile si trasmette inalterata a tutti i punti del fluido (e alle pareti del recipiente che lo contiene), qualunque sia la loro profondità: se p 0 = p 0 + p, si ha p = p 0 + p + ρgh. La pressa idraulica è un applicazione. p 1 F 2 p 2 F 1 S 1 S2 p 1 = p 2 quindi F S 1 1 F S 2 2 quindi Quindi se S 2»S 1 basta una piccola F 1 per ottenere F 2 molto grande = F 2 = F 1 S S 2 1
Principio di Archimede Galleggiamento dei corpi F S P F S P F S P Un elemento di fluido è in equilibrio perche` il suo peso è bilanciato da una forza di spinta uguale e contraria F S = P = mg = ρ f Vg. Un corpo immerso nel fluido è soggetto ad una spinta F s verso l alto pari al peso del volume di fluido spostato. Un corpo di galleggia se P + F s 0 e quindi se la sua densità ρ è minore di quella ρ f del fluido in cui è immerso (es. legno in acqua), altrimenti (se P + Fs 0 e quindi ρ ρ f ) affonda (es. pietra in acqua).
Galleggiamento dei corpi La parte emersa del galleggiante si ottiene eguagliando la spinta dovuta al liquido spostato dalla parte immersa F s = ρv*g al peso del corpo P= ρ'vg dove V* è il volume della parte immersa Problema Sapendo che un blocco di ghiaccio immerso in acqua galleggia e che la frazione del volume che rimane immersa è il 92%, calcolare la densità del ghiaccio ρ gh. Soluzione: posto V il volume del blocco di ghiaccio, l equilibrio delle forze a cui è soggetto si può scrivere come la somma vettoriale della forza peso e della spinta di Archimede generata dalla parte di ghiaccio immersa nell acqua P + F s = 0. V ρ V ρv im g ρ gh Vg = 0 ρ gh = im = 1 g/cm 3 0.92 = 0.92 g/cm 3
Esercizio: quale volume di elio (ρ He =0.179 kg/m 3 ) è necessario per per un pallone che deve sollevare 100 kg in aria (ρ Aria =1.29 kg/m 3 )? La spinta verso l alto è data dal peso del fluido (aria) spostato: F A = m Aria g = ρ Aria V g La forza verso il basso è data dalla somma dei pesi del carico e dell elio F B = m He g + m carico g = ρ He V g + m carico g F A deve essere almeno pari a F B Per F A =F B, ρ Aria V g = ρ He V g + m carico g V = ρ m carico Aria ρ He
IDRODINAMICA Il flusso In generale la descrizione del movimento di un fluido è molto complicata: occorre definire un CAMPO VETTORIALE di VELOCITÁ che ad ogni punto (x,y,z) e ad ogni istante t associa un vettore v tangente alla direzione di movimento del fluido. Se il fluido attraversa A con velocità costante su tutta la superficie, e se v è perpendicolare ad A, Φ = va Noi considereremo per semplicità moti STAZIONARI, che cioè non variano nel tempo(v=cost in modulo, direzione, verso in ogni punto del condotto) e ASSIALI (in cui tutte le particelle si muovono nella medesima direzione lungo l asse del tubo).
IDRODINAMICA Linee di flusso Rappresentazione grafica del campo di velocità In ogni punto la velocità del flusso è tangente alla linea di flusso per quel punto. L intensità è proporzionale al numero di linee che attraversano una sezione trasversale Il concetto di flusso può essere esteso a qualunque campo vettoriale.
IDRODINAMICA Fluidi ideali Moto laminare v(t) = cost Il flusso non laminare è detto turbolento Fluido incomprimibile (ρ costante) Fluido non viscoso (non c è attrito) Un oggetto all interno del fluido non è soggetto a forze frenanti Flusso irrotazionale Se il flusso è irrotazionale, un oggetto posto in un punto non ruota attorno ad un asse passante per il suo centro di massa
IDRODINAMICA Portata Equazione di continuità: la massa m 1 che attraversa in un certo t una sezione S 1 del condotto è la stessa che attraversa nello stesso t qualunque altra sezione S 2. m = ρ V = ρ A 1 x 1 = ρ A 2 x 2 ρa 1 v 1 t = ρa 2 v 2 t da cui, dividendo per t, si ha A 1 v 1 = A 2 v 2. Legge della costanza della portata. Esprime il principio di conservazione della massa. La quantità di fluido che attraversa nell unità di tempo una qualunque sezione del condotto (portata), è costante (il fluido non si perde per strada!).
Portata volumica e massica Q = Sv = cost. (portata volumica) nel SI si misura in m 3 /s Q M = ρsv = cost. (portata massica) nel SI si misura in kg/s Nota bene Se S 1 = S 2 S 1 S 2 v 1 = v 2 Se S 2 < S 1 S 1 S 2 v 2 > v 1
Problema In un adulto normale a riposo, la velocità media del sangue attraverso l'aorta è v = 0.33 m/s. Calcolare la portata attraverso un'aorta di r = 9 mm. Soluzione: Q = Sv = πr 2 v = 3.14 (9 10-3 ) 2 m 2 0.33 m/s = 8.4 10-5 m 3 /s Dall'aorta il sangue fluisce nelle arterie maggiori, poi in quelle più piccole e infine nei capillari. Ad ogni stadio successivo ciascuno di questi vasi si divide in molti vasi più piccoli e il flusso di sangue si ripartisce fra questi in modo che la portata totale sia costante. Se conosciamo la sezione complessiva di tutte le arterie S arterie e di tutti i capillari S capillari dovrà valere la relazione: Q = S arterie v arterie = S capillari v capillari Pertanto il sangue si muove più lentamente verso la periferia perché la sezione complessiva dei vasi sanguigni è maggiore.
Teorema di Bernoulli: conservazione dell energia nei fluidi ideali in moto stazionario in un condotto La forza F 1 =p 1 S 1 compie il lavoro L 1 = F 1 x 1 = p 1 S 1 x 1 = p 1 V sulla massa m (= ρv) nel volume V = S 1 x 1 La forza F 2 compie il lavoro L 2 = -F 2 x 2 = -p 2 S 2 x 2 = -p 2 V La forza di gravità compie L 3 = - U= -mg(h 2 -h 1 ) = -(ρv)g(h 2 -h 1 ) Il lavoro totale è L=L 1 +L 2 +L 3 L energia cinetica varia di E K = ½ m(v 22 -v 12 ) = ½ ρv(v 22 -v 12 ). F 2 v 1 S 2 h 2 x 1 h 1 F 1 m S 1 x2 v 2
Teorema di Bernoulli Applico il teorema dell energia cinetica L= K e, dividendo i termini per V, ottengo: p 1 + ρgh 1 + ½ ρv 1 2 = p 2 + ρgh 2 + ½ ρv 22, ossia p + ρgh + ½ρv 2 = costante ½ρv 2 = energia cinetica per unità di volume (pressione cinetica) ρgh =energia potenziale gravitazionale dell unità di volume (pressione di gravità) p = pressione dinamica In regime stazionario, la somma dei tre termini deve rimanere costante per ogni sezione. Nota: fissato h, a v alte corrispondono p basse e viceversa Se il fluido è statico, v 1 =v 2 =0 p + ρgh = p o + ρ gy o p p 0 = ρg(y o -y) Legge di Stevino
Problema Calcolare la velocità v con cui l acqua inizia ad uscire dal foro di scarico di una vasca da bagno dove il livello iniziale dell acqua è h = 30 cm. Soluzione: dobbiamo applicare l equazione di Bernoulli sul punto 1) dello scarico ed in un altro punto 2) della vasca dove conosciamo il valore per p, v e h. Il punto 2) in questione è il livello superiore dell acqua dove p 2 = p, h 2 = h e v 2 = 0 perché non appena l acqua inizia a defluire dal fondo, quella posta sulla superficie è ancora praticamente ferma. Al punto 1) vale invece h 1 = 0, v 2 = v e p 1 = p o perché la superficie del fronte d acqua che sta uscendo dallo scarico si trova in diretto contatto con l atmosfera. Quindi: 2 2 p 1 + ρgh 1 + ½ ρv 1 = p 2 + ρgh 2 + ½ ρv 2 p o + ½ ρv 2 = p o + ρgh v = 2 2 2gh = 2 9.8m/s 30 10 m = 2.425 m/s 2 1 h
Applicazioni dell equazione di Bernoulli: Condotto orizzontale - Stenosi y 1 = y 2 L equazione di Bernoulli si riduce a: p 1 + ½ ρv 1 2 = p 2 + ½ ρv 2 2 Se A 2 <A 1 (restringimento) A1 A1 dall equazione di continuità v 2 = v v 2 > v 1 >1 1 A2 dall equazione di Bernoulli: p 2 = p 1 - ½ ρ(v 22 -v 12 ) p 2 < p 1 Stenosi tendenza ad un ulteriore restringimento In presenza di un stenosi la sezione dell arteria S 2 è minore di quella naturale S 1 e quindi la pressione sanguigna p 2 all altezza della stenosi sarà minore di quella naturale p 1. Pertanto, nel punto dove c'è la stenosi, l'arteria può occludersi completamente. A 2
Applicazioni dell equazione di Bernoulli: Aneurisma Dilatazione congenita o patologica di un arteria p 1 v 1 A 1 p 2 v 2 A 2 Se A 2 > A 1 (dilatazione) 1 1 A2 dall equazione di continuità: v 2 = v 2 < v 1 <1 dall equazione di Bernoulli: p 2 = p 1 - ½ ρ(v 22 -v 12 ) p 2 > p 1 < 0 La pressione sanguigna p 2 all altezza dell aneurisma sarà maggiore di quella naturale p 1. Pertanto, nel punto dove c'è l'aneurisma, può rompersi la parete dell'arteria. v A A A 1 2
Problema Un arteria di raggio r = 2.5 mm è parzialmente ostruita da una placca, per modo che il suo raggio effettivo in quel punto vale 1.8 mm e la velocità del sangue è di 50 cm/s. Soluzione: La velocità media del sangue dove l arteria non è ostruita vale: v π r 2 = v π r 2 v = v ( r / r ) 2 = 50 cm/s ( 1.8 mm/ 2.5 mm) 2 = = circa 26 cm/ s (perché non è necessario passare nel S.I.? )
Altre applicazioni del teorema di Bernoulli Le ali dell aereo e la portanza La pressione dell aria è maggiore dove la velocità è più alta, ovvero dove le linee di campo si addensano. L angolo di attacco e la superficie arrotondata dell ala costringono le linee di flusso verso l alto ad addensarsi sopra l ala. Sezione dell ala La pressione nella parte inferiore dell ala è dunque più grande, per cui la forza risultante sarà diretta verso l alto Per un angolo di attacco superiore a 15 0, il regime diventa turbolento, aumenta l attrito e diminuisce la forza verso l alto. L aereo in queste condizioni va in stallo e precipita.
Altre applicazioni del teorema di Bernoulli (II) Il tiro ad effetto Mettiamoci nel S.R. della palla La palla, colpita ad un lato, ruota su se stessa, trascinando con sè uno strato d aria a causa dell attrito Nel punto B l aria trascinata dalla palla si muove come l aria che arriva, aumentandone la velocità. In A avviene il contrario Dunque la velocità in B sarà più grande che in A. Al contrario, la pressione sarà più grande in A, dunque la traiettoria della palla si incurverà verso B
Liquidi reali Attrito interno Flusso di un liquido ideale in un condotto La velocità è la stessa in tutti i punti di una sezione normale di un condotto Liquido reale in un tubo capillare L attrito sulle pareti fa sì che gli strati di liquido aderenti alle pareti abbiano velocità nulla. La velocità degli strati cresce andando verso l esterno. Moto laminare Regime di Poiseuille
Liquidi reali -Viscosità Viscosità: La definizione più intuitiva è quella data da Newton: una mancanza di scorrevolezza tra strati adiacenti di un fluido che si muovono con velocità diversa F A = dv η dy ΔS dv/dy: gradiente di velocità F A : forza d attrito agente sulla superficie di area S, appartenente ad uno degli strati in movimento η: coefficiente di viscosità In un fluido reale c e`perdita di carico dovuta alla dissipazione di energia. A causa della presenza dell attrito nel movimento sarà infattispeso del lavoro.
Liquidi reali -Viscosità η coefficiente di viscosità [η] = [ml -1 t -1 ] La viscosità viene misurata in Pa s nel SI oppure in poise (P) nel sistema CGS (1 P = 0.1 Pa s) Viscosità di alcune sostanze Acqua (e plasma): η 0.01 P a 20 0 C Olii: η 1P 10 P a 20 0 C Olii lubrificanti: η grande e poco sensibile alla temperatura Pece, vetro: η>10 8 P
Legge di Hagen-Poiseuille Per mantenere in movimento un volume di fluido reale V che fluisce in un tempo t, è necessario fare un lavoro, occorre cioè mantenere una differenza di pressione fra i punti d ingresso e d uscita. Nel caso di un condotto cilindrico di raggio costante R e lunghezza L la portata del condotto è legata alla differenza di pressione p agli estremi del condotto dall equazione: V = π 8 ΔpR ηl 4 t V/t=Q Q = π 8 ΔpR ηl 4 Valida in regime laminare gli strati di fluido scorrono gli uni sugli altri parallelamente senza mescolarsi. Approssimazione valida nei fluidi viscosi quando la velocità è molto bassa, all'aumentare della velocità gli strati di fluido si mescolano tra loro in moto vorticoso regime turbolento.
Numero di Reynolds Per stabilire se un fluido reale in movimento possa essere considerato in regime laminare occorre calcolare il numero di Reynolds: N R = 2ρ v R η _ dove Q v = è la velocità media del fluido di densità ρ e 2 πr viscosità η nel condotto cilindrico di raggio R, e verificare che sia 1000 < N R. Per valori maggiori a 3000 il moto è sicuramente turbolento mentre per valori intermedi il regime è instabile.
Problema Approssimando l'aorta di un adulto a riposo come un cilindro lungo L= 30 cm di raggio R= 9 mm, si calcoli la caduta di pressione nel sangue quando attraversa l'aorta. Si assuma la viscosità del sangue η= 4.75 10-2 P e la portata del sangue nell aorta Q = 83 cm 3 /s. Soluzione: la caduta di pressione si ottiene applicando l equazione di Hagen-Poiseuille (passando al sistema SI): 3 8η LQ 8 4.75 10 Pa s 0.3m 83 10 Δp = = 3 4 πr π (9 10 m) 3 m /s 6 = 4 45.9Pa
Problema Calcolare il numero di Reynolds per il sangue che scorre con velocità media v=10 cm/s in un arteria di raggio R= 2 mm. Densità del sangue a 37 0 C ρ= 1.05 g/cm 3 e viscosità η = 4.75 10-2 P. Soluzione: è sufficiente applicare la definizione di N R : _ 2ρ v R η 2 3 1.05g/cm 10cm/s 4.75 10 P NR = = 2 Si tratta si un flusso laminare. 0.2cm 88
Problema Calcolare il numero di Reynolds nell ipotesi che nell arteria dell esercizio precedente sia presente una stenosi che riduca il raggio dell arteria a R = 2 mm. Soluzione: occorre anzitutto ricalcolare la velocità media del sangue nell ipotesi che la portata dell arteria sia costante: v π R 2 = v π R 2 v = v ( R / R ) 2 = 10 cm/s ( 2 mm / 0.2 mm) 2 = 10 3 cm/s e quindi applicare la definizione di N R _ ' R 2 NR = = 2 2ρ v η 3 3 1.05g/cm 10 cm/s 4.75 10 P 0.02cm 884 con flusso prossimo ad essere turbolento.
Il moto dei corpi nei fluidi reali Oltre alle forze peso e di Archimede, c è una forza resistente al moto del corpo nel fluido, il cui modulo e : F R = bv che si oppone al moto del corpo. La costante b e proporzionale alla viscosita e alle dimensioni del corpo. Per corpi sferici di raggio R questa forza è data da: F = 6πηRv (Legge di Sokes) Sedimentazione Un corpo (di densità ρ) in un fluido viscoso di densità ρ è in equilibrio idrostatico se il suo peso e` bilanciato dalle forze di spinta e di resistenza viscosa P= F S + F R, ossia se ρvg = ρ Vg + bv, da cui si ricava la velocità di sedimentazione v sedim Spinta di Archimede: F s = ρ Vg = V(ρ ρ b * )g Forza di attrito: F R = bv Forza peso: P = mg = ρvg
Centrifugazione Immaginiamo dei corpuscoli di forma sferica in sospensione in un liquido posto in una provetta in rotazione intorno ad un asse verticale con velocità angolare ω. La legge di Stevino si modifica per tener conto del termine di rotazione: p = p 0 + ρgh + ρω 2 R 2 /2. Il corpuscolo in sospensione ad una distanza R dall asse di rotazione è soggetto ad una forza centripeta F C = mv 2 /R = mω 2 R = ρ Vω 2 R. Si puo dimostrare che: v S = V(ρ ρ b * )ω 2 R Velocità di separazione per centrifugazione
Centrifughe v v S = sedim 2 ω R g Centrifughe: ω 600 s -1, R 10 cm, 2 ω R g 3.6 10 3 Ultracentrifughe: ω 10 5 minuti -1, a 10 6 g Usate per la separazione di corpuscoli con L < 1 µm(es. virus) e per lo studio del comportamento di sostanze macromolecolari.
Un esempio: la VES. La VELOCITA DI ERITROSEDIMENTAZIONE (VES) R = 3.5 µm d(glob)=1.0995 g/cm 3 d(plasma)=1.0265 g/cm 3 η= 0.01 cp v sedim = * V(ρ ρ )g 6π η R si trova una velocità di sedimentazione pari a v= 7 mm/h. La VES può aumentare di un ordine di grandezza in presenza di fatti patologici: ciò è legato all accresciuta concentrazione del fibrinogeno e delle globuline nel plasma che accrescono la tendenza degli eritrociti a formare rouleaux (sequenze di eritrociti che aderiscono l uno all altro) la cui velocità di sedimentazione è maggiore di quella delle singole particelle. Al contrario, l aumentata viscosità del plasma tenderebbe a ridurre la VES e non può quindi essere la causa dell osservato aumento della VES.
La misura della pressione arteriosa La misura non invasiva viene eseguita con lo sfigmomanometro di Riva-Rocci: intorno al braccio viene posto un manicotto gonfiabile, un manometro a mercurio permette di misurare la pressione di gonfiaggio. Il manicotto consente di esercitare una pressione tale da occludere l arteria brachiale. Quando la valvola viene rilasciata, la pressione decresce. Ponendo uno stetoscopio in prossimità del vaso è possibile percepire, per tutta la durata della compressione, dei rumori dovuti alle turbolenze del sangue (suoni di Korotkoff). La lettura del valore di pressione sul manometro quando tali suoni compaiono e scompaiono fornisce rispettivamente una misura della pressione sistolica e diastolica.