testi e soluzioni delle prove di esonero di Analisi Matematica II A.R. Sambucini Dipartimento di Matematica e Informatica Via Vanvitelli - 63 Perugia - Italy copyright by the author(s) document created on: aprile created from file: a-terni-esoneri.tex cover page automatically created with CoverPage.sty (available at your favourite CTAN mirror)
Indice. Analisi Matematica IIa - I test: Febbraio.............. Analisi Matematica IIa - II test: 8 Marzo............. Analisi Matematica IIa - I test: 9 Febbraio 3........... 5. Analisi Matematica IIa - II test: 7 Marzo 3............ 35. Analisi Matematica IIa - I test:5 Febbraio 4............. 45. Analisi Matematica IIa - II test: 8 Marzo 4............ 49. TEST (Terni) - Aprile 8.......................... 53. TEST (Orvieto) - 4 Aprile 8........................ 56.3 Test Orvieto - 9 Maggio 8.......................... 58.4 Test Terni - Maggio 8........................... 6.5 Test Orvieto - 3 Maggio 8.......................... 63.6 Terni - Giugno 8.............................. 65. - 3 Marzo 9................................. 67. 8 Aprile 9.................................. 7.3 III Test - 6 Maggio 9............................ 73. - 3 Marzo................................. 77. 4 Maggio.................................. 8.3 III Test - Giugno............................. 8. - 8 Ottobre................................ 85. 5 Novembre................................ 88.3 III Test - 6 Dicembre........................... 9. - 3 Marzo................................. 9
. Analisi Matematica IIa - I test: Febbraio Compito A Cognome Nome Matricola Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. Sia a numero lettere del nome, b numero delle lettere del cognome. ) Calcolare il seguente integrale: + ) Studiare massimi e minimi della funzione x(x + ) dx. f(x, y) x 4 + y 4 3(x y). 3) Studiare continuità, derivabilità direzionale e differenziabilità in (,) della funzione: x [ a ]+( )a y [ b 3 ] f(x, y) (x, y) (, ) x + y (x, y) (, ). 4) Studiare il comportamento in IR della serie ( ) n n+ n (n)! xn e calcolarne la somma.
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. dei Materiali e Gestionale A.A./ 3 Analisi Matematica Ia - I test: Febbraio Compito B A.A.- Cognome Nome Matricola Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. Sia a numero lettere del nome, b numero delle lettere del cognome. ) Calcolare il seguente integrale: + ) Studiare massimi e minimi della funzione x + dx. f(x, y) x 3 x y. 3) Studiare continuità, derivabilità direzionale e differenziabilità in (,) della funzione: x [ a ]+( )a y [ b 3 ] f(x, y) (x, y) (, ) x + y (x, y) (, ). 4) Studiare il comportamento in IR della serie n x n (n + 3)! e calcolarne la somma.
4 Analisi Matematica IIa - I test: Febbraio Compito C Cognome Nome Matricola Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. Sia a numero lettere del nome, b numero delle lettere del cognome. ) Calcolare il seguente integrale: + ) Studiare massimi e minimi della funzione x e x dx. f(x, y) x + y + x 3 y. 3) Studiare continuità, derivabilità direzionale e differenziabilità in (,) della funzione: x [ a ]+( )a y [ b 3 ] f(x, y) (x, y) (, ) x + y (x, y) (, ). 4) Studiare il comportamento in IR della serie n x n+ n + e calcolarne la somma.
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. dei Materiali e Gestionale A.A./ 5 Analisi Matematica IIa - I test: Febbraio Compito D Cognome Nome Matricola Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. Sia a numero lettere del nome, b numero delle lettere del cognome. ) Calcolare il seguente integrale: xe x dx. ) Studiare massimi e minimi della funzione f(x, y) log( + x + y ) 3xy. 3) Studiare continuità, derivabilità direzionale e differenziabilità in (,) della funzione: x [ a ]+( )a y [ b 3 ] f(x, y) (x, y) (, ) x + y (x, y) (, ). 4) Studiare il comportamento in IR della serie n ( ) n xn n! e calcolarne la somma.
6 Analisi Matematica IIa - I test: Febbraio Compito E Cognome Nome Matricola Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. Sia a numero lettere del nome, b numero delle lettere del cognome. ) Calcolare il seguente integrale: + ) Studiare massimi e minimi della funzione e x e x dx. f(x, y, z) y + z x + xy xz 4x. 3) Studiare continuità, derivabilità direzionale e differenziabilità in (,) della funzione: x [ a ]+( )a y [ b 3 ] f(x, y) (x, y) (, ) x + y (x, y) (, ). 4) Studiare il comportamento in IR della serie n (x ) n (n + )! e calcolarne la somma.
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. dei Materiali e Gestionale A.A./ 7 Analisi Matematica IIa - I test: Febbraio Compito F Cognome Nome Matricola Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. Sia a numero lettere del nome, b numero delle lettere del cognome. ) Calcolare il seguente integrale: / ) Studiare massimi e minimi della funzione x dx. f(x, y) x 4 6x y + y 4. 3) Studiare continuità, derivabilità direzionale e differenziabilità in (,) della funzione: x [ a ]+( )a y [ b 3 ] f(x, y) (x, y) (, ) x + y (x, y) (, ). 4) Studiare il comportamento in IR della serie ( ) n nx n e calcolarne la somma. n
8 Analisi Matematica IIa - I test: Febbraio Compito G Cognome Nome Matricola Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. Sia a numero lettere del nome, b numero delle lettere del cognome. ) Calcolare il seguente integrale: / ) Studiare massimi e minimi della funzione x log x dx. f(x, y) xye x y. 3) Studiare continuità, derivabilità direzionale e differenziabilità in (,) della funzione: x [ a ]+( )a y [ b 3 ] f(x, y) (x, y) (, ) x + y (x, y) (, ). 4) Studiare il comportamento in IR della serie n ( ) n n + n + xn e calcolarne la somma.
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. dei Materiali e Gestionale A.A./ 9 Analisi Matematica IIa - I test: Febbraio Compito H Cognome Nome Matricola Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. Sia a numero lettere del nome, b numero delle lettere del cognome. ) Calcolare il seguente integrale: + ) Studiare massimi e minimi della funzione x(log x) dx. f(x, y) xy e x4 y. 3) Studiare continuità, derivabilità direzionale e differenziabilità in (,) della funzione: x [ a ]+( )a y [ b 3 ] f(x, y) (x, y) (, ) x + y (x, y) (, ). 4) Studiare il comportamento in IR della serie n ( ) n n + (x )n e calcolarne la somma.
. Analisi Matematica IIa - II test: 8 Marzo Compito A ) Risolvere l equazione differenziale x y 4xy + 6y x e trovare le soluzioni che soddisfano la condizione y(). ) Calcolare il seguente integrale curvilineo direttamente e facendo uso del teorema di Stokes: (y + z)dx + (z + x)dy + (x + y)dz dove C è la curva intersezione del cilindro x + y y C e del piano x + y + z. 3) Dato Il( campo vettoriale F definito su A {(x, y) IR : x <, y < } dalla formula + x F (x, y) y, + y ) si dica se esso è irrotazionale e se è conservativo, calcolandone in x caso affermativo i potenziali. Infine si calcoli F ds dove γ è la poligonale chiusa di vertici (,), (-/, /), (/, /), (,). ) Si tratta di una equazioni differenziale lineare di Eulero. Per risolverla utilizziamo la sostituzione x e z. In tal caso y (x) dy dz dz y (x) d dx γ dx y (z) x, [ y (z) ] x x (y (z) y (z)) Sostituendo le espressioni delle derivate nell equazione differenziale di Eulero si ottiene una equazione differenziale lineare a coefficienti costanti: y (z) 5y (z) + 6y(z) e z. L equazione caratteristica associata all omogenea è data da α 5α + 6 che ammette come soluzioni α 3, α. L integrale generale dell equazione differenziale omogenea è dato pertanto da: y(z) c e z + c e 3z. Calcoliamo ora un integrale particolare dell equazione completa. Data la forma del termine generale e siccome α è soluzione dell equazione caratteristica cerchiamo soluzioni del tipo: y(x) aze z. Derivando due volte e sostituendo nell equazione differenziale si ottiene a e dunque l integrale generale dell equazione è dato da y(z) c e z + c e 3z ze z ; y(x) c x + c x 3 x ln x. Imponendo la condizione iniziale y() si ottiene c + c e dunque le soluzioni cercate sono date da: y(x) c x c x 3 x ln x.
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. dei Materiali e Gestionale A.A./ ) La proiezione del cilindro nel piano xy è la circonferenza di centro (, ) e raggio. Dunque la curva C intersezione del cilindro e del piano z x y ha equazioni paramentriche: x(t) cos t s : [, π] IR 3 s(t) y(t) + sin t z(t) cos t sin t Risolviamo l integrale direttamente: C π π (y + z)dx + (z + x)dy + (x + y)dz t [, π]. [ cos t( sin t) ( + sin t) cos t + ( + sin t + cos t)(sin t cos t)]dt [sin t cos t cos t + sin t]dt [ ] π sin t sin t cos t. Risolviamo ora l integrale facendo uso del Teorema di Stokes. La superficie S : T IR 3 è definita in forma implicita da x + y + z e l insieme di definizione T {(x, y) IR : x + y y }. Il campo vettoriale f (y + z, z + x, x + y). Calcoliamo il rotore di f. i j k rotf f x y z (,, ) y + z z + x x + y A questo punto possiamo già dire che l integrale cercato è nullo perché il prodotto scalare tra il vettore nullo ed un altro vettore fa zero. Calcoliamo lo stesso la normale alla superficie. Per fare questo parametrizziamo la superficie S. x(u, v) u r : y(u, v) v z(u, v) u v (u, v) T {(u, v) : u + v v}. Scriviamo ora la matrice delle derivate parziali prime di x, y, z rispetto ad u, v. ( x u y u z u x v x v x v ) ( Ne ricaviamo che il vettore (L, M, N) (,, ) e dunque il fattore locale di ingrandimento per aree r u r v 3 e n (,, ). Risulta: 3 S ( f) nds 3 T (,, ) (,, ) 3dudv ) C (y + z)dx + (z + x)dy + (x + y)dz C fds
3) L insieme A è convesso, X, Y C (A) dunque il campo vettoriale F è irrotazionale se e solo se è conservativo. Proviamo che non è irrotazionale. Risulta infatti: X + x y ( y) Y x + y ( x) Calcoliamo ora l integrale lungo la curva γ. Innanzitutto parametrizziamo la curva e definiamo il verso di percorrenza: C : { x(t) t y(t) t t { x(t) t ; C : y(t) t ; C 3 : { x(t) t y(t) t t. Risulta: γ F dr +Xdx + Y dy + C +Xdx + Y dy + C +Xdx + Y dy C 3 / + t t dt + 4 / [ln( + t) + ln( t)] / + 4 / ln(3/4) + 4 + ln(4) ln(3) + 4. ( + t)dt + [t + t ] / / / t dt + [ln( t)] /
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. dei Materiali e Gestionale A.A./ 3 Compito B ) Risolvere l equazione differenziale 3x y xy + y ln(x) e trovare le soluzioni che soddisfano la condizione y(). ) Calcolare il seguente integrale curvilineo direttamente e facendo uso del teorema di Stokes: ydx + zdy + xdz dove C è la curva intersezione del cilindro x + y e del piano x z. C 3) Si consideri il campo vettoriale F (x, y) definito su IR \ {(, )}. ( Ax + By x + y Cx + Dy, x + y Dire sotto quali condizioni su A, B, C, D il campo F è irrotazionale; ) con A, B, C, D IR, Dire sotto quali condizioni su A, B, C, D il campo F è conservativo ed in tal caso trovare i potenziali di F. ) Si tratta di una equazione differenziale di Eulero. Utilizziamo la sostituzione fornita nell esercizio N. del compito A. L equazione differenziale diventa: 3y (z) 4y (z) + y(z) z. L equazione caratteristica associata all omogenea è data da 3α 4α + che ammette come soluzioni α, α. L integrale generale dell equazione differenziale omogenea è 3 dato da y(z) c e3 z + c e z. Calcoliamo ora un integrale particolare dell equazione completa. Cerchiamo soluzioni del tipo: y(z) az + b, derivando due volte e sostituendo si ottiene a, b 4 e dunque y(z) c e3 z + c e z + z + 4 y(x) c 3 x + c x + 4 + ln x. Imponendo y() si ottiene c 3 + c + 4 + ln cioè c ( ln 3 c 3 ) e dunque le soluzioni cercate sono date da: y(x) c 3 x + x ( ln 3 c 3 ) + 4 + ln x. ) La proiezione del cilindro nel piano xy è la circonferenza di centro (, ) e raggio. Dunque la curva C intersezione del cilindro e del piano x z ha equazioni paramentriche: x(t) cos t s : [, π] IR 3 s(t) y(t) sin t t [, π]. z(t) cos t Risolviamo l integrale direttamente: π ydx + zdy + xdz [ sin t + cos t sin t cos t]dt C [ sin t + ] π cos t. 4
4 Risolviamo ora l integrale facendo uso del Teorema di Stokes. La superficie S : T IR 3 è definita in forma implicita da x z e l insieme di definizione T {(x, y) IR : x + y }. Il campo vettoriale f (y, z, x). Calcoliamo il rotore di f. i j k rotf f x y z y z x (,, ) Calcoliamo ora la normale alla superficie. Per fare questo parametrizziamo la superficie S. x(u, v) u r : y(u, v) v (u, v) T {(u, v) : u + v }. z(u, v) u Scriviamo ora la matrice delle derivate parziali prime di x, y, z rispetto ad u, v. ( ) ( ) x u y u z u x v x v x v Ne ricaviamo che il vettore (L, M, N) (,, ) e dunque il fattore locale di ingrandimento per aree r u r v e n (,, ). Risulta: S ( f) nds T (,, ) (,, ) dudv C ydx + zdy + xdz 3) La forma differenziale associata al campo vettoriale F è di classe C nel piano escluso l origine. Affinché il campo sia irrotazionale devono allora risultare uguali X y e Y x. Risulta X ( Bx By Axy ) y (x + y ) Y x ( Cx + Cy Dxy ) (x + y ) e dunque, per il principio di identità dei polinomi deve risultare: A D, B C. () Le componenti X, Y sono positivamente omogenee di grado α e il dominio di definizione non è semplicemente connesso. Non possiamo allora applicare i due teoremi che ci forniscono, sotto opportune condizioni, l equivalenza tra chiusura ed esattezza. Dobbiamo allora vedere direttamente per quali valori delle costanti la forma differenziale è esatta. Poiché X, Y sono di classe C nel loro dominio l esattezza implica la chiusura e dunque () deve essere verificata. Esaminiamo perciò la forma differenziale: C fds ω Ax + By x + y Bx + Ay dx + dy. () x + y
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. dei Materiali e Gestionale A.A./ 5 Già sappiamo da un esempio del libro di testo che se A la forma differenziale non è esatta (integrando lungo una circonferenza chiusa l integrale è diverso da zero) e dunque il campo vettoriale F non è conservativo. Facendo ora uso delle conseguenze di Green calcoliamo l integrale di ω sulla circonferenza γ centrata nell origine e avente raggio. γ ω π B [(A cos t + B sin t)( sin t) + ( B cos t + A sin t)(cos t)]dt π dt πb B. Qindi ω è esatta se e solo se B C, A D. Se avessimo calcolato direttamente un potenziale avremmo ottenuto le seguenti condizioni: per A, B U(x, y) U y Ax + By x + y dx A ln(x + y ) + B arctan( x y ) + g(y); Ay x + y x By y x + y + Bx + Ay g (y) Y. x + y (osserviamo che la funzione U però non è definita su R \ {(, )} ma solo in R \ {(x, )} e quindi non è una primitiva su tutto l insieme di definizione. Se invece A, B si ha: Ax U(x, y) x + y dx A ln(x + y ) + g(y); U y Ay x + y + g (y) Y Dunque un potenziale della forma differenziale () è dato da Ay x + y. U(x, y) A ln(x + y ) + B arctan( x y ) + c per ogni coppia A, B IR \ {} IR. Dunque il campo vettoriale F è irrotazionale quando A D, B C; il campo vettoriale F è conservativo quando A D, B C.
6 Compito C ) Risolvere l equazione differenziale 3x y + xy y ln(x) e trovare le soluzioni che soddisfano la condizione y(). ) Calcolare il seguente integrale curvilineo direttamente e facendo uso del teorema di Stokes: y dx + xydy + xzdx dove C è la curva intersezione del cilindro x + y y e del piano C ( ) y x y z. 3) Si consideri il campo vettoriale F (x, y) (x + y ), xy. Dire se (x + y ) F è irrotazionale, calcolare F ds dove γ è la circonferenza di centro l origine e raggio. γ Servendosi dei precedenti risultati dire se F è conservativo. ) Si tratta di una equazione differenziale di Eulero. Utilizziamo la sostituzione fornita nell esercizio N. del compito A. L equazione differenziale diventa: 3y (z) y (z) y(z) z. L equazione caratteristica associata all omogenea è data da 3α α che ammette come soluzioni α, α. L integrale generale dell equazione differenziale omogenea è 3 dato da y(z) c e 3 z + c e z. Cerchiamo ora una soluzione particolare del tipo y(z) az + b, derivando due volte e sostituendo si ottiene a, b e pertanto l integrale generale dell equazione differenziale è dato da: y(z) c e 3 z + c e z z +, y(x) c x /3 + c x + ln x. Imponendo la condizione y() si ottiene c c e dunque le soluzioni cercate sono date da: y(x) c x /3 + c x + ln x. ) La proiezione del cilindro nel piano xy è la circonferenza di centro (, ) e raggio. Dunque la curva C intersezione del cilindro e del piano z y ha equazioni paramentriche: x(t) cos t s : [, π] IR 3 s(t) y(t) + sin t t [, π]. z(t) + sin t Calcoliamo direttamente l integrale. π y dx + xydy + xzdz [( + sin t) ( sin t) + cos t( + sin t)]dt C π [ sin t sin 3 t sin t + cos t + cos t sin t]dt.
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. dei Materiali e Gestionale A.A./ 7 Per calcolare ora l integrale facendo uso del Teorema di Stokes calcoliamo il rotore del vettore f (y, xy, xz). i j k rotf f x y z (, z, y) y xy xz Poiché nei punti della superficie y z risulta: (L.M.N) (,, ) e dunque ( f) nds (, z, y) (,, ) dudv S T (z y) dudv y dx + xydy + xzdz 3) (i) F C (IR \ {(, )}), ed inoltre T C C fds X y (x, y) y(x + y ) (y x )(x + y )y (x + y ) 4 x y + y 3 4y 3 + 4yx 6x y y 3 (x + y ) 3 (x + y ) 3 Y y (x, y) y(x + y ) + xy(x + y )x (x + y ) 4 Quindi il campo vettoriale F è irrotazionale. yx y 3 + 8x y 6x y y 3 (x + y ) 3 (x + y ) 3 (ii) Si ha F ds γ π π ( (sin t cos t)( sin t) cos t sin t(cos t) ) dt π sin t(sin t cos t + cos t) dt sin t dt. (iii) Dai punti precedenti il campo vettoriale F risulta conservativo perché l integrale in (ii) è su un percorso chiuso, genralmente regolare, che allaccia il buco. Restringo il dominio a {(x, y) IR : x > } che è convesso. Allora se U(x, y) è una primitiva di F deve risultare: x U(x, y) Y (x, y) dy + ϕ(x) x + y + ϕ(x) e U(x, y) x X cioè ( ) x x x + y + ϕ(x) y x (x + y )
8 x + y x x + y + ϕ (x) y x (x + y ) da cui ϕ (x) e dunque ϕ c. x Inoltre U(x, y) risulta essere un potenziale sull intero piano bucato; l insieme x + y x dei potenziali è allora U(x, y) x + y + c.
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. dei Materiali e Gestionale A.A./ 9 Compito D ) Risolvere l equazione differenziale x y + xy + y ln(x) e trovare le soluzioni che soddisfano la condizione y(). ) Calcolare il seguente integrale curvilineo direttamente e facendo uso del teorema di Stokes: xdx + ydy + zdz dove C è la curva intersezione del cilindro x + y e del piano 4 C x + y + z. 3) Sia Ω {(x, y, z) IR 3 : y + z > }, e sia F (x, y) (y + z, z x, x y). Dire (y + z) se F è conservativo e, in caso affermativo, calcolarne i potenziali. ) Si tratta di una equazione differenziale di Eulero. Utilizziamo la sostituzione fornita nell esercizio N. del compito A. L equazione differenziale diventa: y (z) + 4y (z) + y(z) z y (z) y (z) y(z) z. L equazione caratteristica associata all omogenea è data da α α che ammette come soluzioni α +, α. L integrale generale dell equazione differenziale omogenea è dato da y(z) c e (+ )z + c e ( )z. Cerchiamo soluzioni del tipo y(z) az + b, derivando due volte e sostituendo si ottiene a, b e dunque l integrale generale dell equazione differenziale è dato da: y(z) c e (+ )z + c e ( )z z + y(x) c x + + c x + ln x. Imponendo la condizione iniziale y() si ottiene c c e dunque le soluzioni cercate sono date da: y(x) c x + ( + c )x + ln x. ) La proiezione del cilindro nel piano xy è la circonferenza di centro (, ) e raggio /. Dunque la curva C intersezione del cilindro e del piano z x y ha equazioni paramentriche: s : [, π] IR 3 s(t) x(t) cos t y(t) sin t t z(t) (cos t + sin t) [, π]. Risolviamo l integrale direttamente: π xdx + ydy + zdz [ 4 sin t cos t + 4 sin t cos t ( (cos t + sin t)) ( (cos t sin t)]dt C π [ (cos t + sin t) + 4 (cos t sin t)]dt [ ( sin t cos t) + 8 ] π sin t.
Risolviamo ora l integrale facendo uso del Teorema di Stokes. La superficie S : T IR 3 è definita in forma esplicita da z x y e l insieme di definizione T {(x, y) IR : x + y /4 }. Il campo vettoriale f (x, y, z). Calcoliamo il rotore di f. i j k rotf f x y z x y z (,, ) A questo punto possiamo già dire che l integrale cercato è nullo perché il prodotto scalare tra il vettore nullo ed un altro vettore fa zero. Calcoliamo lo stesso la normale alla superficie. Per fare questo parametrizziamo la superficie S. r : x(u, v) u y(u, v) v z(u, v) u v (u, v) T {(u, v) : u + v 4 }. Scriviamo ora la matrice delle derivate parziali prime di x, y, z rispetto ad u, v. ( ) ( ) x u y u z u x v x v x v Ne ricaviamo che il vettore (L, M, N) (,, ) e dunque il fattore locale di ingrandimento per aree r u r v 3 e n 3 (,, ). Risulta: S ( f) nds 3 T (,, ) (,, ) 3dudv 3) Il campo vettoriale F è irrotazionale, infatti: C xdx + ydy + zdz C fds X y (y + z) Y x, X z (y + z) Z x Y z (y + z) (y + z)(z x) y z + x (y + z) 4 (y + z) 3 Z y (y + z) (y + z)( x y) y z + x (y + z) 4 (y + z) 3 Inoltre, Ω è convesso, quindi il campo vettoriale F risulta conservativo. Per trovare i potenziali si prende per esempio (x, y, z ) (,, ) Ω U(x, y, z) x x X(t, y, z) dt + x y + z dt + x y + z + z y y ( z y + z Y (x, t, z) dt + y z (t + z) + dt + ) z z + c x y + z + Z(x, y, t) dt + c z [ ] x t dt + c + y + z [ ( z )] y + c t + z z y + z + c x z y + z + + c x z y + z + c
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. dei Materiali e Gestionale A.A./ Compito E ) Risolvere l equazione differenziale 6x y + y x 4 e trovare le soluzioni che soddisfano la condizione y(). ) Calcolare il seguente integrale curvilineo direttamente e facendo uso del teorema di Stokes: (y z)dx + (z x)dy + (x y)dz dove C è la curva intersezione del cilindro x + y y C e del piano y z. ( ) 3x 3) Sia D ], [ ], [ e sia F (x, y) (x + y y ), 3y x un campo vettoriale definito su D. Dire se F è irrotazionale e se è conservativo, calcolandone i potenziali in x y xy caso affermativo. ) Si tratta di una equazione differenziale di Eulero. Utilizziamo la sostituzione fornita nell esercizio N. del compito A. L equazione differenziale diventa: 6y (z) + 6y (z) + y(z) e 4z. L equazione caratteristica associata all omogenea è data da α α che ammette come soluzioni α, α. L integrale generale dell equazione differenziale omogenea è dato da y(z) c e z + c e z. Cerchiamo ora una soluzione del tipo y(z) ae 4z. Derivando due volte e sostituendo si ottiene a 6 e dunque l integrale generale dell equazione differenziale è dato da: y(z) c e z + c e z + 6 e4z y(x) c x + c x + 6 x4. Imponendo la condizione iniziale y() si ottiene c (c + ) e dunque le soluzioni 6 cercate sono date da: y(x) c x (c + 6 )x + 6 x4. ) Nel compito C abbiamo già parametrizzato la curva intersezione e la superficie S data dai punti del piano y z che sono contenuti nel cilindro x + y y. Abbiamo inoltre calcolato la normale alla superficie. Utilizzeremo pertanto questi risultati senza provarli di nuovo. Calcoliamo direttamente l integrale. π (y z)dx + (z x)dy + (x y)dz [( + sin t cos t) cos t ( + sin t cos t) cos t]dt. C Per calcolare ora l integrale facendo uso del Teorema di Stokes calcoliamo il rotore del vettore f (y z, z x, x y). i j k rotf f x y z (,, ) y z z x x y
Risulta: S ( f) nds (,, ) (,, ) dudv T (y z)dx + (z x)dy + (x y)dz fds C C 3) Il campo vettoriale F è irrotazionale, infatti: X y [y(3x y ) + (x + y )( y)]x y x (x + y )(3x y ) (x y) x y 3y 4 3x 4 x y Y x [x(3y x ) + (x + y )( x)]xy y (x + y )(3y x ) (xy ) x y 3y 4 3x 4 x y Inoltre, D è convesso, quindi il campo vettoriale F risulta conservativo. Per trovare i potenziali si prenda ad esempio (x, y ) (, ) D. U(x, y) x x x x y X(t, y ) dt + Y (x, t) dt + k x y (t + )(3t ) y (x + t )(3t x ) dt + dt + k t xt 3t 4 t + 3t y 3x t x 4 + 3t 4 t x dt + dt + k t xt (3t + t ) y ) dt + (x x3 t + 3t dt + k x [ t 3 + t + t x 3 + x + x ] x + 4 + x y + x 4 + y 4 xy [xt + x3 t + t3 x ] y + k + xy + x3 y + y3 x x x3 x + k + k (x + y ) xy + k
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. dei Materiali e Gestionale A.A./ 3 Compito F ) Risolvere l equazione differenziale x y y x e trovare le soluzioni che soddisfano la condizione y(). ) Calcolare il seguente integrale curvilineo direttamente e facendo uso del teorema di Stokes: zdx + xdy + ydz dove C è la curva intersezione del cilindro x + y x e del piano C x y + z. 3) Sia F il campo vettoriale definito su IR \{(, )} da F (x, y) x + y ( 3x 3 + xy, 3y 3 x y ). Dire se F è irrotazionale e se è conservativo, calcolandone i potenziali in caso affermativo. ) Si tratta di una equazione differenziale di Eulero. Utilizziamo la sostituzione fornita nell esercizio N. del compito A. L equazione differenziale diventa: y (z) y (z) y(z) e z. L equazione caratteristica associata all omogenea è data da α α che ammette come soluzioni α 3, α 4. L integrale generale dell equazione differenziale omogenea è dato da y(z) c e 3z + c e 4z. Calcoliamo ora un integrale particolare dell equazione completa. Cerchiamo soluzioni del tipo: y(z) ae z, e dunque y (z) y (z) y(z). Sostituendo la y e le sue derivate nell equazione differenziale si ottiene a e dunque l integrale generale dell equazione differenziale completa è dato da: y(z) c e 3z + c e 4z + ez. Applichiamo di nuovo la sostituzione x e z ed otteniamo l integrale generale dell equazione differenziale di partenza: y(x) c x 3 + c x 4 + x. Restano ora da calcolare le soluzione che soddisfano la condizione inizilae y(). Cioè c + c +. Ricaviamo c dalla equazione : c c e quindi sostituendo nell integrale generale si ottiene: ( ) y(x) c x 3 + c x 4 + x. ) La proiezione del cilindro nel piano xy è la circonferenza di centro (, ) e raggio. Dunque la curva C intersezione del cilindro e del piano z y x ha equazioni paramentriche: x(t) + cos t s : [, π] IR 3 s(t) y(t) sin t t [, π]. z(t) sin t cos t
4 Risolviamo l integrale direttamente: π zdx + xdy + ydz [(sin t cos t)( sin t) + ( + cos t) cos t + sin t(cos t + sin t)]dt C π π [ sin t + sin t + sin t cos t + cos t + cos t + sin t cos t + sin t]dt [sin t + sin t + cos t + cos t]dt π. Per calcolare ora l integrale facendo uso del Teorema di Stokes calcoliamo il rotore del vettore f (z, x, y). i j k rotf f x y z (,, ) z x y Calcoliamo ora la normale alla superficie. Per fare questo parametrizziamo la superficie S. x(u, v) u r : y(u, v) v (u, v) T {(u, v) : u + v u}. z(u, v) v u Scriviamo ora la matrice delle derivate parziali prime di x, y, z rispetto ad u, v. ( ) ( ) x u y u z u x v x v x v Ne ricaviamo che il vettore (L, M, N) (,, ) e dunque il fattore locale di ingrandimento per aree r u r v 3 e n (,, ). Risulta: 3 S ( f) nds (,, ) (,, ) 3dudv π 3 T zdx + xdy + ydz fds C 3) Si osserva che il campo vettoriale F ha componenti positivamente omogenee di grado α, perciò F è irrotazionale se e solo se è conservativo. Nel caso in cui è irrotazionale tutti i potenziali sono dati da xx + yy α + con α grado di omogeneità, ovvero da: ( 3 ) x 3x3 + xy x + y y 3y3 + x y + k x + y 3 + k, k IR C ( 3x 4 + x y 3y 4 x y x + y ) + k 3x 4 3y 4 3 x + y (x + y )(x y ) + k x + y x + y (x y ) + k.
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. dei Materiali e Gestionale A.A./3 5. Analisi Matematica IIa - I test: 9 Febbraio 3 Compito A Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. Sia a numero lettere del nome, b numero delle lettere del cognome. ) Calcolare il seguente integrale: π ) Studiare massimi e minimi della funzione sin a (x) cos b (x)dx. f(x, y) x ye x y. 3) Studiare il comportamento in IR della serie n sin(nx) n. ) L integrale è riconducibile alla funzione Beta. Poniamo a α, b β, risulta π Ad esempio se a 8, b 9 allora sin a (x) cos b (x)dx B(a +, b + ) a + b a+ b+ Γ( )Γ( ) Γ( a+b) Γ( a+ b+ )Γ( ) Γ( + a+b ) π sin 8 (x) cos 9 (x)dx Γ( 9)Γ(5) 7 7 Γ( 7 ) 7 4! Γ( 9 ) Γ( 7 ) 4 3 7 5 3 9. ) la funzione f è continua in tutto IR. I punti del tipo (, y) sono punti di non derivabilità parziale (rispetto alla x) per la funzione a causa di x. Nell origine il gradiente si annulla, come si può vedere calcolando i limiti dei rapporti incrementali; inoltre la funzione è differenziabile in (, ), infatti: lim r r cos t sin t e t r uniformemente in t. Il segno della funzione f è rappresentato dalla figura: lim r re t,
6 Dunque, dal segno della f si ottiene immediatamente che i punti del tipo (, y) con y > sono punti di minimo relativo, mentre i punti del tipo (, y) con y < sono punti di massimo relativo. Osserviamo poi che f(x, y) f( x, y) e che f(x, y) f(x, y), questo ci permette di studiare la nostra funzione solo nel primo quadrante. Calcoliamo ora le derivate parziali prime della funzione f quando x >, y >. f x(x, y) ye x y ( x ) f y(x, y) xe x y ( y ) Il gradiente di f si annulla in IR + IR + solo nei punti (, ) e ( /, /); il primo va pero escluso perché non è interno al quadrante considerato e comunque, anche se in (, ) le derivate prime si annullano dallo studio del segno possiamo dedurre che nell origine non c è né un massimo né un minimo. Il punto (, ) è un punto sella. Studiamo ora le derivate seconde. Osserviamo che f è di classe C e dunque le derivate seconde miste coincidono. f xx(x, y) xye x y (x 3) f xy(x, y) e x y ( x y + 4x y ) f yy(x, y) xye x y (y 3) e dunque H( /, /) ( /e /e ) +4/e >, /e < e dunque il punto ( /, /) è di massimo relativo. Per quanto visto prima anche ( /, /) è di massimo relativo mentre (± /, /) sono di minimo relativo. Il grafico della funzione f nel rettangolo [, ] [, ] è rappresentato dalla seguente figura:
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. dei Materiali e Gestionale A.A./3 7 3) La serie data non converge totalmente su IR perché la serie n sup IR sin(nx) n n n +. Siccome sin(nx) è una funzione periodica di periodo π, basta studiare il comportamento della serie in [, π]. In x, π il termine generale della serie è nullo e dunque la serie converge a zero. Se < x < π esisteranno a, b : < a x b < π. Nell intervallo [a, b] sono verificate le ipotesi del criterio di Dirichlet e dunque la serie converge in x. Ricapitolando, la serie converge puntualmente su tutto [, π] e dunque su tutto IR. Sempre per il criterio di Dirichlet, la serie converge uniformemente in ogni intervallo del tipo [a, b] con a >, b < π. In generale la serie converge uniformemente in ogni intervallo che non contiene multipli pari di π. Proviamo ora che la serie non converge uniformemente su tutto IR. (questa dimostrazione non veniva richiesta nel compito ma è inserita per completezza). Ragioniamo per assurdo e supponiamo che la serie converga uniformemente, allora, per il criterio di Cauchy, ε >, m IN : n > m, p IN, x IR sin(n + )x sin(n + )x sin(n + p)x + + + ε. (3) n + n + n + p Scegliamo allora n k > m, p k, x k+. Risulta e dunque k + k + < k + k + < 3k k + < π < sin() < sin( k + k + ) < < sin( 3k k + ).
8 Pertanto, da (3) Ma ε sin() sin[(k + )/(k + )] sin[(3k)/(k + )] + + + k + k + 3k ( sin() + + + ) sin() k k sin() k + k + 3k 3k 3 lim sin() k/3 + k e dunque la precedente disuguaglianza è assurda.
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. dei Materiali e Gestionale A.A./3 9 Analisi Matematica IIa - I test: 9 Febbraio 3 Compito B Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. Sia a numero lettere del nome, b numero delle lettere del cognome. ) Calcolare il seguente integrale: π ) Studiare massimi e minimi della funzione sin a (x) cos b (x)dx. f(x, y) x y e x y. 3) Studiare il comportamento in IR della serie n cos(nx) n 3. ) vedi compito A ) la funzione f è continua in tutto IR. I punti del tipo (x, ) sono punti di non derivabilità parziale (rispetto alla y) per la funzione a causa di y. Nell origine il gradiente si annulla, come si può vedere calcolando i limiti dei rapporti incrementali; inoltre la funzione è differenziabile in (, ), infatti: lim r r cos t sin t e t r uniformemente in t. Il segno della funzione f è rappresentato dalla figura: lim r re t, Dunque, dal segno della f si ottiene immediatamente che i punti del tipo (x, ) con x > sono punti di minimo relativo, mentre i punti del tipo (x, ) con x < sono punti di massimo relativo.
3 Osserviamo poi che f(x, y) f(x, y) e che f(x, y) f( x, y), questo ci permette di studiare la nostra funzione solo nel primo quadrante. Calcoliamo ora le derivate parziali prime della funzione f quando x >, y >. f x(x, y) ye x y ( x ) f y(x, y) xe x y ( y ) Il gradiente di f si annulla in IR + IR + solo nei punti (, ) e ( /, /); il primo va pero escluso perché non è interno al quadrante considerato e comunque, anche se in (, ) le derivate prime si annullano dallo studio del segno possiamo dedurre che nell origine non c è né un massimo né un minimo. Il punto (, ) è un punto sella. Studiamo ora le derivate seconde. Osserviamo che f è di classe C e dunque le derivate seconde miste coincidono. e dunque f xx(x, y) xye x y (x 3) f xy(x, y) e x y ( x y + 4x y ) f yy(x, y) xye x y (y 3) H( /, /) ( /e /e ) +4/e >, /e < e dunque il punto ( /, /) è di massimo relativo. Per quanto visto prima anche ( /, /) è di massimo relativo mentre ( /, ± /) sono di minimo relativo. Il grafico della funzione f nel rettangolo [, ] [, ] è rappresentato dalla seguente figura: 3) Sia L n n 3. Risulta cos(nx) L n 3 n per ogni n per ogni x IR, inoltre n L n converge. Dunque la serie data converge totalmente su tutto IR e dunque converge anche assolutamente, uniformemente e puntualmente.
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. dei Materiali e Gestionale A.A./3 3 Analisi Matematica IIa - I test: 9 Febbraio 3 Compito C Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. Sia a numero lettere del nome, b numero delle lettere del cognome. ) Calcolare il seguente integrale: π ) Studiare massimi e minimi della funzione sin a (x) cos b (x)dx. f(x, y) xy e x y. 3) Studiare il comportamento in IR della serie n cos(nx). n! ) vedi compito A la funzione f è continua in tutto IR. I punti del tipo (x, ) sono punti di non derivabilità parziale (rispetto alla y) per la funzione a causa di y ; punti del tipo (, y) sono punti di non derivabilità parziale (rispetto alla x) per la funzione a causa di x. Nell origine il gradiente si annulla, come si può vedere calcolando i limiti dei rapporti incrementali; inoltre la funzione è differenziabile in (, ), infatti: lim r r cos t sin t e t r uniformemente in t. Il segno della funzione f è rappresentato dalla figura: lim r re t, Dunque, dal segno della f si ottiene immediatamente che i punti del tipo (x, ), (, y) sono punti di minimo assoluto.
3 Osserviamo poi che f(x, y) f(x, y) f( x, y), questo ci permette di studiare la nostra funzione solo nel primo quadrante. Calcoliamo ora le derivate parziali prime della funzione f quando x >, y >. f x(x, y) ye x y ( x ) f y(x, y) xe x y ( y ) Il gradiente di f si annulla in IR + IR + solo nei punti (, ) e ( /, /); il primo va pero escluso perché non è interno al quadrante considerato. Studiamo ora le derivate seconde. Osserviamo che f è di classe C e dunque le derivate seconde miste coincidono. e dunque f xx(x, y) xye x y (x 3) f xy(x, y) e x y ( x y + 4x y ) f yy(x, y) xye x y (y 3) H( /, /) ( /e /e ) +4/e >, /e < e dunque il punto ( /, /) è di massimo relativo. Per quanto visto prima anche (± /, ± /) sono di massimo relativo. Il grafico della funzione f nel rettangolo [, ] [, ] è rappresentato dalla seguente figura: 3) Sia L n n!. Risulta cos(nx) n! L n per ogni n per ogni x IR, inoltre n L n converge (si può vedere usando il criterio del rapporto). Dunque la serie data converge totalmente su tutto IR e dunque converge anche assolutamente, uniformemente e puntualmente.
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. dei Materiali e Gestionale A.A./3 33 Analisi Matematica IIa - I test: 9 Febbraio 3 Compito D Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. Sia a numero lettere del nome, b numero delle lettere del cognome. ) Calcolare il seguente integrale: π ) Studiare massimi e minimi della funzione sin a (x) cos b (x)dx. f(x, y) x y e x y. 3) Studiare il comportamento in IR della serie n sin(nx) n. ) vedi compito A ) la funzione f è continua in tutto IR. I punti del tipo (x, ) sono punti di non derivabilità parziale (rispetto alla y) per la funzione a causa di y. Nell origine il gradiente si annulla, come si può vedere calcolando i limiti dei rapporti incrementali; inoltre la funzione è differenziabile in (, ), infatti: lim r r 3 cos t sin t e t r uniformemente in t. Il segno della funzione f è rappresentato dalla figura: lim r r e t, Dunque, dal segno della f si ottiene immediatamente che i punti del tipo (x, ), (, y) sono punti di minimo assoluto. Osserviamo poi che f(x, y) f(x, y) f( x, y), questo ci permette di studiare la nostra
34 funzione solo nel primo quadrante. Calcoliamo ora le derivate parziali prime della funzione f quando x >, y >. f x(x, y) xye x y ( x ) f y(x, y) x e x y ( y ) Il gradiente di f si annulla in IR + IR + solo nei punti (, ) e (, /); il primo va pero escluso perché non è interno al quadrante considerato. Studiamo ora le derivate seconde. Osserviamo che f è di classe C e dunque le derivate seconde miste coincidono. e dunque H(, /) f xx(x, y) ye x y ( 5x + x 4 ) f xy(x, y) xe x y ( x y + 4x y ) f yy(x, y) x ye x y (y 3) ( /e 3/ /e 3/ ) +8/e 3 >, /e 3/ < e dunque il punto (, /) è di massimo relativo. Per quanto visto prima anche (±, ± /) sono di massimo relativo. Il grafico della funzione f nel rettangolo [, ] [, ] è rappresentato dalla seguente figura: 3) Sia L n n. Risulta sin(nx) n L n per ogni n per ogni x IR, inoltre n L n converge. Dunque la serie data converge totalmente su tutto IR e dunque converge anche assolutamente, uniformemente e puntualmente.
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. dei Materiali e Gestionale A.A./3 35. Analisi Matematica IIa - II test: 7 Marzo 3 Compito A Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. ) Dire se la forma differenziale ω y x dx + (y + x y )dy è esatta e, in caso affermativo, calcolare la classe delle sue primitive. ) Integrare il seguente sistema di equazioni differenziali: { u u 3v e t v u + v sin(t) 3) Calcolare il seguente integrale (y x )dxdy E dove E {(x, y) IR : x, y x }. ) Si tratta di una forma differenziale lineare definita in D IR + IR + IR IR. Le funzioni X y x, Y y + x y sono di classe C (D).Inoltre X y 4 xy Y x. Dunque la forma differenziale lineare è chiusa e, ad esempio in IR + IR + (che è un convesso) è anche esatta. In tale insieme la classe delle primitive è data da: F (x, y) X(x, y)dx y x dx + g(y) xy + g(y) F y(x, y) x y + g (y) x y + y. La classe delle primitive si calcola analogamente in IR IR e dunque F (x, y) { + xy + y + c x >, y > xy + y + c x <, y < è tale che: F x X, F y Y per ogni (x, y) D, pertanto la forma differenziale è esatta in tutto il dominio D. ) Dobbiamo risolvere il sistema lineare: { u u 3v e t v u + v sin(t)
36 Deriviamo la prima equazione rispetto a t e ricaviamo v e v dalla seconda e dalla prima equazione rispettivamente: u u 3v e t u u 3v e t { u v sin(t) + u v 3v 3 sin(t) u + 4u + e t 4u 3 sin(t) + 3e t v 3 (u u e t ) v 3 (u u e t v ) 3 (u u e t ) Risolviamo allora l equazione lineare a coefficienti costanti del secondo ordine: u 4u 3 sin(t) + 3e t. L equazione omogenea ha eq. caratteristica z 4 che ammette come soluzioni z ±, dunque l integrale generale dell eq. omogenea è dato da u(t) c e t + c e t. Cerchiamo una soluzione dell equazione u 4u 3 sin(t) del tipo u(t) a cos(t) + b sin(t). Derivando due volte e sostituendo si ottiene: 5a cos(t) 5b sin(t) 3 sin(t) e dunque a, b 3/5. Cerchiamo ora una soluzione dell equazione u 4u 3e t del tipo u(t) ate t. Derivando due volte e sostituendo si ottiene a 3/4. L integrale generale dell equazione completa è pertanto dato da u(t) c e t + c e t + 3 4 tet 3 5 sin(t). Deriviamo l integrale generale e calcoliamo l integrale generale della seconda equazione lineare (in v). u(t) c e t + c e t + 3 4 tet 3 5 sin(t) u (t) c e t c e t + 3 4 et + 3 tet 3 5 cos(t) v(t) 3 (u u e t ) { u(t) c e t + c e t + 3 4 tet 3 sin(t) 5 v(t) c 3 e t c e t et + 4 tet + sin(t) cos(t). 5 5 3) Trasformiamo l intergrale doppio in un integrale multiplo e poi integriamo: x (y x )dxdy dx (y x )dy E [ y ] x x y ( ( x ) dx [ x + ( x ) x ( ) x ) dx x + x ] x dx [ 5 5 x x + x ] x dx 5 5 [ ] x 3 x + x x 3 dx 5 5 3 x + x x dx
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. dei Materiali e Gestionale A.A./3 37 Calcoliamo ora x. Si ha, sostituendo x sin t, dx cos t x π π [ cos t sin t + t cos tdt ] π π ( π 4 + π 4 ) π. Infine calcoliamo x x dx. Eseguendo la stessa sostituzione precedente si ottiene x x dx 8 π π cos t sin tdt 4 [ t cos t sin t ] π π π π π 8. sin tdt 8 π π sin zdz In conclusione si ha E (y x )dxdy 5 5 3 π + π 8 3 7π 8.
38 Analisi Matematica IIa - II test: 7 Marzo 3 Compito B Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. ) Dire se la forma differenziale ω (3 xy 3 + x )dx + 3 x 3 ydy è esatta e, in caso affermativo, calcolare la classe delle sue primitive. ) Integrare il seguente sistema di equazioni differenziali: { u u v t v u v e t 3) Calcolare il seguente integrale (y + )dxdy E dove E {(x, y) IR : x, y x }. ) Si tratta di una forma differenziale lineare definita in D IR + IR +. Le funzioni X 3 xy 3 + x, Y 3 x 3 y sono di classe C (D ). Inoltre X y 9 xy Y x. Dunque la forma differenziale lineare è chiusa in D (che è un convesso) e dunque esatta. Calcoliamo ora la classe delle primitive: F (x, y) X(x, y)dx 3 xy 3 + dx + g(y) y 3 x 3 + x + g(y) x F y(x, y) 3 x 3 y + g (y) 3 x 3 y e dunque g(y) c. La classe delle primitive di ω in D è data da F (x, y) x 3 y 3 + x + c ) Dobbiamo risolvere il sistema lineare: { u u v t v u v e t Deriviamo la prima equazione rispetto a t e ricaviamo v e v dalla seconda e dalla prima equazione rispettivamente: u u v v e t + u + v v u u t u u v v e t + u t v u u t { u 3u t + e t v (u u t)
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. dei Materiali e Gestionale A.A./3 39 Risolviamo allora l equazione lineare a coefficienti costanti del secondo ordine: u 3u t + e t. L equazione omogenea ha eq. caratteristica z 3z che ammette come soluzioni z, z 3, dunque l integrale generale dell eq. omogenea è dato da u(t) c + c e 3t. Cerchiamo una soluzione dell equazione u 3u t del tipo u(t) at +bt+c. Derivando due volte e sostituendo si ottiene: a 6at 3b t e dunque a /3, b /9. Cerchiamo una soluzione dell equazione u 3u e t del tipo u(t) ae t. Derivando due volte e sostituendo si ottiene: ae t e t e dunque a. L integrale generale dell equazione completa è pertanto dato da u(t) c + c e 3t + 3 t 9 t et. Deriviamo l integrale generale e calcoliamo l integrale generale della seconda equazione lineare (in v). u(t) c + c e 3t + 3 t 9 t et u (t) 3c e 3t + 3 t 9 et v(t) (u u t) { u(t) c [ + c e 3t + 3 t t 9 et v(t) 3c e 3t + t 3 9 et c c e 3t 3 t + t + 9 et t ] { u(t) c + c e 3t + 3 t 9 t et v(t) c e 3t 6 t 9 t 8 c. 3) Trasformiamo l intergrale doppio in un integrale multiplo e poi integriamo: E (y + )dxdy dx x (y + )dy [ ] y x + y dx [ ( x ) + ] x dx ( 4 + ( x ) 4 x + ) x dx x ( + x + ) x dx ( ) 9 x 3 x dx 9 [ ] x 3 3 x dx 3 9 3 3 x dx.
4 Calcoliamo ora x. Si ha, sostituendo x sin t, dx cos t x π π cos tdt [ cos t sin t + t ] π π ( π 4 + π 4 ) π. Si ha allora E (y + )dxdy 9 3 3π 6 3 3π.
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. dei Materiali e Gestionale A.A./3 4 Analisi Matematica IIa - II test: 7 Marzo 3 Compito C Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. ) Dire se la forma differenziale ω + y dx + log( + x)dy + x è esatta e, in caso affermativo, calcolare la classe delle sue primitive. ) Integrare il seguente sistema di equazioni differenziali: { u u + v sin(t) v u + v t 3) Calcolare il seguente integrale E + y dxdy dove E {(x, y) IR : x, y x }. ) Si tratta di una forma differenziale lineare definita in D ], + [ IR. Le funzioni X + y + x, Y log( + x) sono di classe C (D). Inoltre X y + x Y x. La forma differenziale lineare è chiusa in D (che è un convesso) e dunque esatta. Calcoliamo ora la classe delle primitive: F (x, y) X(x, y)dx ( + y) dx + g(y) ( + y) log( + x) + g(y) + x F y(x, y) log( + x) + g (y) log( + x) e dunque g(y) c. Pertanto la classe delle primitive è data da: F (x, y) ( + y) log( + x) + c. ) Dobbiamo risolvere il sistema lineare: { u u + v sin(t) v u + v t Deriviamo la prima equazione rispetto a t e ricaviamo v e v dalla seconda e dalla prima equazione rispettivamente: { u + u cos(t) + sin(t) t v sin(t) + u u u u + v cos(t) v t + u v v sin(t) + u u u u + v cos(t) v sin(t) + u u v t sin(t) + u
4 Risolviamo allora l equazione lineare a coefficienti costanti del secondo ordine: u + u cos(t) + sin(t) t. L equazione omogenea ha eq. caratteristica z + z che ammette come soluzioni z, z, dunque l integrale generale dell eq. omogenea è dato da u(t) c + c e t. Cerchiamo una soluzione dell equazione u + u t del tipo u(t) at + bt + c. Derivando due volte e sostituendo si ottiene: a + at + b t e dunque a /, b, c qualsiasi (c ). Cerchiamo una soluzione dell equazione u + u cos(t) + sin(t) del tipo u(t) a cos(t)+b sin(t). Derivando due volte e sostituendo si ottiene: cos(t)[ a+b]+sin(t)[ a b] cos(t) + sin(t) e dunque a 3/, b /. L integrale generale dell equazione completa è pertanto dato da u(t) c + c e t t + t 3 cos(t) sin(t). Deriviamo l integrale generale e calcoliamo l integrale generale della seconda equazione lineare (in v). u(t) c + c e t t + t 3 cos(t) sin(t) u (t) c e t t + + 3 sin(t) cos(t) v(t) sin(t) + u u { u(t) c + c e t t + t 3 cos(t) sin(t) v(t) c e t t + t + c sin(t) cos(t) 3) Trasformiamo l intergrale doppio in un integrale multiplo e poi integriamo: E y + dxdy x dx y + dy [log y + ] x dx log x + dx log(3 x )dx Effettuiamo la sostituzione x sin t, dx cos t e poi integriamo per parti: log(3 x ) π π log(3 cos(t)) cos(t)dt [sin(t) log(3 cos(t)] π π log(3) π π sin (t) 3 cos(t) dt. π π sin (t) 3 cos(t) dt Calcoliamo ora questo ultimo integrale passando alla tangente dell arco metà e operando la sostituzione y tan(t/), dt dy. Quando x π/, y, mentre quando + y
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. dei Materiali e Gestionale A.A./3 43 x +π/, y +. log(3 x ) log(3) log(3) π π sin (t) 3 cos(t) dt 4y ( + y ) (y + ) dy. Si tratta ora di utilizzare la formula di Hermite per spezzare questo integrale. L integrale dato vale: log(3 x ) log(3) + 8 arctan( ) 3π.
44 Analisi Matematica IIa - II test: 7 Marzo 3 Compito D Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. ) Dire se la forma differenziale ω ( y xy)dx + x y dy è esatta e, in caso affermativo, calcolare la classe delle sue primitive. ) Integrare il seguente sistema di equazioni differenziali: { u u v t v + u v 3) Calcolare il seguente integrale E ( y)e x dxdy dove E {(x, y) IR : x, y x }. ) Si tratta di una forma differenziale lineare definita in D IR IR +. Le funzioni X y xy, Y x sono di classe y C (IR IR + ). La forma non è chiusa infatti: X y y x y Y x. Siccome il dominio D è convesso la forma non è esatta. ) Dobbiamo risolvere il sistema lineare: { u u v t v + u v Deriviamo la prima equazione rispetto a t e ricaviamo v e v dalla seconda e dalla prima equazione rispettivamente: u u v v v u v u 4u t + u u v v u 5u t + v u 4u t + Risolviamo allora l equazione lineare a coefficienti costanti del secondo ordine: u 3u + 5 u t. { u 3u + 5 u t v(t) u 4u t + L equazione omogenea ha eq. caratteristica z 3z+5/ che ammette come soluzioni z 3/ ± i/, dunque l integrale generale dell eq. omogenea è dato da u(t) c e 3t/ cos(t/) + c e 3t/ sin(t/).
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. dei Materiali e Gestionale A.A.3/4 45 Cerchiamo ora una soluzione particolare dell equazione completa del tipo u(t) at + b. Derivando e sostituendo si ottiene 3a + 5/at + 5/b t e dunque a /5, b 8/5, dunque l integrale generale dell equazione completa è dato da: u(t) c e 3t/ cos(t/) + c e 3t/ sin(t/) t/5 + 8/5. Deriviamo l integrale generale e calcoliamo l integrale generale della seconda equazione lineare (in v). u(t) c e 3t/ cos(t/) + c e 3t/ sin(t/) t/5 + 8/5 u (t) 3 c e 3/t cos(t/) c e 3t/ sin(t/) + 3 c e 3t/ sin(t/) + c e 3t/ cos(t/) 5 v(t) u 4u t + { u(t) c e 3t/ cos(t/) + c e 3t/ sin(t/) t/5 + 8/5 v(t) c e 3t/ [cos(t/) + sin(t/)] + c e 3t/ [cos(t/) sin(t/)] 5 t 5. 3) Trasformiamo l integrale doppio in un integrale multiplo e poi integriamo per parti: E ( y)e x dxdy e x dx x ( y)dy e x [ y y / ] x dx e [ x 3/ + x / ] dx [ 3/e x + x e x / xe x + e x] e 4/e. Analisi Matematica IIa - I test:5 Febbraio 4 Compito A Sia a numero lettere del nome, b numero delle lettere del cognome. ) Calcolare il seguente integrale: x( + x) dx. ) Sia f : R R definita da: x a y b (x, y) (, ) f(x, y) (x + y ) 5 (x, y) (, ). Studiare continuità, derivabilità e direzionale, differenziabilità nell origine. La funzione ammette piano tangente nell origine? Se si determinare la sua equazione. 3) Sia f la funzione definita da f(x) sup{sin x, }. Scrivere la sua serie di Fourier e studiarne tutti i tipi di convergenza. Obbligatorio Dato il numero complesso + i scriverlo in forma trigonometrica, calcolarne la norma o modulo e la radice quadrata.
46 ) La funzione integranda è continua e dunque integrabile in ogni intervallo [, t] con t ; è inoltre un infinitesimo di ordine 3/ > per x + e dunque risulta integrabile in senso generalizzato. Per calcolare il suo integrale effettuiamo la sostituzione x y, dx ydy, x [, t] y [, t ]. t dx lim x( + x) t dx lim x( + x) ] π. lim t [arctan(t ) π 4 ) Studiamo innanzitutto la continuità nell origine: lim (x,y) (,) t t x a y b r a+b (cos t) a (sin t) b lim (x + y ) 5 r r y t dy lim y( + y) t lim r r a+b (cos t) a (sin t) b. ( + y) dy Se a + b > allora la funzione r a+b (cos t) a (sin t) b è un infinitesimo per r uniforme in t e dunque se a + b > la funzione è continua nell origine. La funzione ammette derivate direzionali nell origine e f(, ) (, ) perché i rapporti incrementali rispetto alla x e alla y nell origine sono sempre nulli. Studiamo ora la differenziabilità. Se f è differenziabile allora deve risultare f(x, y) f(, ) + f(, ) (x, y) + ɛ(x, y) x + y x a y b (x + y ) 5 ɛ(x, y) x + y ɛ(x, y) x a y b (x + y ) 5+/ con ɛ infinitesima per (x, y) (, ). Passiamo a coordinate polari lim ɛ(x, y) lim (x,y) (,) r ra+b (cos t) a (sin t) b. Dunque f è differenziabile nell origine se e solo se a + b >, in tal caso f ammette anche derivate direzionali rispetto ad ogni direzione e f v (, ) f(, ) (v, v ) quando a + b >. Sempre per a + b > il piano di equazione z è tangente nell origine al grafico della superficie z f(x, y). Resta da studiare la derivabilità direzionale nell origine (in realtà solo per a + b ). Facciamolo utilizzando la definizione di derivata direzionale (e ricordiamo che se v è un versore allora v + v.) f(tv, tv ) f(, ) lim t t lim t t a+b v a v b t vv a b a + b a + b > in accordo con quanto visto sopra a + b <.