Applicazioni delle leggi della meccanica: moto armnico Discutiamo le caratteristiche del moto armonico utilizzando l esempio di una molla di costante k e massa trascurabile a cui è fissato un oggetto di massa m libero di muoversi su un piano orizzontale privo di attrito. Sia x = 0 la posizione della massa quando la molla è a riposo. All istante t = 0 la molla viene allungata di un tratto x 0 e poi viene rilasciata con velocità iniziale nulla v 0 (0) = 0. Sulla molla agisce una forza F = kx diretta in verso opposto a quello del vettore x che rappresenta l allungamento (o l accorciamento) rispetto alla lunghezza a riposo (la forza peso e la forza normale sono uguali ed opposte e non c è moto nella direzione y). F O x O x x Per la seconda legge della dinamica F = m a, il moto è regolato dall equazione kx = m d2 x dt 2 con la condizione iniziale x(0) = x 0 e v(0) = 0. Ogni volta che in un equazione si ha che la derivata seconda di una funzione è uguale a meno la funzione stessa, moltiplicata per una costante positiva (nel nostro caso la funzione è x(t) e la costante vale ω 2 k/m), la soluzione è un moto armonico x(t) = A cos(ωt + ϕ) con A e ϕ costanti che dipendono dalle condizioni iniziali.
La verifica è immediata: si calcola la derivata seconda della soluzione e si inserisce nell equazione, che risulta essere soddisfatta se ω = k/m (ω prende il nome di pulsazione). Si noti che [ω] = [T 1 ]. La presenza delle due costanti A e ϕ nella soluzione è dovuta al fatto che l equazione è un equazione differenziale di secondo grado. Queste costanti si determinano imponendo le condizioni iniziali. Dalla derivata di x(t) v(t) = dx = ωa sin(ωt + ϕ) dt Le condizioni iniziali sono: { x(0) = x0 x 0 = A cos ϕ v(0) = 0 0 = ωa sin ϕ Dalla seconda si ricava ϕ = 0 e quindi A = x 0. Sostituendo si trova k x(t) = x 0 cos( m t) Notiamo che x(t) è compreso nell intervallo [ x 0, x 0 ]: quindi x 0 è detta ampiezza dell elongazione della molla, mentre la constante ϕ è detta costante di fase. L energia cinetica e l energia potenziale del sistema sono: { U = 1 2 kx2 = 1 2 kx2 0 cos2 (ωt) K + U = 1 K = 1 2 mv2 = 1 2 mx2 0 ω2 sin 2 2 (ωt) kx2 0 l energia meccanica del sistema è costante nel tempo ed è proporzionale al quadrato dell ampiezza dell elongazione. Quando x = ±x 0 (cioè ωt = ±π), K = 0 e U è massima; quando x = 0 (cioè ωt = π/2), U = 0 e K è massima.
La soluzione è quindi data da una funzione periodica nel tempo con periodo T = 2π ω con ω = k/m = 2πν Ogni moto che si ripete ad intervalli regolari di tempo si chiama moto periodico. Se un corpo si muove avanti e indietro sullo stesso percorso il moto è detto oscillatorio. Si chiama periodo T di un moto oscillatorio l intervallo di tempo necessario per avere un oscillazione completa. La frequenza è il numero di oscillazioni nell unità di tempo (nel sistema SI in un secondo): ν = 1 T unità (SI)= Hertz (Hz) Esercizio: determinare la soluzione nel caso in cui all istante iniziale la massa m è nella posizione di equilibrio e le viene impartita una velocità iniziale v 0, cioè le condizioni iniziali sono: x(0) = 0 e v(0) = v 0. Soluzione: x(t) = v 0 ω cos(ωt π 2 ) = v 0 k ω sin(ωt), ω = m
Esempio: Pendolo semplice Il pendolo semplice è un sistema ideale formato da una massa puntiforme sospesa ad un filo inestensibile e privo di massa. Quando il pendolo viene spostato dalla sua posizione di equilibrio e lasciato andare compie delle oscillazioni su un piano verticale sotto l azione della forza di gravità. Il moto è oscillatorio e periodico. Sia L la lunghezza del filo e m la massa dell oggetto. Ad un fissato istante di tempo consideriamo il sistema di riferimento che ha come origine il punto occupato dall oggetto in quell istante, l asse x diretto come la tangente alla traiettoria, che è un arco della circonferenza di raggio L, e l asse y diretto come il filo. Indichiamo con θ l angolo che l asse y forma con la verticale. Spostando il pendolo dalla posizione di equilibrio θ = 0 alla posizione θ, il pendolo percorre un arco di traiettoria lungo s = Lθ. La componente lungo l asse x della seconda legge della dinamica è mg sin θ = ma t dove a t = Lα è l accelerazione tangenziale e α = d 2 θ/dt 2 è l accelerazione angolare. Possiamo semplificare questa equazione supponendo che θ sia molto piccolo così che sia possibile approssimare sin θ θ, dove θ è espresso in radianti, ottenendo mgθ = ml d2 θ dt 2
che è un equazione analoga a quella della molla. La legge oraria del moto è θ = θ 0 sin(ωt+ϕ) dove l ampiezza θ 0 e la fase ϕ sono costanti che dipendono dalle condizioni iniziali del moto. Il periodo T del moto è dato da T = 2π ω = 2π L g periodo delle piccole oscillazioni Lo spostamento lungo l arco di circonferenza è la velocità angolare e la velocità lineare s(t) = Lθ(t) = Lθ 0 sin(ωt + ϕ) dθ dt = ωθ 0 cos(ωt + ϕ) v(t) = ds dt = Ldθ dt = Lωθ 0 cos(ωt + ϕ) La velocità è massima quando il punto passa per la verticale ed è nulla agli estremi dell oscillazione, quando il moto si inverte. Esempio: Moto armonico smorzato Quando il moto di un oscillatore (pendolo semplice o molla) viene rallentato da una forza impressa dall esterno, si dice che l oscillatore e il suo moto sono smorzati. Consideriamo ad esempio un blocco di massa m appeso alla estremità libera di una molla di costante elastica k, sotto il blocco vi è un asta che termina con una pala (entrambe prive di massa) immersa in un liquido.
Il liquido esercita una forza frenante; lentamente, l ampiezza delle oscillazioni diminuisce e con essa l energia meccanica del sistema che si trasforma in energia termica del liquido. Supponiamo che la forza di smorzamento sia proporzionale alla velocità del blocco F sm = bv b è detta costante di smorzamento e dipende dalle caratteristiche del sistema (liquido, paletta in questo caso). Il segno indica che questa forza di oppone al moto. Trascurando per semplicità la forza di gravità l equazione del moto del blocco è bv kx = ma ponendo v = dx/dt e a = d 2 x/dt 2 si ottiene la cui soluzione è m d2 x dt 2 + bdx dt + kx = 0 x(t) = x m e bt/(2m) cos (ω sm t + ϕ) dove x m è l ampiezza dell oscillazione e ω sm è la pulsazione dell oscillatore smorzato ed è data da k ω sm = m b2 4m 2
Per b = 0 si ritrovano i risultati precedenti del moto non smorzato. Nel caso in cui ci sia smorzamento ma b << km si ha ω sm ω, mentre l ampiezza dell oscillazione diminuisce nel tempo in modo esponenziale: A x m e bt/(2m) Poichè l energia meccanica di un oscillatore è proporzionale all ampiezza dell oscillazione, se l oscillatore è smorzato l energia non è costante, ma diminuisce nel tempo.