Gioco equo 1. Introduzione Una delle situazioni più importanti in cui un giocatore può utilizzare le sue conoscenze probabilistiche è nel decidere se in un gioco è davvero conveniente giocare. Per far ciò il giocatore deve calcolare la sua attesa di vincita e compararla con quanto gli viene richiesto di pagare per partecipare al gioco. In generale, data una variabile casuale X (cioè per X sono possibili diversi valori che dipendono dal caso), con uscite x1, x2, xn, e rispettive probabilità di uscita p1, p2, pn, X = x! x!... p! p!... x! p! il valore atteso E(X) della variabile X (o la sua media) è la somma pesata delle uscite con i pesi dati dalle rispettive probabilità, ovvero! E X = x! Ad esempio, in un gioco G1 che prevede il lancio di una moneta non truccata, cioè avente uscite equiprobabili, ed in cui l uscita di T (testa) ci fa vincere 2 e l uscita di C (croce) ci fa perdere 3, possiamo descrivere tutto attraverso la variabile casuale!!! p! G! = 2 3 1 2 1 2 il cui valore atteso è E G! = 2!! 3!! =.5 Se la variabile X è un gioco con uscite casuali, nel quale le uscite identificano le somme vinte e perse a seconda dell uscita che si verifica e in cui le probabilità sono esattamente le probabilità di vincere o perdere tali somme, il valore atteso di X ha una grossa utilità perché permette di valutare la convenienza del gioco per un agente razionale. Definizioni. In generale, per un gioco X qualsiasi, diciamo che (a) il gioco è equo se il suo valore atteso E(X) è nullo (cioè E(X)=0); (b) il gioco è vantaggioso se E(X)>0; (c) il gioco è in perdita se E(X)<0. Ad esempio, il gioco G1 descritto sopra è un gioco in perdita. Consideriamo un altro gioco G2, consistente nel lancio di un dado non truccato, in cui l uscita di un numero dispari ci fa perdere 1, le uscite del 2 o del 4 ci fanno vincere 0.50, l uscita del 6 ci fa vincere 2. Il gioco G2 è equo? Il gioco di G2 può essere descritto con la seguente variabile casuale G! = 1 0.5 2 3 6 2 6 1 6 ed il valore atteso di G2 risulta essere E G! = 1! + 0.5! + 2! = 0, dunque il gioco è equo.!!!
Il valore atteso di una variabile rappresenta l aspettativa che si ha ad ogni uscita. Nel caso dei giochi in cui le uscite determinano le somme vinte o perse, il valore atteso identifica la somma che in media vinceremo o perderemo (a seconda che sia positiva o negativa) nella prossima uscita. Dunque un gioco equo è assolutamente bilanciato: le somme che si vincono e si perdono sono perfettamente equilibrate rispetto alle probabilità di vincita e perdita. Osservazione. Cosa accadrebbe giocando all infinito in un gioco in perdita? Accadrebbe che, per la legge dei grandi numeri (che attesta che all infinito le uscite tendono al valore teorico), l attività di gioco andrebbe incontro ad una sicura perdita. Analogamente, giocando all infinito in un gioco vantaggioso, si andrebbe incontro ad una sicura vincita. Nei giochi in cui vi è un gestore, che solitamente è denominato banco, la perdita del gioco viene chiamata margine del banco, ed è calcolata attraverso margine del banco = vincita effettiva vincita equa vincita effettiva 2. Come rendere un gioco equo Altro importante aspetto da considerare riguarda il calcolo della somma che occorre corrispondere in caso di vincita affinché un gioco sia equo. Per calcolare questa somma basta considerare la variabile casuale del gioco e assegnare un valore incognito all'uscita vincente. A questo punto, imponendo che il gioco sia equo (ovvero imponendo che il valore atteso sia nullo), si ottiene un equazione di primo grado ad una incognita dalla cui risoluzione otteniamo il valore cercato. Ad esempio, supponiamo di partecipare ad un gioco in cui si lancia una sola volta una moneta non truccata. Il costo di partecipazione al gioco è di 3 che costituiscono la puntata sulla faccia scelta. Ora supponiamo di voler conoscere quanto dovremmo corrispondere all'uscita vincente, ovvero nel caso la faccia scelta sia quella mostrata dalla moneta dopo il lancio. A tal fine, consideriamo una nuova variabile casuale G3, in cui abbiamo sostituito y al valore eventualmente vinto y 3 G! = 1 1 2 2 Ora imponiamo che il gioco sia equo, cioé che valga E(G3) = 0, per cui E G! = y 1 2 3 1 2 = 0 da cui otteniamo che y = 3. Ciò significa che, per rendere equo questo gioco, alla vincita bisogna corrispondere la somma di 3. Esercizio. In un gioco viene effettuata un estrazione da un mazzo di carte francesi (52 carte, 4 semi, valori dal 2 al 10 e con J, Q, K e A). Per scommettere su un valore (2, oppure 3, ecc.) è necessario puntare 1 e in caso il valore venga indovinato si vincono 5. Il gioco è equo? Se non lo è, quale somma bisognerebbe assegnare in modo equo alla vincita? Soluzione. In questo gioco la variabile casuale, indipendentemente dal valore specifico scelto è la seguente (per ogni valore scelto abbiamo quattro carte, una per seme; ad esempio, scegliendo il 7, abbiamo quattro 7 nel mazzo)
G = 1 5 48 52 4 52 per cui E G = 1!" + 5! =!!"!!" =!" =!. Dunque il gioco è in perdita.!"!"!"!"!" Per calcolare la somma che invece andrebbe corrisposta in caso di vincita affinché il gioco sia equo consideriamo G! = 1 y 48 52 4 52 ed imponiamo che il gioco sia equo. Da E G! = 1!" + y! = 0 otteniamo y = 12. In altri!"!" termini, affinchè il gioco Gy sia equo, la somma da vincere nel caso di valore indovinato dovrebbe essere di 12. 3. Esempi di giochi 3.1) Il Lotto Ricordiamo che il Lotto è un gioco a pronostico con 90 numeri a disposizione (da 1 a 90) tra cui bisogna sceglierne alcuni ed indovinare quali saranno i cinque numeri estratti. Limitiamoci a considerare solo le cinque giocate principali (escludendo tutte le variazioni del gioco che prevedono nuovi tipi di giocate): estratto, ambo, terno, quaterna e cinquina. I moltiplicatori che determinano le somme che si vincono a fronte della somma giocata sono: 11.23 per l'estratto, 250 per l'ambo, 4500 per il terno, 120mila per la quaterna, 6 milioni per la cinquina. Supponiamo di pronosticare un numero secco e di puntare 1 su di esso. Poiché la probabilità di indovinare il numero è di circa 5.56% allora dovremmo vincere, affinché il gioco sia equo, 17. Infatti: 1 y L! = 0.9444 0.0556 e da E L! = 1 0.9444 + y 0.0556 = 0 otteniamo y=17 (questo valore si ottiene senza introdurre approssimazioni nei valori di probabilità). Analogamente, pronosticando due numeri e puntando 1 sull'ambo, a fronte di una probabilità di vincita di circa 0.25% dovremmo vincere 399.5 affinché il gioco sia equo. Così, pronosticando 3 numeri (rispettivamente quattro, cinque) e puntando 1 sul terno (risp. quaterna, cinquina), poiché la probabilità di vincita è del 0.00851% (risp. 0.000195%, 0.00000227%), allora dovremmo vincere 11747 (risp. 511038, 43949267 ). La situazione è riepilogata dalla tabella seguente, in cui l'ultima colonna evidenzia il margine del banco. Numeri giocati Premio Probabilità Vincita equa ( ) Vincita effettiva ( ) 1 estratto 5,55555556% 17 11.23 34% 2 ambo 0,24968789% 399,5 250 37% 3 terna 0,00851209% 11747 4500 62% 4 quaterna 0,00019568% 511037 120000 77% 5 cinquina 0,00000227% 43949267 6000000 86%
3.2) Il SuperEnalotto Anche il SuperEnalotto è un gioco a pronostico in cui, nella variante classica, occorre pronosticare i 6 numeri estratti tra i 90 possibili. In questo gioco, tuttavia, le puntate avvengono sulle sequenze da 6 numeri e, nella versione classica, accedono ad una vincita le sequenze con un minimo di 3 numeri indovinati. Qui la situazione si complica notevolmente perché non ci sono i moltiplicatori: le vincite sono determinate in percentuale sul volume complessivo delle giocate. In altri termini, il montepremi generale è costituito dal 34.468% della raccolta complessiva (per cui il guadagno del banco ad ogni estrazione è il 65.352% della raccolta); questo viene poi ulteriormente suddiviso nei montepremi per le classi di vincita: ai "6" viene distribuito il 20% del montepremi generale, ai "5+" il 20%, ai"5" il 15%, ai "4" il 15%, ai "3" il 30%. Questo fatto evidenzia come il montepremi venga suddiviso tra tutti i vincitori e, all'aumentare dei vincitori, diminuisce anche la somma vinta. Dunque si intuisce immediatamente che il margine del banco tende ad essere molto alto. Ad ogni modo, solo per comprenderne gli aspetti probabilistici e statistici e valutarli nell'ottica dell'equità, consideriamo gli importi medi che sono stati distribuiti alle vincite. Nella tabella seguente sono riportate la probabilità di vincita per una colonna giocata, la vincita equa che si dovrebbe avere per l'aver indovinato quel pronostico, la vincita media che invece si è avuta (è un dato statistico), ed il margine del banco. Premio Probabilità Vincita Vincita equa ( ) media ( ) 3 0.306076971% 163.36 16.98 89.61% 4 0.008398453% 5 953.48 393.16 93.40% 5 0.000080949% 617 673.24 49 941 91.91% 6 0.000000161% 311 307 315 31 562 924 89.86% NB: dati aggiornati al 31/12/2016. Per capire quanto le probabilità siano basse, poniamola in questi termini: la probabilità di fare "6" è di circa 1 su 622 milioni e quella di fare "5" è di circa 1 su 1 milione e 200 mila, mentre la probabilità che indoviniamo una password tipo quella del Bancomat (cioé composta di 5 cifre) digitando dei numeri a caso è di 1 su 100 mila. 3.3) Le scommesse Nelle scommesse si effettuano solitamente pronostici su eventi sportivi, ma non di rado si prendono in esame anche eventi di altro genere. Per questo tipo di pronostici il tipo di probabilità che occorre considerare è di tipo soggettivo (cioè il grado di credenza che si ha nel fatto che tale evento si verifichi). Vediamo con un esempio il significato delle quote e come si può calcolare se il gioco è equo e l'eventuale margine del banco. A titolo di esempio consideriamo un'ipotetica partita di calcio Italia- Brasile in cui si hanno le seguenti quote: 2.95 per il pronostico "1", 3.20 per il pronostico "X", 2.50 per il "2". Per vincere 100 con il pronostico "1" (rispeettivamente con "X", "2") occorre puntare 100/2.95 = 33.90 sull'"1" (risp. 31.25, 40 ). Se sommiamo questi tre importi otteniamo 33.90 + 31.25 + 40 = 105.15 Questo risultato fa subito emergere che, se puntassimo 33.90 su "1", 31.25 su "X" e 40 su "2", avremmo giocato in totale 105.15 e, poiché solo uno di questi tre risultati è possibile,
vinceremmo "solamente" 100. In altri termini questa differenza indica il margine che il banco tiene per sé (dato da 10000/105.15 = 4.9%). A questo punto possiamo calcolare le probabilità che il banco ha stimato per i tre risultati, tramite delle proporzioni. Ad esempio, per l'"1", la probabilità è data da 33.90 : 105.15 = x : 100 da cui x = (33.90 x 100) / 105.15 = 32.24% da cui possiamo anche ricavare la quota che avremmo dovuto avere in caso di gioco equo, ovvero 100/32.24 = 3.10, mentre il margine del banco su questo pronostico è dato da (3.10-2.95)/3.10 = 0.048 (cioè il 4.8%). Ricapitolando, la situazione complessiva è illustrata dalla tabella che segue. 1 X 2 quote 2.95 3.20 2.50 per vincere 100 occorre giocare 33.90 31.25 40 probabilità stimate 32.24% 29.72% 38.04% quote per gioco equo 3.10 3.36 2.63 margini del banco 4.8% 4.8% 4.9% 3.4) La roulette francese Altri giochi tipici sono quelli da casinò, come la roulette francese. Ricordiamo che in questo gioco ogni uscita è determinata dal fermarsi di una pallina su uno dei 38 numeri disposti su una ruota: i numeri da 1 a 36 sono giocabili dagli scommettitori, mentre "0" è un numero a favore del banco. Le possibili vincite in questo gioco, oltre alla restituzione della somma puntata, derivano dall'aver giocato un numero singolo (con moltiplicatore 35), una coppia di numeri ( 17), una quartina ( 4), una sestina ( 5), una dozzina o una colonna ( 2), sul rosso/nero o pari/dispari o manque/passe ( 17). La tabella riassuntiva, con le vincite che si riferiscono ad 1 giocato, è la seguente. Premio Probabilità Vincita Vincita equa ( ) effettiva ( ) pieno (1) 2.7% 36 35 2.77% coppia (2) 5.4% 17.5 17 2.85% terzina (3) 8.1% 11.33 11 2.94% quartina (4) 10.8% 8.25 8 3.03% sestina (6) 16.2% 5.17 5 3.28% dozzina o colonna (12) 32.4% 2.08 2 3.84% pari/dispari, ecc. (18) 48.6% 1.05 1 4.76%