Corso di ordinamento- Sessione ordinaria all estero (AMERICHE) - a.s. 007-008 MINISTERO DELLA PUBBLICA ISTRUZIONE SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO (AMERICHE) ESAMI DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO Sessione Ordinaria a.s. 007/08 PROBLEMA Si fissi nel piano la semicirconferenza Г che ha centro in C e diametro AB= e si affrontino le seguenti questioni:. Si determini su Г un punto P tale che detta Q la sua proiezione ortogonale sulla tangente in B a Г, si abbia AP+PQ=k ove k è un parametro reale diverso da zero.. Si trovi il rettangolo di area massima inscritto in Г 3. Si calcoli il volume del solido che ha per base il semicerchio delimitato da Г e tale che tagliato con piani ortogonali ad AB dia tutte sezioni quadrate. PROBLEMA Nel piano riferito a coordinate cartesiane ortogonali e monometriche:. Si studino e si rappresentino graficamente le funzioni f e g definite per ogni numero reale non nullo, rispettivamente, da f ( ) = +, g( ) = e si dica se è vero che la somma di un numero positivo e del suo inverso è almeno. Si calcoli l area della parte di piano compresa tra i grafici di f e g per e disponendo di una calcolatrice elettronica se ne dia un valore approssimato a meno di 0. 3. Sia P un punto del piano di coordinate t +, t. Al variare di t (t 0), P descrive un luogo t t geometrico del quale si chiede l equazione cartesiana e il grafico.
Corso di ordinamento- Sessione ordinaria all estero (AMERICHE) - a.s. 007-008 QUESTIONARIO ) Una strada rettilinea in salita supera un dislivello di 50m con un percorso di 3km. Quale è la sua inclinazione? ) Si provi che fra tutti i cilindri inscritti in un cono circolare retto ha volume massimo quello la cui altezza è la terza parte dell altezza del cono n 3) Quale significato attribuisci al simbolo? Esiste un k tale che = k k k 3? 4) Si diano esempi di funzioni i cui grafici presentino due asintoti verticali e un asintoto orizzontale. 5) Si calcolino il numero delle soluzioni dell equazione: = k al variare di k Є R. 6) Quante diagonali ha un poligono di 008 lati? 7) Dati nel piano cartesiano i punti di coordinate reali ( ) P, e (, 4 ) variare di, l insieme dei punti Q la cui ordinata è minore dell ordinata di P. Q si determini, al 8) La regione R delimitata dal grafico di y =, dall asse e dalla retta = è la base di un solido S le cui sezioni, ottenute tagliando S con piani perpendicolari all asse, sono tutte triangoli equilateri. Si calcoli il volume di S.
Corso di ordinamento- Sessione ordinaria all estero (AMERICHE) - a.s. 007-008 PROBLEMA Si fissi nel piano la semicirconferenza Г che ha centro in C e diametro AB= e si affrontino le seguenti questioni: Punto Si determini su Г un punto P tale che detta Q la sua proiezione ortogonale sulla tangente in B a Г, si abbia AP+PQ=k ove k è un parametro reale diverso da zero. Si consideri la figura seguente: Poniamo AP = con 0. Notiamo innanzitutto che se AP = = 0 allora PQ = AB = pertanto k=. Analogamente se AP = = allora PQ = 0 pertanto k=. Per il teorema di Euclide applicato al triangolo rettangolo APB, si ha AP AH = =, pertanto AB PQ =. In questo modo la relazione diventa k = + +. La discussione dell equazione parametrica sarà effettuata per via grafica discutendo il sistema y = + +. La curva di equazione y = + + è una parabola con concavità verso il y = k 5 basso, vertice in V, e in = 0 vale y = mentre in = vale y = come già anticipato. La retta di equazione y = k è una retta parallela all asse delle ascisse. Nella figura sottostante sono state rappresentate nell intervallo [0,] la parabola e la retta di 5 equazione y = : 3
Corso di ordinamento- Sessione ordinaria all estero (AMERICHE) - a.s. 007-008 Dal grafico si traggono le seguenti conclusioni:. Se k < non ci sono soluzioni 5. Se k < ci sono soluzioni distinte 5 3. Se k = ci sono soluzioni coincidenti con = 5 4. Se k > non ci sono soluzioni In conclusione 5. Se k < k > non ci sono soluzioni 5. Se k ci sono due soluzioni Punto Si trovi il rettangolo di area massima inscritto in Г Il rettangolo di area massima può essere trovato attraverso differenti soluzioni. Se ne presenteranno 3: Uso della geometria analitica e dell analisi Si consideri la figura sottostante in cui il rettangolo e la semicirconferenza sono rappresentati in un sistema di riferimento cartesiano con l origine coincidente con il centro della semicirconferenza: 4
Corso di ordinamento- Sessione ordinaria all estero (AMERICHE) - a.s. 007-008 La base HI del rettangolo FGHI si trova sulla retta generica di equazione y = k, k ] 0,[ punti di intersezione di suddetta retta con la circonferenza di equazione + y = sono rispettivamente H ( k, k), I = ( k, k) F ( k,0), G = ( k,0) b =, mentre F e G hanno coordinate =. Con queste coordinate la base del rettangolo sarà pari a = FG = HI = k, e l altezza allora S( k) = 4k k con k ] 0,[ ] 0,[ k = 4k 4 della derivata prima: ( ) ( k ) S' k 4 k = h = HG = IF = k k. L area del rettangolo è. Massimizziamo la funzione area attraverso il calcolo = per cui in 0, la funzione k k. I è strettamente crescente, in, è strettamente decrescente e si annulla in assume il valore massimo. Quindi il rettangolo di area massima k = in cui ha vertici G = = =,0, H =,, I,, F, 0 ed il rettangolo di area massima è costituito da due quadrati di lato ed area. Pertanto il rettangolo ha area massima unitaria. Uso della trigonometria Si consideri la figura sottostante: 5
Corso di ordinamento- Sessione ordinaria all estero (AMERICHE) - a.s. 007-008 La limitazione geometrica impone α 0, π.c In tal caso per il teorema sui triangoli rettangoli CG = cos ( α ), HG = sin( α ) S ( α ) = FG HG = CG HG = cos( α ) sin( α ) = sin( α ) seno, essa è massima quando sin ( ) = per, per cui, ed essendo l area una funzione π π α e quindi quando α = + k π α = + kπ e 4 0, π π α il valore accettabile è α = in corrispondenza del quale la base del 4 rettangolo vale FG = e l altezza HG = Uso della geometria elementare e dell analisi Si consideri la figura sottostante: cui corrisponde un area massima unitaria. Poniamo la base del rettangolo queste assunzioni AF = ( ), FB = ( + ) IF FG =. La limitazione geometrica impone 0 < <. Con, per cui per il teorema di Euclide = HG = ( ) ( + ) =. L area del rettangolo è allora S( ) 0 < < si ha = da cui S( ) ( ) = e poiché =. La massimizzazione della funzione area, come già mostrato, può essere effettuata tramite le derivate; non seguiremo questa strada ma mostreremo una strada alternativa. Massimizzare S( ) ( ) = è equivalente a 6
Corso di ordinamento- Sessione ordinaria all estero (AMERICHE) - a.s. 007-008 massimizzare la funzione radicando r( ) ( ) numeri a somma costante (e pari a : + ( ) = = ; la funzione ( ) quando i due numeri sono uguali e quindi quando ( ) r è il prodotto di due ) per cui il loro prodotto è massimo = da cui = ± ; la soluzione negativa va scartata per cui l area del rettangolo è massima quando = e quindi quando FG =, IG = e vale S = =. Punto 3 Si calcoli il volume del solido che ha per base il semicerchio delimitato da Г e tale che tagliato con piani ortogonali ad AB dia tutte sezioni quadrate. La semicirconferenza può essere rappresentata in un sistema di riferimento cartesiano con origine coincidente con il centro della circonferenza stessa. In questo sistema la semicirconferenza ha equazione y =. In tal modo il quadrato sezione ha area A( ) ( ) 3 4 V d = =. 3 3 0 sarà = ( ) d = ( ) 0 = pertanto il volume Siano, y due numeri positivi la cui somma è + y = s ed il cui prodotto è y = p. Dalla somma si ricava y = s che sostituito nel prodotto fornisce p = ( s ) ; pertanto il prodotto è una parabola con concavità verso s s il basso e con massimo raggiunto per = cui corrisponde y =. 7
Corso di ordinamento- Sessione ordinaria all estero (AMERICHE) - a.s. 007-008 PROBLEMA Nel piano riferito a coordinate cartesiane ortogonali e monometriche: Punto Si studino e si rappresentino graficamente le funzioni f e g definite per ogni numero reale non nullo, rispettivamente, da f ( ) = +, g( ) = e si dica se è vero che la somma di un numero positivo e del suo inverso è almeno Studiamo la funzione f ( ) Dominio: R {} 0 = + = + Intersezioni asse ascisse: cui non ci sono intersezioni con l asse delle ascisse Intersezioni asse ordinate: non ci sono intersezioni con l asse delle ordinate Eventuali simmetrie: la funzione è dispari + Positività: f ( ) = 0 ( 0, + ) Asintoti verticali: lim + 0 + = +, lim 0 + = per cui la retta = 0 è asintoto verticale + Asintoti orizzontali: lim = ± ± Asintoti obliqui: hanno equazione per cui non esistono asintoti orizzontali + y = m + q con lim + m = = lim = ± ± e q = lim ± + = lim = 0 ± pertanto la retta y = è asintoto obliquo Crescenza e decrescenza: y' = per cui la funzione è strettamente crescente in (, ) (, + ), strettamente decrescente in (,0) ( 0,) massimo (, ) M ed in = in cui presenta un minimo m (, ) Concavità e convessità: y '' = per cui la funzione non presenta flessi 3 Il grafico è di seguito presentato: e si annulla in = in cui presenta un 8
Corso di ordinamento- Sessione ordinaria all estero (AMERICHE) - a.s. 007-008 Studiamo la funzione g( ) Dominio: R {} 0 = = g Intersezioni asse ascisse: ( ) = = 0 = ± Intersezioni asse ordinate: non ci sono intersezioni con l asse delle ordinate Eventuali simmetrie: la funzione è dispari Positività: g ( ) = 0 [,0[ [, + [ + Asintoti verticali: lim =, lim = + + 0 0 per cui la retta = 0 è asintoto verticale Asintoti orizzontali: lim = ± ± Asintoti obliqui: hanno equazione per cui non esistono asintoti orizzontali y = m + q con lim m = = lim = ± ± e q = lim ± = lim = 0 ± pertanto la retta y = è asintoto obliquo + Crescenza e decrescenza: y' = per cui la funzione è strettamente crescente in tutto il suo 9
Corso di ordinamento- Sessione ordinaria all estero (AMERICHE) - a.s. 007-008 dominio Concavità e convessità: y'' = per cui la funzione non presenta flessi 3 Il grafico è di seguito presentato: La proposizione per cui la somma di un numero reale positivo e del suo inverso è almeno è vera; basta verificare che la disequazione + è soddisfatta + R. La disequazione, poiché + R, si può anche scrivere come + = ( ) 0, e risulta essere sempre verificata nullo. Punto + R in quanto un quadrato è sempre un numero positivo o al massimo Si calcoli l area della parte di piano compresa tra i grafici di f e g per e disponendo di una calcolatrice elettronica se ne dia un valore approssimato a meno di L area da calcolare è rappresentata nella figura sottostante: 0. 0
Corso di ordinamento- Sessione ordinaria all estero (AMERICHE) - a.s. 007-008 + Area con L area da calcolare è = d = d = [ ln ] = ln = ln 4. 39 un approssimazione per eccesso. Punto 3 Sia P un punto del piano di coordinate t +, t. Al variare di t (t 0), P descrive un t t luogo geometrico del quale si chiede l equazione cartesiana e il grafico. = t + t Imponiamo. y = t t Sommando le due equazioni si ricava + y = t, mentre sottraendo la seconda alla prima si ricava y =. Dalla seconda ricaviamo t t = y e lo sostituiamo nella prima ottenendo + y = che può essere scritta come y = 4 che una iperbole equilatera con centro y di simmetria (0,0) ed asintoti y = ±.
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Corso di ordinamento- Sessione ordinaria all estero (AMERICHE) - a.s. 007-008 QUESTIONARIO Quesito Una strada rettilinea in salita supera un dislivello di 50m con un percorso di 3km. Quale è la sua inclinazione? Consideriamo la figura sottostante: Per ipotesi AB=3 km, BC=50m. Per il teorema di Pitagora AC = 3000 50 996, 5m, per cui la percentuale di inclinazione 50 50 è p % = 5%, mentre l angolo di inclinazione vale α = arctan 5'57' '. 996,5 996,5 Quesito Si provi che fra tutti i cilindri inscritti in un cono circolare retto ha volume massimo quello la cui altezza è la terza parte dell altezza del cono Consideriamo la figura seguente in cui è rappresentata la sezione del cono con il cilindro all interno: 3
Corso di ordinamento- Sessione ordinaria all estero (AMERICHE) - a.s. 007-008 Indichiamo con DG = KH = EF = l altezza del cilindro, con HC = h l altezza del cono, con AH = HB = r il raggio di base del cono e con HG = HF = DK = KE = r' il raggio di base del cilindro. La limitazione geometrica impone 0 < < h. I triangoli ADG e ACH sono simili per cui vale la proporzione tra i lati omologhi: AG : GD = AH : HC ( r r' ): = r : h r' = r. Il volume del cilindro, quindi, sarà: h = = = V π HF KH π r π r. La massimizzazione del volume la h h effettuiamo tramite il calcolo della derivata prima, ottenendo: = = 3 V ' π r π r h h h h h per cui, tenendo conto della limitazione 0 < < h, la funzione volume è strettamente crescente in 0, h, strettamente 3 h decrescente in,h e si annulla in 3 = h 3 in cui presenta un massimo h 4πr h M, 3 7. Quindi il volume del cilindro è massimo quando la sua altezza è pari ad un terzo di quella del cono ed il 4πr h volume massimo è pari a V MAX =. 7 Quesito 3 Quale significato attribuisci al simbolo n? Esiste un k tale che = k k k 3? n n! = = ed esso fornisce il numero delle k k!( n k)! combinazioni semplici di n elementi di lunghezza k. Il coefficiente binomiale è definito da C( n; k) Ad esempio se si vuole calcolare quante volte escono { 4 Teste } da 8 lanci di una moneta non 8 8! truccata, basta calcolare C ( 8 ;4) = = = 70. 4 4! ( 8 4 )! Per rispondere alla seconda domanda basta ricordare una proprietà notevole del coefficiente n n binomiale: =. Nel nostro caso n =, per cui il valore di k tale che = k n k k k 3 5 deve soddisfare la relazione k = k 3 da cui k = ; ma poiché la condizione cui k deve 4
Corso di ordinamento- Sessione ordinaria all estero (AMERICHE) - a.s. 007-008 soddisfare è quella di essere intero e tale che k 3, allora il valore conclusione non esiste un k tale che =. k k 3 5 k = non è accettabile. In Il valore trovato può essere calcolato anche senza ricordare l identità notevole e risolvendo l equazione direttamente. In tal caso si ha:! = k k 3 k! =! ( k)! ( k 3 )! ( 5 k)! ( 5 k)! k! = ( k)! ( k 3)! 3 ( 3 k)( 4 k)( 5 k) = k( k )( k ) k 45k + 589k 730 = k ( k 30k + 364) = 0 da cui si ricava l unica soluzione reale 5 5 k = come precedentemente trovato. da cui Quesito 4 Si diano esempi di funzioni i cui grafici presentino due asintoti verticali e un asintoto orizzontale. Funzioni con due asintoti verticali ed uno orizzontale sono ad esempio: f = con = ± asintoti verticali e y = 0 asintoto orizzontale;. ( ) e + g con = ± asintoti verticali e y = asintoto orizzontale.. ( ) = ln 5
Corso di ordinamento- Sessione ordinaria all estero (AMERICHE) - a.s. 007-008 Quesito 5 Si calcolino il numero delle soluzioni dell equazione: y = Effettueremo la discussione per via grafica, risolvendo il sistema y = k = k al variare di k Є R.. Il grafico della funzione y = si ricava dal grafico della parabola g( ) = e ribaltando, per via del valore assoluto, le parti negative verso le ordinate positive. La parabola g( ) = ha concavità verso l alto, interseca l asse delle ascisse in ( 0,0), (,0), quello delle ordinate in (,0) 0 ed ha il vertice in V,. Nel grafico sottostante vengono presentate la funzione y = e la 4 retta y = : 4 Dal grafico si evincono le seguenti soluzioni: k < 0: nessuna soluzione k = 0 : due soluzioni = 0, = 0 < k < : 4 soluzioni distinte 4 6
Corso di ordinamento- Sessione ordinaria all estero (AMERICHE) - a.s. 007-008 k = : 4 soluzioni di cui due coincidenti = e 4 k > : soluzioni distinte 4 ± = Quesito 6 Quante diagonali ha un poligono di 008 lati? La formula che esprime il numero di diagonali di un poligono in funzione del numero di lati è ( n 3) n d =. Per un poligono di 008 lati il numero di diagonali d = 008 005 = 004 005 = 0300 Quesito 7 Dati nel piano cartesiano i punti di coordinate reali ( ) P, e (, 4 ) variare di, l insieme dei punti Q la cui ordinata è minore dell ordinata di P. Q si determini, al Discuteremo la disequazione y = 4 < per via grafica, discutendo il sistema y = 4. La curva y = 4 è una semicirconferenza di raggio, mentre 0 y = =. < 0 Calcoliamo le intersezioni tra le due curve: si tratta di risolvere l equazione 4 =. Visto che ambo i membri sono non negativi, elevando al quadrato si ha 4 = = = ±. Il grafico sottostante raffigura quanto discusso e ricavato. 7
Corso di ordinamento- Sessione ordinaria all estero (AMERICHE) - a.s. 007-008 Dalla figura soprastante emerge subito che la disequazione 4 < è soddisfatta per < <. Un altro modo per risolvere la disequazione, è procedere in modo classico e risolvere il sistema seguente: > 0 4 4 0 < > 0 4 0 ( ) < 4 ( ) {} 0 > 0 R 4 0 < 0 < > Mettendo assieme le tre condizioni si ricavano le soluzioni del sistema < < come già trovato. Quesito 8 La regione R delimitata dal grafico di y =, dall asse e dalla retta = è la base di un solido S le cui sezioni, ottenute tagliando S con piani perpendicolari all asse, sono tutte triangoli equilateri. Si calcoli il volume di S. La regione di interesse è sotto raffigurata: 8
Corso di ordinamento- Sessione ordinaria all estero (AMERICHE) - a.s. 007-008 3 = 3 per cui il volume è 4 4 L area del triangolo equilatero sezione è S( ) y = ( 44) = 36 3 36 0 3d = 36 3 = 7 3. 0 9