16.3.9 Esempi di veriica a essurazione secondo la Normativa Italiana Nota. In questo paragrao vengono proposte due tipologie di esempi: una segue le prescrizioni del D.M. 09.01.96 e l altra rispetta quanto indicato dalle Norme Tecniche. Inine, per il calcolo del modulo di elasticità tangente iniziale del conglomerato, in virtù anche delle osservazioni atte al paragrao 6.7, verrà per sicurezza utilizzata la ormulazione dell eq. 6.1. ESEMPIO 1. Sia dato un tirante di sezione trasversale quadrata 30 cm x 30 cm, armato con delle armature longitudinali in numero complessivo di F tot = 818 = 20,36 cm 2 (vedere dettagli in igura 16.15). Inserire igura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Ti(cap 16)\Figura 16_15.ti Figura 16.15 Particolari sezione tirante da veriicare agli stati limite di essurazione. Supponendo che la struttura sia stata conezionata con un conglomerato R ck 30 e usando acciai ad aderenza migliorata adottando yk = 430 MPa, veriicare (seguendo le Norme Tecniche) la sezione del tirante allo stato limite di essurazione sapendo che lo stesso si trova in condizioni ambientali ordinarie. Considerando le armature come sensibili, si ipotizzi una trazione di calcolo in combinazione requente pari a: N Se = 420 kn = 42000 dan. SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali: conglomerato: ck = 249daN / cm 2 (tab. 9.2_b); ctk = 18,25daN / cm 2 (tab. 9.2_b); acciaio: yk = 4300 dan / cm 2 (tab. 9.4). Calcolo parametri di progetto per la essurazione. Calcolo modulo elastico tangente iniziale del conglomerato (Normativa Italiana): E c [N / mm 2 ]= 5700 R ck [N / mm 2 ] = 5700 (30 N / mm 2 ) 31220 N / mm 2 ; coerentemente con i dati riportati in tabella 6.2a. Ritenendo di non essere nel caso di modeste trazioni ( 1 ), si assume un modulo di elasticità a trazione del conglomerato pari a circa: E ct = E c 0, 5 E c. 949
In particolare, poiché nel breve periodo il conglomerato risulta maggiormente cimentato rispetto all acciaio, in virtù dell assenza dei enomeni di natura viscosa, si deve considerare il rapporto istantaneo (1) tra i moduli elastici dei materiali (rierito al conglomerato in compressione): n * = E = (2,1106 dan / cm 2 ) 6,7. E c (312200daN / cm 2 ) L omologo coeiciente di omogenizzazione rispetto al conglomerato in trazione, risulta: n * ct = E = E (2,110 6 dan / cm 2 ) 13,4. E ct E c 0, 5 (312200daN / cm 2 ) Di conseguenza, la sezione resistente ideale del tirante si calcola (breve periodo) (2) : F id = F c + n * ct F tot = b H + n * ct F tot = (30 cm)(30 cm) + 13,4 (20,36 cm 2 )1173 cm 2. Calcolo carico (caratteristico) assiale che induce all incipiente essurazione: N F = ctk F id = (18,25daN / cm 2 )(1173 cm 2 ) 21407 dan. Calcolo tensioni nelle armature longitudinali tese. La tensione nell armatura tesa longitudinale, calcolata nella sezione essurata e causata dal carico che induce ad una incipiente essurazione, è: r = N F F tot = (21407 dan) (20, 36 cm 2 ) 1051daN / cm 2 ; avendo considerato, in condizioni di trazione pura, come sezione resistente la sola sezione delle armature longitudinali; dovendo considerare assente la resistenza a trazione del conglomerato teso. La tensione nell armatura tesa longitudinale calcolata, nella sezione essurata sotto la combinazione di carico requente, è: = N (42000 dan) Se = F tot (20, 36 cm 2 ) 2063daN / cm2. Calcolo deormazione unitaria acciai. Avendo adottato delle barre ad aderenza migliorata si assume 1 = 1,0 ; inoltre, si assume un valore medio pari a 2 = (1,0 + 0, 5)/2 = 0,75. La deormazione unitaria (media) dell armatura risulta: m = 2 r 1 1 2 E = (2063 dan / cm2 ) (2,110 6 dan / cm 2 ) 1 1 0,75 (1051daN / cm 2 2 ) (2063 dan / cm 2 ) 0,00079 È anche veriicata la condizione imposta dalla Normativa: m = 2 r 1 1 2 E 0, 00079 0,6 (2063 dan / cm 2 ) = 0,6 0,00059. E (2,110 6 dan / cm 2 ) Calcolo dell area eicace di conglomerato teso. In base agli schemi riportati in igura 16.14, l area eicace tesa della sezione del tirante risulta pari alla sezione del tirante stesso: 1 In teoria, nel caso si volessero valutare gli eetti nel lungo periodo, per il coeiciente di omogenizzazione si dovrebbe assumere il noto valore di n = 15. 2 Essendo tutta la sezione in trazione, si sono omogenizzate tutte le armature in conglomerato teso. 950
F c e = b H = (30 cm) (30 cm) = 900 cm 2 ; essendo H = 30 cm 40 cm e risultando la distanza tra i baricentri delle armature longitudinali consecutive (s H = 10,1cm ) minore di 14 = 14(1,8cm) = 25,2cm. Il rapporto (di armatura eicace) tra l area delle sole barre longitudinali tese che risultano all interno dell area di conglomerato teso F c e si calcola: μ = F e F ce = F tot = (20, 36 cm 2 ) 0,0226. F ce (900 cm 2 ) Calcolo distanza media delle essure. La distanza media tra le essurazioni a livello delle armature in tensione è descritta dalla relazione: l s rm = 2 c + s H 10 + k 2 k 3 μ ; adottando per barre ad aderenza migliorata k 2 = 0,4 e k 3 = 0,250 nel caso di trazione pura. Dall esame della igura 16.15, si riconosce che (3) è c = 3,0 cm e = 1,8cm; pertanto, sostituendo i valori numerici si ottiene: s rm = 2 (3,0cm) + (10,1cm) + 0, 4 0,250 (1,8cm) 16 cm. 10 0,0226 Veriica stato limite di essurazione. In base alla tabella 16.5_b, in condizioni ambientali ordinarie e con armature sensibili, per combinazioni di carico requenti deve risultare w k w 2 = 0, 3mm. Utilizzando la relazione: w d = 1,7 w m = 1,7 m s rm, e sostituendo i valori numerici, si ottiene: w d = 1,7 m s rm = 1,7 (0,00079)(16 cm) 0,021 cm = 0, 21mm < 0, 3mm. La sezione del tirante rientra nella veriica positiva. ESEMPIO 2. Sia data la sezione trasversale della trave a T in conglomerato armato riportata nella igura 16.16. Inserire igura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Ti(cap 16)\Figura 16_16.ti Figura 16.16 Particolari sezione della trave da veriicare agli stati limite di essurazione. 3 Si vuole ar notare che nel calcolo della veriica a essurazione per c si intende il ricoprimento totale delle barre longitudinali tese, comprendendo in particolare anche lo spessore della staa se trattasi di pilastri o travi. 951
Supponendo che la struttura sia stata conezionata con un conglomerato R ck 25 e usando acciai ad aderenza migliorata FeB44k, veriicare la sezione della trave allo stato limite di essurazione sapendo che la stessa è ubicata in ambiente poco aggressivo. Considerando le armature come poco sensibili, si ipotizzi le seguente sollecitazione lettente di progetto per la combinazione di carico quasi permanente: M Se = 2,2 10 6 dancm. Valutare l entità delle essurazioni nell ipotesi di breve periodo (4) e seguendo le disposizioni del D.M. 09.01.96. Per la veriica a essurazione utilizzare i dati riportati in igura 16.17 (posizione asse neutro per n = 7,4). Per la valutazione del momento lettente di prima essurazione, prescindere completamente dalle armature longitudinali. Inserire igura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Ti(cap 16)\Figura 16_17.ti Figura 16.17 Andamento delle tensioni sulla sezione della trave in condizioni di sezione non essurata e ad incipiente essurazione (posizione asse neutro relativa a n = 7,4). SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali: conglomerato: ck = 207 dan / cm 2 (tab. 9.2_b); ctk = 16,2daN / cm 2 (tab. 9.2_b); acciaio: yk = 4300 dan / cm 2 (tab. 9.4). Calcolo parametri di progetto per la essurazione. Calcolo coeiciente di omogenizzazione (breve periodo). Nel breve periodo il coeiciente di omogenizzazione per il conglomerato compresso si calcola come rapporto tra il modulo elastico dell acciaio e il modulo elastico istantaneo del conglomerato. Pertanto, si ha: 4 Si vuole ar notare che lipotesi di lungo o breve periodo per valutare lentità della essurazione è un dato ondamentale; in quanto, nel lungo periodo le tensioni sia di compressione che di trazione del conglomerato sono più intense rispetto alle stesse in condizioni di lungo periodo. Di conseguenza, anche lentità della essurazione deve risultare più importante nel breve periodo rispetto al lungo periodo. 952
E c [N / mm 2 ]= 5700 R ck [N / mm 2 ] = 5700 (25 N / mm 2 ) 28500 N / mm 2 ; coerentemente con i dati riportati in tabella 6.2a. Si calcola, quindi: n * = E = (2,1106 dan / cm 2 ) 7,4 ; E c (285000 dan / cm 2 ) coerentemente con la posizione dell asse neutro anticipata nella igura 16.17. Calcolo dell altezza dell area eicace di conglomerato teso: d e = c + s V + 7,5 = (3,0cm) + 0 + 7, 5 (2,6cm) = 22,5cm; avendo considerato l armatura tesa su singolo registro: s V = 0 (vedere igura 16.16). Calcolo del coeiciente di orma del diagramma delle tensioni. Ad incipiente essurazione, (quindi a sezione ancora integra), detto = E ct / E c, (omogenizzando tutte le tensioni in conglomerato compresso) alla quota della ibra maggiormente tesa risulta evidentemente: 1 = 2 16,2daN / cm ctk =. In base al diagramma delle tensioni riportato nella igura 16.17 (in condizioni di incipiente essurazione), considerando di tutta la parte tesa della sezione solamente la parte relativa alla nervatura (escludendo il piccolo tratto nella soletta), tramite una semplice proporzione tra triangoli rettangoli simili, si può scrivere: 1 (H x) = 2. (H x) d e Sostituendo i valori numerici, si ottiene: (16, 2daN / cm 2 )/ = 2 (16, 2daN / cm 2 )/ = 2 (60 14,7) cm (60 14,7) cm (22, 5cm) (45,3cm) (22,8cm). Risolvendo, si ottiene: 2 = (8,15daN / cm 2 )/. Pertanto, si può calcolare (nel caso appunto della sola nervatura tesa): k 3 = 0,25 ( 1 + 2 ) (16,2 + 8,15)daN / cm2 = 0,25 0,20. (2 1 ) (216,2daN / cm 2 ) Calcolo area eicace di conglomerato teso. F c e = b e d e = (25 cm) (22, 5cm) 562,5cm 2. Calcolo rapporto (di armatura eicace). Considerando le sole armature tese comprese nell area eicace di conglomerato teso, si ha: μ = F e = F = 4(5, 30 cm2 ) 0,0377. F ce F ce (562, 5cm 2 ) Calcolo distanza media delle essure. La distanza media tra le essurazioni a livello delle armature in tensione è descritta dalla relazione: l s rm = 2 c + s H 10 + k 2 k 3 μ. 953
Adottando barre ad aderenza migliorata si pone k 2 = 0,4 e si è precedentemente calcolato k 3 = 0,18 per aver considerato una sola parte della sezione tesa (la sola nervatura). Dall esame delle igure 16.16 e 16.17, si riconosce che (5) è c = 3,0 cm e = 2,6cm. Inoltre, la distanza esistente tra due barre consecutive si legge nella igura 16.17 pari a circa 28 mm. Di conseguenza, la distanza media (lungo l orizzontale) tra i baricentri di due barre adiacenti, valutata lungo la singola ila delle armature, si calcola pari a s H = ( / 2)+ 2,8cm+ ( / 2) = 5,4cm che si può mantenere perché risulta veriicata la condizione s H < 14= 14(2,6cm) = 36,4cm. Pertanto, sostituendo i valori numerici si ottiene: s rm = 2 (3,0 cm) + (5,4cm) (2,6 cm) 10 + 0,4 0,20 12,6 cm. 0,0377 Calcolo tensioni nelle armature longitudinali tese. Si calcola intanto il momento d inerzia della sezione essurata (vedere schema in igura 16.17). In generale, come noto, prescindendo dalla resistenza a trazione del conglomerato, si ha: J ci = b x 3 3 + n F ( h x) 2 + n F ( x h) 2. Trascurando per semplicità e sicurezza le armature in compressione (6) e considerando il valore del coeiciente di omogenizzazione relativo al breve periodo, si scrive: J ci = b x 3 3 + n* F ( h x) 2. Sostituendo i valori numerici e considerando che l altezza utile della sezione è pari a h = H h = (60 cm) (4,1cm) = 55,9cm (vedere igura 16.17), si ottiene (lungo periodo): (60 cm)(14,7cm)3 J ci = + 7,4(21,2cm 2 )[(55,9 14,7) cm] 2 329825 cm 4. 3 La tensione dell acciaio teso (misurata in condizioni di sezione essurata) computata in unzione del particolare valore della sollecitazione presso-tensolettente (o lettente o di trazione pura) allo stato limite di esercizio si calcola (nel breve periodo): = n * M Se (h x) = 7, 4 (2,2 106 dancm) [( 55,9 14,7)cm] 2034daN / cm 2. J id (329826 cm 4 ) Per il calcolo della rimanente tensione r è necessario valutare il momento di prima essurazione della sezione. In particolare, è necessario calcolare il momento d inerzia della sezione (considerata interamente reagente) rispetto al baricentro della sezione stessa. La veriica dello stato limite di ormazione delle essure viene condotta ipotizzando ancora un regime elastico del conglomerato teso, partendo dalle caratteristiche meccaniche della sezione omogenea non essurata e ad incipiente essurazione. Tale modo di operare, requentemente usato nel nostro Paese, prescinde dalla presenza delle armature longitudinali e da tutti i enomeni ad esse connessi. Pertanto, si propone di calcolare il baricentro geometrico della sezione, prescindendo completamente dalle armature longitudinali (vedere igura 16.18). 5 Si vuole ar notare che nel calcolo della veriica a essurazione per c si intende il ricoprimento totale delle barre longitudinali tese, comprendendo in particolare anche lo spessore della staa se trattasi di pilastri o travi. 6 In questo particolare caso, le armature in compressione risultano alquanto minori delle armature ineriori tese (vedere carpenteria esecutiva nella igura 16.16); inatti, assolvono praticamente unzione di sole reggistae. 954
Inserire igura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Ti(cap 16)\Figura 16_18.ti Figura 16.18 Particolari della sezione di solo conglomerato per il calcolo del baricentro della sezione, prescindendo dalle armature longitudinali. In virtù del noto teorema di Varignon, rierendo le distanze dall asse x x in igura 16.18, si scriverà (omettendo per ragioni di spazio le unità di misura delle varie grandezze): y G = y i F ci F = 2 (y F ) + (y F ) 2 (10 350) + (301500) 2 c2 1 c1 = 23,6cm; ci F c1 + 2 F c2 1500 + 2 350 i i avendo considerato (vedere igura 16.18): F c2 = (20 cm) (17, 5cm) = 350 cm 2 ; F c1 = (25 cm)(60 cm) = 1500 cm 2. Si calcolano ora i momenti di inerzia delle due aree barrate rispetto al baricentro G di cui si è appena calcolata la coordinata y G = 23,6cm. In particolare, è di aiuto il noto teorema del trasporto: J i = J io + F ci (y G y i ) 2 ; in cui J io = b H 3 i i è il momento d inerzia dell area F ci = b i H i rispetto al suo baricentro e 12 y G y i la distanza del baricentro dell area F ci = b i H i dal punto G. Sostituendo i valori numerici si ha (per i = 2): J 2 = b H 3 (17, 5cm) (20 2 2 + F c2 (y G y 2 ) 2 cm)3 = + (350 cm 2 )[(23,6 10) cm] 2 76403 cm 4 12 12 Mentre, per i = 1 si calcola: J 1 = b H 3 (25 cm)(60 1 1 + F c1 (y G y 1 ) 2 cm)3 = + (1500 cm 2 )[(23,6 30) cm ] 2 511440 cm 4 12 12 Il momento d inerzia di tutta la sezione a T si calcola evidentemente come: J = 2 J 2 + J 1 = 2 (76403 cm 4 ) + (511440 cm 4 ) = 664246 cm 4. 955
Il momento di essurazione M F della sezione si calcola imponendo nella ibra di conglomerato maggiormente sollecitata a trazione ( y in = (60 23,6)cm ) una tensione pari in modulo a: (y in ) = ctk = 16,2 dan / cm 2. Pertanto, in condizioni di incipiente essurazione a sezione comunque integra, deve essere: (y in ) = M F J y in. Esplicitando il valore del momento lettente di prima essurazione, si ottiene: J J (664246 cm 4 ) M F = (y in ) = ctk = (16, 2daN / cm 2 ) y in y in [(60 23,6) cm ] 2,96 10 5 dancm. È possibile, quindi, calcolare la tensione r nel baricentro dei erri tesi in condizione di sezione essurata (nel breve periodo): r = n * M F J ci (h x) = 7, 4 (2,9610 5 dancm) [55, 9 14,7) cm ] 273daN / cm 2. (329825 cm 4 ) Calcolo deormazione unitaria acciai tesi. Avendo adottato delle barre ad aderenza migliorata si assume 1 = 1,0 ; inoltre, si assume un valore medio pari a 2 = (1,0 + 0, 5)/2 = 0,75. La deormazione unitaria (media) dell armatura risulta (nel breve periodo): m = 2 r 1 1 2 E = (2034 dan / cm2 ) (2,110 6 dan / cm 2 ) 1 1 0,75 (273daN / cm 2 2 ) (2034 dan / cm 2 ) 0,00096 È anche veriicata la condizione imposta dalla Normativa (D.M. 09.01.96): m = 2 r 1 1 2 E 0, 00096 0, 4 (2114 dan / cm 2 ) = 0,4 E (2,110 6 dan / cm 2 ) = 0,00040. Veriica stato limite di essurazione. In base alla tabella 16.5, in ambiente poco aggressivo e con armature poco sensibili, per combinazione di carico quasi permanente deve risultare w k 0,2mm. Utilizzando la relazione: w k = 1,7 w m = 1,7 m s rm, e sostituendo i valori numerici, si ottiene: w k = 1,7 m s rm = 1,7 (0,00096)(12,6 cm) 0,020 cm = 0,2mm. Risultando w k 0,2mm, la sezione della trave rientra nel limite della veriica positiva. ESEMPIO 3. Sia data una trave di sezione 30 cm x 50 cm (vedere particolari in igura 16.19) conezionata con un conglomerato R ck 25 e con barre ad aderenza migliorata del tipo FeB44k. 956
Inserire igura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Ti(cap 16)\Figura 16_19.ti Figura 16.19 Particolari della sezione della trave da veriicare allo stato limite di essurazione. Seguendo le disposizioni del D.M. 09.01.96, si veriichi la sezione allo stato limite di essurazione (immediatamente al carico) ipotizzando delle armature poco sensibili in ambiente molto aggressivo per una combinazione di carico rara con relativa sollecitazione lettente pari a: M Se = 1, 4210 6 dancm. Per il calcolo della sollecitazione lettente di prima essurazione si considerino le armature longitudinali e si distingua tra conglomerato teso e compresso. SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali: conglomerato: ck = 207 dan / cm 2 (tab. 9.2_b); ctk = 16,2 dan / cm 2 (tab. 9.2_b); acciaio: yk = 4300 dan / cm 2 (tab. 9.4). Calcolo parametri di progetto per la essurazione. Calcolo coeiciente di omogenizzazione (breve periodo). Nel breve periodo il coeiciente di omogenizzazione per il conglomerato compresso si calcola come rapporto tra il modulo elastico dell acciaio e il modulo elastico istantaneo del conglomerato. Pertanto, si ha: E c [N / mm 2 ]= 5700 R ck [N / mm 2 ] = 5700 (25 N / mm 2 ) 28500 N / mm 2 ; coerentemente con i dati riportati in tabella 6.2a. Si calcola, quindi (immediatamente al carico): n * = E = (2,1106 dan / cm 2 ) 7,4 ; E c (285000 dan / cm 2 ) Inine, si assume un rapporto tra i moduli elastici del conglomerato a trazione e a compressione pari: = E ct E c 0, 5. Calcolo dell altezza dell area eicace di conglomerato teso: d e = c + s V + 7,5 = (3,1cm) + 0 + 7, 5 (2,2cm) = 19,6cm; 957
avendo considerato un ricoprimento delle barre longitudinali tese pari a c = 2, 5cm+ staa = 2,5cm+ 0, 6cm= 3,1cm e avendo considerato l armatura tesa su singolo registro: s V = 0 (vedere igura 16.19). Calcolo del coeiciente di orma del diagramma delle tensioni. Per una generica sezione rettangolare sottoposta a lessione semplice (quindi con asse neutro passante all interno della sezione) si pone k 3 = 0,125. Calcolo area eicace di conglomerato teso. F c e = b e d e = (30 cm)(19,6cm) = 588 cm 2. Calcolo rapporto (di armatura eicace). Considerando le sole armature tese comprese nell area eicace di conglomerato teso, si ha: μ = F e = F = 4(3,80 cm2 ) 0,0259. F ce F ce (588 cm 2 ) Calcolo distanza media delle essure. La distanza media tra le essurazioni a livello delle armature in tensione è descritta dalla relazione: l s rm = 2 c + s H 10 + k 2 k 3 μ. Adottando barre ad aderenza migliorata si pone k 2 = 0,4 e si è precedentemente issato k 3 = 0,125. Dall esame della igura 16.19, si può risalire alla distanza esistente tra una barra longitudinale e la consecutiva in zona tesa. In particolare, tenendo conto che il ricoprimento delle stae (6 ) è pari a c stae = 2,5cm e che il numero delle barre in zona tesa è pari a N = 4, lo spazio esistente tra una barra e la consecutiva deve essere: = b 2[c + ] N stae staa (30 cm) 2 [2,5cm+ 0,6cm] 4(2,2cm) = 5,0cm; N 1 4 1 avendo indicato con b = 30 cm la larghezza della sezione rettangolare della trave. Pertanto, l interasse tra due barre longitudinali tese si calcola: s H = ( / 2)+ 5,0cm+ ( / 2) 7,2cm. Tale distanza si può mantenere come valore perché risulta veriicata la condizione s H < 14= 14(2,2cm) = 30,8cm. Pertanto, sostituendo i valori numerici si ottiene: s rm = 2 (3,1cm) + (7,2cm) + 0, 40,125 (2,2cm) 11,89 cm. 10 0,0259 Calcolo posizione dell asse neutro della sezione omogenizzata interamente reagente. Come anticipato nel paragrai precedenti, considerando la sezione interamente reagente e distinguendo tra conglomerato in trazione e in compressione, per una sezione rettangolare sollecitata da lessione semplice retta deve essere nullo (all equilibrio) il momento statico della sezione reagente: b x 2 + n 2 F b (H x)2 (x h ) n F (h x) = 0. 2 In particolare, ponendo n = n * = 7, 4 e 0, 5, considerando che risulta: H = 50 cm ; b = 30 cm ; h = H h = (50 cm) (4,2cm) = 45,8cm; h = h = 4,2cm; F = 7,60 cm 2 ; F = 15,21 cm 2, sostituendo i valori numerici si scrive (omettendo per ragioni di spazio di esplicitare le unità di misura delle varie grandezze): 958
30 x 2 30 (50 x)2 + 7, 47, 60(x 4,2) 7,60 15,21(45, 8 x) 0, 5 2 2 Risolvendo l equazione, si ottiene il valore x = 22,2cm. = 0. Calcolo momento d inerzia della sezione omogenizzata interamente reagente. Come noto, nel caso di sezione rettangolare semplicemente inlessa, completamente reagente, si deve avere all equilibrio: J = b 3 x 3 + ( H x) 3 + n F ( h x) 2 + n F ( x h) 2. Sostituendo i valori numerici con n = n * = 7, 4 e con x = 22,2cm (omettendo per motivi di spazio le unità di misura), si ha: J = 30 3 22,23 + 0, 5 ( 50 22,2 ) 3 + 7, 415,21 ( 45,8 22,2 )2 + 7, 4 7,6 ( 22,2 4,2) 2. Risolvendo, si ottiene il valore J = 297743cm 4. Calcolo momento di prima essurazione. Nel caso di sezione rettangolare interamente reagente e sottoposta a sollecitazione di lessione semplice retta M, detta ct la massima tensione di trazione nel lembo estremo della sezione, deve essere: ct = M J (H x). Il momento lettente di prima essurazione M F si calcola sempre in condizioni di sezione interamente reagente ma ad incipiente raggiungimento della tensione ct = ctk. Pertanto, si scrive: M F = ctk J (H x) = (16, 2daN / cm 2 ) (297743cm 4 ) 347486 dancm. 0, 5 [(50 22,2) cm] Calcolo posizione asse neutro sezione omogenizzata parzialmente reagente (conglomerato essurato). Per una sezione rettangolare semplicemente inlessa, in ase essurata ( = 0 ) deve risultare all equilibrio: b x 2 + n 2 F (x h ) n F (h x) = 0. Sostituendo i valori numerici, si ha (omettendo le unità di misura per ragioni di spazio): 30 x 2 + 7, 47, 60(x 4,2) 7,60 15,21(45, 8 x) 2 = 0. Risolvendo l equazione, si ottiene x = 14,1cm. Calcolo momento d ineriza sezione omogenizzata parzialmente reagente (conglomerato essurato). Nel caso di sezione rettangolare sempicemente inlessa e in stato essurato, dovendo prescindere dal conglomerato in zona tesa ( = 0 ), deve risultare all equilibrio: J ci = b x 3 3 + n F ( h x) 2 + n F ( x h) 2. Sostituendo i valori numerici con n = n * = 7, 4 e con x = 14,1cm (omettendo le unità di misura per ragioni di spazio), si ha: 959
30 14,13 J ci = 3 + 7,415,21( 45,8 14,1) 2 + 7, 4 7,6 ( 14,1 4,2) 2 146647 cm 4. Calcolo tensioni nelle armature longitudinali tese. Con ovvio signiicato dei simboli, indicando con h = 45,8 cm l altezza utile della sezione resistente, si calcola (con x = 14,1cm): = n * M Se J ci r = n * M F J ci (h x) = 7, 4 (1,4210 6 dancm) [( 45,8 14,1)cm] 2268daN / cm 2 ; (146647 cm 4 ) (347486 dancm) (h x) = 7, 4 [( 45,8 14,1)cm] 555 dan / cm 2. (146647 cm 4 ) Calcolo deormazione unitaria acciai tesi. Avendo adottato delle barre ad aderenza migliorata si assume 1 = 1,0 ; inoltre, si assume un valore medio pari a 2 = (1,0 + 0, 5)/2 = 0,75. La deormazione unitaria (media) dell armatura risulta (nel breve periodo): m = 2 r 1 1 2 E = (2268 dan / cm 2 ) (2,110 6 dan / cm 2 ) 1 1 0,75 (555 dan / cm 2 2 ) (2268 dan / cm 2 ) 0, 00103 È anche veriicata la condizione imposta dalla Normativa: m = 2 r 1 1 2 E 0, 00103 0,4 (2268daN / cm 2 ) = 0, 4 E (2,110 6 dan / cm 2 ) = 0,00043. Veriica stato limite di essurazione. In base alla tabella 16.5, in ambiente molto aggressivo e con armature poco sensibili, per combinazione di carico quasi rara deve risultare w k 0,1mm. Utilizzando la relazione: w k = 1,7 w m = 1,7 m s rm, e sostituendo i valori numerici, si ottiene: w k = 1,7 m s rm = 1,7 (0,00103) (11,89 cm) 0,0208 cm = 0, 21mm. Risultando w k = 0,21 mm > 0,1mm, la sezione della trave non rientra nel limite della veriica positiva. ESEMPIO 4. Seguendo le disposizioni delle Norme Tecniche, si debba veriicare allo stato limite di essurazione (immediatamente all applicazione dei carichi) una sezione di una trave a sezione rettangolare 30 cm x 60 cm con armatura ineriore tesa disposta su doppio registro (vedere particolari in igura 16.20). Supponendo che la trave sia stata conezionata con un conglomerato R ck 25 e con acciai ad aderenza migliorata adottando yk = 430 MPa, considerare una sollecitazione lettente per combinazione di carico requente pari a M Se = 1,86 10 6 dancm in ambiente aggressivo e per armature sensibili. 960
Inserire igura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Ti(cap 16)\Figura 16_20.ti Figura 16.20 Particolari della sezione della trave da veriicare allo stato limite di essurazione. SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali: conglomerato: ck = 207 dan / cm 2 (tab. 9.2_b); ctk = 16,2 dan / cm 2 (tab. 9.2_b); acciaio: yk = 4300 dan / cm 2 (tab. 9.4). Calcolo parametri di progetto per la essurazione. Calcolo coeiciente di omogenizzazione (breve periodo). E c [N / mm 2 ]= 5700 R ck [N / mm 2 ] = 5700 (25 N / mm 2 ) 28500 N / mm 2 ; n * = E = (2,1106 dan / cm 2 ) 7,4. E c (285000 dan / cm 2 ) Si assume, inoltre, per il conglomerato in trazione 0, 5. Calcolo dell altezza dell area eicace di conglomerato teso: d e = c + s V + 7,5 = (3,3cm) + (3,6cm)+ 7, 5 (1,8cm) = 20,4cm; avendo considerato un interasse tra le due ile di barre longitudinali in zona tesa pari a s v = 2 = 2(1,8cm) = 3,6cm (barre tese su doppio registro con distanziatore di altezza pari al diametro delle barre tese = 1,8cm). Inoltre, si è considerato un ricoprimento complessivo delle barre longitudinali più esterne pari a: c = 2, 5cm+ staa = 2,5cm+ 0, 8cm= 3,3cm. Calcolo del coeiciente di orma del diagramma delle tensioni. Per una generica sezione rettangolare sottoposta a lessione semplice (quindi con asse neutro passante all interno della sezione) si pone k 3 = 0,125. Calcolo area eicace di conglomerato teso. F c e = b e d e = (30 cm)(20, 4cm) = 612 cm 2. 961
Calcolo rapporto (di armatura eicace). Considerando le sole armature tese comprese nell area eicace di conglomerato teso, si ha: μ = F e = F = 8 (2,54 cm 2 ) 0,03327. F ce F ce (612 cm 2 ) Calcolo distanza media delle essure. Indicato con N il numero di colonne di barre tese disposte su doppio registro, lo spazio esistente tra una ila di barre e la successiva in zona tesa (vedere igura 16.20: barre tese ineriori su doppio registro) è: = b 2[c + ] N stae staa (30 cm) 2 [2,5cm+ 0,8cm] 4 (1,8cm) = 5,4cm. N 1 4 1 s H = ( / 2)+ 5, 4cm+ ( / 2) 7,2cm con s H < 14= 14(1,8cm) = 25,2cm. Ponendo k 2 = 0,4 e k 3 = 0,125 con = 1,8cm, si ottiene: l s rm = 2 c + s H 10 + k 2 k 3 (7,2cm) = 2 (3,3cm) + + 0, 40,125 (1,8cm) 10,75 cm μ 10 0, 03327 Calcolo posizione dell asse neutro della sezione omogenizzata interamente reagente. In particolare, ponendo n = n * = 7, 4 e 0, 5, considerando che risulta: H = 60 cm ; b = 30 cm ; h = H h = (60 cm) (6,0cm) = 54cm ; h = 4,2cm; F = 10,18 cm 2 ; F = 20,36 cm 2, all equilibrio deve risultare: b x 2 + n 2 F b (H x)2 (x h ) n F (h x) = 0 2 sostituendo i valori numerici si scrive (omettendo per ragioni di spazio di esplicitare le unità di misura delle varie grandezze): 30 x 2 30 (60 x)2 + 7, 410,18(x 4,2) 7, 6020, 36(54 x) 0, 5 = 0. 2 2 Risolvendo l equazione, si ottiene il valore x = 26,7cm. Calcolo momento d inerzia della sezione omogenizzata interamente reagente. Come noto, nel caso di sezione rettangolare semplicemente inlessa, completamente reagente, si deve avere all equilibrio: J = b 3 x 3 + ( H x) 3 + n F ( h x) 2 + n F ( x h) 2. Sostituendo i valori numerici con n = n * = 7, 4 e con x = 26,7cm (omettendo per motivi di spazio le unità di misura), si ha: J = 30 3 26,7 3 + 0, 5 ( 60 26,7) 3 + 7,4 20,36 ( 54 26,7 )2 + 7, 4 10,18 ( 26,7 4,2) 2. Risolvendo, si ottiene il valore J = 525396 cm 4. Calcolo momento di prima essurazione. Nel caso di sezione rettangolare interamente reagente e sottoposta a sollecitazione di lessione semplice retta M, detta ct la massima tensione di trazione nel lembo estremo della sezione, deve essere: ct = M J (H x). 962
Il momento lettente di prima essurazione M F si calcola sempre in condizioni di sezione interamente reagente ma ad incipiente raggiungimento della tensione ct = ctk. Pertanto, si scrive: M F = ctk J (H x) = (16, 2daN / cm 2 ) (525396 cm 4 ) 511613 dancm. 0, 5 [(60 26,7) cm] Calcolo posizione asse neutro sezione omogenizzata parzialmente reagente (conglomerato essurato). Per una sezione rettangolare semplicemente inlessa, in ase essurata ( = 0 ) deve risultare all equilibrio: b x 2 + n 2 F (x h ) n F (h x) = 0. Sostituendo i valori numerici, si ha (omettendo le unità di misura per ragioni di spazio): 30 x 2 + 7, 410,18(x 4,2) 7,6020, 36(54 x) 2 = 0. Risolvendo l equazione, si ottiene x = 17,4cm. Calcolo momento d ineriza sezione omogenizzata parzialmente reagente (conglomerato essurato). Nel caso di sezione rettangolare sempicemente inlessa e in stato essurato, dovendo prescindere dal conglomerato in zona tesa ( = 0 ), deve risultare all equilibrio: J ci = b x 3 3 + n F ( h x) 2 + n F ( x h) 2. Sostituendo i valori numerici con n = n * = 7, 4 e con x = 17,4cm (omettendo le unità di misura per ragioni di spazio), si ha: 30 17,43 J ci = + 7, 4 20,36 ( 54 17,4) 2 + 7, 4 10,18 ( 17,4 4,2) 2 267629 cm 4. 3 Calcolo tensioni nelle armature longitudinali tese. Con ovvio signiicato dei simboli, indicando con h = 54 cm l altezza utile della sezione resistente, si calcola (con x = 17,4cm): = n * M Se J ci r = n * M F J ci (h x) = 7, 4 (1,86 106 dancm) [(54 17,4) cm ]1884daN / cm 2 ; (267629 cm 4 ) (511613 dancm) (h x) = 7, 4 [(54 17,4) cm] 518 dan / cm 2. (267629 cm 4 ) Calcolo deormazione unitaria acciai tesi. Avendo adottato delle barre ad aderenza migliorata si assume 1 = 1,0 ; inoltre, si assume un valore medio pari a 2 = (1,0 + 0, 5)/2 = 0,75. La deormazione unitaria (media) dell armatura risulta (nel breve periodo): m = 2 r 1 1 2 E = (1884 dan / cm 2 ) (2,110 6 dan / cm 2 ) 1 1 0,75 (518 dan / cm 2 2 ) (1884daN / cm 2 ) 0, 00085 È anche veriicata la condizione imposta dalla Normativa: m = 2 r 1 1 2 E 0, 00085 0,6 (1884daN / cm 2 ) = 0,6 E (2,110 6 dan / cm 2 ) = 0,00054. 963
Veriica stato limite di essurazione. In base alla tabella 16.5_b, in ambiente aggressivo e con armature sensibili, per combinazione di carico requente deve risultare w d w 1 = 0, 2mm. Utilizzando la relazione: w d = 1,7 w m = 1,7 m s rm, e sostituendo i valori numerici, si ottiene: w d = 1,7 m s rm = 1,7 (0,00085)(10,75 cm) 0,015 cm = 0,15 mm. Risultando w d = 0,15 mm < w 1 = 0, 2mm, la sezione della trave rientra nel limite della veriica positiva. ESEMPIO 5. Seguendo le disposizioni delle Norme Tecniche, si debba veriicare allo stato limite di essurazione (immediatamente all applicazione dei carichi) una sezione pressoinlessa di una pilastro a sezione rettangolare 30 cm x 50 cm (vedere particolari in igura 16.21). Supponendo che il pilastro sia stato conezionato con un conglomerato R ck 30 e con acciai ad aderenza migliorata adottando yk = 430 MPa, considerare la seguenti sollecitazioni di pressolessione per combinazione di carico requente: N Se = 56700 dan (compressione); M Se = 1,70 10 6 dancm. Si ipotizzi, inine, un ambiente aggressivo e armature sensibili. Inserire igura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Ti(cap 16)\Figura 16_21.ti Figura 16.21 Particolari della sezione del pilastro da veriicare allo stato limite di essurazione. SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali: conglomerato: ck = 249daN / cm 2 (tab. 9.2_b); ctk = 18,3 dan / cm 2 (tab. 9.2_b); acciaio: yk = 4300 dan / cm 2 (tab. 9.4). Calcolo parametri di progetto per la essurazione. Calcolo coeiciente di omogenizzazione (breve periodo). E c [N / mm 2 ]= 5700 R ck [N / mm 2 ] = 5700 (30 N / mm 2 ) 31220 N / mm 2 ; 964
n * = E = (2,1106 dan / cm 2 ) 6,7. E c (312200 dan / cm 2 ) Si assume, inoltre, per il conglomerato in trazione 0, 5. Calcolo dell altezza dell area eicace di conglomerato teso: d e = c + s V + 7,5 = (3,8cm) + 0 + 7, 5 (2,6cm) = 23,3cm; avendo considerato una sola ila orizzontale di barre (singolo registro: s V = 0 ). Inoltre, si è considerato un ricoprimento complessivo delle barre longitudinali più esterne pari a: c = 3,0cm+ staa = 3,0cm+ 0, 8cm= 3,8cm. Calcolo del coeiciente di orma del diagramma delle tensioni. L eccentricità del carico assiale è e 0 = M Se / N Se 30 cm. Essendo la sezione armata con armatura simmetrica, e risultando e 0 > H / 6 = (50 cm)/ 6 8,3cm, il centro di pressione risulta al di uori del nocciolo centrale d inerzia con l asse neutro che, quindi, cade all interno della sezione: pressolessione con elevata eccentricità. Si pone, dunque, k 3 = 0,125. Calcolo area eicace di conglomerato teso. F c e = b e d e = (30 cm)(23, 3cm) = 699 cm 2. Calcolo rapporto (di armatura eicace). Considerando le sole armature tese comprese nell area eicace di conglomerato teso, si ha: μ = F e = F = 4(5, 30 cm2 ) 0,0304. F ce F ce (699 cm 2 ) Calcolo distanza media delle essure. Indicato con N il numero di barre tese disposte su singolo registro, lo spazio esistente tra una ila di barre e la successiva in zona tesa (vedere igura 16.21) è: = b 2[c + ] N stae staa (30 cm) 2 [3,0cm+ 0,8cm] 4 (2,6cm) = 4,0cm. N 1 4 1 s H = ( / 2)+ 4,0cm+ ( / 2) 6,6cm con s H < 14= 14(2,6cm) = 36,4cm. Ponendo k 2 = 0,4 e k 3 = 0,125 con = 2,6cm, si ottiene: l s rm = 2 c + s H 10 + k 2 k 3 (6,6cm) = 2 (3,8cm) + + 0,4 0,125 (2,6cm) 13,20 cm μ 10 0,0304 Calcolo posizione dell asse neutro della sezione omogenizzata interamente reagente. Si deinisce momento statico (rispetto all asse neutro) dell intera sezione omogenizzata interamente reagente la grandezza: S x = b x2 + n 2 F b (H x)2 (x h ) n F (h x). 2 Inoltre, si deinisce momento d inerzia (rispetto all asse neutro) della sezione omogenizzata interamente reagente la grandezza: ( ) 3 J = b 3 x 3 + H x + n F h x ( ) 2 + n F ( x h) 2. 965
Come noto dalla teoria elastica, una sezione sollecitata da pressolessione con grande eccentricità presenta sempre un momento statico non nullo (S x 0 ). Inoltre, la posizione dell asse neutro dal lembo maggiormente compresso del conglomerato soddisa sempre la seguente relazione di antipolarità tra centro di pressione ed asse neutro: x + e H 2 = J. S x Si dimostra che all equilibrio, nel caso di sezione rettangolare sottoposta a pressolessione retta con grande eccentricità, detta con N la generica sollecitazione assiale, si ha: c = N S x x ; ct = N S x (H x) ; = n N (x h ) ; S x = n N S x (h x). In particolare, dalla seconda delle suddette equazioni, ponendo ct = ctk deve corrispondere la sollecitazione assiale di prima essurazione (mantenendo l eccentricità geometrica ovviamente invariata): N N F ; ovvero la sollecitazione lettente di prima essurazione M F = N F e 0. Pertanto, si scriverà: ctk = N F (H x) N F = ctk S x S x (H x). Ponendo n = n * = 6,7 e 0, 5, considerando che risulta: H = 50 cm ; b = 30 cm ; h = H h = (50 cm) (5,1cm) = 44,9cm; h = 5,1cm ; F = 21,20 cm 2 ; F = 21,20 cm 2, si calcola (omettendo le unità di misura per ragioni di spazio): 2 30 x 30(50 x)2 S x = + 6,7 21,2 (x 5,1) 6,7 21,2 (44, 9 x) 0,5 ; 2 2 ( ) 3 + 6,7 21,2 ( 44,9 x )2 + 6,7 21,2 ( x 5,1) 2. J = 30 3 x 3 + 0, 5 50 x Tenendo conto che e 0 = M Se / N Se 29,98 cm e risolvendo per tentativi l equazione di antipolarità: (50 cm) x + (29, 98 cm) J(x ) 2 S x (x) = 0, si ottiene x 30,3cm. Sostituendo il valore trovato per l asse neutro, nell espressione del momento statico e del momento d inerzia (della sezione omogenizzata interamente reagente), si trova rispettivamente: S x (x = 30,3) 12388 cm 3 ; J(x = 30,3) 437240 cm 4. Calcolo sollecitazioni pressolettenti di prima essurazione. In virtù della già vista equazione: N F = ctk S x (H x) = (18, 3 dan / cm2 )(12388 cm 3 ) 23031 dan. 0, 5 [( 50 30, 3) cm] Il corrispondente momento di prima essurazione si calcola immediatamente: 966
M F = N F e 0 = (23031 dan)(29,98 cm) 6, 9 10 5 dancm. Calcolo posizione asse neutro sezione omogenizzata parzialmente reagente (conglomerato essurato). Per una sezione rettangolare soggetta a pressolessione retta, in ase essurata ( = 0 ) deve risultare all equilibrio: S x = b x 2 + n 2 F (x h ) n F (h x) 0, con momento d inerzia della sezione parzializzata ( J J ci ) pari a: J ci = b x 3 3 + n F ( h x) 2 + n F ( x h) 2. Sostituendo i valori numerici, si ottiene: 2 30 x S x = + 6,7 21,2 (x 5,1) 6,7 21,2 (44, 9 x) 2 ; 3 30 x J ci = + 6, 7 21,2 ( 44,9 x) 2 + 6, 7 21,2 ( x 5,1) 2. 3 Risolvendo, anche in questo caso per tentativi, l equazione di antipolarità: (50 cm) x + (29, 98 cm) J (x ) ci 2 S x (x ) = 0, si ottiene: x 24, 4cm. Sostituendo il valore trovato per l asse neutro, nell espressione del momento statico e del momento d inerzia (della sezione omogenizzata parzialmente reagente) si trova, rispettivamente: S x (x = 24, 4) 8783 cm 3 ; J ci (x = 24,4) 258268 cm 4. Calcolo tensioni nelle armature longitudinali tese. Sruttando le equazioni monomie introdotte precedentemente (in questo caso, dovendo considerare la sezione parzializzata S x S x ), si ha con N = N Se : = n N Se S x (56700 dan) (h x)= 6,7 (8783 cm 3 ) [(44,9 24,4) cm ]886 dan / cm 2. Inoltre, sempre ponendo S x S x ma con N = N F, si ha: r = n N F S x (23031 dan) (h x) = 6,7 (8783 cm 3 ) [( 44,9 24, 4) cm] 360 dan / cm2. Calcolo deormazione unitaria acciai tesi. Avendo adottato delle barre ad aderenza migliorata si assume 1 = 1,0 ; inoltre, si assume un valore medio pari a 2 = (1,0 + 0, 5)/2 = 0,75. La deormazione unitaria (media) dell armatura risulta (nel breve periodo): m = 2 r 1 1 2 (886 dan / cm 2 ) E = (2,110 6 dan / cm 2 ) 1 1 0,75 (360 dan / cm 2 2 ) (886 dan / cm 2 ) 0,00037 È anche veriicata la condizione imposta dalla Normativa: m = 2 r 1 1 2 E 0, 00037 0, 6 (886 dan / cm 2 ) = 0,6 E (2,1 10 6 dan / cm 2 ) = 0,00026. 967
Veriica stato limite di essurazione. In base alle tabelle 16.1_a e 16.1_b, in ambiente aggressivo e con armature sensibili, per combinazione di carico requente deve risultare w d w 1 = 0, 2mm. Utilizzando la relazione: w d = 1,7 w m = 1,7 m s rm, e sostituendo i valori numerici, si ottiene: w d = 1,7 m s rm = 1,7 (0,00037)(13,21cm) 0,008 cm = 0,08 mm. Risultando w d = 0,08 mm < w 1 = 0,2mm, la sezione del pilastro rientra abbondantemente nel limite della veriica positiva. 968