1. I poligoni inscritti Quando un poligono è inscritto in una Un poligono è inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici appartengono alla circonferenza Se un poligono è inscritto in una circonferenza, la circonferenza è circoscritta al poligono Quando un poligono è inscrittibile in una Un poligono è inscrittibile in una circonferenza quando gli assi dei suoi lati passano per uno stesso punto. Il punto di incontro degli assi è detto circocentro Il circocentro è equidistante dai vertici del poligono inscrittibile in una circonferenza. a) Poligoni particolari inscrittibili Triangoli Tutti i triangoli sono inscrittibili in una circonferenza Ricorda: Da tre punti sul piano da essi passa sempre una sola circonferenza Nel triangolo rettangolo il circocentro è sul punto medio dell'ipotenusa 2 Nel triangolo equilatero il circocentro dista dai vertici 3 x 1 2 3 l= 1 3 (3) Nei triangoli ottusangoli il circocentro è esterno al triangolo, nei triangoli acutangoli è interno. Pag. 1
Quadrilateri Quando un quadrilatero è inscrittibile in una Un quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza quando gli angoli opposti sono supplementari. Quadrilateri particolari inscrittibili I rettangoli I trapezi isosceli I quadrati 2. I poligoni circoscritti Quando un poligono è circoscritto ad una Un poligono è circoscritto ad una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza Se un poligono è circoscritto ad una circonferenza, la circonferenza è inscritta nel poligono Quando un poligono è circoscrittibile a una Un poligono è circoscrittibile ad una circonferenza quando le bisettrici dei suoi angoli passano per uno stesso punto. Pag. 2
Il punto di incontro delle bisettrici è detto incentro L'incentro è equidistante dai lati del poligono. Il raggio della circonferenza inscritta nel poligono è detto apotema del poligono. a) Poligoni particolari circoscrittibili Triangoli Tutti i triangoli sono circoscrittibili ad una circonferenza Nel triangolo equilatero l'incentro dista dai lati 1 3 x 1 2 3 l=1 6 (3) Quadrilateri Quando un quadrilatero è circoscrittibile ad una Un quadrilatero è circoscrittibile ad una circonferenza se la somma dei lati opposti è uguale. Quadrilateri particolari circoscrittibili I rombi I deltoidi I quadrati I trapezi isosceli e i trapezi scaleni che hanno la somma delle basi uguale alla somma dei lati obliqui. 5,74+4,17=5,13+4,78=9,91 Pag. 3
3. I poligoni regolari Un poligono è regolare se ha i lati e gli angoli congruenti. Tutti i poligoni regolari sono inscrittibili e circoscrittibili Il raggio della circonferenza inscritta (OH) è detto apotema del poligono Il raggio della circonferenza circoscritta è detto raggio del poligono Come costruire un poligono regolare a partire da una Triangolo equilatero: dividere con il compasso la circonferenza in sei archi congruenti con apertura uguale al raggio e unirli a due a due con tre corde. L'apotema è uguale un terzo dell'altezza del triangolo oppure un mezzo del raggio a= h 3 = r 2 Il lato è uguale al doppio dell'apotema per la radice di 3 oppure al raggio per la radice di 3 l=2a (3)=r (3) Quadrato: dividere la circonferenza in quattro parti congruenti con due diametri perpendicolari. Pag. 4
L'apotema (OH) è uguale al raggio diviso la radice di due ed è uguale a metà lato. a= r (2) = l 2 Il lato è uguale al doppio dell'apotema o due volte il raggio diviso la radice di due l=2a=2 r (2) Esagono: dividere la circonferenza in sei parti congruenti con apertura del compasso uguale al raggio. L'apotema (OH) è uguale al raggio diviso la radice di due ed è uguale a metà lato. a= r (2) = l 2 Il lato è uguale al doppio dell'apotema o due volte il raggio diviso la radice di due l=2a=2 r (2) Pag. 5