MATEMATICA Lo sviluppo delle abilità relative alla conoscenza del numero e al calcolo Casale Monferrato 17/18 aprile 2009 Log.Graziella Tarter 1
Abilità cognitive e abilità di numero Piaget: prime teorie sul concetto di numero (1941) la conoscenza numerica si evolve nel momento del passaggio dal pensiero irreversibile e preoperatorio al pensiero concreto reversibile (5 6 anni), e ancora questo permette la padronanza delle operazioni logiche, necessarie per coordinare i dati secondo regole di volta in volta diverse, e delle operazioni spazio temporali,che consentono di riconoscere come invarianti i rapporti spaziali topologici, metrici, di quantità, durata, ecc, inoltre produrre la sequenza verbale dei numeri non è indice di saper contare utilizzando il concetto di numero 2
Lo sviluppo della conoscenza numerica le teorie moderne L idea di numero è astratta, secondo Piaget appartiene al pensiero operatorio (5-6 anni), invece la ricerca scientifica ha mostrato che anche i neonati vedono e sentono la numerosità (e anche molte specie animali) Esiste una competenza numerica preverbale innata e indipendente dal linguaggio e dai simboli per piccole numerosità, invece per capacità più avanzate abbiamo bisogno dell istruzione, cioè acquisire strumenti concettuali forniti dalla cultura (Butterworth,1999) 3
Pensiero neopiagetiano e sviluppo numerico È presente nel bambino uno schema primitivo verbale e sequenziale per il conteggio verbale È attivo anche uno schema primitivo spaziale analogico per individuare la numerosità relativa (sono di più/di meno) e le operazioni concrete di aggiungere e togliere Serve l interconnessione di questi due schemi primari (l uno verbale e l altro spaziale) per costituire la linea del conteggio i cui movimenti in avanti e indietro corrispondono all aggiungere e al togliere 4
Conseguenza del processo: Conseguiti gli schemi di numerosità e di operatività concreta, associati allo schema nuovo della abilità di conteggio, verranno differenziate le relazioni esistenti nel sistema dei numeri e verranno successivamente apprese le capacità attive di calcolo sia nella forma concettuale sia nella forma scritta 5
Lo sviluppo della conoscenza numerica le abilità innate I neonati possiedono l abilità di discriminare piccole quantità (Antell e Keating, 1983; Wynn, 1995 e moltissimi altri), tale abilità di subitizing riguarda quantità di tre/quattro elementi La numerosità a pochi mesi di vita permette di compiere operazioni additive (+1) e sottrattive (-1) L abilità innata relativa alla numerosità è molto potente e permette al neonato di nutrire aspettative aritmetiche compiendo addizioni e sottrazioni 6
Rapporto numeri - linguaggio Le quantità si esprimono con parole (lessico) Le parole-numero rappresentano un legame simbolico convenzionale La quantità si può individuare non solo contando, ma anche attraverso un processo di subitizing (riconoscimento visivo intuitivo per insiemi di pochi elementi) che è veloce e accurato La quantità si può individuare anche attraverso un processo di stima (per insiemi maggiori di 6 7 elementi) che è meno preciso e accurato (Gallistel e Gelman 1992) 7
Contare è il primo collegamento tra capacità innate e cultura La conta è una abilità che si sviluppa gradualmente tra i 2 e i 5 anni, è guidata da tre principi impliciti che si ampliano e completano gradualmente: 1. Principio della corrispondenza biunivoca (ogni elemento contato deve corrispondere a una parolanumero e viceversa) 2. Principio dell ordine stabile (le parole numero devono seguire un ordine stabile ed inalterabile) 3. Principio della cardinalità (l ultima parola-numero rappresenta la numerosità totale) Gelman e Gallister, 1978; Fuson 1991 8
Capacità di conteggio La numerazione in senso crescente è un processo di tipo linguistico sequenziale, altamente automatizzato, ritualizzato da molte ripetizioni, inizialmente meccanica e sganciata da qualsiasi concetto di numero, poi assume un significato rappresentativo di quantità quando viene usata per contare Anche dopo aver capito che le parole-numero si riferiscono ad insiemi di elementi, passa circa un anno prima che il bambino capisca che il sistema del conteggio rappresenta la numerosità La conta decrescente non è altrettanto automatizzata e per i numeri a due cifre richiede il controllo metacognitivo della procedura 9
Le due procedure differiscono per: Velocità di esecuzione (conta crescente/veloce conta decrescente/lenta) Livello di automatizzazione (impegno cognitivo attivo basso per conta crescente / alto per conta decrescente) Possibilità di errore (minore per conta crescente/ maggiore per conta decrescente) Errori più frequenti: diminuzione scalare di decine ed unità,passaggio delle decine, omissione di intere decine, difficoltà articolatorie che ostacolano la produzione del lessico numerico 10
Conseguenze didattiche L apprendimento del conteggio linguistico crescente è un passaggio essenziale per capire che la posizione ordinale delle parole-numero è la chiave per comprendere la rappresentazione del numero L esercizio rafforza l abilità e permette il passaggio da una parola-numero all altra come un automatismo linguistico di sequenza di conta che può partire da qualsiasi numero della serie ed è governato da una relazione di prima e dopo Su questa sequenza si possono innestare le operazioni di calcolo additivo La conta decrescente dovrebbe essere padroneggiata almeno per la prima decina per permettere il calcolo sottrattivo 11
La scrittura della matematica l elemento centrale della competenza nella matematica scritta è la padronanza del rapporto tra simbolo e referente, ossia la capacità di ritornare al significato partendo dalle rappresentazioni scritte (Hiebert, 1988) 12
Scrittura e lettura dei numeri Questa capacità si sviluppa attraverso varie fasi: Il bambino fa delle notazioni con carattere informativo nullo per l osservatore ma rilevanti a livello personale Corrispondenza biunivoca di segni più o meno astratti per contare Notazione convenzionale con il formato numerale Nb: il processo è graduale anche all interno delle tappe fino alla capacità di comprendere il valore del simbolo numerico non solo quale sostituto dell oggetto, ma quale rappresentante la numerosità 13
Le regole della letto-scrittura dei numeri e gli errori possibili Meccanismi lessicali:uso del nome dei numeri, (leggo e mi rappresento 7 invece di 4 = uso un nome sbagliato) Meccanismi sintattici: costruzione del nome dei numeri (errori legati alla sintassi interna del numero per difficoltà di riconoscimento delle posizioni delle cifre : 3 unità e 4 decine= 34) Meccanismi semantici: posizione del numero nella linea dei numeri (dati i numeri 5,12,27,45 in che posizione inserisco 41?), definisce quanto vale un numero rispetto ad un altro o ad altri numeri 14
Lessico dei numeri Numeri primitivi: le unità 1-2-3-4-5-6-7-8-9 / la linea dei dici 11-12-13-14-15-16 / le decine 10-20-30-40-50-60-70-80-90 Miscellanea: cento mille milioni - decimi centesimi Esempio: 8426= 8 (np) mila (m) 4 (np) cento (m) 20 (np) 6 (np) Per leggere e scrivere questo numero di quattro cifre devono essere individuate sei unità lessicali (e 8416 oppure1416 o 1400 0 1016?) 15
Sintassi e semantica dei numeri Costruzione sintattica del numero = valore numerico, perché determina la posizione delle cifre all interno del numero La memoria verbale è fortemente implicata, spesso sono richiesti più span di memoria verbale del numero delle cifre che compongono il numero (per la presenza di parole miscellanea) La scomposizione numerica è affidata alla costruzione sintattica e al lessico (dici/dicia/enti/enta/ anta = decina), ed è indispensabile per il calcolo mentale Il valore semantico è codificato nel nome del numero che è costruito attraverso i rapporti sintattici (7823 > 7822 < 9135) 16
Conseguenze didattiche 1 L accesso alla conoscenza numerica è mediato dalla comprensione della quantità e dalla padronanza del codice dei numeri arabi Dai dati sperimentali sappiamo che i numeri arabi sono rappresentati internamente su una linea che procede da sx verso dx e che i numeri diventano man mano più fitti procedendo lungo la linea verso l infinito Il confronto tra quantità è più difficile se i numeri occupano posti vicini(34 vs 36 rispetto a 32 vs 38), ed è più rapido con i numeri più vicini rispetto ai numeri più lontani (42 vs 54 rispetto a 48 vs 54) 17
Conseguenze didattiche 2 È importante confrontarsi col sistema di notazione scritto dei numeri arabi, saper trasformare l etichetta numerica nella quantità che essa rappresenta La prima e la seconda decina non sono sufficienti per capire il lessico e la sintassi dei numeri (17 nr primitivi e solo 3 a costruzione sintattica) La rappresentazione interna ha bisogno di svilupparsi attraverso l apprendimento di capacità di stima delle quantità, di comparazione di cifre, di seriazione di numeri, ma anche di semplice scrittura e lettura di numeri 18
Dal sistema dei numeri al sistema del calcolo Solo quando i meccanismi di controllo del numero si sono sviluppati, attraverso una evoluzione che va dal riconoscimento preverbale delle quantità (uno/due/tre/tendente al quattro) al sistema del conteggio, infine poi con l apprendimento della lettura e scrittura dei numeri elementari, possono aver corso i meccanismi del calcolo. 19
SISTEMA DEL CALCOLO (modello di McCloskey e coll.) Sistema di comprensione dei numeri (input) Sistema di produzione dei numeri (output) ELABORAZIONE DEI SEGNI DELLE OPERAZIONI MAGAZZINO DEI FATTI ARITMETICI PROCEDURE DI CALCOLO Tutti insieme si confrontano con la rappresentazione interna astratta del numero 20
Sistema del calcolo Elaborazione dei segni delle operazioni Magazzino dei fatti aritmetici Procedure di calcolo Sistema di comprensione dei numeri Rappresentazione interna astratta Del numero Sistema di produzione dei numeri 21
Sistema di comprensione dei numeri (input) Trasforma la struttura superficiale dei numeri, espressi in codice verbale o scritto, in una rappresentazione astratta della quantità Permette di leggere (4/quattro) o sentire fonologicamente il numero (per il calcolo orale) Permette di capire/decodificare il numero attraverso la sua struttura sintattica Ne fornisce una rappresentazione concettuale semantica per identificare le informazioni relative alla quantità 22
Il sistema di produzione dei numeri (output) Permette di scrivere i numeri o produrli oralmente Permette di produrre/codificare il numero attraverso la struttura sintattica Ne fornisce una rappresentazione concettuale semantica per identificare le informazioni relative alla quantità La confronta con la rappresentazione interna astratta del numero (nella sua espletazione completa permette di comprendere la congruità del risultato) 23
Il sistema del calcolo perciò: In entrata assume la rappresentazione astratta del numero La manipola attraverso i segni delle operazioni, i fatti aritmetici, gli algoritmi di calcolo In uscita emette un risultato di calcolo controllato dalla rappresentazione astratta del numero 24
1 - I segni delle operazioni Possono essere espressi in forma verbale (più, uguale, radice di) o scritta (+,=, ) Devono essere riconosciuti per stabilire l operazione da compiere Sono le informazioni che vengono elaborate per prime Sono archiviate nella memoria a lungo termine e appartengono alle conoscenze dichiarative (di informazioni conosciute) 25
2 - I fatti aritmetici Sono le unità più semplici nelle quali è possibile scomporre l operazione La soluzione è data dal recupero diretto dalla memoria, senza accesso alle procedure di calcolo (tabelline, addizioni e sottrazioni entro la decina, ecc.) Sono archiviate nella memoria a lungo termine come conoscenza dichiarativa (è una informazione conosciuta) 26
L apprendimento iniziale dei F.A. 1 L apprendimento iniziale dei f.a. avviene attraverso la conta ed inizia con la procedura additiva (+1) Utilizza come primo supporto naturale le dita, non sempre usate però con procedura corretta La prima operazione che il bambino compie per sganciarsi dalla conta ed entrare nei f.a. è saper individuare immediatamente con le dita il numero senza contare e in diverse configurazioni 27
L apprendimento dei F.A. 2 Sono f.a. i risultati di operazioni semplici entro la decina, oltre tale numero intervengono le procedure di calcolo Le operazioni semplici ad una cifra si stabiliscono nella memoria verbale dichiarativa a lungo termine attraverso un processo di reiterate ripetizioni Poiché il supporto dei f.a. è la memoria verbale, l obbiettivo principale è quello di non sovraccaricarla 28
Gli errori I f.a. sono archiviati con una struttura a rete e i risultati delle operazioni elementari sono dati dalle intersezioni. L errore più frequente è la confusione tra dati moltiplicativi ed additivi (2x5=7 9+2=18) La memorizzazione si rafforza ogni volta che il sogg. produce una risposta per l operazione e il risultato è coerente con il tipo di immagazzinamento, anche quando questo è errato. 29
L intervento Se vi è una difficoltà di memoria a lungo termine di tipo dichiarativo è inutile impuntarsi, spesso l abilità di contare su basi diverse aiuta a risolvere il problema per la moltiplicazione e divisione Possono essere imparate alcune tabelline (2, 5, 10) per utilizzarle con procedure di combinazione, scrivendo a parte i risultati intermedi per non sovraffaticare la memoria di lavoro Per il calcolo veloce è bene usare tabelle a doppia entrata, il cui uso permette una memorizzazione visiva piuttosto che verbale 30
3 - Gli algoritmi di calcolo Sono archiviate nella memoria a lungo termine come conoscenze procedurali Nel calcolo scritto regolano la forma grafica che assume la singola operazione, l incolonnamento, la direzione spaziale e temporale delle azioni intermedie e le regole per usufruirne Nel calcolo mentale regolano le scomposizioni da operare per ottenere operazioni intermedie più semplici: così la procedura di calcolo è più flessibile, ma satura maggiormente la memoria verbale di lavoro 31
L apprendimento degli algoritmi 1 L apprendimento delle procedure di calcolo evolve dalla conta crescente e decrescente quale risultato di N+1 o di N-1 Utilizza come supporto naturale le dita e la capacità di far corrispondere ad ogni dito una parola-numero L intervento iniziale dell insegnante dovrebbe prevedere l accertamento delle conoscenze degli alunni e successivamente l istruzione sul corretto uso delle dita In prima elementare è opportuno inserire questo apprendimento nel piano di lavoro per la matematica 32
L apprendimento iniziale 2 La procedura additiva deve saturare le dita di una mano prima di usare l altra, in questa fase è importante imparare a contare a partire dalla mano satura (5) Quando la somma supera la decina, il primo numero deve essere memorizzato, il secondo numero va visualizzato con le dita e successivamente la conta può cominciare a partire dalla prima cifra memorizzata La procedura successiva prevede che venga memorizzato non più il primo numero, ma il più grande tra i due addendi 33
L apprendimento iniziale 3 La formalizzazione della procedura sottrattiva evolve dalla conta decrescente La conoscenza del bambino pertanto è limitata all esperienza di sottrarre, didatticamente è rappresentata dal calcolo che procede dall alta verso il basso ed ottiene come risultato un resto La competenza logica della sottrazione come differenza avviene più tardi e si formalizzerà come calcolo che procede dal sottrendo al minuendo ed ottiene come risultato una differenza La presentazione precoce o contemporanea delle due possibilità ingenera l errata percezione di una proprietà commutativa possibile anche per la sottrazione 34
Gli errori Gli errori negli algoritmi di calcolo derivano o dalla conoscenza parziale delle procedure, o dalla difficoltà di mantenimento delle stesse fino alla fine, oppure dall applicazione di procedure sbagliate In tutti i casi non va sottolineato l errore finale, ma va analizzato il processo per capire dove scatta l errore di procedura: è l unico modo per intervenire con successo. La memoria a lungo termine di tipo procedurale richiede un elevato impegno linguistico 35
L intervento L analisi dell errore di calcolo, compiuta su un campione di calcoli o con la esplicita verbalizzazione del processo da parte del sogg., permette di intervenire precocemente per insegnare procedure facilitanti (es: parti dal numero più grande per sommare), l uso dei prestiti e riporti, il superamento di errori visuospaziali, ecc È importante la esplicitazione verbale sia della procedura di calcolo, sia dei processi intermedi, perché l algoritmo venga padroneggiato e riversato correttamente nella memoria a lungo termine (di tipo procedurale) Una volta ottenuto il risultato, vanno insegnate le procedure di controllo per riflettere sull operazione (confronto con la rappresentazione interna astratta) 36
L individuazione dell intervento L insegnante può propone delle prove didattiche opportunamente predisposte (alcune collettive ed altre individuali) per visualizzare eventuali difficoltà di apprendimento Tale verifica è possibile in ogni classe a partire dall inizio della scolarità, è maggiormente produttiva in terza e quarta elementare perché permette di verificare la sistematizzazione degli apprendimenti di base Permette di rispondere alle difficoltà con un intervento didattico adeguato 37
Test di valutazione delle abilità di calcolo AC-MT Creato per la scuola, veloce nella somministrazione, prevede prove collettive di classe e prove individuali Risponde all impianto teorico di differenziare le competenze numeriche dalle competenze di calcolo Registra anche il grado di automatizzazione degli apprendimenti attraverso il rilevamento di alcune velocità di esecuzione (una competenza è tanto più veloce quanto più è eseguita in automatismo) Ha dei valori statistici di riferimento distinti per l inizio dell anno scolastico (fino a dic.) e la fine dello stesso (da aprile e giugno) 38
Prove collettive Per valutare la competenza numerica sono richiesti giudizi di numerosità, trasformazioni di cifre, ordinamenti di serie numeriche Per valutare l applicazione degli algoritmi di calcolo e l interpretazione dei segni numerici prevede prove di calcolo scritto 39
Prove individuali Per la competenza numerica sono previste prove di conteggio crescente o decrescente e di dettato di numeri Per il calcolo sono previsti calcoli scritti e a mente Per i fatti aritmetici sono fatte richieste adeguate ad indagarli Per la conta, il calcolo e i f.a. viene rilevato il tempo di esecuzione (oltre che l accuratezza) al fine di evidenziare l automatizzazione 40
I test clinici Sono utilizzati in ambito clinico per la valutazioni di particolari situazioni di difficoltà Richiedono la somministrazione di prove analitiche per le competenze relative al numero e al calcolo Sono condivisce dalla comunità scientifica: ABCA, BDE, SPM 41
Prove Erickson Prova collettiva (III IV ) Metti in ordine dal più piccolo al più grande (5) 64 120 29 98 Metti in ordine dal più grande al più piccolo (5) 69 110 26 92 Scrivi il numero che viene prima e quello che viene dopo (10) 34 42
Prove Erickson Prova collettiva (III IV ) Scrivi i numeri che verranno dettati (10) 4 moltiplicazioni (in linea/colonna) per la III numeri a 2 cifre con moltiplicatore a 1 cifra, per la IV numeri a 2/3 cifre con moltiplicatore a 1/2 cifre 4 addizioni e 4 sottrazioni Segna la posizione del numero: 23 (5) 18 21 30 43
Valutazione della prova collettiva Seriazione di numeri crescente e decrescente = capacità semantica Linea dei numeri = capacità sintattica, lessicale e semantica Scrittura di numeri = capacità sintattica e lessicale Inserzioni = capacità semantica Calcolo = segni delle operazioni, fatti numerici, algoritmi di calcolo 44
Prove Erickson Prova individuale (III IV ) Prova di conteggio crescente (35-65) tempo e correttezza Prova di conteggio decrescente (65-35) tempo e correttezza Tabellina del 4 Tabelline saltate (5) Addizioni e sottrazioni veloci (5+5) Calcolo a mente con + e - (10) 45
Valutazione della prova individuale Conteggio crescente = memoria verbale Conteggio decrescente = controllo metacognitivo della memoria verbale Tabellina/tabelline saltate / operazioni veloci = controllo dei fatti aritmetici (memoria verbale dichiarativa) Calcolo a mente = algoritmo di calcolo e strategie (memoria verbale procedurale + memoria verbale di lavoro) 46