ALGEBRA I NUMERI RELATIVI PREREQUISITI l conoscere le proprietaá delle quattro operazioni con i numeri naturali e saperle applicare l svolgere calcoli con le frazioni CONOSCENZE gli insiemi Z, Q, R la rappresentazione grafica di numeri relativi il valore assoluto dei numeri relativi le quattro operazioni con i numeri relativi le potenze e le radici con i numeri relativi ABILITAÁ A conoscere il concetto di numero relativo e distinguere i vari insiemi numerici B rappresentare e confrontare i numeri relativi C applicare le procedure per eseguire le quattro operazioni con i numeri relativi D applicare le procedure per eseguire le potenze e le radici con i numeri relativi PER RICORDARE I numeri relativi: i numeri relativi sono i numeri interi, razionali e irrazionali, sia positivi che negativi; i numeri interi relativi si indicano con la lettera Z; Z gli interi positivi e Z gli interi negativi; i numeri razionali relativi si indicano con la lettera Q; Q i razionali positivi e Q i razionali negativi; i numeri irrazionali relativi si indicano con la lettera I; I gli irrazionali positivi e I gli irrazionali negativi; il valore assoluto di un numero relativo eá il numero stesso senza segno; 6 due numeri relativi concordi hanno lo stesso segno; 7 due numeri relativi discordi hanno segno diverso; 8 due numeri relativi discordi aventi lo stesso valore assoluto sono opposti o simmetrici; 9 lo zero eá maggiore di ogni numero negativo ed eá minore di ogni numero positivo; 0 ogni numero positivo eá maggiore di ogni numero negativo; dati due numeri positivi eá maggiore quello che ha il valore assoluto maggiore; dati due numeri negativi eá maggiore quello che ha il valore assoluto minore Le quattro operazioni con i numeri relativi: la somma di due numeri relativi concordi eá un numero relativo che ha lo stesso segno degli addendi e per valore assoluto la somma dei valori assoluti; la somma di due numeri relativi discordi eá un numero relativo che ha lo stesso segno dell'addendo avente valore assoluto maggiore e per valore assoluto la differenza dei valori assoluti; la somma di due numeri relativi opposti eá uguale a 0; 6 la differenza di due numeri relativi si ottiene effettuando la somma del primo con l'opposto del secondo; 7 il prodotto di due numeri relativi eá un numero relativo che ha come valore assoluto il prodotto dei valori assoluti e segno positivo se i due numeri sono concordi, segno negativo se i due numeri sono discordi;
I NUMERI RELATIVI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 8 il quoziente di due numeri relativi eá un numero relativo che ha come valore assoluto il quoziente dei valori assoluti e segno positivo se i due numeri sono concordi, segno negativo se i due numeri sono discordi Le potenze e le radici quadrate con i numeri relativi: 9 la potenza di un numero relativo avente la base positiva eá sempre positiva, sia che l'esponente sia pari sia che l'esponente sia dispari; 0 la potenza di un numero relativo avente la base negativa eá positiva se l'esponente eá pari, eá negativa se l'esponente eá dispari; la potenza di frazione con esponente negativo eá uguale alla frazione reciproca (invertendo il numeratore con il denominatore) elevata all'esponente positivo; la radice quadrata di un numero relativo positivo eá uguale sia al valore positivo che negativo della radice quadrata del valore assoluto; la radice quadrata di un numero relativo negativo non esiste nell'insieme dei numeri reali ESERCIZI DI CONOSCENZA Indica in quali fra le seguenti situazioni puoá essere necessario ricorrere ai numeri relativi: a misurare il peso di un oggetto; b esprimere l'anno di nascita di Euclide; c confrontare l'attivo e il passivo di un conto corrente bancario; d indicare il numero degli alunni della tua classe; e misurare la temperatura di una data localitaá di montagna nei vari mesi dell'anno Completa le seguenti definizioni: a i numeri interi preceduti dal segno costituiscono l'insieme dei ; tale insieme si indica con ; b i numeri interi preceduti dal segno costituiscono l'insieme dei ; tale insieme si indica con Metti al posto dei puntini il simbolo corretto: a Z [ Z ˆ :::::; b Q [ Q ˆ :::::; c Z [ Q [ I ˆ :::::; d Z \ N ˆ ::::: Completa la seguente definizione: il valore assoluto di un numero relativo eá Indica il valore assoluto dei seguenti numeri: a ; b ; c 6 Due numeri relativi si dicono concordi quando hanno: a segno opposto; b lo stesso valore assoluto; c lo stesso segno 7 Completa le seguenti frasi: a due numeri relativi si dicono discordi quando ; b due numeri relativi si dicono opposti quando 8 Completa le seguenti proprietaá: a lo zero eá maggiore ; b lo zero eá di un qualsiasi numero positivo; c un qualsiasi numero positivo eá di un qualsiasi numero negativo; d dati due numeri positivi, eá maggiore quello che ha ; e dati due numeri negativi, eá quello che ha valore assoluto maggiore
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS I NUMERI RELATIVI 9 La somma di due numeri interi relativi concordi eá un numero relativo che ha: a lo stesso segno degli addendi e per valore assoluto la somma dei valori assoluti; b lo stesso segno dell'addendo avente valore assoluto maggiore e per valore assoluto la differenza dei valori assoluti 0 Quanto vale la somma di due numeri relativi opposti? Completa la seguente regola: la differenza tra due numeri relativi si ottiene effettuando del primo del secondo Completa la seguente tabella relativa al segno del risultato di una moltiplicazione: fattori Completa la seguente regola: il quoziente fra due numeri relativi eá un numero relativo che ha come valore assoluto, segno positivo se i due numeri sono, segno negativo se Come deve essere il valore dell'esponente affincheâ la potenza sia sempre positiva indipendentemente dal valore della base? Completa la seguente regola: la potenza di un numero intero relativo con esponente negativo eá una frazione con il numeratore uguale a e il denominatore uguale del numero intero con esponente 6 La potenza di una frazione con esponente negativo eá uguale: a alla frazione reciproca con l'esponente negativo; b alla frazione stessa con l'esponente positivo; c alla frazione reciproca con l'esponente positivo ESERCIZI DI ABILITAÁ ) LIVELLO BASE * I numeri relativi L'estratto conto della Signora Sandra dava alla fine del mese di Novembre un attivo di E Dopo aver osservato attentamente la tabella rispondi alle seguenti domande Data Importo in E / 00 7/ 0 / 9/ 00 7/ 0 / 0
I NUMERI RELATIVI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS a Quanti prelievi sono stati effettuati e per quale somma complessiva? b Quanti versamenti sono stati depositati e per quale somma complessiva? c Qual eá il saldo il Dicembre? d Qual eá il saldo il Dicembre? a Nella colonna degli importi ci sono due importi negativi (corrispondenti ai due prelievi) per una cifra complessiva di Euro: 0 Š ˆ 0 ˆ 7: b Nella colonna degli importi ci sono inoltre quattro importi positivi (quattro versamenti) per una cifra complessiva di Euro: 00 00 0 0 ˆ700 c Sapendo che il saldo alla fine del mese di Novembre era di, il saldo al Dicembre eá di: E 00 0 ˆE 0 d Il saldo al Dicembre eá: E 0 00 0 0 ˆE 60: L'estratto conto del Signor Marco dava alla fine del mese di Giugno un attivo di E 0 Dopo aver osservato attentamente la tabella rispondi alle seguenti domande Data Importo in E /07 0 7/07 0 /07 00 9/07 0 /07 a Quanti prelievi sono stati effettuati e per quale somma complessiva? b Quanti versamenti sono stati depositati e per quale somma complessiva? c Qual eá il saldo il Luglio? d Qual eá il saldo il Luglio? La rappresentazione dei numeri interi relativi Disegna una retta orientata e, dopo aver stabilito l'unitaá di misura, rappresenta i seguenti numeri interi relativi: 6; ; 0; ; 7; ; Per rappresentare un numero relativo su una retta orientata basta fissare il punto O (origine) corrispondente al valore 0 (zero) Dopo aver definito l'opportuna unitaá di misura, procedendo da 0 verso sinistra si segneranno i valori negativi, procedendo da 0 verso destra si segneranno i valori positivi Rappresenta su una retta orientata i seguenti numeri interi relativi: 8; ; 0; ; ; 6; 9: La rappresentazione dei numeri reali relativi p Rappresenta i numeri p e su una retta orientata
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS I NUMERI RELATIVI p 6 Rappresenta i numeri p 8 e 8 7 p Ricordiamo che la rappresenta l'ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti sono lunghi rispettivamente e unitaá In riferimento alla figura otteniamo quindi: p OB ˆ p ˆ p ˆ Pertanto riportando tale segmento sulla retta orientata mediante una semicirconferenza otteniamo, a partire da 0 e verso sinistra, p l'immagine di ; riportando invece il segmento verso destra, p sempre a partite da 0, otteniamo l'immagine di su una retta orientata La somma di due numeri interi relativi Esegui la somma di aiutandoti con la rappresentazione grafica sulla retta orientata Possiamo quindi dire che ˆ 6 8 Esegui la somma di 6 aiutandoti con la rappresentazione grafica sulla retta orientata 9 La differenza di due numeri interi relativi Esegui la differenza aiutandoti con la rappresentazione grafica Calcolare equivale a determinare quel numero che addizionato a daá cioeá? ˆ Dalla figura a lato otteniamo ˆ 0 Esegui la differenza dei seguenti numeri interi relativi aiutandoti con la rappresentazione grafica: a ; b La sottrazione di due numeri interi relativi Esegui le seguenti sottrazioni di due numeri interi relativi applicando la regola del calcolo rapido: a ; b ; c 7 Eseguiamo la somma del primo termine con l'opposto del secondo a ˆ ˆ ˆ ; b ˆ ˆ ˆ 6; c 7 ˆ 7 ˆ 7 ˆ 9: Esegui le seguenti sottrazioni di due numeri interi relativi applicando la regola del calcolo rapido: a ; b ; c 8 ; d :
6 I NUMERI RELATIVI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS La moltiplicazione di due numeri interi relativi Calcola il valore delle seguenti moltiplicazioni di due numeri interi relativi: a ; b ; c 6 a ˆ ; b ˆ 6; c 6 ˆ Calcola il valore delle seguenti moltiplicazioni di due numeri interi relativi: a 0 ; b ; c ; d : La moltiplicazione con piuá fattori Calcola il valore delle seguenti moltiplicazioni di numeri interi relativi: a ; b 7 ; c a ˆ 0; b 7 ˆ 68; c ˆ 60: 6 Calcola il valore delle seguenti moltiplicazioni di numeri interi relativi: a ; b 7 ; c : 7 8 Calcola il quoziente delle seguenti divisioni di numeri interi relativi: a : ; b : ; c : 9 Le divisioni di numeri interi relativi Calcola il quoziente delle seguenti divisioni di numeri interi relativi: a : ; b 8 : 7 ; c 6 : 9 a : ˆ ; b 8 : 7 ˆ ; c 6 : 9 ˆ Le espressioni con i numeri interi relativi Calcola il valore dell'espressione: 7 0 6 : 7 0 6 : ˆ # # # 6 : ˆ 0 Calcola il valore delle seguenti espressioni con i numeri interi relativi: a 7 ; b 7 ; c : ; d : ;
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS I NUMERI RELATIVI 7 e 8 : 0 ; f : 0 Le potenze di numeri interi relativi con esponente positivo Calcola il valore delle seguenti potenze di numeri interi relativi con esponente positivo: a ( ; b ; c ; d 6 ; e ; f a ˆ 6 ; b ˆ 7; c ˆ ; d 6 ˆ ; e ˆ ˆ 8; f ˆ ˆ 6 Calcola il valore delle seguenti potenze di numeri interi relativi con esponente positivo: a ; b ; c ; d ; e ; f 0 Le proprietaá delle potenze Calcola il valore delle seguenti potenze applicando in modo opportuno le relative proprietaá: h i ; a ; b : ; c d a ˆ ˆ 6 ˆ 79; b : ˆ ˆ ˆ ; h i c ˆ ˆ ˆ ; d ˆ Š ˆ ˆ Calcola il valore delle seguenti potenze applicando in modo opportuno le relative proprietaá: h i ; a ; b : ; c d Calcola il valore delle seguenti espressioni applicando dove possibile le proprietaádelle potenze : 6 : : 0 : 0 7 6 : 8 : 6 0 7 : 6 Š : ESERCIZI DI ABILITAÁ ) LIVELLO MEDIO ** Completa il seguente esercizio inserendo al posto dei puntini il segno > (maggiore), < (minore), ˆ (uguale): a ::::: ; b ::::: ; c ::::: ; d ::::: ; e :::::,; f 0, ::::: :
8 I NUMERI RELATIVI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS L'addizione con i numeri razionali relativi Esegui le seguenti addizioni con i numeri razionali relativi: a 6 ; b ; c Esegui le seguenti addizioni con i numeri razionali relativi: a 7 ; b ; c 7 Eliminiamo le parentesi e sopprimiamo il segno di addizione lasciando i vari addendi con lo stesso segno; pertanto: a 6 ˆ 6 ˆ ; b ˆ :::: :::::::::::: ˆ 6 ˆ 8 ; c 8 :::::::::::::::::::::::: ˆ :::::::::::::::::: ˆ ˆ 7 60 60 La sottrazione con i numeri razionali relativi Calcola il valore delle seguenti sottrazioni con i numeri razionali relativi: a ; b ; c, 0, 7 a ˆ ::::: ::::: ˆ 7 ; b ˆ ::::: ::::: ˆ :::::; 7 ::::: 9 c, 0, ˆ ˆ ::::: ::::: ::::: ˆ ::::: ::::: Calcola il valore delle seguenti sottrazioni con i numeri razionali relativi: a ; b 0,, ; c ; d 6
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS I NUMERI RELATIVI 9 6 Il calcolo di una somma algebrica Calcola il valore delle seguenti somme algebriche: a 7 ; b c 7 6 ; Eliminiamo tutte le parentesi e sopprimiamo il segno di operazione, lasciando i vari termini con lo stesso segno se si tratta di addizioni, cambiando il segno all'interno della parentesi se si tratta di sottrazioni a 7 ˆ 7 ˆ :::::; b ˆ ˆ :::::; c 7 ˆ 7 6 6 ::::::::::::::: ˆ ::::: 7 Calcola il valore delle seguenti somme algebriche: a ; b 7 c ; d 0 ; 8 Le somme algebriche con parentesi Calcola le seguenti somme algebriche dopo aver eliminato le parentesi: a 7 8 ; b 7 7 a Svolgiamo i calcoli nelle varie parentesi: 7 8 ˆ ::: ::: ˆ::::::: ˆ b Eseguiamo la somma algebrica nelle parentesi: 7 7 ˆ ::::::: ˆ ˆ ::: ::: ::: ::::::: ::::::: ::::::: ˆ ˆ ::: 8 8 ˆ 7 9 Calcola le seguenti somme algebriche dopo aver eliminato le parentesi: a 8 7 ; b 7
0 I NUMERI RELATIVI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 0 La moltiplicazione con i numeri razionali relativi Calcola il valore delle seguenti moltiplicazioni con i numeri razionali relativi: a 9 7 ; b 0 ; c 8 a 9 ˆ 7 ::: ; b ˆ ; c ˆ ::::: 0 ::: 8 Calcola il valore delle seguenti moltiplicazioni con i numeri razionali relativi: a 7 ; b ; 0 c ; d 0 0 7 La moltiplicazione con piuá fattori Calcola il valore delle seguenti moltiplicazioni con i numeri razionali relativi: a 0 7 ; b 8 a 0 ˆ ::: 7 7 ; b ˆ ::::::: 8 Calcola il valore delle seguenti moltiplicazioni con i numeri razionali relativi: a 0 ; b 7 8 Le divisioni con i numeri razionali relativi Calcola il quoziente delle seguenti divisioni con i numeri razionali relativi: a 8 : ; b 7 : 7 a 8 : ˆ 8 7 7 ˆ :::::; b 7 : ˆ 7 ::::: ˆ ::::: ::::: Calcola il quoziente delle seguenti divisioni con i numeri razionali relativi: a : 9 ; b : ; c : 9 0 6 9
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS I NUMERI RELATIVI 6 Le espressioni con i numeri razionali " relativi Calcola il valore dell'espressione: 6 : # : " 6 : # : ˆ ˆ 9 : 8 : ˆ ˆ 9 : :::::::: : ˆ ˆ :::::: : ::::::Š : ˆ :::::: : ˆ :::::: 7 Calcola il valore delle seguenti espressioni con i numeri razionali relativi: a 0 7 ; b 0 7 ; c : 6 7 6 ; d 0 : ; " e # ; f : 7 7 : : ; g : 6 8 Le potenze di numeri relativi con esponente positivo Calcola il valore delle seguenti potenze di numeri relativi con esponente positivo: a ; b ; c ; d 6 a ˆ 9 6 ; b ˆ 8 7 ; c ˆ ::: ˆ :::::; d ˆ ::::::::: 6 ˆ ::::::::
I NUMERI RELATIVI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 9 Calcola il valore delle seguenti potenze di numeri razionali relativi con esponente positivo: a ; b ; c, ; ; e ; f 0 d 7 Le potenze di numeri razionali relativi con esponente negativo Calcola il valore delle seguenti potenze di numeri razionali relativi con esponente negativo: ; b ; c 0, ; d a a ˆ ˆ 9 6 ; ˆ ::::ˆ ::::::::::::; b c 0, ˆ ˆ :::::: ˆ ::::::; ˆ ˆ ::::::: ˆ :::::: d Calcola il valore delle seguenti potenze di numeri razionali relativi con esponente negativo: a 0, ; b ; c ; d Le proprietaá delle potenze Calcola il valore delle seguenti potenze applicando in modo opportuno le relative proprietaá: a ; b ; c : " ; d # a ˆ ˆ :::::ˆ ::::: ; b ˆ ::::: ::::: ˆ :::::: ::::: ˆ :::::::::: ˆ ::::::::::; c : ˆ ::::: ˆ ::::: ::::: ˆ :::::::::: ˆ ::::::::::; " # ˆ d ::::::ˆ :::ˆ :::ˆ :::::::::: Calcola il valore delle seguenti potenze applicando in modo opportuno le relative proprietaá: a ; b ; c : ; d " #
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS I NUMERI RELATIVI Le espressioni con le potenze di numeri razionali relativi Calcola il valore della seguente espressione applicando dove possibile le proprietaá delle potenze: h i " : : : # " # 0 h i " : : : # " # 0 ˆ " h i : # ˆ : 0ˆ ::::: Š : ::::: ::::: ˆ ::::: ˆ 6 Calcola il valore delle seguenti espressioni di numeri razionali relativi applicando dove possibile le proprietaádelle potenze " : # " : : # : 6 " : : # " 7 # : 7 9 8 Le radici quadrate nell'insieme R Calcola il valore delle seguenti radici quadrate nell'insieme R: r p a 6 ; b r ; c 9 6 r p a 6 ˆ; b r ˆ ::::::::::::::::; c ˆ ::::::: 9 6 9 Calcola il valore delle seguenti radici quadrate nell'insieme R: r p p a ; b 9 ; c 9 ESERCIZI DI ABILITAÁ ) LIVELLO AVANZATO *** Calcola il valore delle seguenti espressioni : 6 6 :
I NUMERI RELATIVI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS : : 0 " 6 : # 7 8 6 7 8 8 Calcola il valore delle seguenti espressioni applicando, quando possibile, le proprietaádelle potenze " # : " # : 8 " # " 0 : 7 : # : : 6 " # 7 : 0 : 8 8 " 7 : # " 6 : # 8 8 " 9 7 8 : # " 8 : # 9 < = " # 6 : ; (" 0 # : : ) 8 " 9 # " 7 : : 6 : 7 # 9 < = : ; SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI VALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI CONOSCENZA b; c; e a numeri interi positivi, Z ; b numeri interi negativi, Z a Z; b Q; c R; d N il numero stesso senza segno a ; b ; c 6 c 7 a hanno segno diverso; b sono discordi e hanno lo stesso valore assoluto 8 a di un qualsiasi numero negativo; b minore; c maggiore; d valore assoluto maggiore; e minore 9 a 0 zero la somma; con l'opposto
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS I NUMERI RELATIVI fattori il quoziente dei valori assoluti; concordi; i due numeri sono discordi pari ; alla potenza; positivo 6 c VALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI ABILITAÁ : LIVELLO BASE a sono stati fatti due prelievi per una somma complessiva di E 0; b sono stati effettuati tre versamenti per una somma complessiva di E ; c E 0; d E 6 8 6 ˆ 0 a ˆ b ˆ a 6; b ; c 9; d a 0; b 0; c ; d 6 a ; b ; c 0 8 a ; b ; c 0 a 0; b ; c ; d ; e ; f a ; b 6; c 9; d ; e ; f a 6; b 9; c 6; d 00 6 0 7 VALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI ABILITAÁ : LIVELLO MEDIO a <; b <; c >; d >; e >; f ˆ b 8 9 ˆ ˆ 6 6 6 ˆ 8 ; c 8 0 80 0 ˆ ˆ 7 60 60 a ; b 8 ; c 7
6 I NUMERI RELATIVI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS a a 6 9 8 ; b 9 ˆ 7 ; b ˆ 7 ; c 7 ˆ ; c ; d 0 7 6 a 9; b 0 ; c 7 6 ˆ 9 7 a 6 6 ; b 8 7 ; c ; d 8 a 9 ˆ ; b 7 8 77 ˆ ˆ 6 8 8 ˆ 7 9 a ; b 0 0 a 7 ; b ; c a 6 ; b ; c 8 ; d 7 a 7 ; b a 7 ; b a 7 ; b 7 6 ::::: ˆ 9 : : ˆ 0 8 ˆ 6 a 6 ; b ; c ˆ 8 : 7 a ; b 0 6 ; c 7 ; d 8 ; e 7 ; f ; g 8 c 7 ˆ 9 9 ; d 7 ˆ 7 9 a 8 ; b 0 b ˆ 6 6 ; c ; d ; f 6 9 ; e ˆ 8 ; c ˆ ; d a 000 ; b 6; c 9; d 7 69 a ˆ 8 ; b ˆ ˆ ˆ ; c ˆ ˆ ˆ 9 ; d ˆ ˆ ˆ 8 a ; b 6 ; c 8 ; d 6 h i : ˆ : ˆ ˆ ˆ 6 000 6 7 0 9 8 b impossibile; c 6 9 a ; b ; c impossibile VALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI ABILITAÁ : LIVELLO AVANZATO 9 0 00 6 6 9 6 7 8 6 8 6 9 0