Electrical Systems Dynamics

Electrical Systems Dynamics Inserire riferimenti bibliografici [1], [2] Le equazioni di Lagrange possono essere applicate anche ai sistemi elettromagnetici, a condizione che siano correttamente individuate le coordinate e le velocità generalizzate, come pure l energia cinetica e potenziale dei vari elementi che compongono questi sistemi. Va subito detto che nei sistemi elettromagnetici che prenderemo in esame tutti i vincoli sono di tipo olonomo e quindi non è necessario introdurre i moltiplicatori di Lagrange descritti al Paragrafo??. In un sistema elettromagnetico, l analogo di un sistema multicorpo è una struttura circuitale che connette tra loro diverse componenti elementari di tipo elettrico o magnetico, passive o attive. Le leggi fondamentali che permettono di descrivere la dinamica di un sistema elettromagnetico sono essenzialmente le equazioni di Kirchhoff ai nodi o alle maglie, che possono essere viste come l analogo delle equazioni di Newton e di Eulero per il corpo rigido..1 Componenti elementari di un sistema elettromagnetico Distingueremo tra elementi passivi (che non generano energia) ed elementi attivi (che, utilizzando sorgenti esterne o altre forme di energia, possono produrre energia elettrica)..1.1 Elementi passivi nei circuiti elettrici Gli elementi passivi di un circuito elettrico sono l induttore, il condensatore e il resistore. 1

2 Induttore L induttore è uno speciale circuito magnetico, che sfrutta la legge di Lenz dell autoinduzione. Allo scopo di definire meglio il concetto, introduciamo il caso generale, schematizzato in Fig. 1. Avvolgiamo N spire o avvolgimenti di un conduttore intorno ad un circuito magnetico; il circuito magnetico ha una lunghezza pari a l + h e una sezione costante pari a S. Esso presenta un piccolo traferro in aria di lunghezza h; negli avvolgimenti scorre la corrente i(t) e ai capi del circuito elettrico si manifesta la tensione e(t). Figure 1: circuito magnetico ideale. L intensità del campo magnetico H (t) nel circuito magnetico e la densità di flusso magnetico B(t) soddisfano le due equazioni seguenti e roth = H = j (t) (1) divb = B = (2) dove j (t) è la densità di corrente negli avvolgimenti. La relazione tra i due campi vettoriali è data da B(t) = µh (t) dove µ è la permeabilità magnetica, una costante che dipende dal materiale del circuito magnetico, secondo la seguente relazione µ = (1 + χ m )µ in cui µ è la permeabilità magnetica dell aria e χ m un coefficiente caratteristico del materiale.

.1. COMPONENTI ELEMENTARI DI UN SISTEMA ELETTROMAGNETICO3 Integrando la (1), otteniamo H (t) dσ = Ni(t) = F(t) (3) dove abbiamo introdotto la forza magnetomotrice F = Ni; dσ è la lunghezza differenziale tangente al cammino di integrazione, che è indicato con la linea tratteggiata nella Fig. 1. Il flusso magnetico Φ vale Φ(t) = B(t)S. dove abbiamo indicato con B la norma B. Il materiale magnetico ha una permeabilità µ molto maggiore di quella dell aria e il flusso Φ segue il cammino chiuso indicato dalla linea tratteggiata, la cui lunghezza vale l + h, essendo l la lunghezza del percorso nel materiale magnetico. L equazione (2) mostra che il flusso Φ è lo stesso per ogni sezione del circuito magnetico e del traferro in aria. Quindi siamo in presenza di un circuito magnetico in cui una forza magnetomotrice N i genera nel circuito un flusso magnetico Φ. Il campo H ha un intensità diversa nel materiale magnetico e nel traferro: nel primo caso vale H m = B, nel secondo µ H a = B µ. Utilizzando la (3) e integrando lungo il cammino chiuso, avremo ( l Ni = H m l + H a h = µ + h ) ( l B = µ µ + h ) Φ µ S Il circuito magnetico possiede una riluttanza magnetica R definita dal rapporto tra forza magnetomotrice e flusso, ossia dove possiamo calcolare la riluttanza come ( 1 l S µ + h ) µ essendo µ µ. Definiamo ora il flusso concatenato come Ni(t) = RΦ(t) (4) λ(t) = NΦ(t) h µ S e, dalla (4) avremo λ(t) = N 2 i(t) R = λ(i(t))

4 L induttore è schematizzabile come in Fig. 2a) e la generica relazione tra flusso concatenato e corrente è rappresentata in Fig. 2b); nel caso lineare il flusso concatenato è proporzionale alla corrente secondo la legge λ(t) = Li(t) e la costante L = µ N 2 S h prende il nome di (auto-)induttanza del bipolo. Ai capi del bipolo si instaura una differenza di potenziale e che vale e(t) = dλ(i) dt che, nei casi lineari, vale e(t) = L di(t) dt a) b) Figure 2: a) induttore ideale; b) generica relazione tra corrente i(t) e flusso concatenato λ(t) nell induttore. Condensatore Il condensatore, illustrato in Fig. 3, è un bipolo passivo in cui la differenza di potenziale e(t) è funzione della carica elettrica accumulata q(t), secondo la relazione o viceversa Nei casi lineari si ha oppure e = e(q(t)); q = q(e(t)). q(t) = Ce(t) e(t) = 1 C q(t) e la costante C prende il nome di capacità del bipolo. Attraverso il bipolo passa una corrente i che vale i(t) = dq(e) dt e, nei casi lineari i(t) = C de(t) dt

.1. COMPONENTI ELEMENTARI DI UN SISTEMA ELETTROMAGNETICO5 a) b) Figure 3: a) condensatore ideale; b) generica relazione tra tensione e(t) e carica q(t) nel condensatore. Resistore Il resistore, illustrato in Fig. 4, è un bipolo passivo di tipo puramente dissipativo in cui la legge che lega la tensione e(t) ai suoi morsetti alla corrente i(t) che lo attraversa, è data dalla relazione e(t) = R(i(t)) Se il resistore è lineare, tale legge diventa la legge di Ohm e il parametro R viene detto resistenza. e(t) = Ri(t) a) b) Figure 4: a) resistore ideale; b) generica relazione tra corrente i(t) e tensione e(t) nel resistore..1.2 Elementi attivi nei circuiti elettrici Gli elementi attivi sono il generatore ideale di tensione, il generatore ideale di corrente e l amplifica-tore operazionale. Questi elementi sono in grado di creare potenza elettrica P (t) = e(t)i(t) ed erogarla agli elementi passivi. Convenzionalmente si assume positiva la potenza uscente dai generatori ideali e entrante negli elementi passivi.

6 Generatore ideale di corrente. È un elemento attivo (illustrato in Fig. 5) che fornisce una corrente I(t) indipendentemente dalla tensione ai suoi capi. La potenza erogata vale P (t) = I(t)e(t). Figure 5: generatore ideale di corrente. Generatore ideale di tensione. È un elemento attivo (illustrato in Fig. 6) che fornisce una differenza di potenziale E(t) ai suoi capi indipendentemente dalla corrente erogata. La potenza erogata vale P (t) = i(t)e(t). Figure 6: generatore ideale di tensione. Amplificatore operazionale. È un elemento attivo (illustrato in Fig. 7) che fornisce in uscita una tensione e (t) proporzionale alla differenza delle tensioni in ingresso e (t) = A(e + e ) dove A è detta costante di amplificazione. La potenza erogata vale P (t) = i (t)e (t).

.2. COORDINATE GENERALIZZATE NEI SISTEMI ELETTROMAGNETICI7 Figure 7: amplificatore ideale..2 Coordinate generalizzate nei sistemi elettromagnetici Per definire le coordinate e le velocità generalizzate nei circuiti elettromagnetici sono possibili due scelte: esse sono chiamate, rispettivamente, formulazione nelle variabili di carica (formulazione in serie), e formulazione nelle variabili di flusso concatenato, (formulazione in parallelo); nel primo caso avremo variabili generalizzate di carica, nel secondo variabili generalizzate di flusso concatenato. Coordinate generalizzate di carica (vedi Fig. 8). Le coordinate generalizzate sono individuate dalle cariche q(t) sui condensatori, mentre le velocità generalizzate sono le correnti negli induttori, e ovviamente anche nei condensatori: i(t) = dq(t) = q(t). dt La tensione ai capi del condensatore lineare vale e(t) = 1 C q(t) Figure 8: Formulazione in carica o in serie: coordinata generalizzata = carica sul condensatore, velocità generalizzata = corrente nell induttore. Coordinate generalizzate di flusso concatenato (vedi Fig. 9). Le coordinate generalizzate sono individuate dai flussi concatenati λ(t) negli induttori, mentre le velocità generalizzate sono le tensioni ai capi degli induttori, e

8 ovviamente anche ai capi dei condensatori: La corrente nel induttore lineare vale e(t) = dλ(t) dt = λ(t). i(t) = 1 L λ(t) Figure 9: Formulazione in flusso o in parallelo: coordinata generalizzata = flusso concatenato nell induttore, velocità generalizzata = tensione sul condensatore..3 Energie e coenergie nei sistemi elettromagnetici A seconda della formulazione utilizzata, avremo energie cinetiche e potenziali definite in modo diverso; in particolare, essendo la potenza in un bipolo il prodotto della tensione per la corrente P (t) = i(t)e(t), l energia e il lavoro si esprimono come W (t) = t P (τ)dτ = t e(τ)i(τ)dτ.3.1 Coordinate generalizzate di carica Se consideriamo le coordinate generalizzate di carica, l energia elettrostatica immagazzinata in un elemento capacitivo sarà W c (q(t)) = t e(q) i dt = q e(q)dq Tuttavia se vogliamo descrivere l energia in funzione della tensione, è opportuno introdurre la coenergia W c (q); questa non ha un chiaro significato fisico, come invece aveva nel caso meccanico, ma è utile per calcolare le energie nell equazione di Lagrange. La coenergia Wc (e) viene definita come Wc (e) = qe W c (q) e quindi, considerando la Fig. 3b), W c (e(t)) = e q(e)de

.3. ENERGIE E COENERGIE NEI SISTEMI ELETTROMAGNETICI 9 Il differenziale dell energia vale dw c (q) = e dq mentre il differenziale della coenergia risulta essere dw c (e) = q de da cui si ricavano immediatamente le seguenti relazioni: W c (q) q = e(t) e W c (e) e = q(t) (5) Se il condensatore è lineare q(e) = Ce e la capacità C è costante, allora mentre W c (e) = W c (q) = e q q(e)de = e(q)dq = e q Ce de = 1 2 Ce2 (6) q C dq = 1 q 2 2 C In questo caso l energia e la coenergia elettrostatica sono uguali e la curva caratteristica di Fig. 3b) risulta essere una retta. (7).3.2 Coordinate generalizzate di flusso Se consideriamo le coordinate generalizzate di flusso, l energia magnetica immagazzinata in un elemento induttivo sarà W i (λ) = t i(λ) e dt = λ i(λ)dλ Tuttavia se vogliamo descrivere l energia in funzione della corrente, è opportuno introdurre la coenergia Wi (q); questa non ha un chiaro significato fisico, come invece aveva nel caso meccanico, ma è utile per calcolare le energie nell equazione di Lagrange. La coenergia Wi (λ) viene definita come Wi (i) = iλ W i (λ) e quindi, considerando la Fig. 2b), Il differenziale dell energia vale W i (i) = i λ(i)di dw i (λ) = i dλ mentre il differenziale della coenergia risulta essere dw i (i) = λ di

1 da cui si ricavano immediatamente le seguenti relazioni: W i (λ) λ = i(t) e W i (i) i = λ(t) (8) Se l induttore è lineare λ(i) = Li e l (auto-)induttanza L è costante, allora mentre W i (i) = W i (λ) = i λ λ(i)di = i(λ)dλ = i λ Li di = 1 2 Li2 (9) λ L dλ = 1 λ 2 2 L In questo caso l energia e la coenergia magnetica sono uguali e la curva caratteristica di Fig. 2b) risulta essere una retta. (1).4 Equazioni di Lagrange nei sistemi elettromagnetici La funzione lagrangiana L e di un sistema elettromagnetico si scrive, in generale, come L e = C e P e dove C e è la coenergia cinetica elettrica e P e è l energia potenziale elettrica. In particolare, a seconda che si usino le coordinate di carica oppure le coordinate di flusso, esse assumono forme diverse. Coordinate generalizzate di carica In questa formulazione abbiamo L e (q, q) = W i ( q) W c (q) (11) dove l energia cinetica coincide con la coenergia immagazzinata nel generico elemento induttivo: C e ( q) W i ( q) (12) e l energia potenziale coincide con l energia immagazzinata nel generico elemento capacitivo: P e (q) W c (q) (13)

.4. EQUAZIONI DI LAGRANGE NEI SISTEMI ELETTROMAGNETICI 11 Coordinate generalizzate di flusso In questa formulazione abbiamo L e (λ, λ) = W c ( λ) W i (λ) (14) dove l energia cinetica coincide con la coenergia immagazzinata nel generico elemento capacitivo: C e ( λ) W c ( λ) (15) e l energia potenziale coincide con l energia immagazzinata nel generico elemento induttivo: P e (λ) W i (λ) (16).4.1 Forze generalizzate elettriche Quando si usano le coordinate di carica, le forze generalizzate elettriche E k sono assimilabili a tensioni generalizzate, ricavabili dai generatori ideali di tensione E(t) presenti nel circuito. In particolare, ricordando la relazione tra lavoro virtuale e forze generalizzate δw nc = k F nc k δq k e ricordando anche che dw = k P kdt = k e ki k dt = k e kdq k, avremo δw nc = k E k (t)δq k = k E k δq k In pratica, per calcolare ogni singola E k occorre considerare le correnti che attraversano i generatori ideali di tensione, fare il prodotto tensione corrente e attribuire ad ogni δq k la somma dei relativi contributi risultanti. Se sono presenti generatori ideali di corrente, questi non contribuiscono alle tensioni generalizzate, ma impongono dei vincoli sulla somma delle correnti nei nodi in cui agiscono. Quando si usano le coordinate di flusso, le forze generalizzate elettriche I k sono assimilabili a correnti generalizzate, ricavabili dai generatori ideali di corrente I(t) presenti nel circuito. In particolare, ricordando la relazione tra lavoro virtuale e forze generalizzate δw nc = k F nc k δq k e ricordando anche che dw = k P kdt = k i ke k dt = k i kdλ k, avremo δw nc = k I k (t)δλ k = k I k δλ k

12 In pratica per calcolare ogni singola I k occorre considerare le tensioni ai capi dei generatori ideali di corrente, fare il prodotto tensione corrente e attribuire ad ogni δλ k la somma dei relativi contributi risultanti. Se sono presenti generatori ideali di tensione, questi non contribuiscono alle correnti generalizzate, ma impongono dei vincoli sulla somma delle tensioni nelle maglie in cui agiscono..4.2 Elementi dissipativi Le resistenze rappresentano gli elementi dissipativi nei circuiti elettromagnetici. La funzione di dissipazione, quando la resistenza è lineare, vale se si usano le coordinate di carica: se si usano le coordinate di flusso: D e = 1 R k i 2 k = 1 R k q k 2 2 2 D e = 1 2 k k 1 e 2 k = 1 1 λ2 R k 2 R k k k dove R k è la resistenza totale attraversata dalla corrente q k, o ai capi della quale c è la tensione λ k. k.4.3 Equazioni di Lagrange per le reti elettriche Avendo preliminarmente scelto se usare le coordinate generalizzate di carica oppure di flusso, dopo aver definito l insieme delle n coordinate generalizzate, si scrivono le n equazioni di Lagrange d dt ( ) Le q k L e q k + D e q k = F k (17) Va fatto osservare che, in generale, se la k-esima coordinata generalizzata coinvolge sia induttori, sia condensatori, la corrispondente equazione differenziale sarà del second ordine in q k o λ k : Z q(t) + R q(t) + Qq(t) = E(t) oppure A λ(t) + C λ(t) + Λλ(t) = I(t)

.4. EQUAZIONI DI LAGRANGE NEI SISTEMI ELETTROMAGNETICI 13 in caso contrario apparirà un equazione differenziale del prim ordine oppure di ordine zero, ossia un equazione puramente algebrica, come avviene quando nel circuito sono presenti solo elementi resistivi. Spesso, dopo aver ricavato le equazioni nella loro forma originale, risulta più agevole riscriverle in funzione delle velocità generalizzate q k = i k oppure λ k = e k, per cui si ottengono equazioni miste dove compaiono derivate e integrali; se si definisce la tensione ai capi di un condensatore 1 v Ck = q k dt C k o la corrente entro un induttore allora le equazioni diventano i Lk = 1 L k λ k dt Z d dt i(t) + Ri(t) + v C(t) = E(t) oppure A d dt e(t) + C e(t) + i L(t) = I(t) Nota sull uso delle equazioni di Lagrange per reti elettriche lineari. L approccio sopra descritto, che permette di utilizzare un formalismo energetico per definire le equazioni differenziali che modellano il comportamento di circuiti elettromagnetici, non rappresenta però la strada più comunemente seguita per ottenere queste equazioni. Di solito si preferisce seguire il metodo di gran lunga più noto, ossia quello che utilizza le trasformate di Laplace. Ritorneremo su questo argomento quando saranno introdotte le equazioni di stato come diretta derivazione del formalismo lagrangiano. Per ora limitiamoci a far notare che l approccio energetico qui seguito, ha il vantaggio di essere valido in generale, indipendentemente dal tipo di ambito specifico in cui lo si utilizza (elettrico, meccanico ecc.); di poter essere utilizzato agevolmente anche in presenza di componenti non lineari; di essere molto vantaggioso per modellare sistemi elettromeccanici, composti di parti meccaniche che interagiscono con circuiti elettrici e viceversa, come vedremo più avanti in dettaglio. Inoltre l approccio lagrangiano ci permette di introdurre alcune analogie tra le grandezze elettriche e le loro controparti meccaniche.

14.5 Analogie elettriche Ricordiamo che abbiamo definito a pag.?? l i-esimo momento generalizzato come µ i = L q i e che q(t) = i(t) e λ(t) = e(t) Ricordiamo inoltre che la potenza, in generale, è il prodotto di una variabile generica detta sforzo s(t) e di una variabile generica detta flusso ϕ(t), da non confondere con il flusso del campo magnetico Φ(t). P (t) = s(t)ϕ(t) Utilizzando queste variabili di sforzo e flusso, è possibile definire alcune analogie tra le grandezze elettriche e le grandezze meccaniche, che permettono di interpretare le quantità di un ambito con quelle dell altro. Così l ingegnere meccanico avrà più facilità a rappresentarsi le grandezze e le forze elettriche e viceversa per l ingegnere elettronico. Tali analogie sono state riportate nella Tabella 1 e in Appendice. q q s ϕ µ C P D F 1 1 traslazione x ẋ f = mẍ ẋ mẋ 2 mẋ2 2 k l x 2 1 2 β lẋ 2 f 1 rotazione θ θ τ = Γ θ θ Γ θ 2 Γ θ 2 1 2 k a θ 2 1 2 β θ a 2 τ 1 1 1 carica q i e = L q q = i Li = λ 2 Li2 2C q2 2 R q2 E 1 1 1 flusso λ e i = C λ λ = e Ce = q 2 Ce2 2L λ2 2R λ 2 I Table 1: Tabella delle analogie elettro-meccaniche, nel caso di elementi ideali e lineari.

Bibliography [1] S.H. Crandall, D.C.Karnopp, jr. E.F Kurtz, and D.C. Pridmore-Brown. Dynamics of mechanical and Electromechanical Systems. McGraw-Hill, 1968. [2] J. Meisel. Principles of Electromechanical-Energy Conversion. Robert E. Krieger Publishing Company, 1984. 15