Gli strumenti derivati: opzioni

Gli strumenti derivati: opzioni

Definizione (1) L opzione è un contratto che conferisce al suo sottoscrittore un diritto e non un obbligo, ad acquistare (per una call) o a vendere (per una put) al venditore una determinata attività sottostante, finanziaria o reale, ad un prezzo concordato denominato prezzo d esercizio (strike price) entro una data prefissata chiamata scadenza (expiration date).

Attività sottostante Definizione (2) azioni, indici azionari, valuta estera, beni di consumo, contratti future e strumenti di debito (obbligazioni) Utilizzo Copertura Speculazione Esercizio Esplicitazione del diritto di acquisto/vendita entro la data di scadenza del contratto (Opzioni americane) Alla scandenza (Opzioni europee)

Definizione (3) Utilizzo per copertura dal rischio di andamenti sfavorevoli dei prezzi 1. 2. 3. Future Obbligo di esercizio Nessun premio alla stipula Relazione rischio/rendimento simmetrica per le due controparti Opzioni Diritto di esercizio Pagamento di un premio alla stipula Relazione rischio/rendimento asimmetrica per le due controparti

Definizione (4) Profilo rischio rendimento Future Guadagno illimitato Perdita (quasi) illimitata Profilo rischio rendimento Opzione Il premio costituisce la perdita massima per l acquirente di un opzione a fronte di un profitto teorico illimitato (call o quasi illimitato put) il premio indica il profitto massimo realizzabile dal venditore contro una perdita potenzialmente illimitata, che dipende dal valore massimo (o minimo) che l attività sottostante può assumere fino alla data di esercizio

Terminologia (1) Sottostante (S) l attività finanziaria su cui si esercita il diritto di acquisto/vendita Strike price (K) Il prezzo di esercizio, precedentemente concordato, a cui acquistare/vendere il sottostante L opzione può essere: in-the-money cash flow positivo at-the-money cash flow nullo out-the-money cash flow negativo Unica condizione di esercizio

Terminologia (2) Relazione prezzo sottostante-strike price call put in-the-money se S > X se S < X at-the-money se S = X se S = X out-of-themoney se S < X se S > X Payoff risultato alla scadenza

Il payoff (1) Posizione Long su una Call Option Obiettivo: massimizzare il guadagno e contemporaneamente minimizare le perdite Profitto premio = 5 strike = 140 break even point (b.e.p.) = 145 140 145 Underlying Max(S T -X,0) Perdita massima (premio) Perdita compresa tra premio e B.E.P.

Il payoff (2) Posizione Short su una Call Option Profitto Obiettivo: minimizzare le perdite premio = 5 (guadagno massimo) strike = 140 break even point (b.e.p) = 145 5 0 140 145 Underlying Min(0,X-S T ) Guadagno massimo (premio) Guadagno compreso tra premio e B.E.P.

Il payoff (3) Profitto Posizione Long su una Put Option premio= 7 (perdita massima) strike = 90 break even point b.e.p. = 83 Obiettivo: massimizzare il guadagno 0 83 90 S T Underlying Max(X- S T,0) -7 Perdita massima (premio) Perdita compresa tra premio e b.e.p.

Il payoff (4) Posizione Short su una Put Option Obiettivo: massimizzare il guadagno 7 Profitto premio = 7 (guadagno massimo) strike = 90 break even point = 83 0 83 90 Underlying Min(0, S T -X) Guadagno massimo (premio) Guadagno compreso tra premio e b.e.p.

Valore intrinseco vs. Valore temporale Definizione di premio (Valore totale dell opz.) il costo che deve sostenere l'acquirente per garantirsi il diritto di acquistare o vendere l'attività sottostante il contratto; allo stesso tempo, rappresenta il compenso che riceverà il writer dalla vendita dell'opzione Valore intrenseco l'entrata di cassa derivante dall'esercizio immediato di un'opzione Val.Int. = Prezzo corrente-prezzo esercizio Valore temporale misura l impatto del trascorrere del tempo sul valore dell opzione Val. Temp. = premio Val.Int.

Valore intrinseco vs. Valore temporale (1) In the money option Val.Int 0 At of the money option Val.Int=0 Val.Temp.= premio Out of the money option Val.Int=0 Val.Temp.= premio

Valore intrinseco vs. Valore temporale (2) Premio per una call option in funzione di S Premio Z Y XY = Valore intrinseco VZ = Premio dell'opzione X = S = At the money V 0 X S In the money Out of the money + = Valore temporale

Valore intrinseco vs. Valore temporale (3) Premio per una put option in funzione di S Premio Y Z VZ = Premio dell'opzione X = S = At the money 5V 0 Out of the money X In the money S + = Valore temporale

Valore intrinseco vs. Valore temporale (4) Premio di un opzione in funzione della scadenza Il premio cresce al crescere di T Valore temporale in funzione della scadenza Val. Temp. (T-t) 1/2

Valore intrinseco vs. Valore temporale (5) Premio dell'opzione Valore Temporale Giorni di scadenza 1 2 3 4 5 6 Durata dell'opzione in mesi

Effetto leva Leverage il rapporto tra il premio dell'opzione ed il prezzo strike : C/X (P/X) misura il livello di rischiosità legato all'opzione: se il premio dell'opzione è in percentuale molto basso rispetto al prezzo strike, allora l'effetto leva sarà maggiore; un leverage basso implica una piccola probabilità che alla scadenza l'opzione sarà in-the-money e che venga esercitata

Proprietà del prezzo dell opzione I fattori determinanti il prezzo corrente dell attività sottostante; il prezzo strike; la vita residua dell opzione; la volatilità dell attività sottostante; il tasso risk-free; il dividendo distribuito durante la vita dell'opzione

Il modello di Black, Scholes e Merton La formula e l equazione di Black e Scholes sono derivate facendo una serie di assunzioni, che costituiscono il modello di Black, Scholes e Merton (BSM). La valutazione del prezzo c(t 0 ) al tempo t 0 di un opzione call europea a scadenza al tempo T, scritta su un azione S(t), basata su di una strategia che non permetta mai arbitraggi su V, si fa nel tempo continuo. Il vantaggio di un modello a tempo continuo è che nel caso di risolvibilità si ottiene una formula chiusa, detta formula di Black e Scholes, da cui avere informazioni dirette sul ruolo dei parametri usati..

Le assunzioni del modello sono Il prezzo dell azione segue un moto geometrico browniano. Sono consentite vendite allo scoperto. Non esistono costi di transazione (commissioni sulla compravendita di azioni ecc..) L azione non paga dividendi. Non esistono possibiltà di arbitraggio prive di rischio. I titoli vengono negoziati continuamente. Il tasso istantaneo r è uguale per tutte le scadenze. Seguono dei commenti per ogni punto.

1) Un moto browniano è descritto dall equazione stocastica ds=µ dt + σ dz, mentre un moto geometrico browniano è descritto da ds S = μ dt σ dz d ln S/S 0 = μ - σ2 2 dt σ dz (dove si è usato il lemma di Ito).

Aver usato una equazione stocastica di Ito implica aver assunto un processo di prezzo S markoviano. In un processo markoviano, tutta l informazione necessaria e sufficiente per costruire il prezzo in t+dt è presente in t. In finanza questa è detta ipotesi del mercato efficiente : ad ogni istante, tutta l informazione disponibile al mondo (al tempo t) sul particolare titolo S viene usata per definire il prezzo a t+dt.

Indice Dow Jones Industrial Average (DJ-IA) 1998-2003. Se il modello BSM è corretto, stimando µ e σ da questi dati si può trovare il modello geometrico che sta dietro questo comportamento. Questa particolare serie storica rappresenta allora una particolare storia dell equazione ds= μ S dt σ S dz

Normale è anche la dipendenza temporale della variabile incremento di prezzo logs(t+s)-logs(t) (cioè delle probabilità di transizione). La variabile log S (logaritmo del prezzo) è distribuita in maniera normale, con la dipendenza temporale di una normale: p t logs t =N logs t 0 1 2 2 t t 0, t t 0 La media di questa normale è log s 0 +(µ σ 2 /2) (t-t 0 ), la sua varianza è σ 2 (t-t 0 ) (come per il processo di Wiener, dove però la media è zero).

La distribuzione p t (s) di S(t) è lognormale (t 0 =0): p t s ; s 0 = 1 2π 1 s 1 t exp ln s 0 s σ2 μ 2 t 2 2 σ 2 t Distribuzione di S ad un certo istante t fissato. Con questa distribuzione, il prezzo delle azioni non è mai negativo. p t (s) 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 2 4 6 s

Inoltre se S è lognormale E p [S t ]=s 0 exp μ t E Q [ S t ]=s 0 exp r t nel calcolo di BSM per il non arbitraggio che ha la forma del tasso di interesse istantaneo delle obbligazioni, dove µ gioca il ruolo di r. La differenza principale è però che questa è una aspettazione sul valore di S al tempo t, non il valore (stocastico) di S a t. µ è quindi un tasso istantaneo atteso.

2) La costruzione ed il ribilanciamento del portafoglio di replica richiedono vendite allo scoperto. 3) Se non ci sono costi di gestione del portafoglio si dice che il mercato è senza frizione. Se ci sono costi si rischia di violare la possibilità di un portafoglio autofinanziante, e quindi di tutta la strategia antiarbitraggio. 4) I dividendi possono essere poi inclusi modificando la formula di base

5) Il prezzo dell opzione è trovato proprio imponendo l assenza di arbitraggio, e questa richiesta è alla radice del modello. 6) La possibilità di vendere e comprare deve essere continua. Il portafoglio deve essere continuamente ribilanciato. Un mercato che permette compravendita continua si dice fluido. Se il mercato non è fluido il modello non vale. 7) Di solito il tasso istantaneo di mercato varia (tipicamente per intervento delle banche centrali), ma se la vita dell opzione è sufficientemente breve (molto spesso un anno) il tasso di mercato si può assumere costante.

Equazione e formula di Black e Scholes La formula di B&S può essere derivata senza usare l equazione, ed ha un uso limitato a pochi tipi di claim. E però più immediata da usare rispetto all equazione. La derivazione diretta si può fare col metodo delle martingale. L equazione ha validità in più casi, e si può risolvere in alcuni casi analiticamente ed in altri numericamente (come un equazione alle derivate parziali). Ora si deriverà prima l equazione (in maniera non rigorosa) poi la formula come caso particolare. La derivazione rigorosa dell equazione richiede l uso del metodo delle martingale. Nell applicazione di formula ed equazione bisogna tenere sempre presente che le due sono valide solo all interno delle ipotesi del modello di BSM.

La formula di Black e Scholes per le opzioni europee vale solo per alcuni tipi di claim. I claim più comuni sono quello per la call C(S,T) = max(s K, 0) e quello per la put P(S,T) = max(k S, 0) dove K è lo strike e S è il prezzo dell azione al tempo finale. Da notare che i due claim sono variabili stocastiche (funzioni di S).

Possiamo valutare la call in maniera naïve richiedendo che in media il valore di un portafoglio composto dal provento della vendita di una call sia in media zero E Q [ t ]=E Q [c S t e r T t 0 max 0, S T K ]=0 rispetto ad una misura di probabilità risk-neutral c S 0, K,T t 0, r, =e r T t 0 E Q [max 0, S T K ] dove si è tenuto conto della attualizzazione del flusso di cassa alla scadenza dell'opzione.

La valutazione del prezzo di una call o di una put europea si fa applicando la formula di B&S c S 0, K,T t 0, r, =S 0 d 1 K exp[-r T-t 0 ] d 2 al tempo t 0 iniziale, per il valore di mercato s 0 dell azione in quel momento. Oltre al valore di s 0 bisogna immettere in c: 1) Il tempo T-t 0 residuo, cioè il tempo che manca da t 0 ad arrivare alla scadenza T. 2) Il valore del tasso istantaneo r. 3) Il valore della volatilità. 4) Nel caso di claim a strike, lo strike K. Come si è già notato, non compare µ.

La valutazione del prezzo di una call o di una put europea si fa applicando la formula di B&S c S 0, K,T t 0, r, =S 0 d 1 K exp[-r T-t 0 ] d 2 dove è definito d 1 = x = 1 x 2 log S 0 K r 2 2 T t 0 T t 0 d 2 = d y e 1 2 y 2 log S 0 K r 2 2 T t 0 T t 0 Come si è già notato, non compare µ ma r perché si usa una distribuzione risk-neutral.

All inizio del contratto (t=t 0 ), si rilevano prezzo S 0 e gli altri parametri, e li si inserisce nella formula. Il valore di non arbitraggio del contratto ad un tempo successivo a t=t 0 ed anteriore a t=t è dato da c(t). A questo tempo t si possono presentare diversi prezzi per s sul mercato. Si disegna f per tutti i valori di s e si sceglie f(s) corrispondente all s del momento: Es.:call, K=1 1.5 2 t molto lontano da T, c=s c(s) 1 0.5 0 0 0.5 1 1.5 2 valore di s s t=t, c=claim

All inizio del contratto (t=t 0 ), se T è molto lontano, il valore della call è uguale al valore dell azione (è impossibile prevedere come andrà a finire): curva blu. Verso il tempo finale, il valore dell opzione si avvicina sempre più al valore del claim: se s<k l opzione vale 0, se s>k l opzione vale s-k: curva rossa. Se ad un certo istante il valore dell azione è sotto lo strike si dice che la call è out-of-the-money, se è sopra si dice che è in-the-money.

La funzione c(s,t) rappresenta una superficie sul piano (s,t). Es: prezzo call con s=[0,10], t=[0,10], K=5, σ =0.25, r=0.1, T=10 c(s,t) 10 t=t, c=claim 5 s 10 0 t molto lontano da T, c=s 5 0 0 5 10 t

Per un particolare cammino s(t) la funzione c(s) rappresenta il cammino corrispondente della variabile stocastica F(t)=c(S(t)). Es: call con K=100, σ =0.8, r=0.1, T=1, azione con s 0 =3, µ =4, σ =0.8. Il prezzo B&S di questa call è 0.00003 (!). c(t) 100 c 0 =0.00003 c(t) 50 200 100 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 c T =s T -K=40 s T =140 s 0 =3 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Usiamo il seguente lemma per dimostrare la formula di BS: dato V distribuito log-normale log E[V ] K 1 2 2 E [max V K,0 ]=E [V ] log E[V ] K 1 2 2 K dove Φ è la distribuzione normale cumulata e la media è data E [V ]=e 1 2 2

Tanti altri contratti finanziari di tipo opzione sono però possibili, e quindi tanti tipi di claim. In alcuni casi, quando il claim tiene conto solo del valore di S al tempo finale (e non prima), la soluzione dell equazione di B&S per le opzioni europee si sostituisce alla formula di B&S. La valutazione per le opzioni con claim che non sono di tipo B&S è fatta invece col modello discreto CRR. Per esempio, nel caso delle opzioni americane il diritto di opzione si può esercitare ad ogni istante tra t 0 e T. In altri casi, il claim dipende anche dai valori che s(t) ha avuto durante il periodo del contratto (opzioni asiatiche). Il nome generico per opzioni non europee o non americane è opzioni esotiche.

Perché questo modo? Perché posso usare la valutazione dell'aspettazione di max(s-k,0) per una call ma non posso usare la valutazione dell'aspettazione di S-F per valutare un future/forward?

Perché questo modo? (1) Perché posso usare la valutazione dell'aspettazione di max(s-k,0) per una call ma non posso usare la valutazione dell'aspettazione di -F+S per valutare un future/forward? In effetti posso anche prezzare un forward/future come fatto con una call se si usa una probabilità risk-neutral. E Q [ T ]=E Q [ F S T ]=F E Q [S T ]=F s 0 e r T t0 =0 F=s 0 e r T t 0 Il fatto che debba usare una misura risk-neutral sta nelle strategie di hedging che posso mettere in atto per cancellare o meno il rischio.

Perché questo modo? (2) Consideriamo l'evoluzione di un portafoglio di bond ed azioni n = n S n B n t=n t dove φ n è il numero di azioni dal valore S n numero che cambia col tempo a seguito della strategia. L'evoluzione temporale è data n 1 n = n S n 1 S n B n B n 1 = 1 B n S n 1 n 1 n =r t l'ultima equazione può esser risolta come B n = 1 n B 0 k =1 n S k k k 1 1 n k

Perché questo modo? (3) Quindi possiamo scrivere n = 1 n 0 k =1 Ora consideriamo il caso del forward/future con prezzo F n =F S n 1 n 0 k =1 n 1 k 1 n k 1 S k 1 1 S k n 1 k 1 n k 1 S k 1 1 S k =F 1 n 0 s 0 k=1 ed il caso della vendita di un'opzione call C n 1 k 1 1 n k 1 S k 1 1 S k n = 1 n 0 C max S n K, 0 k =1 n 1 k 1 n k 1 S k 1 1 S k

Perché questo modo? (4) Vediamo che nel caso del forward/future posso trovare una strategia che mi garantisca un risultato NON casuale =1 n =F 1 n 0 s 0 per il non arbitraggio il mio portafoglio deve valere n = 1 n 0 quindi deduco F =s 0 1 n ~s 0 e r T t 0

Perché questo modo? (5) Nel caso dell'opzione call non posso genericamente trovare una strategia che mi permetta di avere un risultato certo a causa della non linearità dell'equazione e quindi posso cercare di chiedere che in media il mio portafoglio renda tanto quello risk-free E Q [ n 1 n 0 ]=0

Perché questo modo? (6) Da E Q [ n 1 n 0 ]=0 troviamo che C= 1 n E Q [max S n K,0 ] k =1 n 1 1 n k 1 E Q [ k S k 1 1 S k ] = 1 n n 1 E Q [max S n K,0 ] k=1 E Q [ k ] E Q [ S k 1 1 S k ] = 1 n E Q [max S n K,0 ] la strategia è scelta al tempo k ed è indipendente dal return non vi è return certo sopra il risk free

Portafoglio con azioni e obbligazioni Si decide di replicare il claim con un portafoglio composto di azioni e obbligazioni Π di valore π (t) = ϕ S(t) + B(t) D ora in poi, il prezzo dell opzione è indicato con V invece che con c, per conformarsi alla maggior parte della letteratura. Assumendo che V dipenda da S come V=V(S), si può usare il lemma di Ito per scrivere il generico differenziale di V rispetto a S: dv = V t 1 2 σ2 S 2 2 V S μs 2 V S dt σ S V S dz

Il differenziale di π si assume (in analogia alla discussione fatta col tempo discreto per il future) essere d = ds db da cui, sostituendo le espressioni di ds e db: d = Sdt Sdz r B dt= r B S dt S dz

Perché sia possibile la replica, si richiede che il valore del portafoglio sia proprio uguale a quello dell opzione, cioè V(S,B)=π (S,B) da cui dv=dπ. Perché questo avvenga, i rispettivi coefficienti di dt e dz a destra e a sinistra devono essere uguali nel tempo. V t 1 2 σ2 S 2 2 V S μs 2 V S dt σ S V S dz = r B φ μ S dt φ σ S d z

Di conseguenza, { φ= V S V t 1 2 σ2 S 2 2 V S =r B 2 Queste due equazioni definiscono la strategia di bilanciamento, definendo il valore istantaneo di ϕ e di Β. Da notare che trovato ϕ segue Β, cioè la prima condizione è fondamentale.

La scelta di ϕ come φ= V S elimina automaticamente la componente stocastica V t 1 2 σ2 S 2 2 V S μs 2 V S dt ϕ σ S d z= r B φ μ S dt φ σ S d z lasciando la sola componente deterministica, cioè senza rischio: µ sparisce dall equazione.

Quello che rimane dopo la scelta di ϕ è V t 1 2 σ2 S 2 2 V dt= r B dt= db 2 S La seconda condizione V t = 1 2 σ2 S 2 2 V S 2 r B consiste quindi nel chiedere che l evoluzione non rischiosa di V(t) segua quella di un titolo obbligazionario (appunto non rischioso) di tasso di interesse r. Questa due condizione richiedono l assenza di possibilità di arbitraggio.

Sostituendo l espressione di B = V ϕ S in V t = 1 2 σ2 S 2 2 V S 2 r B si ottiene un equazione differenziale per V(S,t) V t = 1 2 σ2 S 2 2 V S r V V 2 S S Questa equazione non contiene più variabili casuali, non avendo termini stocastici. L origine stocastica di questa equazione rimane però esplicita nella presenza di σ.

Portafoglio con azioni e opzioni Si costruisce un portafoglio Π costituito da un opzione V(S) e dalla vendita di una quantità di azioni S di valore π = V S (portafoglio lungo di V e corto di S). In questo caso si assume che il differenziale valga dπ = dv ds

Usando il lemma di Ito: d =[ V t 1 2 σ2 S 2 2 V S 2 μ S V Δ ] dt S S σ V Δ dz S quando si pone V S =Δ significa eliminare la dipendenza da dz e da µ contemporaneamente. A questo punto si fa la seconda richiesta, cioè che questo portafoglio cresca senza rischio, come un obbligazione al tasso r: d =r dt Uguagliando le due espressioni per dπ, tutt e due ora dipendenti da dt, si ottiene l equazione di Black e Scholes.

Sostituendo l espressione =V V S S in V t 1 2 σ2 S 2 2 V S =r 2 si ottiene un equazione differenziale per V(S,t) V t = 1 2 σ2 S 2 2 V S r V V 2 S S Questa equazione non contiene più variabili casuali, non avendo termini stocastici. L origine stocastica di questa equazione rimane però esplicita nella presenza di σ.

Questa è l equazione di Black e Scholes, un equazione differenziale non stocastica alle derivate parziali e lineare per la funzione V(s,t). La soluzione V(s,t) è una funzione delle due variabili deterministiche s (valori possibili della variabile stocastica S(t)) e t (tempo): V t r s V s 1 2 σ2 s 2 2 V r V=0 2 s La condizione al contorno per l equazione è la condizione che al tempo finale t=t il valore V(s,T) della call sia uguale al valore del claim C(s(T)): V s,t =C s,t

L equazione di Black e Scholes con la condizione finale per il claim porta alla formula di Black e Scholes, che ne è la soluzione. La derivazione dell equazione dipende dalla scelta di replicare il valore di un risk free con un portafoglio di opzioni e azioni.

Nota: l assunzione che da π = V Δ S segua dπ = dv Δ ds implica che Δφ non vari sotto la differenziazione, cioè d(δ S)= ΔdS. La motivazione di questa assunzione è piuttosto complicata per il caso continuo ma semplice (e vista) nel caso discreto, dove si è visto che In questa derivazione dell equazione di Black e Scholes, e meglio assumere da subito che il portafoglio sia formato come =V V s S così da poter proseguire trattando V/ s derivare n 1 n = n S n 1 S n r t B n come una costante, e

Nella procedura di replica è stata critica la scelta della quantità = V S Nel portafoglio con azioni e opzioni il bilanciamento è fatto variando la sola componente azionaria. Il bilanciamento si chiama anche delta hedging.

Soluzione dell equazione di B&S L equazione alle derivate parziali di Black e Scholes con la sua condizione al contorno si può risolvere in più modi. Quello che segue è uno dei modi possibili. Consiste in 4 passi: 1) cambio di scala delle variabili indipendenti s e t e dipendente V 2) cambio di variabile dipendente 3) soluzione dell equazione ottenuta col metodo delle funzioni di Green per tenere conto della condizione al contorno 4) valutazione dell integrale finale

Si prenda come condizione al contorno un claim con strike K per una call al tempo t=t di forma max(s(t)-k,0). Per ottenere una soluzione bisogna imporre 3 condizioni di bordo e lasciare l ultimo bordo libero. La soluzione all interno della striscia determina unicamente il valore V(s,t 0 ): s s t=t { t =T: V s,t =max s T K,0 s=0: V 0,t =0 s= V s,t s s=0 t 0 t

Il cambio di scala delle variabili V, s e t in { s=k e x V =K f x, τ τ t=t- σ 2 /2 trasforma l equazione in f τ = 2 f x 2 r 2 σ 1 f 2 x 2 r σ f 2 Se κ=2 r f τ = 2 f f κ 1 2 σ x x κ f 2 si riconosce che l equazione dipende da un solo parametro.

Le condizioni al contorno diventano: t=t s=0 s= { τ=0: f x,0 =max e x 1,0 x= : f x,τ 0 x =+ f x, τ e x La trasformazione di variabili ha trasportato i contorni in x x f exp x 0 x τ 0 τ f 0

Si fa ora una trasformazione di variabile dipendente da f a g: f x,τ =exp a x b τ g x,τ dove a e b sono costanti libere, da scegliere per semplificare ulteriormente l equazione: g τ = 2 g g [ 2a κ 1 ] 2 x x [a2 a κ 1 κ -b ] f Conviene quindi scegliere a= 1 2 κ - 1, b= - 1 4 κ 1 2 per liberarsi del secondo e terzo termine di destra.

Si ottiene un equazione molto più semplice: g τ = 2 g x 2 Questo rivela che l equazione di Black e Scholes non è altro che l equazione del calore (o equazione di Fourier) mascherata, definita sulla striscia di piano tra 0 e τ. Essa NON e' invariante per l'inversione del tempo!

Questa equazione è lineare, del secondo ordine, di tipo parabolico, ed ammette soluzioni se la condizione al contorno è ben posta. La sua soluzione fondamentale (che non rispetta la condizione al contorno) è g x,τ = 1 τ4π e x 2 4τ 0 Come si vede, questa soluzione diverge a τ =0, per poi mantenersi limitata.

Per trovare una soluzione g all equazione del calore con delle condizioni al contorno si usa la tecnica delle funzioni di Green. Data la condizione g(x,0) al tempo iniziale τ =0 l idea è di scrivere la soluzione g(x,τ ) al tempo finale τ come un integrale g x,τ = g y,0 G x, τ ; y, 0 dy cercando un equazione differenziale per G che sia facile da risolvere, inserendo questa relazione nell equazione del calore.

Anticipando il risultato, si vedrà che una soluzione che tenga conto della condizione al contorno g(x,0) è data da g x,τ 0 = 1 τ4π e x-y 2 4τ g y,0 dy Quindi per essere ben posta la condizione iniziale g(x,0) deve soddisfare al criterio di integrabilità x : g x,τ e - α x 2 0, α 0, τ 0

Dopo le precedenti trasformazioni, le condizioni al contorno sono diventate (τ =0 è l istante finale del claim, e l istante iniziale è ora posteriore 0): { τ=0: g x,0 =max e κ 1 x / 2 e κ 1 x / 2,0 x = : g x,τ e κ 1 x / 2 - κ 1 2 τ / 4 Come si vede, la condizione iniziale è quindi ben posta per ogni τ >0, perché x : g x,τ e - α x 2 0, α 0, τ 0

Ritornando alla g, soluzione dell equazione del calore non modificata, con condizione al contorno g(x,0), g è data da g x,τ = 1 4π τ g y,0 exp x-y 2 4 τ dy Questa è la soluzione dell equazione del calore con condizione iniziale specificata. E quindi anche la soluzione dell equazione di Black e Scholes smascherata, che tiene conto della condizione al contorno cioè del claim.

Il problema originale era la soluzione dell equazione di Black e Scholes. Seguendo al contrario la successione delle varie trasformazioni fatte e specializzando g(y,0) al caso di una call, si ottiene la formula di Black e Scholes: V s 0,t 0 =s 0 d 1 K exp[-r T-t 0 ] d 2 dove z = 1 2π z exp z' 2 2 dz' ln s 0 K d 1 = σ T t 0 d 2 =d 1 σ T t 0 r σ2 2 T t 0

Nel caso di claim g(y,0) diversi da call e put europee, l integrale g x,τ = 1 4π τ g y,0 exp x-y 2 4 τ dy si può risolvere con metodi numerici. In questo senso, l equazione di B&S è più generale della formula di B&S. Se si vuole estendere il modello di BSM a casi in cui il tasso di interesse o la volatilità non siano costanti, si può pensare di derivare altre equazioni alle derivate parziali, che potranno essere risolte analiticamente o con procedure numeriche di discretizzazione su reticolo.

Montecarlo Oltre alla formula di Black e Scholes, c è la possibilità di valutare direttamente l aspettazione, che è un integrale. Per questo si usa il metodo Montecarlo: 1) Si simula un cammino temporale per z(t) e quindi per S(t), nel mondo neutrale al rischio (r sostituito a µ ). 2) Si calcola il valore finale a t=t del claim C(S T ). 3) Si simula un intera collezione di N cammini e quindi di N valori finali. 4) Si stima, come valore atteso dell opzione E Q(T) [C(S T )], la semplice media aritmetica dei valori finali a t=t dell opzione sui vari cammini. 5) Si determina il valore presente a t=0 attualizzando a t=0 (al tasso privo di rischio r) il valore a t=t dell opzione, come exp(-rt) E Q(T) [C(S T )].

Operativamente, bastano non troppi cammini per avere una buona stima di E Q(T) [C(S T )]. Il metodo Montecarlo si usa soprattutto nel caso continuo quando l opzione non è di tipo europeo. Per esempio, il claim di un opzione asiatica è del tipo C(S,T) = max(s av (T) K, 0) dove S av (T) è la media temporale presa tra t 0 e T dei valori di S(t). L equazione per S(t) si discretizza, sostituendo r a µ, come: S=r S t S z =r S t S t ~N 0,1

Il metodo Montecarlo è efficiente soprattutto quando si ha a che fare con integrazioni su spazi pluridimensionali. Infatti per uno spazio a 10 dimensioni, usando l'approssimazionione discreta all'integrale riemmanniano con soli 10 intervalli per dimensione si otterrebbero 10^10 ipercubi!! Col Montecarlo si ottiene un risultato approssimato con un errore tipo N^(-1/2) dove N è il numero di estrazioni

L'idea principale del metodo Montecarlo e' di interpretare I f = a b come una media rispetto alla distribuzione costante c e quindi usare lo stimatore statistico per calcolare la media I. Questo stimatore ha errore f x d x I f =E c [ b a f x ] N S f = 1 N i=1 b a f xi E c [ S f I f 2 ]= 1 N b a 2 E c [ f X 1 2 b a I f ]=O 1 N

Es.: call con T=1, K=100, σ =0.8, r=0.1, s 0 =3, 200 punti per cammino, 5000 cammini. Opzione europea e opzione asiatica. Rosso: distribuzione lognormale di S T. Blu: distribuzione montecarlo di S T. Blu: distribuzione montecarlo della media temporale S av di S(t) su ogni cammino. 0.2 0.1 0.2 0.1 0 0 5 10 15 20 0 0 5 10 15 20 s

Una parte del programma Matlab/Octave usato per generare i plot è y(1)=initial; for j=1:nmonte % ciclo molti cammini average(j)=y(1); for i=1:n % ciclo singolo cammino: y prende N+1 valori y(i+1)=y(i)+rate*y(i)*h+y(i)*s*sqrt(h)*randn; average(j)=average(j)+y(i+1); end; % fine ciclo singolo cammino tail(j)=y(n+1); average(j)=average(j)/(n+1); end; % fine ciclo molti cammini

N(x,0,1) è la normale con media 0 e varianza 1 Le greche Come dipende il prezzo di una call dalle variabili sottostanti? S 0 2 S 0 T-t r ν (vega) = C S 0 = d 1 = 2 C S 0 2 = N d 1,0,1 S 0 T t 0 = C T = S N d 1,0,1 2 T t 0 r K e r T t 0 d 2 = C r =K T t 0 e r T t 0 d 2 = C =S 0 T t 0 N d 1, 0,1

Strategie elementari Le strategie elementari: spread straddle strangle butterfly seagull

Strategie elementari Spread La strategia spread consiste nell assunzione di due posizioni opposte (acquisto e vendita) relative ad opzioni dello stesso tipo.

Strategie elementari Bull spread strategy: Profilo del payoff di una spread 40 30 20 10 0-10 Call 1 Call 2 Spread -20-30 455 464.6 474.7 484.8 494.9 505 515.1 525.2 535.3 545.4 555.5 Underlying

Strategie elementari Aquirente Prospettiva: moderatamente bullish Rischio: limitato Guadagno: limitato Nota: deprezzamento temporale limitati Anche lo bear spread è possibile.

Strategie elementari Straddle La strategia straddle consiste nell assunzione di due posizioni: una call e una put relative ad uno stesso underlying con lo stesso prezzo di esercizio

Strategie elementari Straddle strategy: Profilo del payoff di una spread 40 30 20 10 0 Call 1 Put 2 Straddle -10-20 -30 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 Underlying

Strategie elementari Acquirente Prospettiva: molto volatile nel breve Rischio: limitato Guadagno: illimitato Nota: deprezzamento temporale importante

Strategie elementari Strangle La strategia strangle consiste nell assunzione di due posizioni: una call e una put relative ad uno stesso underlying, ma con strike maggiore per la call

Strategie elementari Strangle strategy: Profilo del payoff di una strangle 40 30 20 10 0-10 Call 1 Put 1 Stangle -20-30 464 474 484 494 505 515 525 536 546 556 567 Underlying

Strategie elementari Acquirente Prospettiva: molto volatile nel breve Rischio: limitato minore dello straddle Guadagno: illimitato Nota: deprezzamento temporale importante

Strategie elementari Butterfly strategy La strategia butterfly è costituita dall assunzione di due posizioni lunghe su una opzione call caratterizzate da stesso nominale ma diverso livello di strike e da una posizione corta sulla stessa opzione con nominale doppio e con strike compreso tra quello delle due precedenti.

Strategie elementari Butterfly strategy: Profilo del payoff di una butterlfy 30 20 10 0-10 Call 1 Call 2 Call 3 Butterly -20-30 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 Underlying

Strategie elementari Acquirente Prospettiva: non volatile nel breve Rischio: limitato Guadagno: illimitato Nota: può esser difficile da implementare

Strategie elementari Seagull strategy La strategia seagull consiste nell assunzione delle seguenti posizioni lunga su una put corta su una put con strike inferiore alla precedente e superiore allo strike della call corta su una call con strike inferiore ai due strike precedenti

Strategie elementari Seagull strategy: Profilo del payoff di una Seagull 30 20 10 0-10 Put 1 Call Put 2 Seagull -20-30 1485 1518 1551 1584 1617 1650 1683 1716 1749 1782 1815 Underlying

La realtà Nella realtà i prezzi non sono quelli di BS e si presenta il fenomeno dello VOLATILITY SMILE Le opzioni non sono prezzate colla stessa volatilità al variare di K e la funzione di BS viene usata per calcolare la volatilità implicita delle opzioni da confrontare con la volatilità storica. Il volatility smile è nato dopo il black monday (23/10/1987) quando il DOW perse il 22.6%. Inoltre si trova la violazione della put-call parity