Domande di Analisi Matematica tratte dai Test di autovalutazione o di recupero dei debiti formativi. (1) Sia A l insieme dei numeri dispari minori di 56 e divisibili per 3. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) L insieme A è vuoto. (b) L insieme A contiene esattamente 9 elementi. (c) 11 A. (d) 3 A. (e) Gli elementi di A sono tutti numeri primi. (2) Risulta log 2(1 + x) = 1 log 2 x (a) Per nessun valore di x. (b) Se e solo se x > 1. (c) Per x = 1. (d) Per ogni valore di x. (e) Se e solo se 0 < x < 1. 1 (3) Per 0 x 2π l insieme di definizione della funzione f(x) = cos x sin x è (a) Formato da un solo elemento. (b) Tutto l intervallo [0, 2π]. (c) [0, π 4 [ ] 5π 4, 2π]. (d) Formato da un numero infinito di numeri reali ma non da tutto l intervallo [0, 2π]. (e) L insieme vuoto. (4) Dati due numeri reali x, y diversi da zero si ha (2 x+y 2 y ) 1 xy = (a) 2 x 2 y. (b) 2 x+y. (c) 2 x+y y. (d) 2 1 y. (e) Non ha senso. (5) Determinare per quali valori di x è soddisfatta la disequazione x 3 + 2x 0. (a) Per nessuna x. (b) È soddisfatta per x 0. (d) È soddisfatta per x 2. (e) È soddisfatta per x = 2 o x = 2. (6) Determinare per quali valori di x è soddisfatta la disequazione 3 x 2 + 2x x. (a) È soddisfatta per x < 1 o per 0 < x < 1. (b) È soddisfatta per 1 x 0 o per x 2. (d) È soddisfatta per x > 1. (e) È soddisfatta per x > 2. (7) Determinare per quali valori di x è soddisfatta l equazione 4 x2 1 = 1. (a) È soddisfatta per x = 1 o per x = 1. (b) Per nessuna x. (d) È soddisfatta per x = 1. 1
2 (e) È soddisfatta per x = 2. (8) Se arctan x ] π 4, 0[, allora (a) Si ha 1 < x < 0. (b) Si ha 1 4 < x < 0. (c) Si ha x < 0. (d) Non esiste alcun valore di x. (e) Si ha x > 0. 10 (9) Dato il numero reale x 1, l espressione x k = 1 + x + x 2 + x 3 +... + x 10 è uguale a (a) x 11. (b) 11x 5. (c) Non ha senso. (d) 1 x11 1 x. (e) 1 x 10. k=0 ( (10) L insieme di definizione della funzione f(x) = sin (a) R. (b) ], 1[ ] 1, + [. (c) R \ {0}. (d) ]0, + [. (e). (11) La scomposizione in fattori del polinomio (x 3 + y 3 ) 2 è (a) (x + y) 2 (x 2 y 2 ). (b) (x + y) 2 (x 2 xy + y 2 ) 2. (c) (x y) 3 (x 2 + y 2 ). (d) Impossibile. (e) (x y) 3 (x + y 2 ). (12) Risulta 2 log 3 (1 + x) = log 3 (1 + x ) (a) Se e solo se x = 0. (b) Se e solo se x > 0. (c) Per nessun valore di x. (d) Per ogni valore di x. (e) Se e solo se x < 1. (13) Per 0 x 2π l insieme di definizione della funzione f(x) = (cos x) 2 1 è (a) Formato da un solo elemento. (b) Tutto l intervallo [0, 2π]. (c) Formato solo dai numeri 0, π, 2π. (d) Formato da un numero infinito di numeri reali ma non da tutto l intervallo [0, 2π]. (e) L insieme vuoto. x+2 x+1 (14) Dati due numeri reali x, y diversi da zero si ha (3 xy 3 y ) 1 xy = (a) 3 x 3 y. (b) 3 x+y. (c) 3 x+y y. (d) 3 x+1 x. (e) Non ha senso. (15) Determinare per quali valori di x è soddisfatta la disequazione x 3 + 2x 0. (a) Per nessuna x. ) è
3 (b) È soddisfatta per x 0. (d) È soddisfatta per x 2. (e) È soddisfatta per x = 2 o x = 2. (16) Determinare per quali valori di x è soddisfatta la disequazione 3 x 2 + 2x x. (a) È soddisfatta per x < 1 o per 0 < x < 1. (b) È soddisfatta per 1 x 0 o per x 2. (d) È soddisfatta per x > 1. (e) È soddisfatta per x > 2. (17) Determinare per quali valori di x è soddisfatta l equazione 3 x 2 + 2x = x. (a) È soddisfatta per x = 1 o per x = 0 o per x = 2. (b) Per nessuna x. (d) È soddisfatta per x = 1. (e) È soddisfatta per x = 2. (18) Se log(1 + x) ]0, 1[, allora (a) Si ha 1 < x < 0. (b) Si ha 0 < x < e. (c) Si ha 0 < x < e 1. (d) Non esiste alcun valore di x. (e) Si ha x > 0. (19) Dato il numero reale x, l espressione (a) 1. (b) cos x sin x. (c) Non ha senso. (d) 1 2 sin x. (e) sin x cos x. sin 2x 1 cos 2x è uguale a (20) L insieme di definizione della funzione f(x) = log ( ) x + 1 è x 1 (a) R \ {1}. (b) ], 1[ ]1, + [. (c) R \ {0}. (d) ]0, + [. (e). (21) La scomposizione in fattori del polinomio x 4 + 2x 2 + 1 è (a) (x + 1) 2 (x 1) 2. (b) (x 2 + 1) 2. (c) (x 2 + 1)(x 2 1). (d) Impossibile. (e) (x 1) 2 (x 2 + 1). (22) Posto A = 2 10000, B = 1000 1000, C = 8 3339, D = 32 2001 determinare le disuguaglianze corrette
4 (a) A < D < C < B. (b) A < B < C < D. (c) B < A < D < C. (d) D < C < A < B. (e) C < D < B < A. (23) La diseguaglianza (x 1)(x 2)(x 3) > 0 è verificata se e solo se: (a) x > 3. (b) x 1, 2, 3. (c) x > 1. (d) x < 1 oppure x > 3. (e) 1 < x < 2 oppure x > 3. (24) L equazione log 1 4 x = 1 2 ha soluzione uguale a (a) 1 4. (b) Non ha soluzione. (c) 2. (d) 1 2. (e) 1 2. (25) Stabilire quante soluzioni reali ha l equazione nell incognita x: x(x 2 200) = x(x 2 x). (a) Una. (b) Due. (c) Non è mai soddisfatta. (d) Tre. (e) Infinite. (26) Determinare per quali valori di x è soddisfatta la disequazione 4 x (a) È soddisfatta per x > 4 3. (b) È soddisfatta per x < 0 oppure x > 4 3. (c) È soddisfatta per x > 4. (d) Non è mai soddisfatta. (e) È soddisfatta per ogni x 0. (27) Il dominio di definizione della funzione log ( x 1 x+1 2 ) è (a) ]0, + [. (b) ]2, + [. (c) ] 3, 1[. (d) ], 1[. (e). (28) Se un angolo misura 16 o sessagesimali, allora la sua misura in radianti α verifica: (a) α < 1 4. (b) 1 2 < α < 1. (c) 1 4 < α < 22 75. (d) α è un numero razionale. (e) α = 0.2791. (29) La media aritmetica dei numeri a, b e c è 25. Se d = 5, qual è la media aritmetica dei numeri a, b, c e d? (a) 10. (b) 20. (c) 12, 5. x < 2.
5 (d) 15. (e) 7, 5. (30) Sia A l insieme dei numeri dispari minori di 52 e divisibili per 5. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) L insieme A è vuoto. (b) L insieme A contiene 5 elementi. (c) 20 A. (d) 15 A. (e) Gli elementi di A sono tutti numeri primi minori di 52. (31) La scomposizione in fattori del polinomio x 4 2x 2 + 1 è (a) (x + 1) 2 (x 1). (b) (x 1) 2 (x + 1) 2. (c) (x 2 + 1) 2. (d) Impossibile. (e) (x 1) 2 (x + 1). (32) Risulta 3 1+x2 = 9 1 x (a) Se e solo se x = 1. (b) Se e solo se x > 0. (c) Se e solo se x = 1 + 2 o x = 1 2. (d) Per ogni valore di x. (e) Se e solo se x < 1. (33) Per 0 x π l insieme di definizione della funzione f(x) = (a) Formato da un solo elemento. (b) Tutto l intervallo [0, π]. (c) Formato solo dai numeri 0, π. (d) Formato da un numero finito di numeri reali. (e) L insieme [0, π] \ { π 4, π 2 }. (34) Il numero 4 81 64 è uguale a 1 tan x 1 è (a) 2 3. (b) 9 8. 3 (c) 2. 2 3 (d) 8. (e) 4 3 2 2. (35) L equazione sin 2x = 2 sin x è verificata se e solo se (a) cos x = 1. (b) x = kπ con k Z. (c) Non è mai soddisfatta. (d) x = π 2 + kπ con k Z. (e) È soddisfatta per ogni x R. (36) Determinare per quali valori di x è soddisfatta la disequazione x 1 x 2 1. (a) È soddisfatta per x 1. (b) È soddisfatta per x 1 oppure x 1. (c) È soddisfatta per x 1. (d) Non è mai soddisfatta. (e) È soddisfatta per x 2.
6 (37) Il dominio di definizione della funzione log ( x+1 x+2 2 ) è (a) ]0, + [. (b) ]2, + [. (c) ] 3, 2[. (d) ], 2[. (e). (38) Se e 1+x ]1, 2[, allora (a) Si ha 1 < x < 0. (b) Si ha 0 < x < 1. (c) Si ha 1 < x < log 2 1. (d) Non esiste alcun valore di x. (e) Si ha x > 0. (39) Il numero log 2 48 è uguale a (a) 5. (b) 4 + log 2 3. (c) 4 log 2 3. (d) 24. (e) 96. (40) L espressione (2 n + 2 n+1 ) 2, con n intero positivo, è uguale a (a) 4 n + 4 n+1. (b) 9 4 n. (c) 4 n2 +n. (d) 2 4n+2. (e) 4 2n+2. (41) La scomposizione in fattori del polinomio x 3 + 3x 2 + 3x + 1 è (a) (x + 1) 2 (x + 2). (b) (x + 1) 3. (c) (x 1) 3. (d) Impossibile. (e) (x 1) 3 (x + 1). (42) Risulta 3 1+x = 9 1 x (a) Se e solo se x = 1. (b) Se e solo se x > 0. (c) Se e solo se x = 1 o x = 1/3. (d) Per ogni valore di x. (e) Se e solo se x < 1. (43) Per 0 x 2π l insieme di definizione della funzione f(x) = 1 2 sin x 1 è (a) Formato da un solo elemento. (b) Tutto l intervallo [0, 2π]. (c) Formato solo dai numeri 0, π, 2π. (d) Formato da un numero finito di numeri reali. (e) L insieme [0, 2π] \ { π 6, 5π 6 }. (44) Dati due numeri reali x, y maggiori di zero si ha log(x 2 y) 3 log y = (a) 6 log(x y). (b) log(x + y). (c) log(2 x 3 y ).
7 (d) 2 log x y. (e) Non ha senso. (45) Determinare per quali valori di x è soddisfatta la disequazione x 3 + x 2 2x > 0. (a) Per nessuna x. (b) È soddisfatta per x > 1. (c) È soddisfatta per 2 < x < 0 o per x > 1. (d) È soddisfatta per x < 2. (e) È soddisfatta per x < 2 o per x > 1. (46) Determinare per quali valori di x è soddisfatta la disequazione log 2 (x + 1) 3. (a) È soddisfatta per x > 0. (b) È soddisfatta per 1 < x 7. (d) Non è mai soddisfatta. (e) È soddisfatta per x > 2. (47) Determinare per quali valori di x è soddisfatta l equazione x 2 + 2 = x 1. (a) Non è mai soddisfatta. (b) È soddisfatta per x = 0. (d) È soddisfatta per x = 1 2. (e) È soddisfatta per x = 2. (48) Se e 1+x ]0, 1[, allora (a) Si ha 1 < x < 0. (b) Si ha 0 < x < e. (c) Si ha x < 1. (d) Non esiste alcun valore di x. (e) Si ha x > 0. (49) Sia A l insieme dei numeri razionali che soddisfano l equazione x 3 2x 2 + 1 = 0. Quale delle seguenti espressioni è vera? (a) L insieme A è vuoto. (b) A = {1}. (c) 1 A. (d) 1+ 5 2 A. (e) A = { 1+ 5 2, 1 5 2, 1}. (50) L insieme di definizione della funzione f(x) = log x + 1 è (a) R. (b) ], 1[ ] 1, + [. (c) R \ {0}. (d) ]0, + [. (e).
8 Domande di Algebra e Geometria tratte dai Test di autovalutazione o di recupero dei debiti formativi. (1) Il seguente sistema lineare di tre equazioni nelle incognite x, y, z 2x + y = 1 z = 2 4x + 2y = 2 ha (a) una sola soluzione. (b) solo soluzioni positive. (c) tre soluzioni. (d) nessuna soluzione. (e) infinite soluzioni. (2) La retta r e il piano α siano perpendicolari. Il luogo dei punti dello spazio a distanza fissata d(> 0) da r e da α è (a) una sfera (b) una circonferenza (c) due circonferenze (d) un cilindro (e) un cono (3) Il resto della divisione del polinomio x 4 + 1 per il polinomio x 2 + 1 è (a) 2 (b) 0 (c) x 1 (d) x + 1 (e) 1 (4) Nel piano cartesiano Oxy si considerino il punt P (1, 3) e la retta r di equazione y = x. Il simmetrico P di P rispetto ad r (nella simmetria ortogonale) è (a) ( 3, 1). (b) ( 3, 1). (c) ( 1, 3). (d) ( 1, 3). (e) (3, 1). (5) Siano r ed s due rette sghembe, R 1 e R 2 due punti distinti di r e S 1 e S 2 due punti distinti di s. Allora le rette R 1 S 1 e R 2 S 2 sono (a) parallele. (b) incidenti. (c) sghembe. (d) complanari. (e) ortogonali. (6) Il pavimento di una stanza di 5, 1m 9, 6m deve essere rivestito di mattonelle di ceramica quadrate di lato 4dm. Quante mattonelle (intere) occorre acquistare per pavimentare la stanza? (a) 306. (b) 300. (c) 288. (d) 312. (e) 315.
9 (7) Si consideri l equazione x 3 + 1 = 0. Le sue radici (nel campo complesso) sono (a) x = 1 ed x = 1 contata due volte. (b) x = 1 ed x = 1 contata due volte. (c) x = 1 contata tre volte. (d) x = 1 e x = ±i. (e) nessuna delle precedenti. (8) Fissati due punti M ed N dello spazio, il luogo dei punti P dello spazio tali che il triangolo MNP sia rettangolo in P è (a) l insieme vuoto. (b) due punti. (c) una circonferenza. (d) una sfera. (e) un cono. (9) Nello spazio ordinario siano dati tre punti M, N, R non allineati. Quante sono le circonferenze passanti per i tre punti? (a) 3. (b) 2. (c) 1. (d) 0. (e) infinite. (10) Le seguenti curve E : 3x 2 + y 2 = 1, P : y = 2x 2 1 hanno in comune (a) 4 punti distinti. (b) 3 punti distinti. (c) 2 punti distinti. (d) un punto con molteplicità 4. (e) nessun punto. (11) Il seguente sistema lineare di tre equazioni nelle incognite x, y, z x + 2y = 1 z = 2 2x + 4y = 2 ha (a) una sola soluzione. (b) solo soluzioni positive. (c) tre soluzioni. (d) nessuna soluzione. (e) infinite soluzioni. (12) Siano A e B due punti del piano (per es. A(0, 0) e B(0, 1)). Il luogo geometrico dei punti P del piano che verificano la condizione P A = 2 P B, dove il simbolo... indica la lunghzza del segmento, è (a) una parabola (b) una circonferenza (c) una retta (d) un iperbole (e) un poligono (13) Si consideri l equazione x 3 1 = 0. Le sue radici (nel campo complesso) sono
10 (a) x = 1 e x = 1 contata due volte. (b) x = 1 contata tre volte. (c) x 1 e x = ±i. (d) x = 1 e x = 1 contata due volte. (e) nessuna delle precedenti. (14) Nel piano cartesiano Oxy si considerino le rette r 1 e r 2 aventi equazioni r 1 : a 1 x + b 1 y = c 1, r 2 : a 2 x + b 2 y = c 2. Esse sono perpendicolari se (a) a 1 b 1 c 1 = a 2 b 2 c 2. (b) a 1 a 2 = b 1 b 2. (c) a 1 b 2 = a 2 b 1. (d) a 1 b 2 = a 2 b 1. (e) a 1 c 1 = a 2 c 2. (15) Siano A, B, C, D i vertici di un quadrato. Il luogo dei punti dello spazio equidistanti da A, B, C, D è (a) l unione di due piani. (b) l unione di quattro sfere. (c) una retta. (d) due rette. (e) quattro punti. (16) Un foglio di carta quadrato viene piegato in due parti uguali in modo da formare due rettangoli sovrapposti. Sapendo che il perimetro del rettangolo è 12cm, qual è l area del quadrato originario? (a) 9cm 2. (b) 4cm 2. (c) 8cm 2. (d) 16cm 2. (e) 25cm 2. (17) Se i lati di un triangolo misurano 6cm, 12cm, e 5cm, allora il triangolo (a) è acutangolo. (b) è equiangolo. (c) è rettangolo. (d) è scaleno. (e) non può esistere. (18) Se si taglia un cubo con un piano, allora la sezione non può essere (a) un triangolo. (b) un rettangolo. (c) un pentagono. (d) un esagono. (e) un ottagono. (19) Il resto della divisione del polinomio x 4 + 1 per il polinomio x 3 + 1 è (a) 0. (b) 2. (c) 1 x. (d) x + 1. (e) 1. (20) Le seguenti curve E : 3x 2 + y 2 = 1, P : y = 2x 2 1
11 hanno in comune (a) 4 punti distinti. (b) 3 punti distinti. (c) 2 punti distinti. (d) un punto contato quattro volte. (e) nessun punto. (21) Il seguente sistema lineare di tre equazioni nelle incognite x, y, z x + y + z = 0 x + y z = 0 2x + 2y 2z = 2 ha (a) una sola soluzione. (b) solo soluzioni positive. (c) tre soluzioni. (d) nessuna soluzione. (e) infinite soluzioni. (22) Quale delle seguenti affermazioni è quella vera? (a) La somma di più vettori può essere nulla. (b) Il modulo della somma di due vettori è sempre maggiore del modulo dei singoli vettori. (c) La differenza di due vettori può avere modulo negativo. (d) Il modulo della differenza di due vettori è sempre minore del modulo dei singoli vettori. (e) Il modulo della somma di due vettori è sempre uguale alla somma dei moduli dei due vettori. (23) L equazione (x + 1) 3 = x 3 + 1 (a) non ha soluzioni. (b) ha una sola soluzione. (c) ha due soluzioni. (d) ha tre soluzioni. (e) ha infinite soluzioni. (24) Nel piano cartesiano Oxy si consideri la circonferenza C di equazione x 2 + y 2 4x 6y + 12 = 0. Il punto P (0, 3) (a) è interno a C. (b) è esterno a C. (c) appartiene a C. (d) la distanza di P da C è uguale a 3. (e) la distanza di P da C è uguale a 2. (25) Il luogo dei punti equidistanti da una retta nello spazio è (a) un piano parallelo alla retta. (b) l unione di due sfere. (c) un cilindro rotondo. (d) un cono rotondo. (e) un prisma infinito. (26) Un foglio di carta rettangolare viene piegato in modo da ottenere due rettangoli uguali (sovrapponibili). Se vogliamo che il rapporto a/b (con a > b) tra i lati del rettangolo originario sia uguale a quello dei lati dei rettangoli ottenuti, allora a/b è uguale a
12 (a) 1/2. (b) 2. (c) 2. (d) 1, 5. (e) 3. (27) Si considerino una sfera di raggio R e un cilindro rotondo di raggio r < R. L intersezione tra le due superfici, se non è vuota, è (a) una circonferenza. (b) due circonferenze. (c) può essere una circonferenza. (d) può essere due circonferenze. (e) può essere una parabola. (28) Se r ed s sono due rette dello spazio che non hanno alcun punto in comune, allora (a) r ed s sono complanari. (b) r ed s sono parallele. (c) r ed s non sono complanari. (d) r ed s sono sghembe. (e) r ed s possono essere parallele. (29) Il resto della divisione del polinomio x 5 + 1 per il polinomio x 2 + 1 è (a) 1. (b) 1. (c) 1 x. (d) x + 1. (e) x 3 x. (30) Le seguenti curve E : 3x 2 + y 2 = 1, P : y = 2x 2 2 hanno in comune (a) 4 punti distinti. (b) 3 punti distinti. (c) 2 punti distinti. (d) un punto contato quattro volte. (e) nessun punto.