9 Analisi Strategica per la Politica Economica Parte Nona Prof. Bruno Chiarini
GIOCHI BAYESIANI Beliefs (credenze ; congetture) Informazione completa ma imperfetta Informazione incompleta Teorema di Bayes Mossa della Natura (Stati del mondo) Giocatori Tipi Stati del mondo Equilibrio Bayesiano (di Nash) Equil. Bayesiano nei giochi statici Equil. Bayesiano Perfetto nei giochi dinamici
GIOCO DI CARTE Struttura del gioco: 1) Piatto con 2 euro 2) 2 Giocatori 3) Un mazzo di carte Rosse e Nere I estrae una carta, la osserva e decide Rilanciare Aggiunge 1 nel piatto I Passare Game Over Carta estratta rossa Carta estratta nera 1 (II lo perde) -1 (II lo vince)
II non osserva la carta, ma se I rilancia deve decidere Ritira I vince 1 e II lo perde II Vede Aggiunge 1 nel piatto I Vince 2 se la carta estratta è rossa (perde 2 se nera) II Vince 2 se la carta estratta è nera (perde 2 se rossa)
La prima mossa (azione) è casuale e riguarda colore della carta (non è effettuata dei giocatori) La mossa è effettuata dalla Natura (N) Con un mazzo di carte (metà rossemetà nere) la probabilità che I estragga rossa è (½) (nera è ½) Questa probab. è conoscenza comune. La Natura sceglie con prob. ½ carta rossa e con prob. ½ carta nera I osserva la mossa della Natura (rossa o nera) ma II non osserva la carta I ha una informormazione privata
I R v (2,-2) VEDE ½ N ROSSO p (1,-1) II r (1,-1) RITIRA ½ NERA v (-2,2) VEDE I p R r (1,-1) RITIRA (-1,11) Errore in Figura. Se I passa con carta nera: payoff (-1,1)
Gioco Bayesiano: introduzione di credenze (Beliefs) e Tipi di giocatori Ora I ha direttamente la carta. All inzio del gioco I ha un informazione privata Un informazione è privata se non è conosc. comune. Se si ha un informazione privata si ha un gioco con informazione incompleta Se all inizio del gioco almeno un giocatore ha un informazione privata il gioco è con informazione incompleta Il giocatore II per decidere se rilanciare o vedere dovrà avere delle congetture (credenze, opinioni) sulla strategia adottata da I e sul colore della carta Ad esempio, il colore può dipendere dal Tipo di giocatore. Es. 2 Tipi
Giocatore I Onesto Disonesto Prende una carta a caso dal mazzo Prende una carta rossa Se II ritiene probabile il Tipo disonesto si aspetta che I rilanci perchè la carta è rossa. vedere. In questo caso II non andrà a Se II ritiene I un Tipo onesto, potrebbe vedere
Le credenze hanno un ruolo cruciale sulla scelta dei giocatori Dal lato del giocatore I, questi può ritenere probabile che II ritenga probabile che egli sia disonesto. Quindi I rilancerà anche quando è onesto e possiede una carta nera e così via Il problema dell infinita gerarchia di credenze dei giocatori Harsanyi (1967-68): trasforma il gioco ad informazione incompleta in un gioco ad informazione imperfetta ma completa Idea è retrodatare l inizio del gioco e introdurre un giocatore fittizio (la Natura) che sceglie in base a probabilità che sono conoscenza comune
Natura Tipi Credenze a priori (Beliefs) Le credenze sono aggiornate mediante l applicazione della regola di Bayes Giochi con informazione incompleta, una volta trasformati con informazione completa (con la trasformazione di Harsanyi) sono detti Giochi Bayesiani
Gioco di carte N sceglie tipo di I p Onesto I Se Disonesto Se Onesto 1-p Disonesto Prende carta rossa N sceglie il colore con prob. ½ rossa, ½ nera N p 1-p Onesto Disonesto 0.5 0.5 Carta Rossa Carta Nera
Regola di Bayes È il modo razionale di aggiornare le Beliefs I deve valutare la probalità di un evento e ha una Prior Belief P(A) P(A): probabilità soggettiva a priori dell evento A I osserva alcuni fatti (dati, accadimenti) Questi fatti osservati dovrebbero aiutarlo ad aggiornare la Posterior Belief P(A/B) P(A/B): probabilità soggettiva a posteriori dell evento A La regola di Bayes mostra come rivedere le credenze ex-ante alla luce di fatti, dati, accadimenti I usa 2 informazioni P(B/A) P(B/A N ) P(B/A): probabilità di constatare il fatto con l evento che si manifesta P(B/A N ): probabilità di constatare il fatto con l evento che non si manifesta
Se ci sono solo queste 2 alternative all evento., P(B) = probabilità marginale di osservare il fatto dopo il verificarsi uno o l altro dei possibili eventi P(B) = P(B/A)P(A) + P(B/A N )P(A N ) (1) La probabilità di constatare congiuntamente il fatto e l evento è: P(B A) = P(A/B)P(B) = P(B/A)P(A) (2) Dato che I è interessato a calcolare la P(A/B), riscriviamo la (2) P(A/B) = P(B/A)P(A) P(B) = P(B A) P(B) (3) I ha necessità di calcolare la sua nuova Belief (a posteriori) usando P(B) che egli calcola usando la (1): P(A/B) = P(B/A)P(A) P(B/A)P(A) + P(B/A N )P(A N )
La probabilità condizionale di A dato B è uguale alla probabilità che sia A che B si verifichino diviso la probabilità a priori che B si verifichi. La Probabilità che la causa del verificarsi l evento A sia il fatto o l evento B. P(B A) P(B)
Esempio P(A)=Probabilità di essere Sieropositivo P(A/B)= prob. Sieropositivo, dato l evento che assume droghe 2 statii del mondo: E sieropositivo (A) Non è sieropositivo (A N ) P C (sieropositivo-droga) P C (siero-droga)+p C (no-siero-droga) PC=Probabilità Congiunta P(A/B) = P(B/A)P(A) P(B/A)P(A) + P(B/A N )P(A N )
BELIEFS Nei giochi con inform. incompleta si inserisce un nuovo concetto le Beliefs (opinioni, credenze, stime, congetture) insieme alle strategie, per creare un idea più forte di equilibrio. Abbiamo incontrato il problema dei set informativi con nodi multipli: questi indicano l inabilità del giocatore di verificare dove si trova al momento della scelta. La domanda che si pone il giocatore è qual è la probabilità che mi trovi nel nodo alto in questo set informativo?
Queste probabilità condizionate sui nodi di un set informativo sono chimate Beliefs Sintetizzano la valutazione del giocatore su cosa è probabilmente accaduto fino a quel punto del gioco Le Beliefs di un giocatore riproducono le sue ipotesi sul comportamento degli altri giocatori prima che muova I giocatori usano l informazione disponibile per rivedere le loro Beliefs Questo processo è modellato con il Teorema di Bayes
GIOCHI BAYESIANI 2 Rappresentare l idea che ogni giocatore conosca la propria payoff ma è incerto sulle payoff degli altri giocatori: u i (a 1,,a n ; t i ) u i (a 1,,a n ) è il payoff del giocatore i quando i giocatori scelgono le strategie (a 1,,a n ) t i = Tipo del giocatore i, appartiene allo spazio dei Tipi T. Ad ogni diverso tipo t i corrisponde una diversa funzione di payoff che il giocatore i può assumere Se il giocatore i ha due tipi, t ia, t i2 allora: T i = t i1, t i2 con due funzioni dei payoff u i (a 1,,a n ; t i1 ) ; u i (a 1,,a n ; t i2 )
Ipotizzare che il giocatore i è incerto sulle funzioni di payoff degli altri equivale a dire che i è incerto sui tipi degli altri giocatori I tipi degli altri giocatori sono indicati t -i = (t 1,, t i-1, t t+1,, t n ) La distribuzione di probabilità P i (t -i /t) È la credenza (Belief) del giocatore i relativa ai tipi degli altri giocatori t -i data la conoscenza del giocatore i del proprio tipo La credenza P i (t -i /t) descrive l incertezza di i relativa ai possibili tipi degli antri n-1 giocatori t -1. Il gioco è indicato con: G = A 1,, A n ; T 1,, T n ; p 1,, p n ; u 1,, u n
Con Harsanyi (1967) si assume che la struttura temporale di un gioco sia: 1. La Natura estrae e rivela t i al giocatore i (e solo a lui) 2. I giocatori scelgono simultaneamente le azioni. 3. Si ricevono i payoff u i (a 1,,a n ; t i ) Introducendo la mossa fittizia della natura si è trasforma un gioco a informazione incompleta in un gioco a informazione imperfetta
Credenze P i (t -i /t i ) Quando Natura rivela t i al giocatore i, egli è in grado di calcolare le credenze P i (t -1 /t i ) utilizzando la regola di Bayes P(t P i (t -i /t i ) = -i t i ) = P(t i ) P(t -i t i ) Ʃ t-i P(t -i /t i ) ATTENZIONE: Regola di Bayes stabilisce: P(B A) = P(B A) P(B) La probabilità condizionale di A dato B è uguale alla probabilità che sia A che B si verifichino, diviso per la probabilità a priori che B si verifichi
Anche gli altri giocatori calcolano le credenze del giocatore i Se i tipi dei giocatori sono indipendenti, P i (t -i ) non dipende da t i, ma è derivato da una distribuzione a priori p(t). In questo caso, gli altri giocatori conoscono le congetture del giocatore i sui loro Tipi. Le credenze del giocatore i sono quindi indicate come P i (t -i )