INTEGRALI Test di autovalutazione. L integrale ln 6 è uguale a (a) vale 5 2 (b) (c) (d) 4 5 vale ln 256 2 è negativo 2 5 + 4 5 2 5 + 4 5 d d 2. È data la funzione = e 2. Allora: (a) se F() è una primitiva di, allora F() è anche primitiva di +k, qualunque sia k R (b) una primitiva di è la funzione G() = 2 e2 + (c) una primitiva di è la funzione H() = e 2 + 2 2 e 2 (d) l area della regione piana compresa tra il grafico di e l asse delle, per [ 2, ], vale A = 2 e 2 d 3. Sia I = [a, b] con a < b e sia f una funzione continua su I. Allora necessariamente: (a) può esistere una primitiva di f su I che ha un punto di discontinuità (b) f ha primitive su I (c) b d non è nullo a (d) esiste un punto c [a, b] tale che f(c) = 4. Sia F() = (a) F () = (b) (c) F () = e F() = e e t2 dt. Allora: (d) F non è derivabile in = a b d c 26 Politecnico di Torino
5. La funzione integrale F() = (t 3 4t) dt: (a) è sempre crescente (b) ha un punto di minimo in = 2 (c) è dispari (d) non si annulla mai 6. L area A della regione di piano compresa tra le curve y = e y = 2 vale: (a) A = 3 (b) A = 2 3 (c) A = (d) A = ( 2 ) d 7. Siano = 3 +, [, ] e µ la media integrale di f su [, ]. Allora (a) non esiste nessun valore c nell intervallo [, ] per cui f(c) = µ (b) µ = 2 (c) µ = (d) µ = 8. Sia I = (a) I < (b) I < 4 (c) 4 I 4 (d) I > 4 ( 3 + ) d e d. Allora: 9. L integrale improprio + e d : (a) vale (b) vale = lim + e (c) è indeterminato (d) diverge c 26 Politecnico di Torino
. L integrale improprio (a) oscilla (b) converge (c) è nullo (d) è negativo + 3 2 log d. Sia f una funzione continua e limitata su I=[, + ). Allora l integrale improprio d + 2 (a) è convergente, ma non assolutamente convergente (b) se lim, può essere divergente + (c) converge (d) se non ha segno costante su I, può essere oscillante 2. Sia f una funzione derivabile infinite volte su R e positiva su R, il cui sviluppo di Maclaurin di ordine 4 è = 3 4 + o( 4 ). Allora necessariamente: (a) l integrale improprio (b) l integrale improprio 4 (c) se k < 5 l integrale improprio (d) l integrale improprio d è divergente d è convergente se e solo se k < k cos tan 4 k d è convergente d è oscillante c 26 Politecnico di Torino
. L integrale ln 6 è uguale a (a) vale 5 2 (b) (c) (d) 4 5 vale ln 256 2 è negativo 2 5 + 4 5 2 5 + 4 5 d d RISPOSTA ESATTA: (c). Osserviamo che la funzione = 2 5 + 4 è positiva sull intervallo d integrazione I=[, 4] (come si vede studiando i segni di numeratore e denomina- 5 tore). Quindi la risposta (d) è errata, in quanto, essendo e a < b, si ha b d. a Anche la risposta (b) è errata, perché 4 d = d = d, essendo sull intervallo I. Per calcolare l integrale definito di, osserviamo che la funzione si può scrivere come e dunque d = = 2 5 + 4 5 = 5 2 = d + 4 4 ln4 = 5 2 ( 5) + 4 5 5 d = ln 256. Pertanto la risposta (c) è esatta mentre la (a) è errata. = + 4 5 [ 2 2 ] 4 + 4[ln 5 ] 4 c 26 Politecnico di Torino
2. È data la funzione = e 2. Allora: (a) se F() è una primitiva di, allora F() è anche primitiva di +k, qualunque sia k R (b) una primitiva di è la funzione G() = 2 e2 + (c) una primitiva di è la funzione H() = e 2 + 2 2 e 2 (d) l area della regione piana compresa tra il grafico di e l asse delle, per [ 2, ], vale A = 2 e 2 d RISPOSTA ESATTA: (b). La risposta (a) è errata: se F() è una primitiva di, si ha F () = e dunque non è vero che F () = + k, qualunque sia k R (lo è solo per k = ). Invece la risposta (b) è esatta, perché si verifica immediatamente che G () =. La risposta (c) è errata in quanto H() = f () mentre, se H() fosse una primitiva di, dovrebbe essere H () =. Infine la risposta (d) è errata in quanto, se [ 2, ], la funzione è negativa, e dunque d <, mentre l area è una quantità non negativa 2 (in effetti A = d ). 2 c 26 Politecnico di Torino
3. Sia I = [a, b] con a < b e sia f una funzione continua su I. Allora necessariamente: (a) può esistere una primitiva di f su I che ha un punto di discontinuità (b) f ha primitive su I (c) b d non è nullo a (d) esiste un punto c [a, b] tale che f(c) = RISPOSTA ESATTA: (b). a b d Per il Teorema fondamentale del calcolo integrale, le funzioni F() = c f(t) dt, al variare di c [a, b], sono primitive di. Dunque la risposta (b) è esatta. La risposta (a) è errata, in quanto, se F() è una qualunque primitiva di su I, si ha F () =, I; dunque, se f è continua su I, F è derivabile su I e dunque F è continua su I. La risposta (c) è errata: come controesempio, si consideri la funzione = sin, sull intervallo [, 2π]. La risposta (d) è errata: si consideri ad esempio la funzione = sull intervallo [, 2]. (La risposta (d) sarebbe esatta se il valore dell integrale definito fosse diviso per b a, come afferma il Teorema della media integrale.) c 26 Politecnico di Torino
4. Sia F() = (a) F () = (b) (c) F () = e F() = e e t2 dt. Allora: (d) F non è derivabile in = RISPOSTA ESATTA: (b). Infatti, per il Teorema fondamentale del calcolo integrale, F () = e 2 e dunque F () = e. Dunque (b) è vera mentre (a) è falsa. La risposta (d) è errata, in quanto, F() è una primitiva di su R e f è continua, F è derivabile su R e dunque in particolare lo è in =. La risposta (c) è falsa, in quanto F() =. c 26 Politecnico di Torino
5. La funzione integrale F() = (a) è sempre crescente (b) ha un punto di minimo in = 2 (c) (d) è dispari non si annulla mai RISPOSTA ESATTA: (b). Poiché F() =, la (d) è falsa. (t 3 4t) dt: F() non è dispari (lo è invece ). Infatti, effettuando la sostituzione t = z, si ricava F( ) = = (t 3 4t) dt = (z 3 4z) dz = F(). ( z 3 + 4z) ( ) dz Quindi F è pari e (c) è falsa. Si ha F () = 3 4 = ( 2)(+2). Dunque i punti di ascissa =, = ±2 sono punti critici di F. Dallo studio del segno di F e degli intervalli di monotonia di F si deduce che F è decrescente negli intervalli (, 2) e (, 2); si ricava inoltre che il punto = è un punto di massimo relativo, mentre i punti = ±2 sono punti di minimo relativo. Dunque (a) è falsa mentre (b) è vera. c 26 Politecnico di Torino
6. L area A della regione di piano compresa tra le curve y = e y = 2 vale: (a) A = 3 (b) A = 2 3 (c) A = (d) A = ( 2 ) d RISPOSTA ESATTA: (a). La regione di piano è situata nel primo quadrante, delimitata dalla curva y = e dalla parabola y = 2. Pertanto la sua area si calcola come A = ( 2 ) d = 3. c 26 Politecnico di Torino
7. Siano = 3 +, [, ] e µ la media integrale di f su [, ]. Allora (a) non esiste nessun valore c nell intervallo [, ] per cui f(c) = µ (b) µ = 2 (c) µ = (d) µ = ( 3 + ) d RISPOSTA ESATTA: (d). Per definizione, µ = d. Eseguendo il calcolo si trova µ =. 2 Pertanto (d) è vera, mentre (b) e (c) sono false. La risposta (a) è errata, perché contraddice il Teorema della media integrale. c 26 Politecnico di Torino
8. Sia I = e d. Allora: (a) I < (b) I < 4 (c) 4 I 4 (d) I > 4 RISPOSTA ESATTA: (c). Se [, 4], si ha 2 e dunque e e 2. Pertanto da cui d 4 e d e d 4e 2. e 2 d Dunque (c) è vera mentre (a), (b) e (d) sono false. c 26 Politecnico di Torino
9. L integrale improprio + e d : (a) vale (b) vale = lim + e (c) è indeterminato (d) diverge RISPOSTA ESATTA: (a) Infatti, applicando la regola di integrazione per parti per calcolare l integrale indefinito, si ha: + d = lim e t + = lim t + t e d = lim ) =. ( t + e t + t + [ + ] t e Si osservi che la risposta (c) è da scartare perché = e su [, + ), e dunque il suo integrale definito tra e + non può essere indeterminato (o converge o diverge). c 26 Politecnico di Torino
. L integrale improprio (a) oscilla (b) converge (c) è nullo (d) è negativo + 3 2 log d RISPOSTA ESATTA: (b) Le risposte (a), (c) e (d) sono errate perché su I = [3, + [ la funzione = è strettamente positiva. 2 log La risposta (b) è esatta; infatti, applicando il Criterio del confronto, osserviamo che 2 log <, [3, + ), 2 e l integrale improprio + 3 2 d è convergente. c 26 Politecnico di Torino
. Sia f una funzione continua e limitata su I=[, + ). Allora l integrale improprio d + 2 (a) è convergente, ma non assolutamente convergente (b) se lim, può essere divergente + (c) converge (d) se non ha segno costante su I, può essere oscillante RISPOSTA ESATTA: (c) Poiché è limitata, esiste una costante k > per cui e pertanto + k, I, 2 k. 2 k Poiché d converge, per il Criterio del confronto converge anche 2 + 2 d. Quindi l integrale improprio dato è assolutamente convergente, e di conseguenza (per il Criterio di convergenza assoluta) è convergente. Dunque la risposta (c) è esatta, mentre le risposte (a) e (d) sono errate. La risposta (b) è errata: è sufficiente come controesempio la funzione =. c 26 Politecnico di Torino
2. Sia f una funzione derivabile infinite volte su R e positiva su R, il cui sviluppo di Maclaurin di ordine 4 è = 3 4 + o( 4 ). Allora necessariamente: (a) l integrale improprio (b) l integrale improprio 4 (c) se k < 5 l integrale improprio (d) l integrale improprio RISPOSTA ESATTA: (c) d è divergente d è convergente se e solo se k < k cos tan 4 k d è convergente d è oscillante Dallo sviluppo di Maclaurin di, si ha 3 4, per. Pertanto 3 3 k k 4, per. Poiché l integrale improprio d converge k 4 se k 4 <, allora l integrale improrio d converge se k < 5. k Dunque la risposta (c) è esatta mentre le risposte (a) e (b) sono errate. La risposta (d) è errata; infatti si ha cos tan 4 tan 4 e inoltre tan 4 34 = 3, per. 4 Poiché l integrale improprio 3 d converge, applicando i Criteri di convergenza assoluta, del confronto e del confronto asintotico, possiamo concludere che anche d converge. tan 4 cos c 26 Politecnico di Torino