Matteo Luca Ruggiero DISAT@Politecnico di Torino Anno Accademico 011/011 (1 Marzo - 17 Marzo 01)
Sintesi Abbiamo introdotto lo studio del moto di un punto materiale partendo da un approccio cinematico. Una volta fissato il sistema di riferimento, il vettore posizione r individua la posizione del punto materiale; al variare del tempo r(t) definisce la legge oraria, da cui è possibile ricavare velocità e accelerazione. Posizione, velocità e accelerazione sono grandezze vettoriali, che possono essere espresse scegliendo coordinate e vettori di base opportuni: per i moti in un piano, accanto alle coordinate e ai vettori della base cartesiana, è possibile fare uso delle coordinate e della base polare, oltre che della base intrinseca. 1 Esercizi svolti ad Esercitazione Esercizio E.1.1 Un punto materiale si muove lungo una retta secondo la legge oraria: (i) x(t) = αt + b, (ii) x(t) = ct + dt + e. In entrambi i casi: (1) calcolare velocità ed accelerazione; () interpretare il significato fisico delle costanti α, b, c, e. Soluzione: (i): v(t) = α, a(t) = 0; (ii) v(t) = d + ct, a(t) = c. In (i): α rappresenta la velocità (costante) con cui avviene il moto, b rappresenta la posizione che il punto occupa a t = 0; in (ii) c = a/ rappresenta la metà dell accelerazione (costante), d rappresenta la velocità a t = 0, e rappresenta la posizione a t = 0. Il primo tipo di moto è uniforme, mentre il secondo è uniformemente accelerato. Esercizio E.1. Un punto materiale si muove lungo una retta secondo la legge oraria: x(t) = (5t t) m. (1) Calcolare velocità e accelerazione iniziali; () calcolare gli istanti in cui passa per l origine. Soluzione: (1) v(t) = (10t )m/s, a(t) = 10m/s. () t 1 = 0, t = /5 s. m Home Page di ML Ruggiero T 011090739 B matteo.ruggiero@polito.it Pagina
Esercizio E.1.3 La velocità con cui un corpo si sta muovendo lungo una retta è data da v(t) = αt bt, con le due costanti α, b date da α = 1 m/s 3, b = m/s. All istante t = 0 il punto si trova in x = 1 m. (1) Calcolare la legge oraria; () calcolare l accelerazione; (3) calcolare la posizione in cui avviene l inversione del moto. Soluzione: (1) x(t) = αt 3 /3 bt / + x 0, con x 0 = 1 m. () a(t) = αt b. (3) t 1 = 0, t = b α = m/s 1m/s 3 = s Esercizio E.1.4 Un treno in modo lungo un binario rettilineo ha una velocità v 0 ; inizia a frenare e si osserva che esso si ferma in un tratto di lunghezza l. Supponendo che (i) a = cost, (ii) a = αt: Calcolare in entrambi i casi l accelerazione media. Soluzione Commentata: Lungo il binario consideriamo un sistema di riferimento, con origine per la variabile x nella posizione occupata a t = 0 dal treno. Nel caso (i) il treno si sta muovendo con accelerazione costante pari ad a. Possiamo quindi scrivere l equazione differenziale a = dv dt, (1) che dobbiamo risolvere per determinare v(t). Per questo, possiamo procedere separando le variabili, adt = dv, () e integriamo 1 t =t v adt = 0 = dv, (3) t =0 v 0 fra gli istanti (0, t), cui corrispondono, rispettivamente, i valori della velocità v 0, v. Si ottiene quindi a[t ] t 0 = [v ] v v 0 at = v v 0 v(t) = v 0 + at. (4) Notiamo che l equazione differenziale del primo ordine (1) ha una soluzione completa in funzione di una costante arbitraria la quale, nel nostro caso, corrisponde a v 0, il cui valore corrisponde alla condizione iniziale per la velocità. Procediamo in maniera simile per ottenere la legge oraria x(t) v = dx dt, (5) 1 Utilizziamo le variabili ausiliarie t, v per non confondere la variabili di integrazione con gli estremi di integrazione. m Home Page di ML Ruggiero T 011090739 B matteo.ruggiero@polito.it Pagina 3
Separando le variabili ed integrando, utilizzando per v il valore dato dalla (4) otteniamo infine v 0 [t ] t 0 +a [ t ] t 0 t =t t =0 (v 0 + at) dt = 0 = x x 0 dx, (6) = [x ] x x 0 v 0 t+a t = x x 0 x(t) = x 0 +v 0 t+a t. (7) Anche in questo caso, abbiamo risolto l equazione differenziale del primo ordine (5) introducendo una costante arbitraria, x 0 la quale corrisponde alla posizione inziale. Notiamo che mettendo insieme le equazioni (1,5), otteniamo d x = a, la quale è una equazione differenziale del secondo ordine, la cui dt soluzione, data da x(t) = x 0 +v 0 t+a t, dipende dalle due costanti arbitrarie x 0, v 0. Per rispondere al quesito del problema, notiamo che possiamo scrivere la legge oraria nella forma x(t) = v 0 t + a t, (8) perchè scegliamo l origine della coordinata x nella posizione occupata dal treno all istante iniziale. Possiamo determinare il tempo di frenata t f imponendo v(t f ) = 0 nella (4), da cui t f = v 0 a. (9) Osserviamo che trattandosi di un moto decelerato, a < 0, per cui t f > 0. Lo spazio percorso dall istante iniziale fino al completo arresto si ottiene andando a sostituire t f nella (8): x(t f ) = v 0 t f + 1 at f x(t f) = v 0 a. (10) Essendo noto lo spazio di frenata, x(t f ) = l, abbiamo la relazione l = v 0 a. (11) L accelerazione media coincide con l accelerazione costante che si ricava dalla (11), ovvero a = v 0 (1) l Nel caso (ii), il procedimento è il medesimo: quello che cambia è il tipo di moto, perchè il treno si sta muovendo con una accelerazione variabile, m Home Page di ML Ruggiero T 011090739 B matteo.ruggiero@polito.it Pagina 4
secondo la legge a(t) = αt. Per determinare la funzione v(t) dobbiamo risolvere l equazione differenziale αt = dv dt, (13) da cui si ottiene, procedendo nuovamente per separazione delle variabili v(t) = v 0 + α t (14) Per determinare la funzione x(t) dobbiamo risolvere l equazione differenziale v 0 + α t = dx dt, (15) da cui si ottiene, procedendo nuovamente per separazione delle variabili x(t) = x 0 + v 0 t + α t3 6 (16) Come prima, possiamo imporre x 0 = 0, per cui la legge oraria diventa x(t) = v 0 t + α t3 6 (17) Determiamo quindi lo spazio di frenata t f imponendo v(t f ) = 0 nella (14): t f = v 0 α. (18) Notiamo che la radice è ben definita, perchè α < 0, per avere una decelerazione. Lo spazio di frenata corrispondente si ottiene andando a sostituire il valore ottenuto nella legge oraria (17): ( x(t f ) = v 0 v 0 α + 1 6 α v 0 α ) 3 = v3 0 3 α, (19) dove si è tenuto conto del fatto che α < 0. Imponendo quindi x(t f ) = l, si ottiene α = 8 v 0 3 9 l, (0) e andando a sostituire nella (18) Per ottenere l accelerazione media scriviamo t f = 3 l (1) v 0 a m = v f v 0 = v 0 = v0 t f t 0 t f 3 l () m Home Page di ML Ruggiero T 011090739 B matteo.ruggiero@polito.it Pagina 5
Esercizio E.1.5 Un motociclista si sta muovendo con accelerazione costante lungo un tratto di pista rettilinea; quando passa nella posizione x 1 il suo tachimetro segna la velocità v 1, quando passa nella posizione x > x 1 il suo tachimetro segna la velocità v. Ponendo x x 1 = x: (1) Quanto vale l accelerazione? () Quanto impiega a percorrere il tratto x? Soluzione: (1) a = v v 1 ; () t = (x x 1 ) (x x 1 ) v +v 1. Suggerimento: Consideriamo la legge oraria che descrive il moto di un punto materiale che si muove sotto l azione di una forza costante, cui corrisponde un accelerazione che, genericamente, indichiamo con a: x(t) = x 0 + v 0 (t t 0 ) + 1 a(t t 0) (3) v(t) = v 0 + a(t t 0 ) (4) Elevando al quadrato la (4) si ottiene v v 0 = a ( v 0 (t t 0 ) + 1 a(t t 0) ) e, tenendo conto della (3) si ottiene v v 0 = a(x x 0) (5) Quindi, nello spazio x = x x 0, la velocita varia da v a v 0. La relazione (5) si comprende facilmente applicando il teorema delle forze vive ad un punto materiale soggetto ad una forza costante. Inoltre, il tempo trascorso si ricava dalla (4): t = v v 0 a = (v v 0( (x x 0 ) v v 0 = x x 0 v + v 0 (6) che si può scrivere anche nella forma avendo introdotto la velocità media v m = v+v 0. t = x x 0 v m (7) m Home Page di ML Ruggiero T 011090739 B matteo.ruggiero@polito.it Pagina 6
Esercizio E.1.6 Un automobile in moto rettilineo parte dall origine di un riferimento cartesiano, mettendosi in moto con accelerazione a 0 = 1 m/s ; l accelerazione diminuisce linearmente fino ad annullarsi nell istante T in cui la velocità è pari a 108 chilometri orari. Quanto spazio ha percorso fino all istante T? Soluzione Commentata: la forma generale dell accelerazione è del tipo a(t) = a 0 + bt, con b costante da determinare imponendo che a(t) = 0. Si ottiene quindi ( a(t) = a 0 1 t ) (8) T Integrando l equazione differenziale a = dv, con a = a(t) determinato dalla dt (8), otteniamo ( ) v(t) = v 0 + a 0 t t, (9) T dove si può porre v 0 = 0, dato che l automobile parte da ferma: ( ) v(t) = a 0 t t, (30) T Sappiamo che v(t) = V = 108 km = h 30m. Allora dalla (30) otteniamo s E quindi possibile ricavare il tempo T, per cui V = v(t) = 1 a 0T (31) T = V a 0 = 30m s 1 m s = 60 s (3) Integrando l equazione differenziale v = dx, con v = v(t) determinato dalla dt (30), otteniamo ( ) t x(t) = x 0 + a 0 t3, (33) 6T dove si può porre x 0 = 0, dato che l automobile parte dall origine: x(t) = a 0 ( t t3 6T ). (34) Ponendo t = T nella (34) otteniamo lo spazio percorso fino all istante t = T: x(t) = a 0 1 3 T = 1 m s 1 3 (60) s = 100 m. (35) m Home Page di ML Ruggiero T 011090739 B matteo.ruggiero@polito.it Pagina 7
ESERCIZI PROPOSTI Esercizi Proposti Esercizio P.1.1 Un ciclista si muove lungo una pista circolare di raggio R, partendo da fermo, e compie un giro mantenendo una accelerazione tangenziale costante a. (1) Calcolare il vettore velocità alla fine del giro; () calcolare l espressione del vettore accelerazione lungo la traiettoria, in funzione del tempo; (3) calcolare il tempo impiegato a percorrere tutta la pista. Esercizio P.1. Le coordinate geografiche di Roma sono 41 gradi latitudine Nord e 1 gradi longitudine Est; quelle di Sydney sono 33 gradi di latitudine Sud 151 gradi di longitudine Est. Quanto è la loro distanza, calcolata lungo l arco di cerchio massimo che le unisce? Figura 1: Esercizio P.1.3 Esercizio P.1.3 Nel meccanismo in Figura 1 A e B sono due cerniere per le aste OA e AB che hanno uguale lunghezza l. A partire da t = 0, nella configurazione in cui m Home Page di ML Ruggiero T 011090739 B matteo.ruggiero@polito.it Pagina 8
.1 Esercizio P.1.4 3 QUESITI α = 0, B viene avvicinata a O, muovendola con velocita costante v. (1) Calcolare l angolo α in funzione del tempo. () Calcolare le componenti della velocità e dell accelerazione della cerniera A lungo l asse x..1 Esercizio P.1.4 Due treni viaggiano sullo stesso tratto di binario rettilineo, nella stessa direzione, con velocità v 1 = 144 km/h e v = 7 km/h. Il primo treno inizia a frenare quando si trova ad una distanza L dal secondo che lo precede, con una decelerazione costante pari a 4 m/s. Calcolare il valore minimo di L necessario per evitare l impatto.. Esercizio P.1.5 Le lancette dell orologio sono sovrapposte a mezzogiorno. A che ora saranno nuovamente sovrapposte?.3 Esercizio P.1.6 Un punto materiale si muove in un piano e le sue coordinate polari variano secondo le seguenti relazioni r(t) = Re t/t, θ(t) = ωt con R, T, ω costanti. Calcolare le componenti polari di (1) velocità e () accelerazione. 3 Quesiti 1.1 Sto viaggiando in automobile e osservo che il tachimetro segna sempre i 90 chilometri orari. Posso dedurre che 1. Ho accelerazione nulla. Ho accelerazione costante 3. Sto viaggiando in rettilineo 4. Nessuna delle risposte precedenti m Home Page di ML Ruggiero T 011090739 B matteo.ruggiero@polito.it Pagina 9
3 QUESITI posizione Marco Giulia 4m s 4s 6s 8s 10s istanti di tempo Figura : Quesito 1. 1. Due bambini, Marco e Giulia, fanno una corsa in bicicletta, lungo una pista rettilinea. Ad un dato istante, che corrisponde a t = 0 nel grafico (Figura, sono riportate le posizioni occupate dai due bambini, in funzione degli istanti di tempo), Giulia precede Marco di metri. Marco, poi, sorpassa Giulia dopo secondi, avendo percorso 4 metri dall istante iniziale. Osservando il grafico, possiamo dedurre che: 1. La velocità di Marco è di metri al secondo. La velocità di Marco è di 4 metri al secondo 3. La velocità di Giulia è di metri al secondo 4. La velocità di Giulia è di 4 metri al secondo 1.3 Sia dato il seguente sistema di equazioni, che esprime la legge oraria x = x(t), y = y(t) del moto di un punto materiale nel piano xy: { x = at y = bt dove a, b sono costanti con le opportune dimensioni. L equazione della traiettoria rappresenta 1. una retta. una parabola m Home Page di ML Ruggiero T 011090739 B matteo.ruggiero@polito.itpagina 10
3 QUESITI v(t) P t P t Figura 3: Quesito 1.5 3. un iperbole 4. una circonferenza 1.4 Un punto materiale si muove in un piano, ed è soggetto ad una accelerazione a costante. Allora 1. Si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato. Si muove di moto circolare uniforme 3. Si muove di moto circolare vario 4. Non ci sono elementi sufficienti per descrivere il moto 1.5 In un grafico (Figura 3) che riporta la velocità v registrata in funzione del tempo t, in un moto unidimensionale, il coefficiente angolare della retta tangente al grafico, in un punto generico P rappresenta 1. la velocità in P. la velocità media 3. l accelerazione in P 4. non ha alcuna interpretazione fisica m Home Page di ML Ruggiero T 011090739 B matteo.ruggiero@polito.itpagina 11