Eercizio ul piano inclinato La forza peo è data dalla formula p mg Allora e grandezze geometriche: poono eere critte utilizzando l angolo di inclinazione del piano oppure le Angolo di inclinazione orza parallela in( α ) p orza perpendicolare co( α ) p Grandezze geometriche h l b l p p ) Problema Sia dato un piano inclinato di 30 privo di attrito u cui poggia una maa di 6 kg Determinare l accelerazione con cui cende il corpo p 30 L equazione che decrive il moto del corpo è la econda legge della dinamica ma Dove: rappreenta la riultante di tutte le forze attive che determinano il moto del corpo; m la maa totale dei corpi ottopoti all azione della forza riultante ; a è l accelerazione dei corpi Allora Diventa coniderando la forza attiva ma ma
α Calcolo p in( α ) mg in( ) 6 9,8 in( 30) 9, 4N Sotituendo allora 9,4 6a a 4,9 m ) Problema Sia dato un piano inclinato di 45, lungo metri e privo di attrito ulla cui ommità poggia una maa di 550g Determinare l accelerazione con cui cende il corpo e il tempo che impiega a cendere e la velocità con cui arriva alla fine del piano inclinato p 45 L equazione che decrive il moto del corpo è la econda legge della dinamica ma Diventa coniderando la forza attiva ma Calcolo p in( α ) mg in( α ) 0,55 9,8 in( 45) 3, 8N Sotituendo allora 3,8 0,55a a 6,9m Poiché il moto lungo il piano è uniformemente accelerato il tempo che il corpo impiega a cadere è
t 0, 76 a 6,9 La velocità con cui arriva al termine del piano inclinato è: v v at 6,9 0,76 5, 5m 0 + 3) Problema Sia dato un piano inclinato di 30 avente coefficiente di attrito µ 0, 08 u cui poggia una maa di 8 kg Determinare l accelerazione con cui cende il corpo p 30 L equazione che decrive il moto del corpo è la econda legge della dinamica ma Poiché c è attrito dobbiamo tener preente che l attrito i oppone empre alla forza attiva e che nel cao del piano inclinato la forza di attrito è data da a µ Allora la formula ma diventa a ma µ ma ( ) mg in( 30) 8 9,8 in( 30) 39, N p in α ( ) mg co( 30) 8 9,8 co( 30) 67, N p co 9 α µ ma 39, 0,08 67,9 8a 39, 0,08 67,9 8a 39, 5,4 8a 33,8 8a a 4,3m
4) Problema Dato un piano enza attrito inclinato di 40 coniderare u di eo una maa tramite un filo ed una carrucola, anch ea enza attrito, ad un altra maa verticalmente Determinare l accelerazione del itema m 5kg collegata m 3kg laciata libera p p 40 p Il filo tramette l azione della forza peo della maa m lungo la tea direzione della componente pertanto ee aranno reponabili del moto del itema Prendiamo come poitivo il vero di, cioè quello che fa cendere il corpo lungo il piano inclinato Con queta convenzione e l accelerazione riultante è poitiva il itema i poterà nel vero di tracinamento della maa, vicevera e l accelerazione riultante è negativa il itema i poterà nel vero di tracinamento della maa L equazione che determina il moto del itema è: che diventa ( 40) 3, N p in 5 ma p ( m + m )a m g 9, 4N Sotituendo i ottiene 3,5 9,4 ( 5 + 3)a, 8a a 0,6 m Eendo a poitiva il itema i pota nel vero di tracinamento della maa m
5) Problema Dato un piano enza attrito inclinato di 40 coniderare u di eo una maa tramite un filo ed una carrucola, anch ea enza attrito, ad un altra maa m 3kg collegata m 4kg dipota u un piano inclinato di 50 e avente tea altezza del primo piano Determinare l accelerazione del itema p p p 40 50 Il filo tramette l azione della forza di tracinamento lungo la tea direzione della componente attiva pertanto ee aranno reponabili del moto del itema Prendiamo come poitivo il vero di Allora equazione diventa ma ( m + m )a ( 40) 8, N p in 9 ( 50) 30, N p in Allora 8,9 30, 7a, 7a a,6 m Eendo a negativa il itema i pota nel vero di tracinamento della maa m
6) Problema Dato un piano con coefficiente di attrito tatico µ 0, 4 e inclinato ripetto l orizzontale di 35 coniderare u di eo una maa m kg collegata tramite un filo ed una carrucola priva di attrito, ad un altra maa m laciata libera verticalmente Determinare il valore della maa m affinché il itema ia in equilibrio p p 35 p L equazione che determina il moto del itema è: ma Poiché il itema deve eere in equilibrio deve eere 0 La forza di tracinamento m deve fare da equilibrio ulla forza imprea da m Su m agicono due forze: la forza di tracinamento la forza di attrito a µ ( 35) 6, N p in 8 µ µ p co ( 35) 35, N a Poiché > a il corpo Poiamo crivere allora m eercita una forza trainante nel vero acendente del piano inclinato ( a ) 0 p 6,6 9,8m m, 7kg
7) Problema Sia dato un piano inclinato di 60 avente coefficiente di attrito µ 0, u cui poggia una maa m Determinare il minimo valore della maa affinché rieca a taccare un mattone da un muro vincolato ad eo da una forza di coeione c 60N c p L equazione che decrive il moto del corpo è la econda legge della dinamica Oervazione Affinché vi ia movimento: conidero le forze attive c conidero le forze paive µ ma ( c ) µ ma e le forze attive ono uperiori alle forze paive, cioè e le forze attive ono inferiori alle forze paive, cioè c > µ vi è movimento; c < µ non vi è movimento cioè la le forze che generano movimento non ono in grado di vincere l attrito, quindi il corpo rimane fermo In queto cao la forza attiva è deve vincere al forza di coeione anche contratare la forza di attrito µ, quindi: ( 60) 8, mn p in 5 µ µ ( 60) 0, mn co a p 6 c tenendo conto che deve
Per taccare il mattone dal muro la forza deve equilibrare l azione della forza di coeione tenendo conto anche della reitenza dovuta alla forza di attrito µ, la condizione minima affinché queto avvenga è che: Che ricordando l equazione c + µ ( c ) µ ma corriponde ad a 0, che è la condizione minima affinché la maa rieca a taccare il mattone da muro, per valori a > 0, il mattone viene comunque tolto Quindi: 8,5m 60 0,6m 0 8,5m 60 0,6m 0 7,9m 60 60 m 0, 6kg 7,9 c