Date due grandezze variabili, variabile indipendente e y variabile dipendente, si dice che y è funzione di se esiste una legge o proprietà di qualsiasi natura che fa corrispondere a ogni valore di uno e un solo valore della y; si scrive: y = f () che si legge y uguale effe di. Una funzione può essere: empirica Se il legame che associa la variabile dipendente alla variabile indipendente non è esprimibile con una formula, per cui i suoi valori si ottengono solo con osservazioni sperimentali e misurazioni. matematica Se il legame che associa la variabile dipendente alla variabile indipendente è esprimibile con una formula, per cui i suoi valori si ottengono con calcoli aritmetici.
Esempi di funzione: empirica la quantità di neve caduta in una località e i vari mesi considerati; la temperatura corporea di un ammalato e le ore di osservazione; il numero di alunni iscritti in una scuola e gli anni considerati. matematica lo spazio percorso e il tempo impiegato a percorrerlo; il perimetro di un poligono regolare e la misura del suo lato; l area di un quadrato e la misura del suo lato.
Due semirette perpendicolari, nelle quali sono fissati l origine, il verso e l unità di misura, si chiamano assi cartesiani ortogonali e precisamente asse delle ascisse o asse quello orizzontale, asse delle ordinate o asse y quello verticale. La loro origine O è l origine degli assi. Due assi cartesiani ortogonali fissati su un piano determinano un piano cartesiano ortogonale e costituiscono un sistema di riferimento cartesiano. I due numeri che individuano la posizione di un punto si chiamano coordinate cartesiane ortogonali del punto. Precisamente il primo, che individua la posizione sull asse delle ascisse, è l ascissa, il secondo, che individua la posizione sull asse delle ordinate, è l ordinata del punto. Per indicare un punto del piano scriviamo P (; y) e leggiamo punto P di coordinate e y.
1 3 4 5 6 ordinata 7 8 9 II quadrante (- ; +) y I quadrante (+ ; +) A(9;5) B(-6;) -9-8 -7-6 -5-4 -3 - -1-1 - 1 3 4 5 6 7 9 ascissa 8-3 -4-5 -6 III quadrante (- ; -) C(-;-6) IV quadrante (+ ; -) -7-8 -9 D(5;-9)
Punto medio di un segmento A(-3;) B(5;-3) u 1 5-3 -1-3 y M,5) 1; ( 3 ; 5 3 M M ; 1 1 y y M
y Distanza fra due punti generici A(-3;) u Teorema di Pitagora -3 1 5 AB y y 1 CB AC 5 3 3 1-1 64 5 89 9,43 C(-3;-3) -3 B(5;-3)
y Rappresentiamo nel piano cartesiano una funzione matematica di primo grado: Funzione: Tabella dei valori y= -3-6 -1-1 3 6 5 1-6 Proporzionalità diretta. y = k k = y/ Diagram m a cartesiano 1 1 8 6 4-4 -3 - -1 1 3 4 5 6 - -4-6 -8 6 1
Il diagramma cartesiano della legge di proporzionalità diretta è una retta passante per l origine degli assi. In generale si dice che: Una funzione del tipo y = a è l equazione di una retta passante per l origine degli assi. Il termine a, coefficiente della, è detto coefficiente angolare e caratterizza l inclinazione della retta rispetto all asse.
base Consideriamo adesso una funzione di secondo grado, o quadratica. Funzione: Tabella dei valori y 1 y 1 1 8 1,5 6 4 3 3 4 6 1,5 8 1 1 Proporzionalità inversa y h 14 1 1 8 6 4 h y 4 6 8 1 1 14 altezza La funzione lega il valore dell altezza al corrispondente valore della base y nell insieme dei rettangoli equivalenti di area 1 cm². Ramo di iperbole equilatera
Un altra funzione quadratica è quella che lega, per esempio, il valore del lato di un quadrato al corrispondente valore dell area y: Funzione: Tabella dei valori y=,, y y 4,5 4 3,5 3 parabola,5,65,5,5,75,565,5 1, 1, 1,5 1,565 1,5,5 1,75 3,65 1,5 1,5, 4,,5 1 1,5,5
Applicazioni del concetto di funzione in ambiti matematico-scientifici. V = R I V = differenza di potenziale R = resistenza I = intensità di corrente Rappresentiamo in un piano cartesiano questa legge nel caso in cui: R = 1 ohm La funzione sarà: y = differenza di potenziale in Volt; = intensità di corrente in ampere.
V (volt) Rappresentiamo graficamente (I) y=(v) 1 1 3 3 Il diagramma della legge di Ohm è una semiretta uscente dall origine degli assi. 35 3 5 15 1 5 Legge di Ohm,5 1 1,5,5 3 3,5 I (ampere)
s (metri) Formula: 1 s at abbiamo : (t) a 9,8m / s s 4,9t y=(s) 1 4,9 19,6 3 44,1 4 78,4 5 1,5 14 1 1 8 6 4 Caduta libera dei corpi 1 3 4 5 6 t (secondi) Il diagramma della legge della caduta libera di un corpo e, in generale, del moto uniformemente accelerato è un ramo di parabola.