Raccolta di Esercizi di Matematica Capitolo 8 : Modalità CAS (Computer Algebra S ystem) Contenuti: 8-1. L ordine Algebrico delle Operazioni 8-2. Problemi sulle Percentuali 8-3. Le Forme Standard e Point-Slope 8-4. Sistemi di disequazioni 8-5. sistemi Determinati e Indeterminati 8-6. Problemi Classici in Due Variabili 8-7. Proprietà delle Potenze: Moltiplicazione di Monomi 8-8. Proprietà delle Potenze: Potenza di una Potenza 8-9. Proprietà delle Potenze: Divisione di Monomi 8-10. Esponenti Negativi e Nullo 8-11. Addizione e Sottrazione di Polinomi 8-12. Moltiplicazione di Polinomi 8-13. Moltiplicazione tra Binomi 8-14. Fattori Comuni 8-15. Scomposizione di Polinomi Speciali 8-16. Scomposizione di Trinomi Quadratici 8-17. Risolvere Equazioni per Scomposizione 8-18. Rappresentazione Grafica di Parabole 8-19. Risoluzione di Equazioni Mediante Radici Quadrate 8-20. Completamento del Quadrato 8-21. Risolvere Equazioni della Forma x 2 +bx+c=0 8-22. Rappresentazione Grafica di Disequazioni Quadratiche 8-23. Proporzionalità Inversa 8-24. Espressioni Razionali e Funzioni 8-25. Semplificazione di Espressioni Razionali 8-26. Operazioni con Expressioni Razionali 8-27. Soluzione di Equazioni Razionali 8-28. Dimostrazione in Algebra 8-29. Funzioni con coefficienti Irrazionali e Risoluzione di Equazioni con Radicali 8-30. Funzioni Irrazionali e Equazioni con Radicali 8-34. Tabelle e Grafici di Equazioni Lineari 8-35. Pendenze e Intercette 8-36. Equazioni Lineari in Due Variabili 8-37. Proporzionalità Diretta e Proporzione 8-38. Introduzione alla Risoluzione Equazioni 8-39. Introduzione alla Risoluzione di Disequazioni 8-42. Operazioni con Funzioni 8-43. Funzioni Inverse 8-44. Disuguaglianze Lineari in Due Variabili 8-45. Equazioni Parametriche 8-46. Introduzione alla Risoluzione di Equazioni Quadratiche 8-47. Scomposizione di Espressioni Quadratiche 8-48. Completamento del Quadrato 8-49. Introduzione alle Funzioni Quadratiche 8-50. Equazioni Quadratiche e Numeri Complessi 8-51. Curve Fitting con Modelli Quadratici 8-52. Risolvere Disuguaglianze Quadratiche 8-53. Funzioni Logaritmiche 8-54. Proprietà delle Funzioni Logaritmiche 8-55. Applicazioni di Logaritmi Comuni 8-57. Risoluzione di Equazioni Esponenziali 8-58. Un Introduzione ai Polinomi 8-59. Prodotto e Scomposizione di Polinomi 8-60. Risoluzione di Equazioni Polinomiali 8-61. Zeri delle Funzioni Polinomiali
8-62. Funzioni Razionali e loro Grafico 8-63. Moltiplicazione e Divisione di Espressioni Razionali 8-64. Addizione e Sotttrazione di Espressioni Razionali 8-65. Risolvere Equazioni e Disequazioni Razionali 8-66. Espressioni e Funzioni Radicali 8-68. Risolvere Equazioni e Disequazioni Radicali 8-70. Risolvere Sistemi Nonlineari 8-71. Serie Geometriche Infinite 8-74. La Legge dei Seni 8-78. Risolvere Equazioni Trigonometriche
Ordine Algebrico delle Operazioni Calcolare la seguente espressione (7 + 3 2 ) 4 x 2 Inserire l espressione così come appare [EXE] 2. Problemi con Percentuali Scrivere la percentuale 65% sotto forma di decimale e di frazione. Inserire la percentuale scritta come 65/100 Per ottenere il risultato sotto forma di decimale [EXE] [F1] (TRNS) [B] (Approx) [SHIFT + (-)] (Ans) [EXE] 3. Le Forme Standard e Point-Slope Scrivere nella forma standard l equazione 5x - 7y = 9x - 2y + 4 Inserire l equazione L introduzione delle lettere avviene con il tasto ALPHA L introduzione del simbolo di = con SHIFT +. L inserimento di un equazione è identificato con la comparsa sul lato dx del display di un numero crescente con i passaggi eseguiti Applicare il primo criterio di equivalenza [F4] (eqn) (1) 9x + 2y
4. Sistemi di Disequazioni Risolvere graficamente il sistema 8x + 2y > 1 x 3y < 4 Introdurre la prima disequazione Manipolare la disequazione per esplicitarla rispetto alla y [F4] (eqn) (1) 8x [EXE] [F4] (eqn) (2)/2 [EXE] Svolgere separando incognita e termine noto [F1] (TRNS) [1] (expand) [F4] (eqn) (3) [EXE] Inserire la seconda disequazione e ripetere le procedure Le procedure vengono svolte separatamente, ma possono anche essere eseguite in forma concatenata Assegniamo le disequazioni così ottenute a delle variabili per poterle rappresentare graficamente nel MENU grafico. Facciamo sempre attenzione all uso del segno meno, distinguendo il simbolo di operazione dal segno del numero! [F4] (eqn) [4] -4x+1/2 [VARS] [F1] [1] [EXE] Ripetere la procedura per la seconda disequazione [F4] (eqn) [8] x/3+4/3 [VARS] [F1] [2] [EXE] Rappresentazione grafica intermedia [ESC] [F5] (GRPH) [F6] (DRAW) Nel menu grafico le assegnazioni vanno convertite in relazioni di maggioranza e minoranza [MENU] [3] (STAT-GRPH) per la Y1 : [F3] (TYPE) [6] (CONV) [2]
per la Y2 : [F3] (TYPE) [6] (CONV) [3] Selezionare ora entrambe le funzioni per il grafico [F1] (SEL) Rappresentazione grafica finale [F5] (DRAW) 5. Sistemi Determinati e Indeterminati Determinare se il sistema 2x + y = 1 è determinato o indeterminato risolvendolo algebricamente. 6x + 3y = 8 Introdurre le due equazioni Per confermare ogni immissione concludere con [EXE] Manipolare l equazione 1 risolvendola rispetto a y La sintassi è visibile in figura Operare la sostituzione, applicando il metodo del confronto. [F1] [9] (substitute) (eqn(2),eqn(3))
6. Problemi Classici in Due Variabili Una cassetta di frutta del peso di 65 kg contiene 30 frutti. Ogni melone pesa 1,5 kg e ogni cocomero 3,5 kg. Quante cocomeri, C, e quanti meloni, M, vi sono nella cassetta? Il problema può essere riassunto nelle due equazioni C + M = 30 3,5C + 1,5M = 65 Risolviamo mediante il comando solve [F1](TRNS) [4] (solve)({eqn(1),eqn(2)},{p,m}) 7. Proprietà delle Potenze: Moltiplicazioni di monomi Semplificare (5x 3 )(-8y 7 x 2 ) Introdurre l operazione con le stesse modalità con cui è scritta Per assegnare esponenti maggiori di 2 si fa uso del tasto 8. Proprietà delle Potenze: Potenza di un Monomio Semplificare (x 3 y 4 ) 2 Introdurre l operazione con le stesse modalità con cui è scritta Per assegnare esponenti maggiori di 2 si fa uso del tasto
9. Proprietà delle Potenze: Divisione tra Monomi Semplificare (-x 2 y 5 )/(xy 6 ) Introdurre l operazione con le stesse modalità con cui è scritta Per assegnare esponenti maggiori di 2 si fa uso del tasto 10. Esponente Negativo Semplificare (2a 4 )(8a 7 )(3a -3 ) Introdurre l operazione con le stesse modalità con cui è scritta Per assegnare esponenti maggiori di 2 si fa uso del tasto Il segno negativo di un numero va introdotto con (-) 11. Addizione e Sottrazione tra Polinomi Trovare la somma di (3x 2 +4x 4-5x+5)+(2x 3 -x 2-2x 4 +2) Introdurre l operazione con le stesse modalità con cui è scritta Per assegnare esponenti maggiori di 2 si fa uso del tasto 12. Moltiplicazione tra Polinomi Trovare il prodotto di (3x - 7)+(3x + 7) Introdurre l operazione con le stesse modalità con cui è scritta Per assegnare esponenti maggiori di 2 si fa uso del tasto Manipolare per ottenere il risultato [F1](TRNS) [1] (expand) [SHIFT + (-)] (Ans)
14. Fattori Comuni Scomporre 2x 2 + 12x Introdurre l operazione con le stesse modalità con cui è scritta e [F1](TRNS) [8] (collect) (espressione,fattore manipolare per ottenere il risultato comune) 15-16. Scomporre Polinomi Speciali Scomporre x 2-14x + 49 Introdurre l operazione con le stesse modalità con cui è scritta e [F1](TRNS) [3] (factor) (espressione) manipolare per ottenere il risultato Altro esempio con trinomi notevoli 17. Risolvere Equazioni mediante Scomposizione Risolvere scomponendo x 2 + 8x = 9 Introdurre l operazione con le stesse modalità con cui è scritta Portare il termine noto al primo membro [F4] (eqn)(1) - 9 Scomporre il polinomio al primo membro Le soluzioni sono pertanto x = 1 e x = -9 [F1] [3] (factor) (eqn) 2
18. Rappresentazione Grafica di Parabole Trovare il vertice di y = x 2-12x + 20 Introdurre l operazione con le stesse modalità con cui è scritta Manipolare la funzione scrivendo il secondo termine come completamento di un quadrato, supponendo che X 2 sia il quadrato del primo termine -12x sia il doppio prodotto [F1] (TRNS) [8] (collect) Assegnare il secondo membro della funzione alla variabile Y1 per la rappresentazione grafica. Mostrare la funzione Cancellare, spostandosi col cursore Y= Assegnare a tale trinomio la variabile Y1 Impostare la rappresntazione grafica [F6] [F3] (R-ANS) [VARS] [F1] (1) [ESC] [F5] (GRPH) Scegliere la scala di visualizzazione degli assi cartesiani Xmin = - 5 xmax = 20 scale = 5 Ymin = -50 ymax = 50 scale = 10 [SHIFT+OPTN] (v-windows) seguito da [EXE] Rappresentare [F6] (DRAW) La parabola è rivolta verso l alto e l ordinata del vertice è il valore minimo [F3] (G-SOLV) [3] (min)
19. Risolvere Equazioni mediante Radici Quadrate Solve the equation (x - 3) 2 16 = 0 Introdurre l operazione con le stesse modalità con cui è scritta Portare il trmine noto a secondo membro La sintassi appare nella figura a lato Estrarre la radice quadrata dell equazione così scritta [SHIFT + X 2 ] Risolvere le due equazioni [F1] (TRNS) [4] (solve) [F4](eqn) 3 20. Completamento del Quadrato Scrivere y = x 2 + 46x 18 come completamento di un quadrato Introdurre l operazione con le stesse modalità con cui è scritta Manipolare la funzione scrivendo il secondo termine come completamento di un quadrato, supponendo che X 2 sia il quadrato del primo termine 46x sia il doppio prodotto
21. Risoluzione di Equazioni della Forma x 2 + bx + c = 0 Trovare i punti dove i grafici di ogni sistema si intersecano. Rappresentare graficamente per la verifica. y = x + 3 y = x 2 4x + 3 Applicando il concetto di sistema, introduciamo l equazione risolvente che uguaglia i due secondi membri. Manipolare l equazione portando tutto a primo membro e sommando X 2 sia il quadrato del primo termine 46x sia il doppio prodotto Essendo un equazione spuria, risolviamo mediante scomposizione. Otteniamo in tal modo le soluzioni x = 0 e x = 5 [F3] (EQUA) [4] (rewrite)[f4] (eqn) 1 [EXE] [F1] (TRNS) [3] (factor)[f4] (eqn) 2 [EXE] Verifichiamo graficamente il risultato. Assegnamo le due equazioni a due diverse variabili Y1 e Y2, che saranno automaticamente riprodotte nel menu grafico. X+3 [VARS][F1]( n)[1] [EXE] X2-4X+3 [VARS][F1]( n)[2] [EXE] Procedure per la rappresentazione grafica Introduciamo i fattori di scala [ESC] [F5] (GRAPH) [SHIFT+OPTN] [ESC] [F6] (DRAW) Individuiamo le intersezioni (la seconda usando il tasto cursore) [F3] (G-SOLV) [5] (Isect) Risposta (0,3) e (5,8)
22. Rappresentazione Grafica di Disequazioni Quadratiche Risolvere e rappresentare graficamente la disequazione quadratica x 2 + 7x + 12 > 0. La risoluzione può essere estremamente semplice mediante la [F1] (TRNS) [4] (solve) [F3] (EQUA) [1] [1] funzione solve La rappresentazione grafica si può effettuare nel menu Grafico Inseriamo la disequazione e selezioniamola per ottenerne il grafico. Impostiamo prima il tipo di funzione come disuguaglianza [MENU] [3] (GRPH-TBL) [F3] (TYPE) [5] (INEQUA)[1] (Y>) [EXE] Rappresentiamo graficamente, dopo aver impostato la scala di visualizzazione [F5](DRAW)[1] [EXE] [SHIFT+OPTN] Per meglio osservare le proprietà del grafico ingrandiamo la parte che coinvolge le intersezioni con l asse x [F2] (ZOOM) [1] (Box) [EXE]. Spostiamo con il cursore il puntatore nel punto di inizio di costruzione del rettangolo da ingrandire seguito da [EXE], spostiamo poi il cursore per specificare il vertice opposto + [EXE] Ricerca delle soluzioni. L ingrandimento mostra che la parabola di riferimento incontra l asse x in due punti, dividendolo in tre parti (intervalli). La disequazione sarà pertanto verificata per x < -4 e x > -3. [F4] (G-SOLV) [1] (Root)
23. Proporzionalità Inversa Se y varia inversamente rispetto a x e y = 5 quando x = 15, scrivi un equazione che mostri la relazione tra x e y. Introduzione dell equazione in base ai valori assegnati e al tipo di proporzionalità. Due grandezze sono inversamente proporzionali se y = k/x. Dobbiamo ricavare il valore di k in base ai valori assegnati. Calcoliamo k mediante l operazione inversa L equazione è pertanto del tipo y = 75 / x [F4] (eqn) [1] x 15 Per rappresentare graficamente assegnamo il secondo membro dell equazione ad una variabile grafica 75/X [VARS] [F1] [1] [EXE] Rappresentiamo graficamente, dopo aver impostato la scala di visualizzazione [ESC] [F5](GRPH) [SHIFT+OPTN] [ESC] [F6] 24. Espressioni e Funzioni Razionali Riscrivere la funzione, y = (5x +x 2 ) / x 2, in termini più semplici e rappresentarla graficamente Introduzione dell equazione Semplifichiamo [F1] (TRNS) [6] (smplfy) [F4] (eqn) [1] Per rappresentare graficamente assegnamo il secondo membro dell equazione ad una variabile grafica Rappresentiamo graficamente, dopo aver impostato la scala di visualizzazione 1 + 5/X [VARS] [F1] [1] [EXE] [ESC] [F5](GRPH) [SHIFT+OPTN] [ESC] [F6]
25. Semplificazione di Espressioni Razionali Semplificare (4 - x)/(x 2 x - 12) e determinare le condizioni di validità sulla variabile Le condizioni di validità vanno impostate per il denominatore. [F1] (TRNS) [3] (factor) Essendo di secondo grado, ne verifichiamo la scomponibilità Le condizioni saranno pertanto x = 4 e x = -3 Semplifichiamo ora la frazione [F1] (TRNS) [6] (smplfy) [F6] [F3] (R-ANS) aggiungendo il numeratore della frazione [EXE] 26. Operazioni con Espressioni Razionali Risolvere 2/x + 3/(x+1) Eseguiamo la somma delle due frazioni algebriche [F1] (TRNS) [7] (combine) Le restrizioni saranno pertanto x = 0 e x = -1
27. Risolvere Equazioni Fratte Risolvere l equazione 2/x + 1/3 = 4/x mostrando l uso dei criteri di equivalenza. Inserire l equazione Come si può notare, ogni volta che si inserisce un equazione, compare a dx un numero d ordine che la caratterizza. Applichiamo il secondo criterio con la condizione che x 0 [F4] (eqn) [1] moltiplicata per 3X Eseguiamo il calcolo [F1] (TRNS) [1] (expand) [F4] (eqn) [2] Applichiamo il primo criterio di equivalenza [F4] (eqn) [3] 6 Possiamo eseguire anche la verifica della soluzione sostituendo il valore trovato (x = 6) nell equazione di partenza, identificata con il numero 1 [F1] (TRNS) [9] (sbstit) [F4][1],[F4] [4] 28. Dimostrazioni Matematiche Dimostrare: Se due numeri naturali sono entrambi pari, allora la loro somma è pari. La dimostrazione deve valere per qualunque numero naturale. Utilizziamo pertanto una scrittura letterale. Se un numero A è pari, esso è multiplo di 2 Se un numero B è pari, esso è multiplo di 2 Calcoliamo la somma dei due numeri pari Raccogliamo a fattor comune [F1] (TRNS) [3] (factor) Si può osservare che anche la somma è multipla di 2 e quindi è rappresentata un numero pari.
29. Operazioni con i Radicali Semplificare 3 ( 5 + 9) Eseguiamo il calcolo semplificando l espressione [F1] (TRNS) [6] (smplfy) É possibile ottenere anche il valore decimale approssimato [F1] (TRNS) [B] (approx) 30. Funzioni con coefficienti Irrazionali e Risoluzione di Equazioni con Radicali Risolvere l equazione x 2 + 8x + 15 = 7 mediante l uso dei radicali Introduciamo l equazione Verifichiamo che la calcolatrice sia impostata per lavorare con i numeri reali. [CTRL + F3] (SET-UP) I primi due termini possono rappresentare una parte del quadrato di (x + 4), pertanto scriviamo come completamento del quadrato [ESC] [F1] (TRNS) [8] (collect) [F4] (eqn) [1] Applichiamo i criteri di equivalenza, ed estraiamo la radice quadrata, come se fosse un equazione pura Risolviamo [F1] (TRNS) [4] (solve)
34. Tabelle e Grafici di Equazioni Lineari Rappresentare graficamente l equazione y + 4 = x - 7 Introdurre l equazione. Come si nota compare sulla dx dell equazione il suo numero identificativo per la calcolatrice Applicare il criterio di equivalenza per renderla esplicita rispetto alla variabile y [F4] (eqn) [1] - 4 Assegnare il secondo membro di tale relazione alla variabile grafica Y1 [VARS] [X-11] [F1] [1] Passiamo all ambiente grafico [ESC] [F5] (GRPH) Selezioniamo la scala per la rappresentazione [SHIFT+OPTN] (V-Windows) Rappresentiamo graficamente [F6] (DRAW)
35. Pendenza e Intercette Trovare le intersezioni di 2x - 5y = 7 Introdurre l equazione. Come si nota compare sulla dx dell equazione il suo numero identificativo per la calcolatrice L intersezione con l asse x, se esiste, corrisponde ad un punto la cui ordinata è nulla. Assegnamo quindi 0 alla variabile y Richiamiamo l equazione 1 modificata da tale assegnazione e risolviamola. Otteniamo che l intercetta sull asse è (7/2,0) [F4] (eqn)... Cancelliamo l assegnazione fatta per la variabile Y per poter calcolare l eventuale intercetta sull asse delle ordinate [F6][F1] (CLR) [1] (clrvar) [Y] L intersezione con l asse Y, se esiste, corrisponde ad un punto la cui ascissa è nulla. Assegnamo quindi 0 alla variabile X Richiamiamo l equazione 1 modificata da tale assegnazione e risolviamola. Otteniamo che l intercetta sull asse è (0,-7/5) [F4] (eqn)... 36. Equazioni lineari in due variabili Scrivere l equazione esplicita della retta passante per i punti (3, -5) e (1, 2). L equazione.di una retta passante per due punti può essere espressa da y = mx + q dove m è il coefficiente angolare e q è l intercetta con l asse y m = ( y2 y1) ( x 2 x1) Introduciamo il calcolo per m e assegnamolo alla variabile M Sostituiamo nell equazione 1 le coordinate di un punto e risolviamo rispetto a q. [F1] [9] (sbstit) [F4](eqn) [1],X=2,Y=1) [F1] (TRNS) [4] (solve)[f4](eqn)[2],q L equazione è pertanto y = -7/2 x + 8
37. Proporzionalità Diretta e Proporzioni Risolvere (2X - 8)/4 = X/3 Introdurre l equazione Come sempre è identificata sulla dx dal numero progressivo 1 Applichiamo il secondo criterio di equivalenza [F4] (eqn) [1] x 12 Portiamo tutti i termini a primo membro e sommiamo [F3] (EQUA) [4] (rewrit) [F4](eqn) [2] [F1] Applichiamo i criteri di equivalenza per trovare la soluzione [F4] (eqn) [3] +24 [F4] (eqn) [4] /2 38. Introduzione alla Soluzione delle Equazioni Risolvere a(a + 1)/b = c + 3 rispetto a b Introdurre l equazione Come sempre è identificata sulla dx dal numero progressivo 1 Applichiamo il secondo criterio di equivalenza, supposto B 0 [F4] (eqn) [1] x B Risolviamo specificando come incognita B [F1] (TRNS) [4] (solve) [F4](eqn) [1], B
39. Introduzione alla Soluzione delle Disequazioni Risolvere 2(x - 5) < 6x + 8 Introdurre la disequazione Per il simbolo < : [F3] (EQUA) [1] [2] Come sempre è identificata sulla dx dal numero progressivo 1 Eseguiamo le moltiplicazioni [F1] (TRNS) [1] (expand) [F4] (eqn) [1] Applichiamo il primo criterio di equivalenza [F4] (eqn) [2] 6x +10 Applichiamo il secondo criterio di equivalenza [F4] (eqn) [3] /( 4) 42. Operazioni con le funzioni Sia f(x) = x 2 + 2x + 3 e g(x) = x + 2. Trovare f(x) + g(x), f(x) - g(x), f(x)g(x), e f(x)/g(x) Introdurre le due funzioni Come sempre ogni relazione è identificata sulla dx da un numero progressivo Eseguiamo le operazioni richieste [F4] (eqn) [1] ± [F4] (eqn) [2] Moltiplichiamo e scriviamo sotto forma polinomiale [F4] (eqn) [1] x [F4] (eqn) [2] Dividiamo [F4] (eqn) [1] / [F4] (eqn) [2]
43. Funzioni Inverse Trovare un equazione per l inverso di y = -5x + 7 Introdurre la funzione, scambiando tra loro le incognite Applichiamo i criteri di equivalenza ([F4] (eqn) [1] 7)/(-5) 44. Disuguaglianze Lineari in Due Variabili Rappresentare graficamente x + 3y > 1 Introdurre la disuguaglianza Risolvere rispetto a Y applicando i criteri di equivalenza ([F4] (eqn) [1] X)/3 Assegnare il secondo membro alla variabili Y1 della calcolatrice Il comando R-ANS serve per evitare la trascrizione della disequazione [F6] [F3] (R-ANS) {cancellare Y>} [VARS] [F1] [1] Passare al Menu grafico GRPH-TBL Selezionare la funzione Converetirla in disequazione [MENU] [3] (GRPH-TBL) [F1] (SEL) [F3] (TYPE) [6] (CONV) [2] (Y>) [F3] (TYPE) [5] (INEQUA) [1] (Y>) Rappresentare graficamente, scegliendo la scala appropriata [F5] (DRAW)
45. Equazioni Parametriche Trasformare la coppia di equazioni parametriche x(t) = 6t 7 y(t) = 4t + 5 in una singola equazione in x e y. Introdurre le due equazioni Risolvere l equazione 2 rispetto a T applicando i criteri di equivalenza ([F4] (eqn) [2] 5)/4 Scambiamo il primo col secondo membro [F1] (TRNS) [5] (exchnge) [F4] (eqn) [3] Sostituire l equazione 4 nella 1 [F1] (TRNS) [9] (sbstit) (eqn 1), (eqn 4) 46. Introduzione alla Risoluzione delle Equazioni Quadratiche Risolvere l equazione 3(x - 5) 2 + 2 = 11 Introdurre l equazione Risolvere l equazione rispetto a (x 5) ed estrarre la radice quadrata ([F4] (eqn) [1] 2)/3 Risolvere separatamente le due equazioni derivanti dal modulo negli intervalli x 5 e x < 5
47. Scomporre Espressioni Quadratiche Fattorizzare l espressione quadratica x 2-16x + 15 Introdurre l equazione Operare la scomposizione [F1] (TRNS) [3] (factor) [F6] [F3] 48. Completamento del Quadrato Risolvere l equazione, x 2 + 2x = 13, mediante il completamento del quadrato. Introdurre l equazione Essendo il primo membro una parte del quadrato del binomio (x+1) 2 se ne può chiedere il completamento [F1] (TRNS) [8] (collct) [F4] (eqn) [1],x+1 Risolvere l equazione applicando i criteri di equivalenza [F4] (eqn) [2] +1 ([F4] (eqn) [3]) Operiamo sulle due equazioni risultanti, riscrivendole e applicando nuovamente i criteri di equivalenza La prima e... La seconda
49. Introduzione alle Funzioni Quadratiche Mostrare che la funzione f(x) = (x + 1)(x - 7) è una funzione quadratica scrivendola sotto la forma f(x) = ax 2 +bx + c e studiando l eventuale massimo o minimo. Introdurre l espressione Espandere l espressione scrivendola nella forma polinomiale [F1] (TRNS) [1] (expand) [SHIFT + (-) (ANS) Assegnare questa espressione ad una variabile grafica [F&] [F3] (R-ANS) [VARS] [F1]( )1 Passare alla visualizzazione grafica dopo aver scelto una opportuna scala grafica con SHIFT + OPTN [ESC] [F5] (GRPH) [F6] (DRAW) Trovare il minimo della funzione Come si vede dalla figura minimo(3;-16) [F3] (G-SOLV) [3] (Min) 50. Equazioni Quadratiche e Numeri Complessi Risolvere 2x 2 + 5x + 4 = 0; Semplificare (-1 + 2i)(3 + 4i) Impostare la modalità con numeri complessi [CTRL + F3] (SET UP) su Answer Type [F2] Risolvere direttamente l equazione rispetto all incognita X [F1] (TRNS) [4] (solve) [equazione],x Eseguire la moltiplicazione tra complessi Il numero immaginario è ottenibile con [SHIFT + 0]
52. Risolvere Disequazioni Quadratiche Risolvere x 2-7x + 10 < 0 Introdurre la disequazione Per < [F3] (EQUA) [1] (INEQUA) [2] Risolvere direttamente la disequazione [F1] (TRNS) [4] (solve) [F4] (eqn) [1] Assegnare al 1 membro della disequazione la variabile grafica Introdurre il 1 membro [VARS] [F1] [1] Rappresentiamola graficamente, dopo aver impostato la scala [ESC] [F5] (GRPH) [F6] (DRAW) Ecco il grafico La parabola assume valori negativi per x compreso tra le due radici (i punti di intersezione con le ascisse) L intervallo sarà pertanto 2 < x < 5 [F3] (G-SOLV) [1] (Root) (cursore dx)
53. Funzioni Logaritmiche Risolvere 10 x = 12 rispetto a x. Introdurre la equazione Risolvere passando al logaritmo in base 10 Risolvere e poi calcolare il valore approssimato [F1] (TRNS) [4] (solve) [F4] (eqn) [2] 54. Proprietà delle Funzioni Logaritmiche Scrivere l espressione, log 2 14 - log 2 7, come un singolo logaritmo e semplificare Introdurre l espressione Essendo il logaritmo in base 2, dobbiamo ricordare le formula di trasformazione della base log 2 x = log10 x log10 2 Semplificare l espressione [F1] (TRNS) [7] (combine) [SHIFT + (-)] Risolvere [F1] (TRNS) [6] (smplfy)
55. Applicazioni ai Logaritmi Comuni Risolvere 3 x = 16 rispetto a x Introdurre l equazione Risolvere anche nella forma approssimata [F1] (TRNS) [4] (solve) [F4] (eqn) [1] 57. Risolvere Equazioni Esponenziali Risolvere 4e 3x-6 = 55 rispetto a x. Introdurre l equazione Risolvere calcolando il logaritmo naturale di entrambi i membri [ln] [F4] (eqn) [1] Applicare i principi di equivalenza Possiamo ottenere anche il valore approssimato [F1] (TRNS) [B] (approx) [F4] (eqn) [4] 58. Introduzione ai Polinomi Calcola la differenza (-5x 3-7x 2 + x + 2) - (4x 3-6x 2-3x + 9) Introdurre l espressione e premere [EXE]
59. Prodotto e Scomposizione di Polinomi Scomponi 3x 3-300x Dividi (x 3 + 6x 2 - x - 30)/(x 2 + 8x + 15) Introdurre l espressione Scomporre il polinomio [F1] (TRNS) [3] (factor) [SHIFT + (-)] (ANS) Introdurre i polinomi da dividere Eseguire la divisione [F1] (TRNS) [6] (smplfy) 60. Risoluzione di Equazioni Polinomiali Trovare tutte le radici di x 4-9x 2 + 18 = 0 Introdurre l equazione biquadratica Risolvere l equazione [F1] (TRNS) [4] (solve) [F4] (eqn) [1] Scomporre il trinomio di quarto grado in fattori [F1] (TRNS) [2] (rfactor) Rappresentare graficamente, scegliendo l opportuna scala (in questo caso può andare bene la soluzione Standard (STD)) [trinomio] [VARS] [ ] [F1] (Yn) [1]
[ESC] [F5] (GRPH) [F6] (DRAW) Determinare graficamente le soluzioni; in tal caso otteniamo i valori approssimati [F3] (G-SOLV) [1] (Root) e muovere il cursore dx Risposta: Le radici sono 2.45, -1.73, 1.73, 2.45. 61. Zeri delle Funzioni Polinomiali Scrivere una funzione polinomiale in forma standard usando le seguenti informazioni. f(x) è di terzo grado e ammette tre soluzioni reali: x = -1; x = 1; x = 2; inoltre f(0) = 4; Mediante le informazioni date si può supporre che la funzione polinomiale sia del tipo: f(x) = A(x 1) (x + 1) (x 2) Introduciamo la funzione sopra definita [F1] (TRNS) [4] (solve) [F4] (eqn) [1] Svolgere il prodotto di fattori [F1] (TRNS) [1] (expand) [F4] (eqn) [1] Determiniamo il valore del parametro A imponendo la condizione F(0) = 4 [F1] [9] (sbstit) ([F4] ((eqn) [2],F=4,X=0) Risolvere l equazione rispetto ad A [F1] [4] (solve) [F4] [3], A Sostiutiamo ora A nell equazione iniziale [F1] [9] (sbstit) ([F4] [3],[F4][4])
62. Funzioni Razionali e loro Grafici Identificare tutti gli asintoti di y = (2x 2 1)/(x 2 9) Introdurre la funzione assegnata Scomporre il polinomio al denominatore [F1] (TRNS) [3] (factor) [F4] (eqn) [1] Gli asintoti verticali si avranno per x = 3 e x = -3 Riscriviamo la funzione come somma di frazioni, considerando come variabile x 2 9 [F1] [8] (collect) ([F4] ((eqn) [1],F=4,X=0) Si otterrà l asintoto verticale y = 2 63. Moltiplicare e Dividere Espressioni Razionali Semplificare (ax-bx+ay-by)/(ax+bx+ay+by) Introdurre l espressione assegnata Eseguire la semplificazione [F1] (TRNS) [6] (smplfy) 64. Addizione e Sottrazione di Espressioni Razionali Semplificare (x - y) - (x -1 y -1 ) Introdurre l espressione assegnata Eseguire la sottrazione scrivendo il risultato in frazione [F1] (TRNS) [7] (combine)
65. Risolvere Equazioni e Disequazioni 1 1 4 Risolvere + = 3x 8 3x Introdurre l equazione assegnata Risolvere applicando i criteri di equivalenza [F4] (eqn) [1] x 3X x 8 Ricordiamo che dobbiamo imporre x 0 Svolgiamo il calcolo [F1](TRNS) [1] (expand) [F4] (eqn) [2] Risolvere applicando i criteri di equivalenza [F4] (eqn) [3] 8 [F4] (eqn) [3] /3 66. Espressioni e Funzioni con Radicali Trovare l inversa di y = x 2 + 4x + 4, e rappresentare graficamente la funzione e la sua inversa. Introdurre la funzione inversa, scambiando la variabile X con la Y Scambiare i due membri [F3] (EQUA) [5] [F4] [1] Fattorizziamo il primo membro [F1](TRNS) [3] (factor) [F4] (eqn) [2] Estraiamo la radice del primo e secondo membro [F4] (eqn) [3] Risolviamo i due casi previsti dal valore assoluto
Introduciamo l equazione che si ottiene per x -2 Risolviamo rispetto a Y Introduciamo l equazione che si ottiene per x < -2 Risolviamo rispetto a Y Richiamiamo entrambe le due equazioni così ottenute. [F3] (EQUA) [2] (rcleqn) [6,8] (Si noti il richiamo multiplo ottenibile introducendo tra i numeri caratterizzanti le singole equazioni, il simbolo della virgola) Assegniamo entrambi i secondi membri ad una diversa variabile grafica [VARS] Passiamo al menu grafico. (Vedremo entrambe le funzioni già selezionate) [ESC] [F5] (GRPH) Rappresentiamo graficamente dopo aver scelto la scala grafica [SHIFT+OPTN] [ESC] [F6] (DRAW) 68. Risolvere Equazioni e Disequazioni Irrazionali Risolvere 3x 2 = x 2 e verificare la soluzione. Introdurre l equazione Elevare al quadrato ed espandere per eseguire i necessari calcoli [F4] (eqn) [1] [X 2 ] [F1] (TRNS) [1] (expand) [F4] [2] Scriviamo l equazione nella forma normale [F3](EQUA) [4] (rewrite) [F4] [3]
Risolviamo mediante scomposizione in fattore del 1 membro [F1] [3] [F4] (eqn) [4] Le soluzioni sono facilmente ottenibili: x = 1 e x = 6 Verifichiamo se queste sono soluzioni anche per l equazione irrazionale, sostituendo il valore della x [F1] [9] (sbstit) ([F4] [1],X=1) [F1] [9] (sbstit) ([F4] [1],X=6) Come si può notare solo la soluzione x = 6 è accettabile 70. Risolvere Sistemi Non Lineari x 2 + 2y 2 = 16 Usare il metodo di riduzione per risolvere il sistema 2 2 4x + 2y = 16 Verificare che la calcolatrice esegua le operazioni e risolva le equazioni solo nell insieme R. [CTRL+F3] (SET-UP) seguito da [ESC] Introdurre separatamente le due equazioni Si ricordi che ogni equazione è contrassegnata da un numero progressivo Sottraiamo la prima equazione alla seconda, come richiede il metodo di riduzione [F4](eqn) [2] [F4] [1] Risolviamo dividendo l equazione per il coefficiente 3 [F4] (eqn) [3] / 3 Sostituiamo per ottenere i valori di Y e risolviamo rispetto a Y Le soluzioni saranno pertanto (0 ; 2 2) (0 ; -2 2) [F1] (TRNS) [9] (sbstit) ([F4] (eqn) [1],X=0) ([F4] (eqn) [5] / 2)
71. Serie Geometriche Infinite k Calcolare ( 8 15) k = 0 Introdurre l espressione La sintassi si vede nella figura e si può così riassumere [CTRL+F3] (SET-UP) [4] ( ak,k, α, β) β = ak k= α 74. La Legge dei Seni Trova il lato a noti gli elementi indicati in figura Impostare l angolo in gradi sessaggesimali m 61 p = 5 n 52 [F2] (CALC) [4] seguito da [ESC] Calcolare il terzo angolo e assegnare ogni angol oad una variabile 52 A 61 B 180-(A+B) C Introdurre la relazione del teorema Risolviamo rispetto ad N [F1] (TRNS) [4] (solve) Calcoliamo il valore numerico [F1] (TRNS) [B] (approx) [F4] (eqn) [2]
78. Risolvere Equazioni Trigonometriche Risolvere cos(2x) - sin x = 0 rispetto a x. Impostare l angolo come radiante [CTRL+F3] (SET-UP) seguito da [ESC] Introduciamo e risolviamo l equazione Sottraiamo la prima equazione alla seconda, come richiede il metodo di riduzione [F4](eqn) [2] [F4] [1] Risolviamo dividendo l equazione per il coefficiente 3 [F4] (eqn) [3] / 3 Sostituiamo per ottenere i valori di Y e risolviamo rispetto a Y Le soluzioni saranno pertanto (0 ; 2 2) (0 ; -2 2) [F1] (TRNS) [9] (sbstit) ([F4] (eqn) [1],X=0) ([F4] (eqn) [5] / 2)