MOTO ADIABATICO DEI FLUIDI IN CONDOTTI A SEZIONE VARIABILE

CAPITOLO 4 MOTO ADIABATICO DEI FLUIDI IN CONDOTTI A SEZIONE VARIABILE Premessa. L'analisi del moto dei fluidi in condotti a sezione variabile sarà condotta sotto le seguenti ipotesi semplificative: - regime di moto stazionario - pareti del condotto rigide e adiabatiche - flusso monodimensionale L'ultima assunzione implica l'assenza di brusche variazioni della sezione trasversale e che eventuali curvature del condotto siano sufficientemente ampie in modo da evitare gradienti trasversali della velocità (dimensione longitudinale prevalente a quella trasversale). Per quanto visto nel capitolo precedente, sotto tali ipotesi l'equazione di continuità assume la forma: vs = cost (4.) e l'equazione dell'energia: h t = cost (4.) valide entrambe per flussi reali o ideali e per fluidi comprimibili o incomprimibili. Dallo sviluppo della (4.) e dalla definizione (.6) di c p si ottiene: c p T t = c p T + v + gz = cost (4.3) da cui: T t = T + v + gz = T c p c r + gz = cost (4.4) p c p dove con T t si è indicata la temperatura totale e con T r la temperatura di ristagno, che è la temperatura misurabile arrestando ad es. il flusso contro un ostacolo. La (4.4) asserisce quindi che per un flusso adiabatico di un generico fluido si mantiene costante la temperatura totale. 4.) Moto adiabatico dei fluidi incomprimibili. Dalla definizione di entalpia (.7) e sviluppando la (4.) si ottiene: p + v + gz + u = cost (4. 5) da cui: p t + u = + gz + u = cost (4.6) dove si sono introdotte, per un flusso di un fluido incomprimibile, le definizioni di pressione totale: p t = p + v + gz (4.7) e di pressione di ristagno: = p + v (4.8) Vogliamo ricordare che la pressione di ristagno più sopra definita rappresenta la pressione assunta da una particella di fluido quando tutta la sua energia cinetica è trasformata in pressione,

come avviene, ad esempio, nel caso di un ostacolo immerso in una corrente fluida (esiste, in tal caso, almeno un punto, detto punto di ristagno in cui la velocità del fluido si annulla). Differenziando la (4.4) nell'ipotesi di fluido incomprimibile ( = cost), si ottiene: dp t + du = 0 (4.9) in cui du rappresenta la degradazione di energia interna per unità di massa per effetto delle resistenze passive. Nel campo dei sistemi idraulici e delle macchine idrauliche, è abitualmente usato il Sistema Tecnico delle unità di misura e quindi, introducendo il peso specifico = g, la (4.9) diviene: dp t + du g = 0 (4.0) dove du/g rappresenta la degradazione di energia interna per unità di peso per effetto delle resistenze passive altrimenti detta perdita di carico. La relazione (4.0) rappresenta l'equazione di Bernoulli per flussi reali espressa in forma differenziale. Nel caso di flussi ideali, vale a dire in assenza di resistenze passive, la (4.0) si riduce a: dp t = 0 da cui p t = cost (4.) Sviluppando i termini contenuti nella (4.), si ottiene: p + v + z = cost (4.) g nota come equazione di Bernoulli per flussi ideali. I termini che compaiono nella (4.) sono anche detti rispettivamente altezza piezometrica, cinetica e geodetica e altezza totale la loro somma, oppure carico piezometrico, cinetico, geodetico e carico totale la somma dei tre. Nel caso di flussi ideali, l'equazione di Bernoulli asserisce, quindi, che si mantiene costante il carico totale. Riassumendo le considerazioni sin qui svolte: per un flusso adiabatico di un fluido incomprimibile si mantiene costante l'entalpia totale e le perdite di carico fra due sezioni generiche sono uguali alla differenza di pressione totale fra le sezioni stesse; per un flusso adiabatico ideale si mantiene costante, oltre che l'entalpia totale, anche la pressione totale. Differenziando, nell'ipotesi di fluidi incomprimibili, la (4.) e la (4.) e trascurando per semplicità le variazioni d'energia potenziale gravitazionale, si ottiene: dv = v ds dp vdv e = S g da cui si deduce che nel caso del moto adiabatico in un condotto convergente (ds<0) ad asse orizzontale si avrà un aumento di velocità (dv>0) e una corrispondente diminuzione di pressione (dp<0). Risultati opposti si otterranno nel caso del moto in un condotto divergente (ds>0) in cui si avrà una riduzione della velocità con corrispondente aumento della pressione. A titolo d'esempio, richiamiamo alcune semplici applicazioni delle relazioni sin qui ottenute. Fig. 4.

3 Si consideri un serbatoio contenente un liquido il cui pelo libero si mantenga a una quota z 0 costante rispetto a un generico riferimento (ad esempio, il fondo del serbatoio), e sia z l'altezza dell'asse del getto di scarico rispetto allo stesso riferimento (fig. 4.). Considerando per semplicità il flusso ideale, l'equazione (4.) permette di scrivere: p 0 + v 0 g + z 0 = p + v g + z e osservando che è p 0 = p = p at e v 0 = 0, si deduce: v = gz (4.3) espressione di Torricelli della velocità di efflusso ideale da un serbatoio a cielo aperto e a pelo libero costante, altrimenti detta velocità torricelliana. Nel caso di efflussi reali si tiene usualmente conto delle dissipazioni allo sbocco mediante un coefficiente d'efflusso < tale che: v = gz Il tubo di Venturi rappresentato in fig. 4. è costituito da un tratto condotto convergente unito ad un divergente mediante una sezione a diametro costante detta sezione di gola e, inserito in una tubazione, può essere utilizzato come strumento di misura della portata fluente (venturimetro). Nell'ipotesi di flusso ideale e considerando per semplicità il condotto orizzontale, dalla (4.) si può scrivere: v v = p p g dove con i pedici "" e "" si sono indicate le due sezioni a cavallo del convergente in corrispondenza delle prese di pressione. Tenendo presente l'equazione di continuità V = vs si ottiene: da cui: Fig. 4. S V S V S = g p p V = S S S g p p e V = D g p p 4 dove con si è indicato il coefficiente di portata dipendente dalle sole caratteristiche geometriche del venturimetro; più precisamente:

4 = D = 4 4 4 D dove = D /D è il rapporto di contrazione. Nel caso di flussi reali si terrà conto degli effetti dissipativi mediante un coefficiente di perdita C dipendente dal numero di Reynolds Re e dalla geometria del tubo di Venturi. In tal caso l'espressione soprascritta diventerà: V = C D g p p 4 Nell'esempio riportato in fig. 4., la differenza di pressione tra le sezioni "" e"" è rilevata mediante un tubo ad U parzialmente riempito di mercurio. Per il principio dei vasi comunicanti si può scrivere: p +z = p +z + m z da cui: p p = m z dove con m si è indicato il peso specifico del mercurio. Si può osservare che per un assegnato p, z dipende dal peso specifico del liquido di misura e che perciò, per piccoli p, sarà conveniente usare liquidi con peso specifico inferiore a quello del mercurio al fine di non commettere eccessivi errori nella lettura di z. Fig. 4.3 Concludiamo questa breve rassegna accennando al tubo di Pitot-Prandl (fig. 4.3), strumento con il quale è possibile determinare la velocità locale di una corrente fluida mediante la misura di una differenza di pressione. Come si può rilevare dalla figura, mediante la presa di pressione situata sul "naso" del tubo di Pitot si misurerà la pressione di ristagno, mentre con quelle ricavate sulla superficie laterale del tubo (sezione A-A) si misurerà la pressione statica. Nel caso di flusso ideale, la velocità locale del fluido sarà data da: v = p

5 4.) Velocità del suono. Prima di affrontare la trattazione del moto dei fluidi comprimibili in condotti a sezione variabile vogliamo richiamare una grandezza che, nella trattazione, assume una particolare rilevanza e cioè la velocità isoentropica di propagazione delle piccole perturbazioni altrimenti detta velocità del suono o velocità caratteristica del fluido e definita come: dp c = (4.4) d s= cost Per i fluidi rigorosamente incomprimibili è d = 0 e quindi c =, mentre per i liquidi reali la velocità del suono, pur restando elevata a causa della ridotta comprimibilità, assume valori finiti (per l'acqua in condizioni ambiente c 400 m/s). Dalla legge dell'isoentropica p -k = cost e dall'equazione di stato dei gas perfetti si ottiene: dp k dp kp k d = 0 da cui: d = k p = krt Per una trasformazione isoentropica e per un gas perfetto, si ottiene per quanto sopra dedotto: c = krt (4.5) Dalla (4.5) si può osservare che la velocità isoentropica del suono dipende dalla natura del fluido attraverso le costanti k e R e dalla sua temperatura; supponendo l'aria un gas biatomico di costanti k=.4 e R=87 J/(kg K), alla temperatura ambiente T=88 K dalla (4.5) si deduce c=340. m/s. Osserviamo che nelle comuni applicazioni industriali e prescindendo da particolari fenomeni quali il colpo d'ariete, le velocità dei liquidi sono notevolmente inferiori alla velocità del suono; non così per le macchine operanti con gas o vapori, nelle quali velocità paragonabili o superiori a quella del suono sono usuali. E' immediato rendersi conto che la (4.5) rappresenta effettivamente la velocità isoentropica di propagazione delle piccole perturbazioni: a tal scopo, facciamo riferimento al condotto di sezione S costante rappresentato in fig. 4.4 in cui un fluido è mantenuto a velocità v costante dall'azione di un pistone. Fig. 4.4 Una piccola accelerazione del pistone produrrà una perturbazione che si propagherà nel fluido con velocità c e che provocherà, a sua volta, piccole variazioni di velocità, pressione e densità del fluido. A valle del pistone vi sarà una zona perturbata separata da una imperturbata mediante una superficie ideale di spessore infinitesimo (teoricamente nullo), detta fronte d'onda, che un osservatore assoluto vedrà propagarsi con velocità pari c+v. Nell'ipotesi di flusso monodimensionale, il fronte d'onda sarà perpendicolare alla direzione del flusso. Indicando con dv la variazione di velocità infinitesima del pistone, un osservatore relativo solidale con il fronte d'onda, vedrà il fluido muoversi con una velocità pari a c dv nella zona perturbata e con una velocità c in quella non perturbata. Dall'equazione di continuità che esprime la conservazione della massa che attraversa il fronte d'onda, si ricava: cs = ( + d) ( c dv)s da cui, trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al primo: dv = cd (4.6)

6 e dall'equazione della quantità di moto (3.5): [( p + dp) p]s = cs[ c ( c dv) ] da cui dp = cdv (4.7) e dividendo la (4.6) con la (4.7) si ottiene la (4.4): dp d = c. Come più sopra osservato, la velocità di propagazione di una perturbazione è esprimibile mediante la (4.4) solo per variazioni di pressione infinitesime, mentre aumenta all'aumentare dell'ampiezza della perturbazione secondo la relazione: c c = k + k + k ( ) p (4.8) p dove con c' si è indicata la velocità di propagazione adiabatica per una variazione di pressione finita p = p'-p. Come si può osservare, in generale è c' > c e solo per p' = p si ottiene c' = c; nella pratica, i fenomeni potranno essere trattati come reversibili solo per modeste perturbazioni, quali si manifestano, ad es., in condotti con graduali variazioni di sezione. 4.3) Moto adiabatico dei fluidi comprimibili. Vogliamo osservare che, in generale, nel moto dei fluidi comprimibili le variazioni d'energia potenziale gravitazionale sono trascurabili rispetto alle variazioni di entalpia e di energia cinetica e, quindi, grandezze totali e di ristagno in pratica coincidono e sono usate in modo equivalente. Ricordando la definizione (.8) di c p e tenendo presente l'espressione (4.5) della velocità del suono c, dalla definizione della temperatura totale (4.4) si ricava: T t T = T r T =+ v c p T =+ k dove con Ma = v/c si è indicato il numero di Mach. Dalle leggi dell'isoentropica (.30) si può ancora ottenere: p t p = p = T r T k v c =+ k Ma (4.9) k k = + Ma k k k (4.0) t = r = T k r k = + T Ma (4.) Note quindi, per un dato fluido, le grandezze totali o quelle di ristagno, misurate ad es. in un serbatoio in cui il fluido sia in quiete, le corrispondenti grandezze statiche in una sezione generica sono funzione del solo numero di Mach. Spesso sono utilizzate le cosiddette grandezze soniche o critiche T, p, ecc., relative ad un'ipotetica sezione detta critica, nella quale si abbia Ma = ; anche il numero di Mach è talvolta v sostituito col numero di Mach sonico Ma = krt = v *, che è effettivamente la velocità c adimensionale del flusso, essendo c costante. Le relazioni tra grandezze di ristagno o totali e le corrispondenti grandezze critiche si possono dedurre facilmente dalle relazioni precedentemente scritte imponendo Ma =. Osserviamo che la (4.0) definisce la pressione di ristagno per un flusso di un fluido comprimibile e coincide con quella data per fluidi incomprimibili (4.8) solo per bassi valori della velocità del fluido. Introducendo, infatti, l'indice di comprimibilità:

= p v possiamo osservare che, in base alla (4.8), tale indice è rigorosamente uguale a solo per i fluidi incomprimibili, mentre per quelli comprimibili sarà: k + k Ma k = kma Sviluppando in serie l'espressione al numeratore e arrestandosi al terzo termine dello sviluppo, si ottiene: k Ma + k Ma 8 = + Ma kma 4 da cui si deduce che = solo per Ma = 0, mentre per Ma = 0.3 (v 0 m/s per l'aria a 5 C) si ha.05, vale a dire che l'effetto della comprimibilità si traduce in un aumento della pressione superiore allo. %. Nella pratica, si può considerare un gas incomprimibile per valori di Ma 0. 0.5 (v = 68 85 m/s per l'aria). Note che siano le grandezze di ristagno e la geometria del condotto, la portata massica fluente attraverso una generica sezione può essere dedotta da: v m = vs = S r r krt krt da cui, tenendo presente la (4.) e l'equazione di stato dei gas perfetti, si ricava: e per la (4.9): m = m = S RT r RT r k Ma + k Ma k Ma + k Ma k + k k S = T T r 7 RT r fs (4.) La funzione f presenta un massimo per Ma =, cioè per p = p, S = S *, ecc.; per Ma = e per k =.4 tale valore sarà: k f max = k =.685 k + valore per il quale la portata fluente sarà massima. Questo fatto può essere spiegato alla luce di quanto detto più sopra riguardo alla propagazione delle perturbazioni in un mezzo comprimibile: per date condizioni assegnate e velocità trascurabili, aumentando il numero di Mach si avranno diminuzioni di pressione e densità che compensano l'aumento di velocità. Arrivati alle condizioni critiche, eventuali ulteriori riduzioni di pressione non saranno più percepite a monte della sezione sonica e quindi la portata non potrà più aumentare. Mediante la (4.0) si può esprimere la portata fluente in un condotto in funzione del rapporto e = p/ ottenendo: k +

8 m = RT r S e k e k k = RT r S e k ( ) (4.3) e E' agevole mostrare che la (4.3) mostra un massimo per e = e * = p = 0.58 valore per cui si ha Ma =. Analogamente a quanto fatto per i fluidi incomprimibili, differenziamo l'equazione di continuità (4.) per i fluidi comprimibili. Si otterrà: vsd + Sdv + vds = 0 e dividendo per vs: d + dv v + ds S = 0 (4.4) Differenziando l'equazione dell'energia (4.) e trascurando per semplicità le variazioni d'energia potenziale gravitazionale, si ottiene: dh = vdv Scrivendo il principio della termodinamica scritto in forma entalpica dh = dp : si deduce: dp = vdv (4.5) Ricavando la densità dalla (4.5) e sostituendo nella (4.4) si ottiene: vdv d dp + dv v + ds S = 0 da cui: dv d v dp v + ds S = 0 e per la (4.4): dv v v + ds c S = dv ( Ma)+ ds v S = 0 e quindi: dv v = ds (4.6) S Ma nota come relazione di Hugoniot. Dall'analisi della (4.5) e della (4.6) si può osservare che in condotti convergenti (ds<0) e per moti subsonici (Ma<) si ha un aumento di velocità con una corrispondente diminuzione della pressione del fluido, mentre in condotti divergenti (ds>0) e sempre per moti subsonici, si avrà una diminuzione di velocità con un corrispondente aumento di pressione analogamente a quanto ottenuto per il moto dei fluidi incomprimibili. Al contrario, per moti supersonici (Ma>) e condotti convergenti si avrà una diminuzione di velocità e un aumento di pressione, mentre in condotti divergenti si avrà un aumento di velocità con una corrispondente diminuzione di pressione. Da quanto sopra esposto, si può osservare che il flusso di fluidi incomprimibili può essere considerato come un caso particolare della trattazione più generale relativa ai fluidi comprimibili. Per moti sonici (Ma = ) il rapporto a secondo membro della (4.6) è possibile solo per ds = 0, vale a dire in tratti a sezione costante, quali ad esempio la sezione di gola di un condotto convergente-divergente. A causa dell'indeterminatezza del rapporto 0/0, a valle di tale sezione si potranno instaurare moti subsonici o supersonici in dipendenza dalle condizioni al contorno. Data

l'importanza rivestita nello studio delle macchine, nei paragrafi successivi sarà approfondita l'analisi del flusso in ugelli convergenti e divergenti. 4.4) Flusso isoentropico in ugelli convergenti. Consideriamo un ugello convergente con condizioni p 0t T 0t assegnate e costanti in ingresso e che scarichi in un ambiente a pressione p e variabile (fig. 4.5). 9 Fig. 4.5 Indicando con p u la pressione sulla sezione d'uscita S u dell'ugello, al variare della pressione p e, saranno possibili due tipi di regime di moto: - regime I: flusso subsonico nel convergente e sulla sezione d'uscita. Per flussi isoentropici, e quindi trascurando le perdite allo sbocco, sarà p u = p e p 0t. Al variare della pressione esterna si potranno avere distribuzioni di pressione corrispondenti alle curve qualitativamente analoghe (), () e (3). Caso particolare è quello per cui si raggiungono le condizioni di flusso sonico sulla sezione d'uscita, p u = p e = p*, curva (4). In tali condizioni, la portata massica fluente espressa dalla (4.) sarà massima. - regime II: flusso subsonico nel convergente e sulla sezione d'uscita, p e < p*. Per quanto sopra detto, un'ulteriore riduzione della pressione p e al di sotto della p* non è percepita in sezioni a monte della sezione d'uscita sulla quale il flusso ha una velocità pari a quella del suono: le grandezze fisiche e cinematiche all'interno dell'ugello e sulla sezione d'uscita non potranno quindi più variare al diminuire della p e, in particolare rimarrà costante la portata massica (fig. 4.5 b). Tali condizioni per cui il flusso resta congelato all'interno dell'ugello sono dette condizioni di blocco sonico o di choking. Risulterà inoltre p u = p* > p e e l'adeguamento della p u alla p e avverrà all'esterno dell'ugello mediante onde d'espansione cui sono associati effetti dissipativi (curva 5). Osserviamo che, per quanto detto, a partire da condizioni subsoniche non sarà quindi possibile raggiungere condizioni supersoniche all'interno dell'ugello con un semplice convergente. 4.5) Flusso isoentropico in ugelli convergenti-divergenti (ugelli di De Laval). Un ugello di De Laval è essenzialmente costituito da un condotto convergente e da uno divergente uniti da una sezione a diametro costante detta sezione di gola (fig. 4.6). Al variare della pressione esterna p e possono instaurarsi i seguenti tipi di flusso: - flusso interamente subsonico nell'ugello e sulla sezione d'uscita (regime I). A meno delle perdite di sbocco sarà p u = p e p 0t, curva ().

30 - flusso subsonico nel convergente, sonico in gola e completamente supersonico nel divergente p u = p e = p 5 a meno delle perdite di sbocco, curva (5). In tali condizioni operative l'ugello è operante in condizioni di progetto ed è detto adattato. Mentre per le condizioni precedenti il flusso nell'ugello potrà essere descritto mediante le relazioni dell'isoentropica, per p e < p 5 o per p p e p 5 si manifesteranno fenomeni irreversibili, associati a onde di compressione o d'espansione, per cui il flusso non potrà essere descritto dalle leggi per flussi ideali più sopra riportate. Ci limiteremo perciò ad un'analisi qualitativa dei diversi tipi di regime. Fig. 4.6 Si possono distinguere i seguenti casi: - flusso subsonico nel convergente, sonico in gola e completamente supersonico nel divergente con p e <p 5 e p u >p e, curva (6). In tali condizioni operative il flusso all'interno dell'ugello è congelato e l'ugello è detto sotto espanso. L'adeguamento della p u alla p e avviene all'esterno dell'ugello mediante onde d'espansione, cui sono associati effetti dissipativi e a cavallo delle quali il flusso si mantiene supersonico. - flusso subsonico nel convergente, sonico in gola e completamente supersonico nel divergente con p 5 p e p 4 e p u < p e. Il recupero di pressione sulla sezione d'uscita avviene mediante onde di compressione stazionarie localizzate sulla sezione d'uscita la cui intensità dipende dalla differenza di pressione p 4 p e. In tali condizioni operative l'ugello è detto sovra espanso. Sulla sezione d'uscita dell'ugello si potranno avere onde deboli, a cavallo delle quali il flusso si mantiene supersonico, oppure onde forti (onde d'urto), a cavallo delle quali il flusso passa da supersonico a subsonico. Il massimo recupero di pressione si avrà per un'onda d'urto normale, curva (4), e sarà deducibile dalla relazione esistente fra i numeri di Mach sonici a cavallo dell'onda d'urto, vale a dire: Ma * Ma * =, dove con il pedice "" si è indicato il numero di Mach a monte dell'onda d'urto e con il pedice "" quello a valle. - flusso subsonico nel convergente, sonico in gola e parzialmente supersonico nel divergente con p 4 < p e < p, e p u = p e, curva (3). L'onda d'urto sulla sezione d'uscita non è più in grado di recuperare la differenza di pressione p e p 5 e quindi risale lungo il divergente, posizionandosi in modo stazionario in una sezione che dipende dalla differenza p e p 5. Per quanto detto sopra, a valle dell'onda d'urto il moto diventerà subsonico nella restante parte del divergente con conseguente aumento della pressione e diminuzione della velocità. - caso particolare è rappresentato da p e = p, caso in cui l'onda d'urto risale fino in gola e per cui si ha flusso subsonico nel convergente, sonico in gola e interamente subsonico nel divergente con conseguente aumento della pressione e diminuzione della velocità. La

pressione p è detta pressione limite. La portata massica fluente nell'ugello sarà massima e corrispondente alla portata critica o di blocco sonico. Dalla fig. 4.7, in cui è riportato l'andamento della portata fluente nell'ugello in funzione del rapporto p e /p 0, si nota che, per una portata corrispondente alla portata massima (portata critica), sono possibili due soluzioni per il rapporto p e /p 0 : una corrispondente al caso di ugello adattato e l'altra corrispondente alla condizione di pressione esterna uguale alla pressione limite. Come già osservato, in ambedue i casi le condizioni in gola saranno corrispondenti a quelle di blocco sonico. Analiticamente, la pressione limite sarà deducibile imponendo nella (4.3) una portata pari a quella di blocco sonico e ottenendo in tal modo le due soluzioni possibili. 3 Osserviamo ancora che quanto sopra detto riguardo alla pressione limite è del tutto generale nel senso che per p 5 <p e p la soluzione del moto nel divergente non è univoca, potendosi avere su di una stessa sezione del condotto flusso subsonico o supersonico in dipendenza dal valore della pressione esterna. Osserviamo ancora che, per effetto del fenomeno di blocco sonico, la portata massica nei regimi (II), (III) e (IV) rimarrà costante e variazioni di velocità e pressione si avranno per variazioni della portata volumetrica. 4.6) Rendimenti dei condotti fissi. Fig. 4.7 Indicando con i pedici "" e le sezioni d'ingresso e d'uscita di un generico condotto a sezione variabile riportiamo alcune definizioni di rendimento relative al flusso adiabatico nei condotti comunemente adottate nella pratica. Assumendo per un'espansione come effetto utile l'energia cinetica allo scarico del condotto, dall'equazione dell'energia si potrà scrivere: v = h t h gz nel caso di trasformazione reale e v is = h h gz t is nel caso di trasformazione ideale si definisce rendimento fluidodinamico il rapporto. = v (4.7) In alternativa al rendimento fluidodinamico si potrà utilizzare il coefficiente di portata: = v v is = (4.8) v is

3 Il rendimento isoentropico o adiabatico è un indice della sola trasformazione termodinamica ed è definito come: adc = h is per una compressione h r ade = h (4.9) r per un'espansione h is Il rendimento politropico può essere definito come il rendimento isoentropico di uno stadio infinitesimo, per cui dalle (4.9) si ottiene: pc = dh is = dt is per una compressione dh r dt r pe = dh r = dt (4.30) r per un'espansione dh is dt is La relazione tra il rendimento politropico e quello isoentropico sarà discussa più avanti. Concludiamo questa rassegna sui rendimenti dei condotti fissi accennando al rendimento di diffusione di un condotto divergente: d = h h is (4.3) v dove si è considerato come effetto utile il recupero di pressione, immediatamente collegabile al salto entalpico isoentropico, e come energia disponibile l'energia cinetica all'ingresso del condotto. Considerando l'energia cinetica allo scarico del condotto un'energia in qualche modo riutilizzabile e non semplicemente persa, si può utilizzare la definizione: h is h + v d = v Nelle definizioni precedenti non si è tenuto conto, per semplicità formale, delle variazioni di energia potenziale gravitazionale che potranno, comunque, essere prese in considerazione nei casi in cui esse siano significative. Per i condotti mobili, quali i canali della girante di una turbomacchina, si possono dare definizioni analoghe a quelle date per i condotti fissi sostituendo alla velocità assoluta quella relativa e tenendo conto di un eventuale campo di forze centrifughe o centripete dovute a una variazione di diametro tra l'ingresso e l'uscita della girante. Tali relazioni saranno esplicitate in casi particolari nel prosieguo della trattazione. (4.3)