Potenze con esponente razionale Sia a > 0 e a 1. Abbiamo definito a x quando x N. Poniamo a 0 = 1 a x = a m n = n a m se x = m n Q, x > 0, m, n N a x = 1 a x se x Q, x > 0. È così definita la potenza a x, per ogni x Q. 1
Proprietà delle potenze con esponente razionale Sia a > 0, a 1, x, y Q; valgono le seguenti proprietà: 1. a x > 0, per ogni x Q 2. a x+y = a x a y 3. (a x ) y = a xy 4. (a b) x = a x b x 5. se a > 1 vale: 6. se 0 a 1 vale: x y a x a y x y a x a y OSSERVAZIONE a = 1 1 x = 1, per ogni x Q 2
Esercizio Calcolare 8 2 3 A) 16 3 B)4 C) 1 12 D) 64 3 E)12 La risposta è alla pagina successiva. 3
Esercizio Calcolare 8 2 3 A) 16 3 B)4 C) 1 12 D) 64 3 E)12 B) 8 2 3 = 3 8 2 = 3 2 3 2 = 2 2 = 4 RISULTATO 4
Esercizio Semplificare A) (2 3 ) 2 3 B) (a 9 ) 2 3, a > 0 C) (c2) 5 3, 2 c > 0 La risposta è alla pagina successiva. 5
Esercizio Semplificare A) (2 3 ) 2 3 B) (a 9 ) 2 3, a > 0 C) (c2) 5 3, 2 c > 0 RISULTATO A) 2 2 B) a 6 C) c 5 3 6
Esercizio Calcolare (0, 000064) 1 3 La risposta è alla pagina successiva. 7
Esercizio Calcolare (0, 000064) 1 3 ( 64 ) ( 1 3 10 = 6 )1 10 6 3 64 RISULTATO = 3 102 = 102 2 6 2 = ( ) 10 2 2 2 = 5 2 = 25 8
Esercizio Se c 3 2 = 27, calcolare il valore di c La risposta è alla pagina successiva. 9
Esercizio Se c 3 2 = 27, calcolare il valore di c RISULTATO 2 c3 = 27 c 3 = 27 2 c = 27 2 3 = 3 27 2 = 3 (3 2 ) 3 = 9. 10
Logaritmo Se a > 0, a 1 e x > 0 definiamo il logaritmo in base a di x nella maniera seguente: y R è il logaritmo in base a di x, cioè y = log a x, se y è tale che a y = x. OSSERVAZIONE: Spesso con le notazioni ln x o log x si indica il logaritmo naturale la cui base è il numero di Nepero e = 2.718281... Con la notazione Log x si indica invece il logaritmo decimale la cui base è il numero 10. 11
Proprietà del logaritmo Valgono le seguenti proprietà per ogni x, y > 0, a > 0, a 1 a log a x = x, log a a x = x log a (x y) = log a x + log a y log a x y = log a x log a y log a x α = α log a x, α R log a x = log b x, b > 0, b 1 (cambiamento di base) log b a se a > 1 vale: se 0 < a < 1 vale: 0 < x y log a x log a y 0 < x y log a x log a y 12
Esempi log 3 1 27 = 3 (poiché 3 3 = 1 27 ) log1 16 = 4 2 log 5 x = 2 x = 1 25 Verificare che log 25 10 = 1 2 (1 + log 5 2). Si ha log 25 10 = log 5 10 log 5 25 (cambio di base) = 1 2 log 5(5 2) = 1 2 (log 5 5 + log 5 2) = 1 2 (1 + log 5 2) 13
Esercizio Calcolare log 2 16 A) 4 B) 8 C) 32 D) 16 2 E) 2 16 La risposta è alla pagina successiva. 14
Esercizio Calcolare log 2 16 A) 4 B) 8 C) 32 D) 16 2 E) 2 16 A) log 2 16 = 4; infatti 2 4 = 16 RISULTATO 15
Esercizio Calcolare log 10 ( 100) A) 2 B) -2 C) 10 D) non definito E) -10 La risposta è alla pagina successiva. 16
Esercizio Calcolare log 10 ( 100) A) 2 B) -2 C) 10 D) non definito E) -10 RISULTATO D) Discende dalla definizione di logaritmo 17
Esercizio Il logaritmo di x in base 7: log 7 x = y è un numero y tale che A) y 7 = x B) x 7 = y C) 10 y = 7 D) 7 y = x E) y x = 7 La risposta è alla pagina successiva. 18
Esercizio Il logaritmo di x in base 7: log 7 x = y è un numero y tale che A) y 7 = x B) x 7 = y C) 10 y = 7 D) 7 y = x E) y x = 7 D) RISULTATO 19
Esercizio log 10 4 + log 10 3 = A) log 10 (4 3) B) log 10 (4 + 3) ( C) log 4 ) 10 3 D) log 10 (4 3 ) E) è un numero diverso da quelli delle precedenti risposte La risposta è alla pagina successiva. 20
Esercizio log 10 4 + log 10 3 = A) log 10 (4 3) B) log 10 (4 + 3) ( C) log 4 ) 10 3 D) log 10 (4 3 ) E) è un numero diverso da quelli delle precedenti risposte A) RISULTATO 21
Esercizio Calcolare log 10 100 + log 10 10 + log 10 1 + log 10 0, 1 La risposta è alla pagina successiva. 22
Esercizio Calcolare log 10 100 + log 10 10 + log 10 1 + log 10 0, 1 RISULTATO log 10 100 + log 10 10 + log 10 1 + log 10 0, 1 = log 10 10 2 + log 10 10 + log 10 1 + log 10 1 10 = 2 + 1 + 0 1 = 2 [ = log10 (100 10 1 10 ) = log 10 100 = 2 ] 23
Esercizio Se è log n 11 = 0, 5, calcolare il valore di n La risposta è alla pagina successiva. 24
Esercizio Se è log n 11 = 0, 5, calcolare il valore di n SOLUZIONE n 0,5 = 11 n 5 10 = 11 n 1 2 = 11 n = 11 2 = 121 25
Esercizio Quante cifre ha il numero 3 100 nella rappresentazione decimale? (si tenga conto che log 10 3 = 0, 477...) La risposta è alla pagina successiva. 26
Esercizio Quante cifre ha il numero 3 100 nella rappresentazione decimale? (si tenga conto che log 10 3 = 0, 477...) SOLUZIONE Il numero 3 100 sarà un intero che avrà n cifre decimali. Allora: 10 n 1 3 100 < 10 n (n 1) log 10 10 100 log 10 3 < n log 10 10 (n 1) 100 0, 477... < n (n 1) 47, 77.. < n n = 48 27