ESERCIZIO 1 Dati due diodi a giunzione pn aventi le seguenti caratteristiche: DIODO A: Si, 10 18 cm 3,N D 10 15 cm 3 DIODO B: Ge, 10 18 cm 3,N D 10 15 cm 3 Valutare, giustificando quantitativamente le risposte, quale dei due ha un comportamento più ideale in condizioni di polarizzazione inversa (V-1V), al variare della temperatura. Calcolare in particolare il rapporto tra e a temperatura ambiente. Trascurare la dipendenza dalla temperatura di V bi,l p,l n,d p,d n. Considerare i seguenti dati: Germanio: µ n 3900cm /V s,µ p 1900cm /V s, N c (T 300K) 1.0 10 19 cm 3,N v (T 300K) 5.64 10 18 cm 3 Silicio: N c (T 300K) 3. 10 19 cm 3,N v (T 300K) 1.83 10 18 cm 3 Per entrambi τ p τ n τ 0 10 6 s Soluzione Devo valutare il rapporto Igen al variare della temperatura T. Poichè rappresenta il contributo nodeale, quanto più alto sarà questo rapporto, tanto meno ideale sarà il diodo. qa [ qa W τ g D p L pn D + Dn L n ] Dove ho considerato il diodo a base lunga poichè non ho altre informazioni sulle dimensioni della giunzione. Il testo ci dice di trascurare la dipendenza dalla temperatura di V bi,l p,l n,d p,d n, e quindi anche di W, in quanto dipende dalla temperatura solo attraverso V bi. A questo punto, l unico parametro che dipende da t è. Devo calcolarmi tutti gli altri parametri per T300K e poi analizzo la dipendenza di da T. Per prima cosa calcolo V bi, che mi serve per calcolare l estensione della regione di svuotamento W: V bi k BT q ln(n D ) con (T 300K). Posso sia utilizzare i valori di tabulati, sia calcolarlo con la formula n Eg ( i N C N V e kt ) 1
(i valori del gap si trovano anch essi tabulati). Ottengo n i 1.15 10 0 cm 6 n i 5.44 10 6 cm 6 e quindi la tensione di built-in V bi 0.77V V bi 0.37V Posso calcolare a questo punto W: W ǫ s ( + N D )(V bi V a ) q N D W 1.5 10 4 cm W 1.56 10 4 cm Come possiamo notare, questi due valori sono molto simili, anche se i valori di sono molto diversi per i due semiconduttori. Questo è dovuto al fatto che la dipendenza di W da sta dentro un logaritmo che a sua volta sta dentro una radice (attraverso V bi ), e sta quindi qui la ragione per la quale possiamo trascurare la dipendenza dalla temperatura. Dobbiamo calcolare adesso le diffusività (con la relazione di Einstein D p,n kt q µ p,n) D p 1cm /s D p 49.4cm /s D n 6cm /s D n 101.4cm /s e le lunghezze di diffusione tramite la solita formula D p,n τ p,n L p 3.5 10 3 cm L p 7.03 10 3 cm L n.4 10 3 cm L n 10 cm Abbiamo adesso tutti i valori che non dipendono dalla temperatura, e quindi possiamo scrivere Per il Silicio 1.5 10 4 10 6 3.43 10 1 1
Per il Germanio 1.56 10 4 10 6 7.04 10 1 1 I numeri che moltiplicano 1 sono molto simili tra loro, quindi sarà proprio a determinare quale dei due sia più ideale. Abbiamo detto che n Eg ( i N C N V e kt ) dove N C ed N V, densità efficace degli stati rispettivamente in banda di conduzione e di valenza, dipendono dalla temperatura secondo la formula (che si trova a pagina dello Sze): N V (T) ( πm h kt h ) 3/ N C (T) ( πm e kt h ) 3/ Non è necessario però calcolare questi valori: infatti noi abbiamo dal testo il valore di N C ed N V a temperatura ambiente. È quindi sufficiente estrarre da queste formule la dipendenza dalla temperatura. nfatti io posso sempre scrivere e quindi, ad esempio per N V : T T T 3/ ( T ) 3/ N V (T) ( πm h kt h e ugualmente per N C : N C (T) ( πm e kt h ) 3/ ( πm h k h ) 3/ ( T ) 3/ N V ( ) ( T ) 3/ ) 3/ ( πm e k h ) 3/ ( T ) 3/ N C ( ) ( T ) 3/ Nell espressione di appare la radice del prodotto di N C e N V, che vale e quindi : N C (T)N V (T).43 10 19 cm 3 N C (T)N V (T) 7.58 10 18 cm 3 N C ( )N V ( ) ( T ) 3/ Eg ( e kt ) 3
N C ( )N V ( ) ( T ) 3/ EgTa ( e kt Ta ) ho estratto la dipendenza dalla temperatura anche dall esponenziale. Il valore di e k Ta ) EgTa ( è: E g 6450K k E g 3810K k In definitiva il nostro vale: (T) 4.7 10 15 Te 6450 T silicio (T) 4.7 10 15 Te 3810 T che sostituito nella formula per Igen Per il Silicio: Per il Germanio: mi fornisce 6450 T 1.5 10 4 e 10 6 3.43 10 1 4.7 10 15 T 3810 T germanio 6450 e T 9.43 10 3 3/ T 3/ 1.56 10 4 e 10 6 7.04 10 1 1.45 10 15 1.5 10 e T 3/ 3810 T T 3/ Il fattore T 3/ è presente in entrambi i casi, e il fattore che moltiplica l esponenziale è abbastanza simile. Quello che determina la differenza tra i due diodi è quindi l esponenziale. Poicè nel silicio questo fattore è più grande (6450 3810), allora il rapporto Igen è maggiore per il diodo in silicio, che è quindi il meno ideale. Il valore di questo rapporto, per T300K, vale 3946 0.959 per il Silicio per il Germanio ESERCIZIO Si consideri una giunzione p + n n + in Silicio, in cui la larghezza della regione n sia pari a Wi. Trovare una relazione che consenta di calcolare, noti i drogaggi, quanto deve valere Wi per assicurarsi che la perforazione del dispositivo avvenga per tensioni inferiori a quella di rottura per valanga. Calcolare Wi dati i drogaggi: 4
10 18 cm 3 N D 10 15 cm 3 Suggerimento: per valutare la relazione tra tensione di rottura e drogaggio servirsi del grafico 3.5 a pagina 14 dello Sze Soluzione Devo trovare una relazione che leghi l ampiezza della regione centrale ai drogaggi, per garantire che la perforazione avvenga prima del breakdown per valanga. Dovrò quindi trovare un espressione che leghi la W i alla tensione di perforazione V p, poi una che leghi il drogaggio (o una sua funzione) alla tensione di breakdown V B, e infine imporre V p < V B. Comiciamo dalla tensione di punch-through: ho perforazione quando l ampiezza della regione svuotata nella parte centrale del diodo, quindi x n è pari allo stesso spessore di questa regione, ovvero W i. Devo quindi imporre x n W i x n W + N D W i dove W è l ampiezza totale della regione svuotata. Sostituisco a W la sua espressione in funzione della tensione applicata x n W ǫ s ( + N D )(V bi V p ) W i + N D q N D + N D elevando tutto al quadrato ottengo ǫ s ( + N D )(V bi V p ) q N D ( + N D ) W i Da cui ricavo V bi V p W i ( + N D ) q N D ǫ s ( + N D ) V p V bi W i ( + N D ) q N D ǫ s ( + N D ) da questa formula si ottiene una tensione negativa, infatti la perforazione avviene in polarizzazione inversa (come il breakdown). Non è necessario esplicitare V bi in quanto al sua espressione dipende solo dal drogaggio. Adesso devo determinare il legame tra i drogaggi e la tensione di breakdown V B. Per farlo, osservo il grafico a pagina 14 dello Sze, in cui è dato il valore della tensione di breakdown funzione del drogaggio del lato meno drogato della giunzione (nel nostro caso N D ). Bisogna fare attenzione perchè il 5
grafico è in scala logaritmica! la curva che lega V B a N D è una retta, e quindi ho una relazione lineare tra il log V B e il log N D, e ho il valore assoluto di V B dentro il log (ovviamente, non posso avere un log con argomento negativo). Quindi la relazione è y mx + q log V B m logn D + q prendo due punti a caso dal grafico e mi calcolo così m e q: ad esempio da cui ottengo la retta è dunque P 1 (log10 15 ;log300) (15;.5) P 1 (log10 16 ;log50) (16;1.7) m y y 1 x x 1 0.8 q y 1x y x 1 x x 1 14.5 e riportando tutto in scala lineare log V B 0.8 logn D + 14.5 10 log V B 10 0.8 logn D+14.5 6
V B 10 0.8 logn D+14.5 10 0.8 lognd 10 14.5 V B N 0.8 D 10 14.5 La mia condizione per avere perforazione prima del breakdown è che V p < V B dove ho cambiato il segno a V p poichè si tratta di un valore negativo, e io devo fare un confronto tra due valori positivi. Ottengo V bi W i ( + N D ) q N D ǫ s ( + N D ) < N 0.8 D 10 14.5 W i < N D 0.8 10 14.5 + V bi ( +N D ) La seconda parte del testo ci chiede di calcolare il valore di W i dati i drogaggi: per farlo calcoliamo la tensione di built-in qn D ǫ s V bi kt q lnn D 0.76V e infine W i 4.16 10 6 cm W i.04 10 3 cm ESERCIZIO 3 È data una giunzione pn silicio avente: N D 10 16 cm 3 10 10 cm 3 W p W n mm A j 1 mm I s 10 13 A L impedenza della giunzione, vista da un piccolo segnale sinusoidale di frequenza f50hz, è pari a Z (10 j0.19)ω. Dopo aver disegnato il circuito equivalente a piccolo segnale e determinato il valore della resistenza serie del dispostivo, si determini la tensione di polarizzazione del dispositivo e si calcolini le lunghezze di diffusione dei portatori, supposte identiche per elettroni e lacune (LpLn). (vedere tutorato VI del 009) Soluzione 7