1 Itroduzioe La maggior parte delle persoe, iterpellate su cosa sia per lui/lei la matematica, potrebbe essere portata a rispodere che è ua serie di formule e simboli, magari usati dai matematici come codici per capirsi fra sé e redere impossibile la partecipazioe di estraei a questo modo. Ivece essi soo fodametali per formalizzare cocetti, formule, espressioi i u liguaggio pseudo-matematico. Ioltre i matematici usao, oltre ai simboli, defiizioi e euciati: le defiizioi servoo a caratterizzare ua proprietà, ua otazioe, per rederla uivoca e quidi o ambigua; ad esempio la frase: "Questa maglietta è bella" o ha alcu seso matematico fiché o assegiamo all aggettivo bello ua caratterizzazioe precisa. Ad esempio: DEFINIZIONE 1.1: U umero si dice pari se è divisibile per. è ua defiizioe be posta poiché (suppoedo di dare per scotato il cocetto di divisibilità) è completamete uivoca. Notiamo ioltre che ella precedete defiizioe abbiamo usato ua variabile (), che sta ad idicare u geerico umero aturale. Come spesso si usa i matematica, useremo i segueti simboli: N sta ad idicare l isieme dei umeri aturali (1,,3, ); Z sta ad idicare l isieme dei umeri iteri (,, 1,0,1,, ); Q sta ad idicare l isieme dei umeri razioali (cioè i umeri della forma p, co p e q i Z); q R sta ad idicare l isieme dei umeri reali (cioè quelli idividuabili sulla retta dei umeri, fra cui gli irrazioali come e i trascedeti come e o π); C sta ad idicare l isieme dei umeri complessi (cioè i umeri della forma a + bi, co a e b i R). I matematici riescoo a esprimersi grazie alle proprietà, che soo delle affermazioi che possoo assumere i valori di verità vero (V) o falso (F). Ad esempio: P = "1 è pari" è ua proprietà falsa, metre Q = "4 è pari" è ua proprietà vera. Spesso le proprietà possoo coteere variabili; se x 1,, x soo variabili, deotiamo co P(x 1,, x ) ua proprietà che dipede dalle variabili x 1,, x. Ad esempio: P(x) = "x è pari" è tale che P(1), cioè la proprietà P(x) i cui a ogi x è stato sostituito 1, è falsa, metre P(4) è vera. 1
Ugualmete: Q(x, y) = "x < y" è tale che Q(1,) è vera, metre Q(,1) è falsa. Itroduciamo ora i primi simboli logici, i cosiddetti coettivi logici; siao P, Q proprietà. Allora: P (si legge o P ) sta ad idicare la proprietà che è vera quado P è falsa ed è falsa quado P è vera; P Q (si legge P e Q ) è la proprietà che è vera quado soo vere sia P che Q ed è falsa altrimeti; P Q (si legge P o Q ) è la proprietà che è vera quado o P è vera o Q è vera ed è falsa altrimeti; P Q (si legge P implica Q ) è la proprietà che è falsa quado P è vera e Q è falsa ed è vera altrimeti; P Q (si legge P se e solo se Q ) è la proprietà (P Q) (Q P). Riassumedo: P Q P P Q P Q P Q P Q V V F V V V V V F F F V F F F V V F V V F F F V F F V V Diciamo che due proprietà soo equivaleti se assumoo gli stessi valori di verità; i questo caso scriviamo P Q. Notiamo ad esempio che: 1. ( P) P;. (P Q) ( P) ( Q); 3. (P Q) ( P) ( Q); 4. (P Q) R P (Q R); 5. (P Q) R P (Q R); 6. (P Q) P ( Q); 7. P Q Q P; 8. (P Q) (P ( Q)) (( P) Q)); 9. ((P Q) (T T)) (P Q). Cocetriamoci particolarmete sulle equivaleze, 3, 7: le due equivaleze, 3 soo spesso chiamate leggi di De Morga, metre la 7 viee chiamata cotroomiale. I pratica, se vogliamo dimostrare che P Q, equivaletemete possiamo dimostrare che Q P. Soffermiamoci ora sulla 9: sicuramete è corretta perché: ((P Q) (T T)) ( (P Q) False) (True (P Q)) (P Q), ma la sua importaza verrà chiarita i seguito.
Defiiamo ora alcui fodametali simboli isiemistici: DEFINIZIONE 1.: Sia x u elemeto, A, B isiemi e P(x) ua proprietà. Allora la scrittura: x A, che si legge x appartiee a A, idica che ell isieme A c è l elemeto x; x A, che si legge x o appartiee a A, idica che ell isieme A o c è l elemeto x, cioè è equivalete alla proprietà (x A); k A P(k), che si legge esiste u k i A tale che vale P(k), idica che esiste k A P(k); k A P(k), che si legge o esiste u k i A tale che vale P(k), è equivalete a ( k A P(k)) k A, P(k), che si legge per ogi k i A vale P(k), idica che k A P(k)! k A P(k), che si legge esiste u uico k A tale che vale P(k), idica la proprietà ( k A P(k)) ((h A P(h)) h = k). Notiamo u importate questioe: se cosideriamo l euciato ( k A P(k)), esso è equivalete a k A, P(k). Allo stesso modo, ( k A, P(k)) è equivalete a k A P(k). Ad esempio, cosideriamo l euciato: "Ogi gatto è blu". Formalmete, l esempio può essere riscritto come: x G, x B, o, equivaletemete: x G x B dove G è l isieme di tutti i gatti e B è l isieme di tutte le cose blu. Quidi, dimostrare la falsità di questo euciato, sigifica dimostrare la veridicità di: ( x G, x B) (x G x B) x G x B x G x B cioè che esiste u gatto che o è blu. Defiiamo alcui simboli che abbrevierao le ostre scritture: DEFINIZIONE 1.3: Siao A, B isiemi. Allora la proprietà: A B, che si legge A è sottoisieme di B, è equivalete alla proprietà x A x B; A = B, che si legge A è uguale a B, è equivalete alla proprietà A B B A, cioè equivalete a x A x B; A B (A B); A B (A = B); A B, che si legge A è sottoisieme proprio di B, è equivalete a A B A B. Ioltre idichiamo co {x P(x)} l isieme di tutti gli x che redoo vera la proprietà P. Itroduciamo ora alcue otazioi che risulterao molto utili e frequeti ella seguete trattazioe e i geerale i qualuque studio di matematica: DEFINIZIONE 1.4: Siao A, B isiemi. Allora defiiamo: A B = {x x A x B}, detta uioe di A e B ; 3
A B = {x x A x B}, detta itersezioe di A e B ; A\B = A B = {x x A x B}. A = {x x A} Notiamo iazitutto che A B = A B ; ioltre dalle leggi di De Morga segue che: A B = A B e A B = A B. Allo stesso modo segue che: X (A B) = (X A) (X B) e X (A B) = (X A) (X B). Per abbreviare la scrittura A 1 A scriveremo: A i = A 1 A dove i è ua variabile temporaea che permette di scorrere tutti gli A i. Aalogamete: A i = A 1 A. Ifie ci dedichiamo all itroduzioe degli ultimi simboli, i più importati e frequeti forse ell itera matematica: i simboli di sommatoria e di produttoria. Essi ascoo dalla ecessità di compattare alcue scritture altrimeti lughissime. Cosideriamo ad esempio la scrittura 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1. Essa cotiee 10 volte la somma del umero 1. Oltre a essere scomoda, o è ituitivamete compresibile da chi legge. Duque i matematici abbreviao quella scrittura co il simbolo di sommatoria: 10 1 dove i = 1 sigifica che la variabile temporaea usata è i, ioltre il valore di parteza è 1, il valore di arrivo è 10 e l argometo (l 1 sulla destra) idica cosa deve essere sommato ogi volta. I geerale, se x 1,, x soo umeri (diciamo N, ma è assolutamete idifferete), allora: Ad esempio è utilissima la scrittura: x i = x 1 +... +x. i = 1 + + 3+... + 1 +. A volte può essere utile usare la otazioe di doppia sommatoria. Ad esempio: ij = ( ij) = 1 j + j +... + j j=1 j=1 j=1 Notiamo che soo state usate due lettere diverse (i e j) per o creare ambiguità i chi legge. Allo stesso modo si itroduce il simbolo di produttoria: j=1 j=1 4
x i = x 1 x Tutte le proprietà della sommatoria appea mostrate valgoo ache per la produttoria. Dimostrare u euciato Per semplificare la trattazioe, defiiamo u euciato come l affermazioe di u implicazioe da u certo umero di proprietà (dette ipotesi) a u altro isieme di proprietà (dette tesi). I geerale, dato u euciato E coteete u umero fiito di proprietà, possiamo (quasi) sempre stabilire se esso è vero o falso. Per stabilire se E sia effettivamete vero o falso, dobbiamo esibire ua dimostrazioe della veridicità/falsità di E. Ua dimostrazioe è ua serie di deduzioi logiche che dalle ipotesi, cioè dalle proprietà supposte vere, giuge alla tesi, che è la proprietà (o le proprietà) che vogliamo mostrare essere vera o falsa. Facciamo u semplice esempio: ESEMPIO.1: La somma degli agoli iteri di u triagolo corrispode a u agolo piatto. Dimostrazioe: Sia α l agolo relativo a A, β l agolo relativo a B, γ l agolo relativo a C, δ l agolo 1 e ε l agolo 3. La ostra tesi è α + β + γ = 180. Immediatamete otiamo che δ + β + ε = 180 ; ioltre α = δ e γ = ε, i quato soo alteri iteri. Duque: 180 = δ + β + ε = α + β + γ, da cui la tesi. DEFINIZIONE.1: U umero N si dice primo se (h divide ) h = 1 h =. I altre parole, u umero è primo se è divisibile solo per 1 e per se stesso. No defiiamo eache se 1 è primo o o. ESEMPIO.: Se p N è primo e a, b N, allora p ab p a p b. Dimostrazioe: Scriviamo a e b come prodotto di primi, diciamo a = q 1 q, b = r 1 r m. Allora p q 1 q r 1 r m, cioè k tale che pk = q 1 q r 1 r m. Scompoiamo k i fattori primi, diciamo k = s 1 s z. 5
Allora α = ps 1 s z = q 1 q r 1 r m, ma quidi le due scomposizioi i primi di α devoo coicidere, cioè ogi elemeto della prima fattorizzazioe deve comparire ache ella secoda e viceversa. Ma allora p sarà uguale a uo dei fattori primi sulla destra; se p = q i per u certo i, allora p a, metre se p = r j per u certo j, allora p b, tesi. Osserviamo che se p o è primo la proprietà o vale, poiché ad esempio 8 4 6, ma 8 4 e 8 6. Se dobbiamo dimostrare che E è falso, abbiamo già visto el precedete paragrafo che dobbiamo esibire u cotroesempio, cioè u elemeto che rispetta le ipotesi ma o rispetta la tesi. Esempio: ENUNCIATO.1: Ogi umero primo è dispari. Dimostrazioe: L euciato è falso, ifatti è primo, ma è pari, cioè o dispari. Da ora i poi ci occuperemo di dimostrare euciati veri, cosa molto più frequete del dimostrare euciati falsi..1 Dimostrazioe della cotroomiale e dimostrazioe per assurdo La dimostrazioe per assurdo è u tipo di dimostrazioe ota fi ell atichità (veiva chiamata reductio ad absurdum ), ma è sempre stata vista co diffideza da molti matematici. Da qualche tempo però, grazie all itroduzioe della logica matematica (che abbiamo appea acceato ell itroduzioe), è stato pieamete dimostrata la completa equivaleza fra ua ormale dimostrazioe e ua dimostrazioe per assurdo. Suppoiamo di voler dimostrare l euciato E = "P Q", dove P e Q soo proprietà (o isiemi di proprietà). Poiché abbiamo visto che Q P P Q, allora ivece che dimostrare E possiamo dimostrare: E = " Q P" cioè predere come ipotesi la egazioe della tesi e come tesi la egazioe dell ipotesi. Iiziamo co u semplice esempio che ci aiuterà a capire quato i certi casi aiuti dimostrare la cotroomiale: ENUNCIATO.: Ogi umero primo diverso da è dispari. Prima di procedere co la dimostrazioe, riscriviamo formalmete l euciato: ENUNCIATO. : x, (x P {} x D), dove P è l isieme dei umeri primi e D è l isieme dei umeri dispari. Dimostrazioe: 6
Vogliamo dimostrare la cotroomiale, cioè: x D (x P x = ). Scegliamo u qualuque x. Poiché x è pari, allora è divisibile per. Ci soo due possibilità: 1. x =, che è i accordo co la tesi;. x >, quidi x è divisibile per oltre che per 1 e se stesso, cioè x P, i accordo co la tesi. Visto che i ogi caso troviamo la tesi, cocludiamo che l euciato è vero. La dimostrazioe, per quato semplice, mostra chiaramete la poteza della cotroomiale; ifatti o coosciamo u modo per classificare i umeri primi i u uico isieme, duque è veramete molto difficile procedere i u modo diverso. Passiamo ora alla dimostrazioe per assurdo. Essa dice di procedere i questo modo: assumiamo le ipotesi e eghiamo la tesi; se questo porta a u assurdo, allora l euciato è vero. Equivaletemete, può essere: assumiamo le ipotesi e eghiamo la tesi; se questo porta a dimostrare la veridicità di ua proprietà e della sua egazioe, allora l euciato è vero. Scritto formalmete: ((P Q) (T T)) (P Q) Poiché abbiamo mostrato la correttezza di questa equivaleza, accettiamo ache la dimostrazioe per assurdo. Vediamo qualche esempio: ENUNCIATO.3: U umero è primo o è divisibile per essu umero primo trae se stesso. Formalizziamo l euciato (sia P l isieme dei umeri primi): ENUNCIATO.3 : x P ( k P {x}, x o è divisibile per k). Poiché A B (A B) (B A), dimostriamo etrambe le implicazioi. Dimostrazioe: Dimostriamo che x P ( k P {x}, x o è divisibile per k). Poiché x è primo, o è divisibile per essu umero trae se stesso e 1, duque i particolare o sarà divisibile per u umero primo diverso da se stesso. Dimostriamo che ( k P {x}, x o è divisibile per k) x P. Procediamo per assurdo e suppoiamo che x o sia primo. Allora x è divisibile per u certo umero z che è diverso da x. Scompoiamo z i fattori primi; allora sicuramete esiste u umero primo p che divide z e quidi divide x. Abbiamo trovato u primo che divide x, assurdo, duque cocludiamo la dimostrazioe. ENUNCIATO.4: Esistoo ifiiti umeri primi. Dimostrazioe: 7
Suppoiamo la falsità della tesi, cioè che esista l isieme fiito P = {x 1,, x N } N di tutti i umeri primi. Suppoiamo ioltre che i P i umeri siao disposti i ordie crescete. Allora prediamo il umero: N X = 1 + x i = 1 + x 1 x x N otteuto moltiplicado tutti i umeri dell isieme e aggiugedo 1. Sicuramete X > x N e duque X è più grade di qualuque elemeto dip. Sia x k P e cosideriamo la frazioe: X = 1 + x 1 x x N = 1 + x 1 x x N x k x k x k x k Poiché x k P, allora x 1 x x N è divisibile per x k. Ioltre, poiché x k > 1, allora 1 o è divisibile per x k e quidi X o è divisibile per x k. Poiché u tale ragioameto può essere fatto per qualuque x k P, affermiamo che X o è divisibile per essu elemeto di P, cioè per essu primo, quidi è primo. Duque P o è l isieme di tutti i primi, poiché o cotiee X, assurdo. Da questo segue la tesi. Cocludiamo co alcui esercizi riguardo alle dimostrazioi per assurdo; cosiglio vivamete ai meo pratici co questo metodo di risolverli e, i caso di difficoltà, farsi aiutare da qualcuo più esperto. ESERCIZI (* idica ua difficoltà più elevata) Esercizio 1: Dimostrare che o esiste il massimo umero aturale. Esercizio : Se x N, x o è mai u umero primo. Esercizio 3: Se la media di umeri è > m, allora uo di quei umeri è > m. Esercizio 4: Se x è pari, allora x è pari. Esercizio 5: Sia p u primo diverso da e x u umero. Allora p + x primo x pari. Esercizio 6: Prediamo u umero pari k. Costruiamo il umero k = k + 1, poi cotiuiamo a costruire umeri i modo che il successivo sia volte il precedete +1. Dimostrare che (h è u umero pari della successioe) h = k. Esercizio 7*: Siao a, b N tali che a > b e b 0. Dimostrare che esistoo uici q, r umeri tali che a = b q + r, co r < b (che o soo altro che il quoziete e il resto della divisioe di a per b). Esercizio 8*: è irrazioale (cioè o si può scrivere come frazioe di due umeri aturali). Esercizio 9*: p 1 è primo p è primo (è vero il viceversa? Cosiglio di iteressarsi almeo dei cosiddetti umeri primi di Mersee e dei umeri perfetti). SOLUZIONI Raccomado di o vedere la soluzioe fio a o aver provato e riprovato a ragioare sull esercizio. 8
1. Suppoiamo che esista N massimo dei aturali. Allora + 1 N e + 1 >, duque o è il massimo dei aturali, assurdo.. Suppoiamo che x sia primo. Allora x è divisibile sia per 1, sia per x che per x. Poiché x è primo, allora deve essere x = 1 x = x, cioè x = 1 x = 0. Ma i etrambi i casi, é 1 = 1 é 0 = 0 soo primi, assurdo. 3. Suppoiamo che tutti i umeri siao m. Allora, detta M la media dei umeri: M = x 1+... +x m+... +m = m = m, assurdo. 4. Suppoiamo x dispari. Allora x è dispari, assurdo. 5. Suppoiamo la falsità della tesi, cioè (p + x primo x pari). Per quato abbiamo visto, questo è equivalete a p + x primo (x pari), cioè p + x primo x dispari. Poiché p primo p p dispari, allora p + x pari. Poiché p > p + x >, duque p + x o è primo, assurdo. 6. Suppoiamo la falsità della tesi, cioè ((h è u umero pari della successioe) h = k). Abbiamo visto che è equivalete a (h è u umero pari della successioe) h k. Allora h = m per u certo m N, quidi, se h = k + 1, abbiamo che m = k + 1, cioè u umero pari è uguale a uo dispari, assurdo. 7. Poiché dobbiamo dimostrare che esistoo uici tali q, r, allora articoliamo la dimostrazioe i due parti: ella prima e dimostriamo l esisteza, ella secoda l uicità. Esisteza: Cosideriamo l isieme S = {a b N} N. Poiché 0 S, allora S è o vuoto e duque ammette miimo, sia esso r. Facciamo vedere che r < b: ifatti, se fosse r b, allora r b 0 e duque r b S, cioè r o sarebbe il miimo di S, assurdo. Sia q tale che a qb = r; abbiamo trovato i q, r che volevamo. Uicità: Suppoiamo per assurdo che esistao due coppie diverse q, r e q, r che soddisfao le ipotesi. Suppoiamo ad esempio che q > q (da cui duque r < r ). Allora a = qb + r = q b + r, da cui (q q )b = r r. Sicuramete q q 1, perciò (q q )b b. D altra parte, r < b r r < b, quidi b < b, assurdo. 8. Suppoiamo per assurdo che = m, co m, N e ridotta ai miimi termii (cioè il massimo comu divisore fra m e è 1. Allora: = m m = Duque m è pari, quidi m è pari. Perciò m = k per u certo k N. Allora: (k) = k =, da cui è pari, assurdo, poiché allora M. C. D(m, ). 9. Se per assurdo p o è primo, allora p = ab per certi a, b N, a, b > 1. Allora p 1 = ab 1 = ( a 1)( a(b 1) + a(b ) +... + a + 1), cioè p 1 è divisibile per a 1, che è > 1 perché a > 1, assurdo. 9
. Dimostrazioe per iduzioe Questa tecica è usata spessissimo i matematica, specialmete elle dimostrazioi che riguardao i umeri aturali. Euciamo iazitutto il pricipio di iduzioe: PRINCIPIO DI INDUZIONE: Suppoiamo che P(x) sia ua proprietà dipedete da x. Suppoiamo che: P(a) vale; a, P() P( + 1). Allora P() vale a. Ituitivamete, il pricipio di iduzioe può essere paragoato al domio: cioè se facciamo cadere la prima pedia, e ogi pedia fa cadere la successiva, allora cadrao tutte le pedie. Nella maggior parte dei casi, abbiamo a = 0 o a = 1. Quidi, per dimostrare che P(x) è vera x N, dobbiamo dimostrare che P(0) (o P(1)) vale (passo base) e che, se P() vale, vale ache P( + 1) N (passo iduttivo). Facciamo u semplice esempio: ENUNCIATO.5: i = (+1) Mostriamo il passo base, cioè = 1. 1 Dobbiamo dimostrare che i 1. = 1 Suppoiamo ora vera P(), cioè che da cui la tesi. +1. Questo è baale, poiché etrambi i membri soo = 1. i = i + + 1 = i = (+1) ( + 1) 10 +1 ; mostriamo che i ( + )( + 1) + + 1 = = (+1)(+). Notiamo che il pricipio di iduzioe, come qualsiasi altro euciato, avrebbe bisogo di ua dimostrazioe. Usualmete, però, i matematica esso viee posto come assioma, cioè viee cosiderato ituitivamete valido a tal puto di porlo vero seza dimostrazioe. Per chi fosse iteressato, il pricipio di iduzioe è logicamete equivalete (cioè da uo si dimostra l altro e viceversa) al pricipio del miimo, che afferma: PRINCIPIO DEL MINIMO: Ogi sottoisieme o vuoto di N ammette u miimo. Visto che ituitivamete l iduzioe appare come u metodo molto forte, metre quest ultimo sembra ifiitamete più debole, ivito i più coraggiosi a dimostrare le due implicazioi. Premetto che è difficile, ma è sempre utile (e iteressate) provare qualcosa di ambizioso! (Suggerimeto: potrebbe essere utile la dimostrazioe per assurdo) Per i più coraggiosi, propoiamo ua dimostrazioe:
Dimostriamo che il pricipio del miimo implica il pricipio di iduzioe. Vogliamo dimostrare che, assumedo vero il pricipio del miimo, le proprietà P(0) vera e > 0, P() P( + 1) implicao che P() è vera N. Cosideriamo S = {k N P(k) falsa} e suppoiamo per assurdo che sia S. Allora S cotiee l elemeto miimo m > 0, cioè P(m) è falsa. Ma m è il miimo di S, quidi m 1 S, cioè P(m 1) è vera. Ma per ipotesi P(m 1) P(m), quidi P(m) è vera, assurdo. Dimostriamo che il pricipio di iduzioe implica il pricipio del miimo. Per assurdo, sia T u sottoisieme dei aturali che o ha u miimo. Cosideriamo N T. Mostriamo per iduzioe forte (poiché è equivalete all iduzioe) che N T = N. Passo base): 0 N T, poiché se o ci stesse, allora 0 T e duque T avrebbe u elemeto miimo (poiché 0 è il più piccolo dei aturali); Passo iduttivo): Se 0,1,,, N T, allora + 1 N T, poiché altrimeti + 1 T e 0,, T, assurdo perché + 1 sarebbe il miimo di T. Duque N T = N, cioè T =, tesi. Osserviamo ioltre che il passo base è ecessario quato il passo iduttivo; è quidi u errore molto grave (oostate spesso il passo base sia ua baale verifica) o soffermarsi sulla sua effettiva validità. A questo proposito, mostriamo il seguete cotroesempio: CONTROESEMPIO.6: Tutti i gruppi di gatti cotegoo solo gatti blu. Dimostrazioe: Dimostriamo solo il passo iduttivo. Dobbiamo mostrare che è vera la proprietà (ogi gruppo di gatti cotiee solo gatti blu) (ogi gruppo di + 1 gatti cotiee solo gatti blu). Poiché 1 la premessa è falsa (i quato o esistoo gatti blu), allora la proprietà è sempre vera. Da questo segue la tesi. È evidete che la macaza del passo base rede veri euciati palesemete falsi. Ecco perché è così grave l omissioe del passo base. Esiste u altra formulazioe del pricipio di iduzioe, chiamata iduzioe forte, equivalete alla prima: PRINCIPIO DI INDUZIONE II: Sia P(x) ua proprietà dipedete da x. Suppoiamo che: P(0) vera; l, ( k < l, P(k) vera) P(l) vera Allora P() è vera N. Questa secoda formulazioe prede il ome di iduzioe forte perché cotiee u ipotesi più forte di quella dell altra formulazioe. Ifatti, l iduzioe I chiede che se è vera P(), è vera ache P( + 1), metre l iduzioe II chiede che se soo vere tutte le P(k), co k < + 1, allora è vera ache P( + 1). 11
Questa formulazioe può essere molto utile i certe dimostrazioi; facciamo u esempio. ENUNCIATO.7: Sia {x } ua successioe defiita da: x 0 = 0, x 1 = 1, x + = x +1+x Dimostrare che 0 x k 1 k N. N. Se volessimo dimostrare questo euciato co l iduzioe I, dovremmo dimostrare che se 0 x 1, allora 0 x +1 1, cioè 0 x 1+x 1. Ma o avedo alcua ipotesi su x 1, la dimostrazioe o è completabile. Procediamo ivece co l iduzioe II: Dimostrazioe: Poiché x 0 = 0 e 0 0 1, il passo base segue immediatamete. Per ipotesi iduttiva ho che 0 x 1 e 0 x +1 1, quidi, suppoedo x +1 x (il viceversa è aalogo): da cui la tesi. 0 x x +1 + x 1 x +1 1, Facciamo ora u altro esempio, u po più complesso, di iduzioe II: ENUNCIATO.8: Ogi umero è scompoibile el prodotto di primi. Dimostrazioe: Procediamo co l iduzioe II: il passo base è ovvio poiché è primo e duque è già scomposto el prodotto di primi. Sia ora N, > ; allora ci soo due possibilità: è primo o o è primo. Se è primo, ho subito la tesi. Se o è primo, allora si può scrivere come = a b, co a < b <. Allora, per ipotesi iduttiva, sia a che b soo scompoibili el prodotto di primi. Segue che quidi è scompoibile el prodotto di primi, da cui la tesi. Elechiamo ora delle importatissime relazioi, semplicemete dimostrabili per iduzioe, che chiuque co ua coosceza di base di matematica deve sapere: 1. i. i 3 1 3. (i + 1) = (+1) (+1) 6 = ( (+1) ) i=0 = 4. q i = 1 q+1, per q 1, che porta alla ota serie q i = 1, per q < 1. 1 q ESERCIZI (* idica ua difficoltà più elevata) i j=1. 1. Calcolare (j + 1). Calcolare i e i (ricordiamo che a è la fuzioe pavimeto che vale l itero più grade miore di a e che a è la fuzioe soffitto che vale l itero più piccolo maggiore di a). 3. Mostrare che i 3 = ( i ). Esiste u altra dimostrazioe di questo fatto? 1 q
4. *Dimostrare che tutte le poteze di 3 hao la cifra delle decie pari. 5. (1 + x) 1 + x, per ogi N, x 1 (Disuguagliaza di Beroulli). 6. Dimostrare che 3 + 5 è divisibile per 6 per ogi 1. 7. *Siao date rette el piao. Si chiede di trovare ua formula che coti il umero massimo di zoe idividuate da queste rette e di dimostrare l esattezza. 8. **Trovare ua procedura algoritmica che, data la formula compatta per i a per tutti gli a k, trova la formula compatta per i k+1. 9. **Siao dati blocchi rettagolari ifilati detro u asta rigida, messi secodo u ordie decrescete di gradezza come i figura (el caso = 6). Ad ogi mossa si può spostare u uico blocco da ua ad u altra qualsiasi asta, purché il blocco poggi o i terra o sopra u blocco più grade. Il gioco fiisce quado la torre è ricomposta i questo ordie sulla terza asta. Si chiede di trovare ua formula che coti il umero miimo di passi ecessari per completare il gioco e di dimostrare l esattezza. 10. **Sia data ua scacchiera, co N. Si aerisce ua casella qualuque. Si dimostri che si possoo ricoprire esattamete le altre 1 caselle co pezzi a L di 3 caselle oguo, seza che questi siao sovrapposti o escao dalla scacchiera. 11. *Sia dato il umero q Q tale che i scrittura decimale sia q = a 1 a α, b 1 b β c 1 c γ, co 0 a i, b j, c k 9 i, j, k (dove gli a i rappresetao la parte itera, i b j l atiperiodo e i c k il periodo. Dimostrare che q = a 1 a α b 1 b β c 1 c γ a 1 a α b 1 b β, cioè "tutto il umero meo tutto il 99 99 00 00 γ volte β volte umero seza il periodo fratto tati 9 quate le cifre del periodo e tati 0 quate le cifre dell atiperiodo. 1. *Calcolare i. 13. *Sia A 1 = {1}, A = {4,9}, A 3 = {16,5,36}, i geerale sia A l isieme che cotiee gli quadrati immediatamete successivi a quelli di A 1. Sia S la somma degli elemeti di A. Trovare ua formula chiusa per S. 14. *Cosideriamo ua scacchiera ifiita i cui i ogi casella c è u umero reale co la seguete proprietà: il umero di ogi casella è uguale alla media dei umeri delle 4 caselle adiaceti. Dimostrare che tutti i umeri della scacchiera soo uguali. 13
3 IL PRINCIPIO DEI CASSETTI Cocludiamo questa breve presetazioe co u pricipio che deve la sua gradiosità alla sua ifiita semplicità. Il pricipio dei cassetti (oto ache come il pricipio delle gabbie e dei piccioi) riveste u ruolo fodametale ello studio della teoria degli isiemi, quella disciplia che studia le relazioi fra isiemi ifiiti. Il ostro scopo qui è molto più limitato, i quato studieremo le proprietà degli isiemi fiiti, molto più vicii alla ostra immagiazioe e alle ostre capacità di astrazioe. PRINCIPIO DEI CASSETTI: Mettiamo + 1 piccioi i gabbie. Allora i almeo ua gabbia ci soo almeo piccioi. La veridicità di questo pricipio è assolutamete evidete: dopo aver messo u piccioe per gabbia, tutte le gabbie cotegoo u piccioe e e rimae uo da porre; dovuque lo mettiamo, i quella gabbia ci sarao piccioi. No è difficile ituire che co qualuque altra disposizioe la situazioe è aaloga. Mostriamo u evidete corollario del pricipio dei cassetti: COROLLARIO 1: Mettiamo + k piccioi, k 1, i gabbie. Allora i almeo ua gabbia ci soo almeo piccioi. Per quato (a prima vista) baale, questo euciato permette di risolvere problemi di elevatissima difficoltà, altrimeti isolubili. Ua formulazioe equivalete del corollario 1 è: COROLLARIO : Siao A, B isiemi, co A < B ( A idica il umero di elemeti di A). Allora o esistoo fuzioi iiettive da B ad A. Itroduciamo ifie u ultimo corollario, più raro ell utilizzo, ma altrettato importate: COROLLARIO 3: Mettiamo k + 1 piccioi, k 1, i gabbie. Allora i almeo ua gabbia ci soo almeo k + 1 piccioi. Mostriamo ora u esempio di applicazioe del pricipio dei cassetti: ENUNCIATO 3.1: Sia a = p Q. Allora a ha ua struttura decimale limitata oppure periodica. q Dimostrazioe: Se a ha ua struttura decimale limitata, allora ho la tesi. Se ivece ha ifiite cifre dopo la virgola, cosideriamo la divisioe di p per q. Sappiamo che esistoo z, r 1 N p = zq + r 1 ; z è la parte itera di a. Ora, se z, r N 10r 1 = z q + r, otiamo che z è la prima cifra decimale di a. I geerale, siao z k, r k N 10r k 1 = z k q + r k ; allora z k è la k-esima cifra decimale di a. Poiché 1 r i q 1 i, i quato soo resti e soo 0 perché a ha ifiite cifre decimali, allora dobbiamo assegare ad ogi r i u valore compreso fra 1 e q 1. 14
I altre parole, dobbiamo porre ifiiti resti i u umero fiito di gabbie (per la precisioe q 1), duque per il pricipio dei cassetti esisterao due resti, diciamo r j = r h, uguali (j < h). Poiché r j = r h e q = q, allora avremo z j = z h e r j+1 = r h+1. Ma poiché r j+1 = r h+1 e q = q, allora avremo z j+1 = z h+1 e r j+ = r h+. Tramite ua immediata iduzioe, troviamo che le cifre decimali fra la j-esima e la (h 1)- esima soo uguali a quelle fra la h-esima e la (h j 1)-esima. Quidi z h = z h j, quidi z j = z h = z h j, duque procededo come prima dimostriamo che le cifre dalla h-esima alla j-esima si ripetoo uguali all ifiito, cioè che la struttura decimale di a è periodica. Co questo esempio possiamo ituire la poteza del pricipio dei cassetti: ifatti il fatto appea dimostrato è difficilmete dimostrabile co altre vie. Le applicazioi del pricipio dei cassetti soo ifiite; potrebbe essere ecessaria ua sua furba applicazioe ella più disparata e impesabile situazioe; basti pesare che l esercizio 1 proposto qui sotto era presete ella scorsa olimpiade azioale a Ceseatico ed è stato risolto correttamete da ua dozzia di ragazzi i tutta Italia! ESERCIZI 1) **Dimostrare che esiste u umero N che si scrive come somma di almeo due diverse 015- uple 0 < x 1 <... < x 015 di poteze 014-esime di iteri positivi (e geeralizzare il risultato per t + 1-uple di poteze t-esime). ) *Dimostrare che dati i primi umeri aturali, comuque e scelga + 1, ce e sarao almeo due tali che uo divide l altro. 3) Dimostrare che dati tre umeri aturali, ce e soo due la cui somma è pari. 4) *Dimostrare che ogi permutazioe dei primi + 1 iteri positivi cotiee ua sottosequeza crescete o decrescete di lughezza. 5) **Cosideriamo u percorso automobilistico circolare per percorrere il quale occorroo esattamete 100 litri di bezia. Lugo il percorso soo state disposte, i modo casuale, alcue taiche di bezia che i totale cotegoo 100 litri, ma che idividualmete cotegoo u umero casuale di litri. Dimostrare che esiste u puto del percorso a partire dal quale, a serbatoio iizialmete vuoto, si riesce a completare il giro (Suggerimeto: combia iduzioe e pricipio dei cassetti). 6) Ci soo 15 persoe ad u festa e alcue di esse si scambiao u stretta di mao. Dimostrare che almeo due persoe hao stretto lo stesso umero di mai. 7) Ci soo persoe ad u festa e alcue di esse si scambiao u stretta di mao. Dimostrare che almeo due persoe hao stretto lo stesso umero di mai. 8) *Ad uo stage partecipao 9 ragazzi, ciascuo dei quali parla al più 3 ligue. Sapedo che ogi coppia di ragazzi riesce a comuicare (duque i suoi due compoeti hao ua ligua i comue), si dimostri che almeo ua ligua è parlata da almeo 5 ragazzi. 15