LA CUPOLA DEL TEATRO MASSIMO: IL CONTEMPORANEO NEL 1876

Meccanica dei Materiali e delle Strutture Vol. 2 (2012), no.2, pp. 77-93 ISSN: 2035-679X Dipartimento di Ingegneria Civile, Ambientale, Aerospaziale, dei Materiali - DICAM LA CUPOLA DEL TEATRO MASSIMO: IL CONTEMPORANEO NEL 1876 Mario Di Paola *, Francesco Lo Iacono, Giacomo Navarra e Antonina Pirrotta * * Dipartimento di Ingegneria Civile, Ambientale ed Aerospaziale (DICA) Università degli Studi di Palermo Viale delle Scienze, 90128 Palermo, Italy e-mail: mario.dipaola@.unipa.it e-mail: antonina.pirrotta@.unipa.it Facoltà di Ingegneria ed Architettura Università degli Studi di Enna Kore Cittadella Universitaria, 94100 Enna Bassa, Enna, Italy e-mail: loiaconf@uiuc.edu giacomo.navarra@unikore.it (Ricevuto 20 Marzo 2012, Accettato 02 Aprile 2012) Key words: Structural analysis, Finite elements methods. Parole chiave: Analisi strutturale, Metodo agli elementi finiti. Abstract. This paper shows how modern computational techniques can be used to determine the response of complex structures. These analytical tools, developed and disseminated through the use of personal computers, are now indispensable for understanding the real behavior of the systems analyzed. In the specific case study, the analysis of the static behavior of the steel frames dome of the Teatro Massimo Vittorio Emanuele in Palermo is presented. Sommario. Nel presente lavoro viene mostrato come le moderne tecniche di calcolo possano essere utilizzate per determinare la risposta di strutture complesse. Tali strumenti analitici, sviluppati e diffusi grazie all utilizzo dei calcolatori elettronici, sono oggi indispensabili per cogliere il reale comportamento dei sistemi analizzati. Nello specifico viene presentato il caso studio riguardante l analisi del comportamento statico della struttura metallica della cupola del Teatro Massimo Vittorio Emanuele di Palermo. 1 INTRODUZIONE Il Teatro Massimo Vittorio Emanuele di Palermo all atto della sua inaugurazione nel 1897 era uno dei tre maggiori teatri d Europa, insieme a quelli di Parigi e Vienna. Esso si estende su un area di circa 7.730 metri quadrati mentre le dimensioni massime in pianta sono pari a 89 metri per la larghezza e a 129 metri per la lunghezza. L edificio, rappresentato nella Figura 1, essenzialmente monumentale nella scalinata sontuosa, è stato concepito come ornamento e decoro di una grande città europea. Per una esauriente trattazione delle vicende legate alla progettazione ed alla costruzione del Teatro si rimanda alla monografia dello stesso Architetto Basile [1], mentre i lavori riportati in [2] e [3] approfondiscono gli aspetti costruttivi con particolare riferimento all uso Meccanica dei Materiali e delle Strutture 2 (2012), 2, PP. 77-93 77

dell acciaio come materiale strutturale. Il fine principale del presente lavoro è quello di confrontare il calcolo originario della cupola del Teatro Massimo V. E. di Palermo, condotto dall architetto G. B. F. Basile, con due diverse tipologie di modelli realizzati grazie all ausilio di un moderno codice di calcolo agli elementi finiti. Da tale confronto sarà possibile evidenziare la validità dei calcoli effettuati dall Architetto, nonostante gli esigui mezzi matematici dell epoca, ma soprattutto di apprezzare il genio compositivo e il forte senso strutturale del progettista stesso. Il lavoro nasce in seguito ad una campagna di indagini condotte nel 2008 dal C.I.DI.S. (Centro Interuniversitario di DInamica strutturale teorica e Sperimentale) al quale è stato affidato, da parte del Comune di Palermo, l incarico di verificare il permanere delle condizioni di stabilità delle strutture del Teatro Massimo Vittorio Emanuele di Palermo e di non pericolo per l incolumità pubblica. Il responsabile scientifico della convenzione è stato il Prof. Ing. Mario Di Paola, mentre il gruppo di ricerca completo è riportato in [4]. Le attività che si sono svolte durante quella campagna di indagini sono classificabili entro tre categorie: prove statiche per la misura delle deflessioni dei solai sotto i carichi di esercizio, prove vibrazionali volte alla determinazione del comportamento dinamico della cupola sommitale e prove volte al monitoraggio dello stato della corrosione delle strutture metalliche più esposte. Figura 1. Vista fotografica del Teatro Massimo Vittorio Emanuele di Palermo sormontato dalla cupola. Nella sezione 2 del presente lavoro viene descritta nel dettaglio la struttura della cupola e la sua progettazione. Le sezioni 3 e 4 sono dedicate allo studio della struttura mediante strumenti di analisi agli elementi finiti per l implementazione dei quali si è fatto ricorso al codice di calcolo SAP2000 v10. In particolare, nella sezione 3, si è studiato un modello piano simile a quello utilizzato dal Basile, ricavando le sollecitazioni che sono state messe a confronto con quelle trovate dall Architetto. Nella sezione 4 sono invece riportati i risultati ottenuti mediante l utilizzo di un modello Meccanica dei Materiali e delle Strutture 21 (2012), 2, PP. 77-93 78

tridimensionale sviluppato con lo scopo di raggiungere un accuratezza maggiore che tenga conto dell effettivo comportamento spaziale della struttura reale. 2 LA STRUTTURA DELLA CUPOLA Il soffitto della sala, in lamiera dello spessore di 1,5 mm, su ossatura di ferri a T e a doppio T disposti radicalmente e ad anelli, poggia verso il perimetro sulle colonne in ghisa che rispondono ai tramezzi dei palchi, mentre nella parte centrale è sospeso per via di tiranti alle travi armate e composte che formano sostegno principale del solarone della scenografia. Questo solarone ha anch esso struttura incombustibile con ferri a doppio T e voltine in mattoni (G. B. F. Basile 1876). La cupola sommitale del Teatro Massimo è posta in corrispondenza verticale con la sala degli spettacoli. Dal punto di vista geometrico è costituita da una superficie di rivoluzione avente come generatrice una parabola cubica con vertice di altezza 8,22 metri e diametro del cerchio di base pari 28,73 metri. La struttura portante in acciaio, così come mostrato nella sezione della cupola con un piano verticale passante per un diametro di base e rappresentata in Figura 2, è composta da 16 archi radiali a sezione variabile a doppio T, da cinque anelli poligonali, e da 128 diagonali di controvento. Arconi radiali Anelli poligonali Diagonali di controvento Figura 2. Sezione della cupola. Ogni arco è costituito da quattro tratti aventi sezione variabile a doppio T come mostrato in Figura 3. Le sezioni trasversali dell arco sono costituite da flange di larghezza pari a 152 mm e piatti d anima di altezza variabile da un valore di 193 mm per il tratto di sommità ai 243 mm e 295 mm per i tratti intermedi, fino a 390 mm per il tratto di base. Ciascun tratto è collegato a quello seguente mediante lastre spesse 12 mm e chiodi di diametro 15 mm. Meccanica dei Materiali e delle Strutture 21 (2012), 2, PP. 77-93 79

Figura 3. Sezione trasversale dell arco. Gli anelli intermedi sono costituiti da profilati ad angolo di dimensione 80x80x14mm. L anello superiore è composto da una lamiera piatta di dimensione 181x13mm e da un angolare di 75x75x13mm. L anello inferiore è composto da un profilato piatto da 250x20mm. Ciascun anello è collegato agli archi attraverso delle piastre a tre ali con bulloni di 33mm che connettono anche le diagonali al sistema. Le diagonali di controvento sono costituite da barre a sezione circolare piena aventi diametro pari a 40mm ed estremità filettate che permettono la connessione tra i vari controventi, mediante un anello di diametro di 312mm, e la loro tesatura utilizzando dei dadi esagonali. (Figura 4). Figura 4. Particolare controventatura. La trasmissione degli sforzi dalla copertura alla struttura portante del teatro avviene per il tramite di opportuni appoggi originariamente progettati dal Basile come appoggi scorrevoli. Gli archi sono collegati agli appoggi attraverso due ferri angolari e una lastra di acciaio. Ciascun appoggio è costituito da cinque rulli in acciaio, aventi diametro di 90mm e posti a distanza di 26mm l uno dall altro, collegati tramite i loro assi ad un telaio di acciaio il tutto contenuto all interno di un cassone in ghisa a fondo piallato (Figura 5). Meccanica dei Materiali e delle Strutture 21 (2012), 2, PP. 77-93 80

a) b) Figura 5. Sezione trasversale (a) e longitudinale (b) dell appoggio. In questo modo, pur aumentando la deformabilità della struttura, si consentiva uno spostamento orizzontale per effetto delle variazioni termiche garantendo la condizione di isostaticità. Oggi però, i rulli sono bloccati, a causa dei fenomeni di ossidazione e non assolvono più alla funzione per cui furono progettati (Figura 6). Figura 6. Un immagine degli appoggi nello stato in cui si presentavano al tempo delle prove effettuate. La copertura della cupola è realizzata con una lamiera di rame a squame spessa 2mm chiodata su di un tavolato il cui peso viene rinviato agli arconi in acciaio mediante appositi arcarecci in legno di pioppo, con sezione quadrata piena di 250x250mm. Questi ultimi sono fissati agli archi mediante ferri angolari 78x78x13mm bullonati con viti da 18mm di diametro. Sull estradosso della cupola si trova un fiorone di coronamento in bronzo con struttura portante in ferro, alto 7metri e del peso di 9600kg. Il Basile stesso si occupò del dimensionamento degli elementi strutturali della cupola attraverso schemi [5] e procedure semplificati, ma di elevato acume strutturale in relazione alle conoscenze dell epoca. In Figura 7 viene riportata una illustrazione originale del Basile in cui vengono evidenziati la forma della parabola cubica, i particolari della copertura, la disposizione planimetrica dei controventi ed un particolare del fiorone di coronamento. Meccanica dei Materiali e delle Strutture 21 (2012), 2, PP. 77-93 81

Figura 7. Particolare dell arco, del fiorone e della proiezione orizzontale. Nelle seguenti sezioni viene riportata l analisi statica ad elementi finiti della copertura considerando sia un modello piano, paragonabile a quello utilizzato dal Basile, sia un modello tridimensionale. 3 ANALISI AGLI ELEMENTI FINITI MODELLO PIANO 3.1 Calcolo del carico sull arco Per valutare gli sforzi sul generico arco, è stato utilizzato uno schema strutturale modellato utilizzando il codice di calcolo SAP 2000NL v10. Posto un sistema di riferimento di assi x, z, lo schema strutturale è quello di un arco discretizzato in quattro aste e cinque nodi. Il nodo di sommità (nodo 1) è vincolato a muoversi nel piano nella sola direzione verticale lungo l asse z (vincolo di tipo bipendolo) mentre il nodo di base (nodo 5) è stato modellato come un appoggio fisso che permette le rotazioni della sezione iniziale dell asta ad esso connesso (Figura 8). Figura 8. Schema strutturale dell arco. Meccanica dei Materiali e delle Strutture 21 (2012), 2, PP. 77-93 82

I carichi previsti sono stati modellati come carico uniformemente distribuito pari al peso della copertura calcolata per metro quadrato di proiezione, così come indicato dal Basile. Al fine di pervenire ad un modello più aderente all effettiva distribuzione dei carichi, si utilizza un carico distribuito in modo trapezoidale. Va sottolineato che il calcolo originario di Basile è in difetto soprattutto per l ultimo tratto che ha un elevata inclinazione, per il quale la sua proiezione risulta essere circa la metà della reale lunghezza. Per ciascun arco è stata calcolata l area d influenza pari alla sedicesima parte dell area delle corone circolari formate dagli anelli come mostrato in Figura 9. I carichi applicati sull arco così determinati e desunti dal calcolo originario del Basile valgono 164kg/m 2 per la componente permanente e 78kg/m 2 per l aliquota accidentale. Il peso complessivo del fiorone è di 9600kg. La sedicesima parte di tale carico agisce come forza verticale sul punto 1 dello schema strutturale (Figura 11). L analisi statica è stata effettuata sia considerando i carichi distribuiti che concentrati. I risultati ottenuti sono stati ampiamente discussi in [10]. In questo articolo vengono riportati i risultati relativi all analisi condotta considerando lo schema con carichi concentrati riportato in Figura 10. Figura 9. Area di influenza dei carichi per ciascun arco. a) b) Figura 10. Schema dei carchi concentrati dovuti al peso della copertura (a) e al sovraccarico (b). Meccanica dei Materiali e delle Strutture 21 (2012), 2, PP. 77-93 83

Figura 11. Schema dell arco caricato con la forza verticale dovuta al peso del fiorone. 3.2 Determinazioni degli sforzi sull arco Utilizzando il codice di calcolo agli elementi finiti (FEM) SAP 2000NL v10. con lo schema strutturale sopra descritto e trascurando inizialmente il peso proprio della struttura stessa, sono state determinate le caratteristiche delle sollecitazioni sull arco in termini di sforzo normale, momento flettente e taglio. Di seguito viene riportata la Tabella 1 nella quale vengono confrontate le sollecitazioni massime di sforzo assiale calcolate del Basile con quelle assiali, di taglio e momento, ottenute con il codice di calcolo del SAP2000. Calcolo Basile Calcolo SAP 2000 Asta Nmax Nmax Vmax Mmax [kg mm] 1-11321 -9950 930-3233289 2-10619 -10855 2298-2618189 3-11247 -13962 2817 2646447 4-12968 -18203 1798 2192664 Tabella 1: Confronto tra le sollecitazioni calcolate dal Basile e quelle ottenute con SAP2000. Confrontando lo sforzo assiale (Nmax) si nota che i risultati ottenuti con il modello agli elementi finiti differiscono di poco rispetto al calcolo originario del Basile per le prime due aste mentre per le ultime due la differenza aumenta. Sostanzialmente questa differenza è dovuta al fatto che Basile studia le aste singolarmente, al contrario del modello aglii elementi finiti mediante il quale il calcolo viene effettuato considerando l arco nella sua interezza seppure discretizzato in un numero discreto di elementi. 3.3 Determinazione delle caratteristiche geometriche ed inerziali della sezione Per ogni sezione proposta dal Basile, costituite da due angolari di 70x70x12mm, unite ad una lamiera di 12mm con altezza di h=158mm per la sezione dell asta 1, h=202mm per la sezione dell asta 2, h=242mm per la sezione dell asta 3, h=320mm per la sezione dell asta 4, sono state calcolate le caratteristiche geometriche ed inerziali riportate nella Tabella 2. In particolare sono state calcolate le aree, le distanze dei rispettivi baricentri dal lembo inferiore e i, i momenti statici rispetto all asse passante per il lembo inferiore S ed i momenti d inerzia rispetto all asse baricentrico I. Meccanica dei Materiali e delle Strutture 21 (2012), 2, PP. 77-93 84

Asta Area [mm 2 ] e i [mm] I [mm 4 ] S [mm 3 ] y lembo sup. [mm] y lembo inf. [mm] 1 4248 40.665 8108338.992 180066 117.335 40.665 2 4776 54.411 15992125.003 269660 147.589 54.411 3 5256 68.346 26701142.171 371528 173.654 68.346 4 6192 98.224 59169716.717 625882 221.776 98.224 Tabella 2: Caratteristiche geometriche ed inerziali delle sezioni. 3.4 Verifica delle sezioni Da una valutazione dei diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione si evince che occorre verificare le sezioni d estremità dell arcata ma anche quella di mezzeria poiché, essendo travi snelle la flessione è la caratteristica della sollecitazione più gravosa. A tal proposito, si riporta la Tabella 3 con i valori delle sollecitazioni nelle sezioni considerate. Asta Sezione N 1 2 3 4 V M [kg mm] 0-9827.23 537.63-3233288.37 L/2-9888.95 145.52-2385069.72 L -9950.67-246.59-2618189.05 0-9684.88 2297.75-2618189.05 L/2-10270.05 965.42 29646.29 L -10855.22-366.90-39319.37 0-10489.89 2816.51-39319.37 L/2-12225.91 796.53 2646445.32 L -13961.92-1223.45 1163883.02 0-15154.82 853.69 1163883.02 L/2-16409.97-494.86 2134114.10 L -18203.05-1438.84 0 Tabella 3: Valori delle sollecitazioni nelle sezioni lungo l arco. L architetto Basile verifica le sezioni solo a sforzo assiale prendendo come limite una 2 tensione ammissibile pari a σ amm = 6 Kg/mm, in questa analisi invece vengono valutate le tensioni ideali (Tabella 4) attraverso l equazione (1): σ σ 2 2 id = t33 + 3t32 amm dove t è la componente normale di tensione indotta sia dallo sforzo normale che dal 33 momento flettente, t 32 è la tensione tangenziale indotta dal taglio. (1) Meccanica dei Materiali e delle Strutture 21 (2012), 2, PP. 77-93 85

Asta 1 2 3 4 Sezione τ 33, TOT inf τ 33, TOT sup τ 32,ala τ 32,baric σ id, ala 0 7.693-55.311-0.028-0.143 7.69315 L/2 3.386-43.090-0.007-0.039 3.38667 L 4.502-46.517 0.013 0.066 4.50345 0 0.759-32.312-0.083-0.356 0.9779 L/2-8.742-8.368-0.035-0.150 8.74586 L -9.000-9.497 0.013 0.057 9.00054 0-8.969-9.325 0.034 0.193 8.97523 L/2-17.218 6.641-0.022-0.125 17.3464 L -15.051-4.502-0.079-0.444 15.0706 0-39.462 47.956-0.016-0.093 39.4623 L/2-17.218-5.676 0.009 0.054 17.2196 L -15.169-15.169 0.027 0.156 15.1714 Tabella 4: Valori delle tensioni ideali comparate con la tensione ammissibile. σ amm 12.00 Si noti che non tutti i valori delle tensioni ideali risultano inferiori al valore della tensione ammissibile σ amm presa in considerazione, ciò si verifica perchè la scelta di un modello di calcolo considerando uno schema strutturale piano non è idonea, in quanto non viene preso in considerazione il contributo degli altri elementi strutturali come gli arcarecci e i tiranti. Da qui l esigenza di un analisi statica attraverso un modello di calcolo tridimensionale che verrà descritta nel paragrafo successivo. 4 ANALISI AGLI ELEMENTI FINITI MODELLO 3D 4.1 Schema strutturale Posto il sistema di riferimento della terna levogira x, y, z, la struttura portante della cupola è stata discretizzata con elementi frame perché più adatti a rappresentare lo stato deformativo e tensionale del modello. Il modello discretizzato è composto da 736 elementi frame (aste) e da 336 elementi joint (nodi), in Figura 12 e Figura 13 sono riportate la vista assonometria, la proiezione orizzontale e la vista frontale dello schema di calcolo della cupola. Meccanica dei Materiali e delle Strutture 21 (2012), 2, PP. 77-93 86

Figura 12. Vista assonometrica dello schema strutturale 3D utilizzato per discretizzare la cupola. a) b) Figura 13. a) Proiezione orizzontale e b) vista frontale dello schema strutturale 3D utilizzato per discretizzare la cupola. Allo scopo di meglio approssimare il comportamento reale della cupola e considerato che i vincoli esterni (appoggi) risultano bloccati non permettendo spostamenti in direzione radiale, i vincoli introdotti nello schema di calcolo sono degli appoggi fissi, che alla base consentono rotazioni aventi asse in direzione tangenziale ma impediscono traslazioni in direzione radiale. Gli elementi analitici che modellano gli arcarecci, i controventi e gli elementi degli anelli poligonali, date le inerzie flessionali contenute degli elementi strutturali e le tipologie delle connessioni utilizzate, sono stati considerati come aste incernierate alle estremità. I vincoli interni sono quindi in grado di trasmettere sforzo normale e azioni taglianti ma non di trasferire momenti. Come per il modello piano, la distribuzione dei carichi esterni è stata modellata come un carico ripartito in modo trapezoidale sulla reale lunghezza dell arco. I carichi permanenti e variabili sono stati ripartiti in base alle proprie aree di influenza ed applicati ai nodi della struttura come forze concentrate i cui valori sono riportati in Figura 14, Figura 15 e Figura 16. Meccanica dei Materiali e delle Strutture 21 (2012), 2, PP. 77-93 87

Figura 14. Distribuzione dei carichi concentrati dovuti al peso della copertura. Figura 15. Distribuzione dei carichi concentrati dovuti al sovraccarico variabile. Figura 16. Distribuzione dei carichi concentrati dovuti al fiorone. Meccanica dei Materiali e delle Strutture 21 (2012), 2, PP. 77-93 88

4.2 Risultati dell analisi statica Data la simmetria radiale della struttura l attenzione verrà concentrata su alcuni elementi strutturali rappresentativi come uno degli archi e gli elementi ad esso afferenti, come meglio descritto dalla Figura 17. Figura 17. Elementi strutturali rappresentativi. Utilizzando il codice di calcolo SAP 2000NL v10. con lo schema strutturale sopra descritto e considerando inoltre il peso proprio della struttura stessa, si sono determinate le caratteristiche delle sollecitazioni in termini di sforzo normale, momento flettente e taglio. In Figura 18, Figura 19 e Figura 20 vengono riportati rispettivamente l andamento dello sforzo normale, dello sforzo di taglio e del momento flettente, i cui valori per ogni tratto, sono riportati in Tabella 5. Figura 18. Andamento dello sforzo normale, vista 3D. Meccanica dei Materiali e delle Strutture 21 (2012), 2, PP. 77-93 89

Figura 19. Andamento dello sforzo di taglio, vista 3D. Figura 20. Andamento del momento flettente, vista 3D. Meccanica dei Materiali e delle Strutture 21 (2012), 2, PP. 77-93 90

Asta Tratto Sezione N 1 2 3 4 I II III I II III IV I II III IV I II III V M [kg mm] 0-985.30-47.85-22.06 L/3-987.46-34.29 34.31 L/3-4884.63-113.67 34.31 2L/3-4886.78-100.11 181.01 2L/3-4509.29 421.65 178.91 L -4511.44 426.21-396.73 0-2185.49-687.36-474.94 L/4-2190.18-676.64 219.86 L/4-2947.40 170.13 219.86 L/2-2952.07 180.83 41.34 L/2-6872.39-292.95 41.50 3L/4-6872.06-282.28 332.76 3L/4-6834.76 1031.18 334.08 L -6839.47 1041.88-720.37 0-6160.54-1055.48-721.37 L/4-6169.16 11045.46 352.55 L/4-7507.14 300.91 352.55 L/2-7515.70 310.93 36.71 L/2-11280.86-371.22 36.71 3L/4-11289.48-361.20 414.79 3L/4-12345.50 1348.85 414.79 L -12345.12 1358.87-982.97 0-13038.06-1533.50-995.78 L/3-13050.13-1524.44 555.51 L/3-15989.37 421.93 555.51 2L/3-16001.42 430.99 122.83 2L/3-20734.89 46.00 122.83 L -20759.04 64.12 11.09 Tabella 5: Valori delle caratteristiche di sollecitazioni lungo le aste. 4.3 Verifica delle sezioni degli elementi strutturali Dall esame delle caratteristiche di sollecitazione ottenute dal calcolo agli elementi finiti è stato possibile determinare le sezioni maggiormente sollecitate per le quali si è proceduto con l analisi dello stato di tensione e la conseguente verifica del rispetto delle condizioni di sicurezza. In particolare, in questo caso specifico, per rispettare i limiti per la sicurezza sono state considerate tutte le sezioni che corrispondono ai punti estremi degli elementi in cui è stato suddiviso l arco principale. Di seguito è riportata la Tabella 6 composta dai valori delle sollecitazioni nelle sezioni in esame. Meccanica dei Materiali e delle Strutture 21 (2012), 2, PP. 77-93 91

Asta Sezione N 1 2 3 4 Meccanica dei Materiali e delle Strutture 21 (2012), 2, PP. 77-93 92 V M [kg mm] 0-985.30-47.85-22.06 L/3-4884.63-113.67 34.31 2L/3-4886.78 421.65 181.01 0-4511.44-687.36-474.94 L/4-2947.4-676.64 219.86 L/2-6872.39-292.95 41.50 3L/4-6872.06 1031.18 334.08 0-6839.47-1055.48-721.37 L/4-7507.14-1045.46 352.55 L/2 11280.86-371.22 36.71 3L/4-12345.50 1348.85 414.79 0-13038.06 1358.87-995.78 L/3-15989.37-1524.44 555.51 2L/3-20734.89 430.99 122.83 L -20759.04 64.12 11.09 Tabella 6: Valori delle sollecitazioni nelle sezioni in esame. Determinate le sezione maggiormente sollecitate, sono stati calcolati i valori delle tensioni ideali σ, secondo l equazione (1), in modo analogo al caso studiato nel paragrafo 3.4, id (Tabella 7). Asta Sezione 1 2 3 4 τ 33, TOT inf τ 33, TOT sup τ 32,ala τ 32,baric σ id, ala 0-0.744-1.174 0.215 1.112 0.832 L/3-4.064-4.732 0.006 0.030 4.064 2L/3-3.328-6.855 0.022 0.112 3.328 0-2.180-8.179 0.025 0.106 2.223 L/4-3.228-0.451 0.025 0.105 3.257 L/2-5.924-5.399 0.011 0.045 5.927 3L/4-6.919-2.699-0.037-0.160 6.949 0-4.067-10.605 0.030 0.166 4.067 L/4-7.393-4.198 0.029 0.165 7.393 L/2-8.847-8.515 0.010 0.058 8.849 3L/4-10.736-6.976-0.038-0.213 10.736 0-8.212-13.597-0.025-0.148 8.210 L/3-10.847-7.842 0.029 0.165 10.847 2L/3-10.483-9.819-0.008-0.047 10.483 L -11.318-11.258-0.001-0.002 11.318 Tabella 7: Valori delle tensioni ideali comparate con la tensione ammissibile. σ amm 12.00 Le sezioni risultano ampiamente verificate, questo risultato mette in evidenza la necessità

di un modello tridimensionale per realmente interpretare il comportamento strutturale della cupola. 5 CONCLUSIONI È stata presentata l analisi strutturale della cupola del Teatro Massimo V: E. di Palermo allo scopo di determinare lo stato di sollecitazione della struttura e di effettuare un confronto con i risultati del calcolo originario dell architetto G. B. F. Basile. Tale calcolo, nella seconda metà dell 800, mostra agli occhi di un osservatore moderno tutti i limiti tecnici e di calcolo dell epoca. Nondimeno esso, può, rappresentare un mirabile esempio di ingegneria. Il Basile, infatti, poteva solo verificare lo sforzo assiale con metodi semplificati, ma è stato in grado di cogliere gli aspetti statici fondamentali con risultati sorprendenti paragonabili a quelli ottenuti utilizzando un modello matematico sofisticato. È riuscito quindi a progettare e realizzare una struttura che ancora oggi è fonte di ispirazione e ammirazione, da essere considerata il contemporaneo nel 1876. BIBLIOGARFIA [1] G.B.F. Basile, Sulla costruzione del teatro Massimo Vittorio Emanuele in Palermo, Palermo 1883. [2] G. Fatta, Il ferro nelle tecniche costruttive del Teatro Massimo V.E. di Palermo, Bollettino dell Ordine degli Ingegneri della Provincia di Palermo, (1993) n 1 [3] N. Scibilia, Le Strutture in Acciaio del Teatro Massimo di Palermo, (1991) XIII Congresso C.T.A Abano Terme (PD). [4] M. Di Paola, G.Campione, A. Pirrotta, G. Navarra, F. Lo Iacono, G. Barone, F.Marino. Convenzione stipulata tra il C.I.Di.S. (Centro Interuniversitario di DInamica strutturale teorica e Sperimentale) ed il Comune di Palermo: Verifica del permanere delle condizioni di stabilità delle strutture del Teatro Massimo di Palermo e di non pericolo per l incolumità pubblica Allegato B, Palermo 30 aprile 2008. [5] G.B.F. Basile, Calcolo di stabilità della cupola del teatro Massimo di Palermo, Tipografia Lao, Palermo 1876; [6] G. Muscolino, Dinamica delle Strutture, McGraw-Hill Italia, Milano, 2002. [7] R. W. Clough e J. Penzien, Dynamic of Structures, Computer and Structures Inc, Berkerly, California, USA, 2003. [8] J. S. Bendat e A. G. Piersol, Random Data: Analysis and measurement procedures, John Wiley & Sons, New York, USA, 1971. [9] N.M.M. Maia e J.M.M. Silva Theoretical and Experimental Modal Analysys, Research Studies Press LTD, UK, 1997. [10] F. Messina Analisi strutturale della cupola del Teatro Massimo V.E., Tesi di Laurea, 2008. Meccanica dei Materiali e delle Strutture 21 (2012), 2, PP. 77-93 93