Le funzioni seno e coseno. Ogni numero reale è la misura in radianti di un angolo goniometrico; pertanto possiamo definire il seno e il coseno di un numero reale ricorrendo al seno e coseno dell angolo di cui il numero è la misura in radianti Per ogni numero reale x: sen x è il seno dell angolo la cui misura in radianti è x cos x è il coseno dell angolo la cui misura in radianti è x. Possiamo allora considerare le funzioni sen x e cos x che sono definite in R e le cui proprietà sono qui di seguito illustrate f: x R sen x [, ] g: x R cos x [, ].Il dominio della funzione sen x è R.. Il dominio della funzione cos x è R.. Il codominio è l intervallo [, ].. Il codominio è l intervallo [, ]. 3. sen x = sen(x + k) x R, k Z sen x è periodica di periodo. 3. cos x = cos(x + k) x R, k Z cos x è periodica di periodo. 4. sen( x) = senx, x R sen x è una funzione dispari 4. cos ( x) = cos x, x R cos x è una funzione pari. 5. sen x è strettamente crescente negli intervalli [ ( /) + k, ( /)+ k], k Z; è strettamente decrescente negli intervalli [ ( /) + k, (3 /) + k], k Z 5. cos x è strettamente crescente negli intervalli [ + k, k]= [(k-), k], k Z; è strettamente decrescente negli intervalli [k, + k], k Z. 6. sen x= per x = k, k Z o per x = + k = (k + ), quindi, in definitiva, per x = h, h Z k Z 6. cos x= per x = + k, k Z o per x = - + k = + (k - ), k Z quindi, in definitiva, per x = + h = (h + ), h Z
Grafico del seno e cosen Per la proprietà 3. è sufficiente conoscere il grafico di sen x e cos x in un intervallo di ampiezza per dedurre da questo il grafico in tutto R Grafico di sen x in [, ] Grafico di cos Grafico x in [, di] sin x Grafico di sen x in [-, ] in [-, ] Grafico del seno e coseno Grafico di sen x in [-, 4] - Capitolo 7: Funzioni Grafico elementari - pagina 6 di cos x in [-, ] - Capitolo 7: Funzioni elementari La circonferenza - pagina goniometrica 6 La circonferenza goniometrica 4 La c Seno Grafi La Se G Infine 4 Grafico del seno e coseno 4 - Capitolo 7: Funzioni elementari - pagina 6 - p. 4/4 - Capitolo 7: Funzioni elementari - pagina 6 - p. 4/4 4 - Capitolo 7: Funzioni elementari - pagina 6 4 La circonferenza goniometrica 4 - Capitolo 7: Funzioni elementari - pagina 6 - p. 4/4
Confronto tra il valore numerico x, rappresentazione grafica sulla circonferenza trigonometrica dell arco (in rosa) di lunghezza x e quella sul piano cartesiano della funzione seno Confronto tra il valore numerico x, rappresentazione grafica sulla circonferenza trigonometrica dell arco (in rosa) di lunghezza x e quella sul piano cartesiano della funzione coseno
Le funzioni tangente e cotangente Per ogni numero reale x + h = (h +), sen x h Z si pone tag x = tg x = cos x Per ogni numero reale x h, h Z si pone cotg x = cos x senx t: x T tg x R h x C cotg x [, ].Il dominio della funzione tg x è. T= k Z] (k-) ( /), (k+) ( /) [ = k Z] ( /) + (k-), ( /)+ (k-)[. Il dominio della funzione cotg x è C= k Z] + (k-), + (k-)[. Il codominio è R.. Il codominio è R. 3. tg x = tg(x + k) x T, k Z tgx è periodica di periodo. 3. cotg x = cotg(x + k) x C, k Z cotg x è periodica di periodo. 4. tg( x) = tgx, x T tg x è una funzione dispari 5. tg x è strettamente crescente in ognuno degli intervalli ] ( /) + (k-), ( /)+ (k-)[, k Z. 4. cotg ( x) = -cotg x, x C cotg x è una funzione dispari. 5. cotg x è strettamente decrescente in ognuno degli intervalli ] + (k-), + (k-)[, k Z. Per la proprietà 3. è sufficiente conoscere il grafico di tg x e cotg x in un intervallo di ampiezza per dedurre da questo il grafico in tutto R Grafico di tagx in ] /, /[ Grafico di cotg x in ], [! %!#$! "!!#$!
Grafico di tag x Confronto tra il valore numerico x, rappresentazione grafica sulla circonferenza trigonometrica dell arco (in rosa) di lunghezza x e quella sul piano cartesiano della funzione tangente y y x 9 º 8 º 7 º 36 º 3 x tan 7,5 º = -,3 seno coseno tangente A questo indirizzo http://ww.unime.it/weblab/ita/wf/sincostan/sincostan_ita.htm confronto tra il valore numerico, la rappresentazione grafica sulla circonferenza trigonometrica e quella sul piano cartesiano delle tre funzioni seno, coseno e tangente.