Università degli Studi del Piemonte Orientale Corso di Laurea in Infermieristica Corso integrato in Scienze della Prevenzione e dei Servizi sanitari Statistica Lezione 4 a.a 2011-2012 Dott.ssa Daniela Ferrante daniela.ferrante@med.unipmn.it
Variabile casuale La variabile casuale può essere pensata come il risultato numerico di un esperimento quando non è prevedibile con certezza. Ad esempio il risultato del lancio di un dado a sei facce può essere modellizzato come una variabile casuale che può assumere i valori 1,2,3,4,5,6 2
Variabile casuale binomiale Le variabili casuali discrete sono variabili casuali che possono assumere un numero finito o un infinità numerabile di valori. Consideriamo un esperimento i cui risultati possibili sono due: successo (x=1) e non successo (x=0) e indichiamo con p la probabilità di successo e con (1-p) la probabilità di non successo. Se ripetiamo tale esperimento n volte la somma delle realizzazioni dell esperimento mi indicherà il numero totale di successi (k) 3
Variabile casuale binomiale La variabile casuale binomiale è seguente funzione di probabilità: definita dalla Jakob Bernoulli n=numero di prove k=numero di successi p=probabilità di successo coefficiente binomiale 4
La variabile casuale normale 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 X µ Carl Friedrich Gauss E simmetrica intorno alla media µ L area sottesa alla curva è pari ad 1 5
La variabile casuale normale Uno dei più importanti esempi di variabile casuale continua è la variabile casuale normale o gaussiana µ = valore atteso o media σ = deviazione standard 6
Il grafico seguente mostra due curve normali con DS=1 e DS=2. Entrambe hanno media=0. y 0. 40 0. 38 0. 36 0. 34 0. 32 0. 30 0. 28 con DS=1 0. 26 0. 24 0. 22 0. 20 0. 18 0. 16 0. 14 con DS=2 0. 12 0. 10 0. 08 0. 06 0. 04 0. 02 0. 00-9 -8-7 -6-5 -4-3 -2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x0 7
Le variabile casuale normale µ 3σ µ 2σ µ σ µ µ+σ µ 3σ µ 2σ µ σ µ µ + σ µ +2σ µ + 3σ 68.27% µ+2σ µ+3σ 95.45% 99.73% 8
Le variabile casuale normale standardizzata La distribuzione normale standardizzata ha media pari a 0 e deviazione standard pari ad 1. 0,50 0,50 9
Le variabile casuale normale standardizzata Qualsiasi valore di un osservazione x di una distribuzione normale può essere standardizzato. Per trasformare x in z (valore standardizzato) si applica la seguente formula: z = x µ σ dove: x: valore cui siamo interessati σ: deviazione standard nella popolazione µ: media nella popolazione z: deviata normale standardizzata corrispondente ai valori dati per (x, σ, µ) 10
Esempio Quale sarà la probabilità di osservare un soggetto con una statura inferiore a m 1,5928 data una popolazione con altezza media (µ) 1,730 e deviazione standard (σ) 0,07 (distribuzione di partenza assunta come normale)? 1,5928 1,730 P( X < 1,5928) = P( Z < ) = P( z < 1,96) = 0,07 0,025 11
?? z = -1,960 12
Distribuzione normale standard 1 coda P 0,001 0,01 0,025 0,05 0,1 3,09 2,33 1,96 1,65 1,29 2 code P 0,001 0,01 0,025 0,05 0,1 3,30 2,58 2,33 1,96 1,65 13
0.025 z = -1,960 14
Esercizio Si consideri una popolazione con altezza distribuita come una Gaussiana con media (µ) = 172,5 cm e deviazione standard (σ) =6,25 cm. Qual è la probabilità di incontrare un individuo estratto da tale popolazione e di altezza superiore a cm 190? 190 172,5 P( x > 190) = P( z > ) = P( z > 6,25 2,8) 0,5 0,001<p<0,01 0,4 0,3 0,2 0,1 0-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 X 15
Esercizio Supponiamo di conoscere che la statura di una certa popolazione di individui sia approssimativamente distribuita come una normale con media di 70 pollici e una deviazione standard di 3 pollici. Qual è la probabilità che una persona estratta a caso da questo gruppo sia alta tra 65 e 74 pollici? P(65 < x < 74) = P( 1,67 < z < 1,33) = 1 P( z > 1,33) P( z = 1 0,10 0,05 = 0,85 Risultati approssimati 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 < 1,67) = 0-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 X 16
La distribuzione t William Sealey Gosset La forma della distribuzione t di Student è a campana con una dispersione maggiore rispetto alla gaussiana standardizzata 17
La distribuzione t: Ha media 0 E simmetrica intorno alla media Rispetto alla distribuzione normale è meno appuntita al centro e ha code più alte Tende alla distribuzione normale quando n è sufficientemente grande E caratterizzata dai gradi di libertà dove il termine indica il numero di osservazioni che sono libere di variare. Si perde un grado di libertà ogni volta che si stima sul campione un parametro della popolazione. Per ogni valore dei gradi di libertà c è una diversa distribuzione di t. All aumentare dei gradi di libertà la distribuzione della t si avvicina alla distribuzione normale 18
Distribuzione normale (curva blu) e t di student per 1, 2, 3, 5, 10, 30 gradi di libertà Grafici tratti da: http://en.wikipedia.org/wiki/student's_t-distribution 19
Distribuzione T 1 coda 2 code Probabilità 0,005 0,010 0,025 0,050 0,010 0,020 0,050 0,100 gradi libertà 1 63,66 31,82 12,71 6,31 63,66 31,82 12,71 6,31 2 9,22 6,96 4,30 2,92 9,22 6,96 4,30 2,92 3 5,84 4,54 3,18 2,35 5,84 4,54 3,18 2,35 4 4,60 3,75 2,78 2,13 4,60 3,75 2,78 2,13 5 4,03 3,37 2,57 2,02 4,03 3,37 2,57 2,02 6 3,71 3,14 2,45 1,94 3,71 3,14 2,45 1,94 7 3,50 3,00 2,37 1,90 3,50 3,00 2,37 1,90 8 3,36 2,90 2,31 1,86 3,36 2,90 2,31 1,86 9 3,25 2,82 2,26 1,83 3,25 2,82 2,26 1,83 10 3,17 2,76 2,23 1,81 3,17 2,76 2,23 1,81 11 3,11 2,72 2,20 1,80 3,11 2,72 2,20 1,80 12 3,06 2,68 2,18 1,78 3,06 2,68 2,18 1,78 13 3,02 2,65 2,16 1,77 3,02 2,65 2,16 1,77 14 2,98 2,63 2,15 1,76 2,98 2,63 2,15 1,76 15 2,95 2,60 2,13 1,75 2,95 2,60 2,13 1,75 16 2,92 2,58 2,12 1,74 2,92 2,58 2,12 1,74 17 2,90 2,57 2,11 1,73 2,90 2,57 2,11 1,73 18 2,88 2,55 2,10 1,73 2,88 2,55 2,10 1,73 19 2,86 2,54 2,09 1,73 2,86 2,54 2,09 1,73 20 2,85 2,53 2,09 1,73 2,85 2,53 2,09 1,73 per numeri di g.l. superiori a 20 usate la riga corrispondente a 20 20