Introduzione e modellistica dei sistemi

Modellistica dei sistemi dinamici termici Elementi fondamentali Scrittura delle equazioni dinamiche Rappresentazione in variabili di stato Esempio di rappresentazione in variabili di stato 2

Modellistica dei sistemi dinamici termici

Corpo omogeneo ideale Corpo omogeneo ideale di capacità termica C p C θ L equazione dinamica della sua temperatura è: dθ() t C = p() t dt C: capacità termica, proporzionale al calore specifico θ : temperatura assoluta del corpo omogeneo p: portata di calore (potenza termica) applicata Unità di misura: [p ] = W, [θ ] = K, [C ] = J/K 4

Conduttore termico ideale Conduttore termico ideale di conduttanza term. K ij θ i p ij θ j K ij La portata di calore che fluisce dal corpo omogeneo con temperatura assoluta θ i al corpo omogeneo con temperatura assoluta θ j in contatto termico è pari a: p () t = K θ () t θ () t ij ij i j è proporzionale alla temperatura relativa dei due diversi corpi omogenei ideali in contatto termico Unità di misura: [p ij ]=W,[θ i ]=[θ j ]=K,[K ij ]=W/K 5

Equazioni dinamiche di equilibrio termico Per ogni corpo omogeneo ideale non termostatato (la cui temperatura assoluta θ i non è quindi imposta direttamente dall esterno) di capacità termica C i,vale la legge di equilibrio termico delle portate di calore: C est j i int () t p () t θ = p () t i i k k j i j Le portate di calore esterne tengono conto dell azione del mondo esterno e compaiono con Segno positivo se forniscono calore al corpo (nel caso di generatori di calore o per effetto Joule o combustione) Segno negativo altrimenti (ad esempio, nel caso di refrigeratori o pompe di calore) est p i j 7

Equazioni dinamiche di equilibrio termico Per ogni corpo omogeneo ideale non termostatato (la cui temperatura assoluta θ i non è quindi imposta direttamente dall esterno) di capacità termica C i,vale la legge di equilibrio termico delle portate di calore: C est j i int () t p () t θ = p () t i i k k j i j int p i j Le portate di calore interne tengono conto dell interazione tra il corpo C i e gli altri corpi C j in contatto termico tramite conduttori termici ideali di conduttanza termica K ij int p () t = K () t () t θ θ ij ij i j 8

Interpretazione delle equazioni dinamiche Nell equazione dinamica di equilibrio termico relativa al corpo omogeneo ideale di capacità termica C i C est j i int () t p () t θ = p () t i i k k j i j est p k Le portate esterne forniscono o prelevano calore direttamente al corpo C i incrementano o riducono il termine C i θ i, che è interpretabile come una portata termica d inerzia int Le portate interne p i j trasmettono invece il calore agli altri corpi C j tramite conduttori termici riducono la portata termica d inerzia di C i 9

Rappresentazione in variabili di stato (1/2) Si scrivono le equazioni dinamiche di equilibrio termico per ogni corpo omogeneo non termostatato, avente capacità termica C i e temperatura assoluta θ i S introduce una variabile di stato x i per ogni corpo omogeneo non termostatato di capacità termica C i, scegliendo in particolare La temperatura assoluta θ i Si associa una variabile di ingresso u j ad ogni: Portata di calore esterna fornita al o prelevata dal sistema termico Temperatura assoluta di corpo omogeneo ideale termostatato, in quanto imposta dal mondo esterno 11

Rappresentazione in variabili di stato (2/2) Si ricavano le equazioni di stato del tipo dx () t i x () t = = f ( t, x(), t u() t ) i i dt a partire dalle precedenti equazioni dinamiche di equilibrio termico, esprimendo x i solo in funzione di variabili di stato e di ingresso Si ricavano le equazioni di uscita del tipo ( ) y () t = g t, x (), t u () t k k esprimendo ogni variabile di interesse y k soltanto in funzione di variabili di stato e di ingresso 12

Esempio di rappresentazione (1/9) Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del seguente sistema termico, in cui θ 1,θ 2 : temperature dei due corpi non termostatati : temperatura (imposta) dell ambiente esterno θ e θ i : temperatura del corpo termostatato interno p 0 : portata di calore immessa solo nel corpo 1 Assumere θ 1 come variabile d interesse θ i θ 1 θ 2 θ e p 0 Equazioni dinamiche di equilibrio termico: C θ = p K θ θ + K θ θ + K θ θ 1) 1 1 0 1e( 1 e) 1i( 1 i) 12( 1 2) 14

Esempio di rappresentazione (2/9) Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del seguente sistema termico, in cui θ 1,θ 2 : temperature dei due corpi non termostatati : temperatura (imposta) dell ambiente esterno θ e θ i : temperatura del corpo termostatato interno p 0 : portata di calore immessa solo nel corpo 1 Assumere θ 1 come variabile d interesse θ i θ 1 θ 2 θ e p 0 Equazioni dinamiche di equilibrio termico: 2) C θ = 0 K 2 2 2e( θ2 θe) + K2i( θ2 θi) + K12( θ2 θ1) 15

Esempio di rappresentazione (3/9) Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del seguente sistema termico, in cui θ 1,θ 2 : temperature dei due corpi non termostatati : temperatura (imposta) dell ambiente esterno θ e θ i : temperatura del corpo termostatato interno p 0 : portata di calore immessa solo nel corpo 1 Assumere θ 1 come variabile d interesse θ 1 θ 2 θ i θ p e 0 Variabili di stato: xt () θ () t x () t = = 1 1 θ () t x () t 2 2 16

Esempio di rappresentazione (4/9) Ricavare la rappresentazione in variabili di stato del seguente sistema termico, in cui θ 1,θ 2 : temperature dei due corpi non termostatati : temperatura (imposta) dell ambiente esterno θ e θ i : temperatura del corpo termostatato interno p 0 : portata di calore immessa solo nel corpo 1 Assumere θ 1 come variabile d interesse θ 1 θ 2 θ i θ p e 0 Variabili di ingresso: p0() t u1() t ut () = θ () t = u() t e 2 θi () t u3 () t 17

Esempio di rappresentazione (5/9) Equazioni dinamiche di equilibrio termico: C = p K + K + K 1) θ 1 1 0 1e( θ1 θe) 1i( θ1 θi) 12( θ1 θ2) 2) C θ = 0 K 2 2 2e( θ2 θe) + K2i( θ2 θi) + K12( θ2 θ1) Variabili di stato e di ingresso: θ () t 1 x () t () 1 xt = = θ () t x () t 2 2 Equazioni di stato:, p0() t u1() t ut () = θ () t = u() t e 2 θi () t u3 () t dθ1 x = = p0 1 θ 1 1= K1 e( θ1 θe) + K1i( θ1 θi) + K12( θ1 θ2) = dt C C 1 1 K + K + K K 1 K K = x + x + u + u + u = f t x u 1e 1i 12 12 1e 1i 1 2 1 2 3 1 C C C C C 1 1 1 1 1 (,, ) 18

Esempio di rappresentazione (6/9) Equazioni dinamiche di equilibrio termico: C = p K + K + K 1) θ 1 1 0 1e( θ1 θe) 1i( θ1 θi) 12( θ1 θ2) 2) C θ = 0 K 2 2 2e( θ2 θe) + K2i( θ2 θi) + K12( θ2 θ1) Variabili di stato e di ingresso: θ () t 1 x () t () 1 xt = = θ () t x () t 2 2 Equazioni di stato: dθ x = = dt 2 θ 2 2 2 12 2e 2i 12 2e 2i 1 2 2 3 2 2 2 2 2, p0() t u1() t ut () = θ () t = u() t e 2 θi () t u3 () t 1 = K2 e( θ2 θe) + K2i( θ2 θi) + K12( θ2 θ1) = C K K + K + K K K = x x + u + u = f t x u C C C C (,, ) 19

Esempio di rappresentazione (7/9) Equazioni dinamiche di equilibrio termico: C = p K + K + K 1) θ 1 1 0 1e( θ1 θe) 1i( θ1 θi) 12( θ1 θ2) 2) C θ = 0 K 2 2 2e( θ2 θe) + K2i( θ2 θi) + K12( θ2 θ1) Variabili di stato e di ingresso: θ () t 1 x () t () 1 xt = = θ () t x () t 2 2 Equazione di uscita: y = θ = x = g ( txu) 1 1,,, p0() t u1() t ut () = θ () t = u() t e 2 θi () t u3 () t 20

Esempio di rappresentazione (8/9) Equazioni di stato: + + K Equazione di uscita: K K K K 1 K K x x x u u u 1e 1i 12 12 1e 1i = + + + + 1 1 2 1 2 3 C C C C C 1 1 1 1 1 K + K + K K K x x x u u 12 2e 2i 12 2e 2i = + + 2 1 2 2 3 C C C C 2 2 2 2 y = x 1 Il sistema è dinamico, a tempo continuo, a dimensione finita (n =2), MIMO (p =3, q =1), proprio 21

Esempio di rappresentazione (9/9) Se C 1,C 2,K 1e,K 2e,K 1i,K 2i e K 12 sono costanti il sistema è anche LTI con rappresentazione di stato ( xt) = Axt () + But () y () t = C x() t + Du() t K + K + K 1e 1i 12 K12 1 K1e K1i C C 1 1 C1 C1 C 1 A =, B =, K K K K K 12 2e + 2i + 12 2e K2i 0 C C C2 C 2 2 2 [ 1 0 ], D [ 0 0 0] C = = 22