Liceo Scientifico Paritario R. Bruni Padova, loc. Ponte di Brenta, 03/06/2016 Verifica di Matematica Classe V Studente/ssa Problemi. Risolvi uno dei due problemi proposti. 1. La ditta Poolparty è stata contattata per progettare una piscina per un villaggio turistico a Palma di Maiorca. La piscina deve essere costruita in un area di 1250 m2, dove andranno anche inserite zone sdraio, un bar e altri servizi. Il proprietario dello stabilimento fa vedere al delegato della ditta contattata uno schizzo della piscina, riportato in figura. Il delegato consegna a te lo schizzo e ti chiede di progettare una piscina con un profilo simile. Ti viene in mente di inserire il disegno in un opportuno sistema di riferimento Oxy con unità 1 m e decidi che la superficie della piscina dev essere racchiusa dai grafici delle funzioni x 4x y= f x = 3x 2 370x +11200, y = g x = x 50 e la retta di equazione x = 50. 5000 625 () i. ( ) () ( ) Studia le due funzioni date e rappresenta i loro grafici in uno stesso piano cartesiano. Tale grafico dev essere piuttosto preciso, devono essere evidenziati i massimi, i minimi e i punti di flesso. Finito lo studio, consegni la rappresentazione grafica al delegato che la farà vedere al proprietario del villaggio turistico. Dopo un paio di settimane vieni contattato dal delegato che ti informa che il progetto è stato accettato! Durante la stagione invernale la piscina dev essere coperta da un telo. Il proprietario desidererebbe conoscere l estensione della superficie libera della piscina, per avere una stima del costo totale del telo. 1 di 6
ii. Sai che il telo costa 24 al metro quadrato e che la superficie da considerare è quella della piscina più il suo 1% per gli attacchi del telo. Determina la spesa complessiva per l acquisto del telo. Ti viene chiesto di pensare anche al profilo laterale della piscina e proponi il seguente grafico: iii. Il proprietario, prima di accettare, chiede al delegato quanti litri d acqua servirebbero per riempire la piscina con il profilo suggerito. Individua il volume d acqua necessario per riempire la piscina, esprimendo il risultato in litri, considerando il fondo piatto. Il proprietario è quasi convinto della tua soluzione. Vorrebbe un ultima modifica a livello estetico del fondo: vorrebbe un fondo che sia all inizio e alla fine orizzontale, rispettando la profondità minima e massima e che scendesse in modo più morbido. iv. Per accontentare il proprietario ti viene in mente di modellare il fondo in base a una cubica del tipo z = h x ( ) = ax 3 +bx 2 +cx +d, dove a, b, c e d sono parametri reali che devi stabilire in modo da soddisfare la richiesta del proprietario. [inventato] 2 di 6
2. La ditta CatraMen è stata ingaggiata per progettare un percorso che unisce Lo stabilimento balneare O Sole con il centro commerciale, che si trova al di là di un fiume (vedi la figura sottostante). La ditta decide di costruire tratti di strada rettilinei visto che tra lo stabilimento e il centro commerciale ci sono solamente campi a destinazione agricola. Sorge però un problema: dove costruire il ponte per attraversare il fiume, largo mediamente 20 m, in modo che il percorso sia il più breve possibile? La ditta allora contatta un gruppo di esperti di ponti e connessi, del quale fai parte, per risolvere il problema. i. Determina la posizione x dove dev essere costruito il ponte in modo tale da soddisfare le richieste della ditta. Per costruire un ponte adeguato bisogna conoscere l andamento della portata del fiume. Ti rivolgi all associazione delle acque della città per avere tutti i dati. L addetto dell associazione ti riporta quanto segue: Negli ultimi anni la variazione giornaliera della portata è pressoché costante: la portata ha un inflessione (precisamente la velocità con la quale cambia la portata comincia a diminuire) alle 16:00, risultando di 16 migliaia di litri all ora; il livello dell acqua diminuisce fino alle 20:00, momento nel quale la portata raggiunge il suo minimo pari a 8 migliaia di litri all ora. Un tuo collega individua tre possibili funzioni ma ti accorgi che in realtà solo una può soddisfare quanto riferito dall addetto dell associazione. ii. Determina quale delle seguenti funzioni è fedele a quanto appena descritto e determinarne i parametri reali a, b, c e d (assumi x 0; 24 ): f ( x ) = acos( bx +c)+d ; g ( x ) = ( ax +b)e cx+d ; h ( x ) = ax 3 +bx 2 +cx +d. 3 di 6
iii. Determina quanti litri d acqua scorrono sotto il ponte in un giorno. Stima in quale fascia oraria n; n+1, con n = 0,1,,24, la portata coincide con la portata media. Infine il gruppo di cui fai parte decide di costruire una copertura per il ponte. Tale copertura deve prevedere una parte vetrata per far passare luce e una parte ricoperta da pannelli solari in modo da produrre energia elettrica. Poiché il fiume è abbastanza ondoso, proponi una copertura con profilo longitudinale al fiume a forma di lambda sdraiata (vedi figura sottostante). Tale copertura è lunga tutto il ponte, quindi di una lunghezza pari a 20 m. iv. Immagina che la pavimentazione del ponte (linea spessa orizzontale) sia il piano di equazione z = 0 in un opportuno sistema di riferimento Oxyz. Determina l area della superficie ricoperta dai pannelli solari e una possibile equazione del piano dove essi giacciono. 4 di 6
Questionario. Risolvi cinque dei dieci quesiti proposti. 1. Utilizzando le serie, dimostra che 0,3 =1 3. 10 n è maggiore, minore o uguale a + 10 x dx? Motiva adeguatamente la tua risposta. [inventato] 0 + n=0 2. Una macchina produce pezzi difettosi secondo la seguente distribuzione di probabilità: Pezzi difettosi 10 20 30 40 50 Probabilità 0,4 0,3 0,2 0,05 0,05 Determina il numero medio di prezzi difettosi, la deviazione standard e la probabilità che la macchina produca non più di 20 pezzi difettosi. [es. 48 pag. 44σ ] 3. In un riferimento cartesiano nello spazio Oxyz, date le rette r ed s di equazione x = 1+2t 2x y + z = 0 r: y = t, s:, x +2y 3z 1 = 0 z = 3 kt determina per quale valore del parametro reale k la retta r è perpendicolare alla retta s. Determina poi l equazione del piano Γ perpendicolare ad s e passante per il punto di intersezione delle due rette. [inventato] 4. Il prodotto di una reazione chimica, espresso in grammi, è una funzione continua y = y t ( ) nel tempo t, espresso in giorni, che soddisfa l equazione differenziale y ʹ+ ( y 2 2y) t = 0. ( ) =1, calcola quanti grammi si sono prodotti dopo un giorno. Sapendo che y 0 Quanti grammi si possono produrre disponendo, idealmente, di un tempo illimitato? [Biotecnologie, AA 2011] 5. L azienda Potatos confeziona sacchetti di patatine del peso medio di 300 g, con un incertezza (deviazione standard) di 5 g. Determina la probabilità che il peso di un sacchetto scelto a caso sia i. compreso tra i 290 g e i 310 g. ii. maggiore di 305 g. [inventato] 5 di 6
6. Una finestra ha la forma di un rettangolo sormontato da un semicerchio avente per diametro un lato del rettangolo; il contorno della finestra misura l = π + 4. Si determinino le dimensioni del rettangolo affinché l'area totale della finestra sia massima. [tratto da ST12] 7. Data la funzione f ( x ) = ( x 2 x 4) ( x 1), si verifichi che esiste un solo punto interno all intervallo 1; 0, tale che la tangente al grafico in questo punto è parallela alla corda congiungente i due punti estremi dell intervallo considerato. [SU12] ( ) = acosx +bcos 3 x sia una ( ) = 3sinx 2sin 3 x. [ST08] 8. Si determinino le costanti a e b in modo che la funzione F x primitiva della funzione f x 9. Calcolare lim 3x +5 3x 2 x + ( ). [OR.C16] 10. Dato il cubo in figura, si determini l ampiezza del diedro convesso che ha per spigolo BD' e per facce i piani A'D'B e C'D'B. [SN13] NOTE: i. Durata massima della prova: 6 ore. Non è permesso lasciare l aula prima di 3 ore dall inizio della prova. ii. È ammesso l uso della calcolatrice non programmabile. iii. Punteggio massimo 15 p.ti. Per la sufficienza è necessario raggiungere il punteggio di 10 p.ti. 6 di 6