CAPITOLO 2. Numeri reali

CAPITOLO 2 Numeri reali Storicamente i numeri reali sono stati introdotti per misurare le grandezze geometriche. Se ad esempio vogliamo assegnare un numero al rapporto tra la lunghezza d della diagonale e la lunghezza l del lato del quadrato, applichiamo il teorema di Pitagora e scriviamo l 2 + l 2 = d 2 ossia (d/l) 2 = 2. Siamo portati a dire che il numero cercato, reale in quanto esprime una relazione geometrica reale, è esattamente uguale a d/l = 2. Analogamente, dalla geometria siamo convinti dell esistenza di π, il numero che esprime il rapporto tra la circonferenza e la lunghezza del diametro del cerchio. I numeri 2 e π non si possono scrivere come rapporto di numeri interi, non sono cioè razionali. Viceversa, ogni numero razionale, potendosi pensare come un numero che esprime il rapporto tra lunghezze di coppie di segmenti commensurabili, ha da essere un numero reale. Che cosa sono, dunque, i numeri reali? Si potrebbe dire che sono delle entità adeguate a misurare la lunghezza di ogni segmento. Questa risposta è insoddisfacente dal punto di vista formale, anche se per molti versi accurata. La risposta formale viene formulata nell ambito della teoria degli insiemi mediante la costruzione, a partire dai numeri naturali, di un insieme normalmente denotato R e i cui elementi si dicono numeri reali. L insieme R ha tutte le proprietà algebriche che si desiderano. In esso cioè valgono le regole usuali che governano la somma, il prodotto e le relazioni d ordine, e ha l ulteriore cruciale proprietà che si chiama completezza. Essa consente di compiere uno dei passi più importanti della matematica: pensare i punti di una retta come numeri e viceversa, costruendo cioè una corrispondenza biunivoca 1 tra la retta ed R. La corrispondenza tra punti e numeri non è unica, né banale, ma è proprio ad essa che la costruzione di R è ispirata. Non è unica perché la scelta di un origine e di una scala sono arbitrarie, ossia la selezione di due punti sulla retta cui si danno i nomi zero e uno. Una volta fatta questa scelta, esiste un modo essenzialmente unico, quantomeno canonico, per procedere nell identificazione punto numero. Naturalmente, per parlare di corrispondenza biunivoca tra due insiemi è necessario dapprima sapere che cosa sono, cioè come sono definiti. Da un lato si presuppone nota la nozione di retta; si assume di sapere che cosa sia l insieme retta e quali ne siano le proprietà che siamo disposti ad accettare a priori. Dall altro, bisogna disporre dell insieme R dei numeri reali, definito in modo più o meno astratto. Solo a questo punto si può procedere alla definizione di una corrispondenza. La costruzione di R può essere fatta in diverse maniere equivalenti ma presenta difficoltà concettuali ed 1 La nozione esatta di corrispondenza biunivoca tra due insiemi verrà data nel Capitolo 3. Informalmente, ciò significa che ad ogni elemento di un insieme si associa uno ed un solo elemento dell altro e viceversa, cosicché i due insiemi risultano identificabili l uno con l altro. 17

18 Analisi Matematica 1 espositive che esulano dagli scopi di questi appunti. Noi procederemo per una via più breve. Elencheremo dapprima una serie di proprietà, i cosiddetti assiomi dei numeri reali. In seguito enunceremo, senza dimostrarla, l esistenza di un insieme non vuoto R, essenzialmente unico, che soddisfa tutti gli assiomi elencati. Accenneremo infine brevemente alla corrispondenza tra R e la retta. 1. Descrizione assiomatica dei numeri reali. Le proprietà che individuano l insieme dei numeri reali riguardano, in primo luogo: le operazioni di somma e prodotto la relazione di ordine la compatibilità tra operazioni e ordinamento. Chiariamo subito che cosa si intenda per relazione di ordine. Definizione 1.1. Una relazione binaria su un insieme A, denotata <, è detta relazione d ordine se essa soddisfa (i) se a, b A, allora una ed una sola delle seguenti possibilità si verifica: a < b, oppure a = b oppure b < a; (ii) se a, b, c A sono tali che a < b e b < c, allora si ha anche a < c. Le proprietà di somma e prodotto definiscono su R la struttura algebrica di corpo, mentre la compatibilità delle operazioni con la relazione d ordine definiscono ciò che si chiama un corpo ordinato. Tutte queste proprietà sono godute anche da Q, che è quindi anch esso un corpo ordinato. Esse stabiliscono le regole di calcolo, che valgono in R quanto in Q. Definizione 1.2. Un corpo è un insieme F su cui siano definite le due operazioni di addizione (o somma) e moltiplicazione (o prodotto), che soddisfano i seguenti assiomi: (A) Assiomi dell addizione. (A1) Se x F e y F allora x + y F. (A2) L addizione è commutativa: x + y = y + x per ogni x, y F. (A3) L addizione è associativa: x + (y + z) = (x + y) + z per ogni x, y, z F. (A4) Esiste un elemento 0 F tale che x + 0 = x per ogni x F. (A5) Ad ogni x F corrisponde un elemento x F tale che x + ( x) = 0. (M) Assiomi della moltiplicazione. (M1) Se x F e y F allora xy F. (M2) La moltiplicazione è commutativa: xy = yx per ogni x, y F. (M3) La moltiplicazione è associativa: x(yz) = (xy)z per ogni x, y, z F. (M4) Esiste un elemento 1 F, 1 0, tale che 1x = x per ogni x F. (M5) Ad ogni x F, x 0, corrisponde un elemento 1/x F tale che: x(1/x) = 1. (D) Proprietà distributiva. Per ogni x, y, z F si ha x(y + z) = xy + xz.

Numeri reali 19 L elemento x si dice l opposto di x, mentre l elemento 1/x si dice il reciproco di x. Come conseguenza degli assiomi di corpo valgono le regole di calcolo che sono enunciate negli Esercizi 1, 2 e 3 di questo capitolo. Passiamo adesso agli assiomi che stabiliscono la compatibilità tra le operazioni e la relazione d ordine. Definizione 1.3. Un corpo ordinato è un corpo F in cui sia definita una relazione d ordine < per la quale siano soddisfatti i seguenti assiomi (O) Assiomi dell ordine. (O1) Se x, y, z F e y < z, allora x + y < x + z. (O2) Se x, y F e x > 0, y > 0, allora xy > 0. Nel seguito, con la scrittura x y intendiamo che sia x < y oppure x = y. Ribadiamo che tutti gli assiomi finora elencati sono soddisfatti in particolare da Q, che è quindi un corpo ordinato. I numeri razionali tuttavia non soddisfano l assioma che segue, il vero e proprio tratto distintivo di R. (C) Assioma di completezza. Un insieme F munito di una relazione d ordine < si dice (ordinalmente) completo se dati due sottoinsiemi non vuoti A e B di F tali che a b per ogni a A e per ogni b B, esiste un elemento s F, detto elemento separatore, tale che a s b per ogni a A e per ogni b B. Si faccia attenzione al fatto che l elemento separatore non è necessariamente unico. Per esempio ciascun razionale compreso tra 0 e 1 separa in Q i sottoinsiemi {0} e {1} di Q. Osserviamo però che i sottoinsiemi A = {a Q : a 2 < 2} e B = {b Q : a 2 > 2} di Q non sono separati in Q. Non esiste cioè alcun numero razionale s tale che a s b per ogni a A ed ogni b B ; se esistesse un tale elemento s, infatti, si avrebbe s 2 = 2. Quest ultima implicazione è intuitivamente chiara, ma ha una dimostrazione che richiede l archimedeità di Q, una proprietà che discuteremo più avanti in questo capitolo (cfr il Teorema (5.1)). Il lettore curioso può svolgere gli Esercizi (16) e (17) al riguardo. La proposizione che segue mostra peraltro che l equazione s 2 = 2 non ha soluzioni in Q, il che prova che A e B non sono separati in Q. Ne discende che Q non è completo. Proposizione 1.4. Non esiste alcun numero razionale s tale che s 2 = 2. Dimostrazione. Se esistesse, si potrebbero trovare due interi positivi p e q primi tra loro tali che (p/q) 2 = 2, ossia p 2 = 2q 2. Poiché il membro destro è pari, tale è anche p 2 e quindi p (il quadrato di un numero dispari è dispari). Ma allora p = 2r e quindi 4r 2 = 2q 2, cioè 2r 2 = q 2. Con lo stesso ragionamento si conclude che allora q è pari, contro l ipotesi che p e q siano primi fra loro. Enunciamo finalmente il teorema di esistenza. Teorema 1.5. Esiste un corpo ordinato completo R.

20 Analisi Matematica 1 Il teorema di esistenza andrebbe in realtà perfezionato, specificando che R è essenzialmente unico. Il significato dell avverbio essenzialmente fa riferimento alla nozione di isomorfismo di corpi ordinati che viene omessa per semplicità. In sostanza, la cosiddetta unicità a meno di isomorfismi di R, consiste nel fatto che ogni altro corpo ordinato e completo F può essere messo in corrispondenza biunivoca con R in modo da rispettare le operazioni e l ordine, cosicché distinguere R da F diviene una questione solamente nominalistica, inessenziale. 2. La retta e i numeri reali. La retta geometrica non è un corpo ordinato e completo, nel senso che su di essa non sono definite a priori la somma e il prodotto, ne è chiaro quali siano, ad esempio, i punti 0 e 1. Non possiamo quindi fare appello all unicità di R per identificare la retta con R. Sarà piuttosto la costruzione di una corrispondenza biunivoca a consentirci di trasferire sulla retta le operazioni ed avere in tal modo un modello geometrico di R. La costruzione che tratteggiamo qui di seguito è basata sulla nozione intuitiva di retta. Il primo passo consiste nello scegliere due punti distinti sulla retta, che chiamiamo rispettivamente O (lo zero) e U (l uno). La retta privata di O consiste di due semirette. Chiamiamo semiretta positiva quella che contiene il punto U. Per semplificare l esposizione, supponiamo di immaginare la retta in posizione orizzontale e che U stia a destra di O. Il secondo passo consiste nell individuare i punti interi sulla retta. Consideriamo dapprima la semiretta positiva. Sia S un segmento di lunghezza uguale alla lunghezza del segmento OU ed il cui estremo sinistro coincida con il punto U. L estremo destro D di S sarà il punto che corrisponde al numero naturale 2. O U D 2 OU S Ripetendo la costruzione, otteniamo via via i punti che corrispondono ai numeri 3, 4, 5,..., ossia un insieme di punti sulla retta che chiameremo punti naturali. Riportando specularmente i punti naturali sulla semiretta negativa si ottengono i punti interi negativi. Abbiamo quindi determinato una corrispondenza biunivoca tra Z ed un certo sottoinsieme della retta i cui elementi abbiamo chiamato punti interi. Il terzo passo consiste nell individuare i punti razionali sulla retta. Partiamo al solito dalla semiretta positiva. Diciamo che il punto R su di essa è un punto razionale se esistono due interi positivi p e q (cui corrispondano rispettivamente i punti interi P e Q) tali che il segmento OP coincida con il segmento di estremo sinistro O e di estremo destro il punto a distanza q-volte la lunghezza di OR. In tal caso associamo ad R il numero razionale positivo p/q. O R 3/2 P 3 OR OP = 2 OR

Numeri reali 21 Viceversa, dato il numero razionale positivo p/q, il punto razionale R che ad esso corrisponde è costruito dividendo in q segmenti uguali il segmento OP : esso sarà l estremo destro del primo di tali segmenti. Riportando specularmente i punti razionali positivi sulla semiretta negativa si ottengono i punti razionali negativi. Abbiamo quindi determinato una corrispondenza biunivoca tra Q ed un certo sottoinsieme della retta i cui elementi abbiamo chiamato punti razionali. Osserviamo che tra due punti razionali distinti vi è sempre almeno un altro punto razionale, ad esempio il punto medio. Il quarto passo consiste nel completare la corrispondenza tra i punti della retta ed i numeri reali. Questo è ovviamente il passo più sottile. Innanzitutto definiamo sulla retta l ordine naturale, stabilendo cioè che P > Q se P è a destra di Q, nel senso intuitivo cui abbiamo fatto già riferimento. In secondo luogo, ci appelliamo ancora una volta alla nostra intuizione geometrica per osservare che l assioma di completezza (ordinale) ha sulla retta un significato evidente e lo assumiamo quindi come vero: se due sottoinsiemi giacciono l uno completamente alla destra dell altro, salvo avere al più un punto in comune, si potrà tagliare la retta in due semirette in modo che uno dei due insiemi sia completamente contenuto in una semiretta e l altro nell altra, perdendo al più il punto di taglio. Prendiamo dunque un punto qualunque X sulla retta e consideriamo gli insiemi A e B formati rispettivamente da tutti i punti razionali a sinistra di X e da tutti i punti razionali a destra di X. Come conseguenza del fatto che tra punti razionali distinti ve ne è sempre un altro, si può vedere che X è l unico elemento separatore tra A e B. Ai sottoinsiemi A e B della retta corrispondono sottoinsiemi A e B in R formati da numeri razionali e per i quali risulta a < b per ogni a A e per ogni b B. Si può dimostrare che l elemento separatore x R tra A e B, certo esistente per via dell assioma di completezza, è anch esso unico. Associamo quindi a X il numero reale x. Viceversa, dato il numero reale x, consideriamo i sottoinsiemi A e B di R formati rispettivamente da tutti i numeri razionali minori di x e da tutti i numeri razionali maggiori di x. Agli insiemi A e B corrispondono sottoinsiemi A e B della retta formati da punti razionali e per i quali risulta P < Q per ogni P A e per ogni Q B. Il punto X della retta che separa A e B è anch esso unico, ed è il punto associato ad x. 3. Intervalli. Insiemi aperti e intorni. Questa sezione è dedicata a introdurre una classe di sottoinsiemi di R particolarmente rilevanti: gli intervalli. Mediante gli intervalli si possono poi formulare i concetti di insieme aperto e insieme chiuso, ed il concetto di intorno di un punto. Essi definiscono ciò che si suole chiamare la topologia della retta, ossia la nozione di punti vicini ad un dato punto. Un intervallo è un insieme di numeri reali cui corrisponde un segmento o una semiretta, estremi inclusi o esclusi. Gli intervalli sono quindi definiti in termini di ordinamento. Se a e b sono numeri reali e a < b, poniamo: (a, b) = {x R : a < x < b} intervallo aperto; [a, b] = {x R : a x b} intervallo chiuso; (a, b] = {x R : a < x b} intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra;

22 Analisi Matematica 1 [a, b) = {x R : a x < b} intervallo aperto a destra e chiuso a sinistra. Per quanto riguarda le semirette, introduciamo i simboli + e. È bene chiarire che essi non rappresentano alcun numero reale, ma servono semplicemente a scrivere in modo efficiente. Poniamo: (, a) = {x R : x < a} semiretta aperta e superiormente limitata 2 ; (, a] = {x R : x a} semiretta chiusa e superiormente limitata; (a, + ) = {x R : a < x} semiretta aperta e inferiormente limitata; [a, + ) = {x R : a x} semiretta chiusa e inferiormente limitata. Si dicono intervalli degeneri gli insiemi del tipo {a} ove a R. Infine, R stesso è da riguardarsi come un intervallo, fatto che viene evidenziato scrivendo R = (, + ). Si noti che l intersezione di due intervalli è sempre un intervallo, eventualmente degenere o vuoto, mentre l unione di due intervalli può essere un intervallo oppure no. Ad esempio, (0, 3] [4, 5) non è un intervallo, mentre (0, 3) [1, 3] = (0, 3]. Convenzionalmente, come abbiamo fatto noi, si usano parentesi tonde in corrispondenza di estremi esclusi e parentesi quadre in corrispondenza di estremi inclusi. Nel primo caso, abbiamo usato la parola aperto e nel secondo la parola chiuso. Queste parole hanno, come vedremo, un significato preciso. Si dice intervallo aperto centrato nel punto x 0 di semiampiezza a > 0 l intervallo (x 0 a, x 0 + a). Esso è un intervallo aperto il cui punto medio è esattamente x 0. x 0 a ( x 0 x 0 + a ) Se consideriamo un punto x 0 R, ogni intervallo aperto centrato in x 0 contiene tutti i punti vicini ad x 0, nel senso che in ogni intervallo (x 0 a, x 0 + a) vi sono tutti i punti che distano da x 0 meno di a. Ognuno di questi intervalli costituisce una sorta di bolla che isola x 0 : tutti i punti al di fuori dell intervallo sono ad una certa distanza (almeno a) da x 0 e quindi non sono poi così vicini ad x 0. Gli intervalli aperti centrati in x 0 sono il prototipo di ciò che si chiama un intorno di x 0, come chiarito dalla definizione che segue. Definizione 3.1. Sia x 0 R. Si dice intorno di x 0 un insieme U che soddisfi le due seguenti proprietà: (i) x 0 U (ii) esiste un intervallo aperto I centrato in x 0 tale che I U. Un insieme G si dice aperto se esso è intorno di ogni suo punto, ossia se per ogni x G esiste un intervallo aperto centrato in x che sia tutto contenuto in G. Infine, un insieme F si dice chiuso se il suo complementare in R è aperto. È a questo punto evidente che gli intervalli aperti sono aperti nel senso della Definizione (3.1). Infatti, dato un intervallo (s, d) ed un suo punto qualunque x 0 2 Le parole superiormente limitata e inferiormente limitata hanno un significato preciso che verrà discusso nella Sezione 6. Per ora esse hanno da essere intese in senso informale e intuitivo.

Numeri reali 23 potremo certo trovare un a > 0 tale che (x 0 a, x 0 + a) (s, d): basta scegliere a minore o uguale al più piccolo tra (x 0 s)/2 e (d x 0 )/2. s ( x 0 a ( x 0 x 0 + a ) d ) Similmente, sono aperte le semirette aperte del tipo (, a) oppure (a, + ). Osserviamo che l unione di due o più insiemi aperti è sempre aperta. È invece forse un po meno evidente che gli intervalli chiusi sono chiusi nel senso della Definizione (3.1). Basta però notare che [a, b] = R \ {(, a) (b, + )} e siccome (, a) (b, + ) è aperto, [a, b] risulta essere il complementare di un aperto ed è quindi chiuso. Similmente, da (, a] = R \ (a, + ), [a, + ) = R \ (, a) si vede che le semirette chiuse sono chiuse nel senso della Definizione (3.1). 4. Valore assoluto e disuguaglianza triangolare. La nozione di valore assoluto serve ad esprimere l idea di distanza che abbiamo implicitamente usato nella sezione precedente. Definizione 4.1. Per ogni numero reale x definiamo x se x 0 x = x se x < 0. Il numero x si chiama il valore assoluto (o il modulo) di x. Il numero non negativo x esprime la distanza di x dall origine: x 0 x Evidentemente x y esprime allora la distanza di x da y: x y Riassumiamo alcune proprietà del valore assoluto nella proposizione che segue. Si faccia particolare attenzione al punto (iii). Proposizione 4.2. Valgono le seguenti proprietà: (i) x = x per ogni x R;

24 Analisi Matematica 1 (ii) se a > 0 la relazione x < a è equivalente alla relazione a < x < a e similmente x a è equivalente alla relazione a x a; (iii) per ogni x, y R vale la disuguaglianza triangolare, cioè x + y x + y ; (iv) xy = x y per ogni x, y R; (v) x y x y per ogni x, y R. Dimostrazione. (i) Questo è ovvio. (ii) Se x 0 allora x > a è sempre soddisfatta, ed inoltre x = x < a. Se invece x < 0 allora x < a è sempre soddisfatta, ed inoltre x = x > a. (iii) Se x ed y sono entrambi non negativi, allora x+y = x+y = x + y, mentre se sono entrambi negativi tale è anche x+y e quindi x+y = (x+y) = ( x)+( y) = x + y. Supponiamo allora che siano l uno negativo e l altro non negativo, ad esempio x < 0 y. Allora x + y < y < y + x = y + x e x + y x x y = x y. In altre parole abbiamo ( x + y ) x + y ( x + y ) e l asserto segue da (ii). (iv) Questo è ovvio per via di (i). (v) Dalla disuguaglianza triangolare si ha x = x y + y x y + y, ossia x y x y. D altra parte anche y = y x + x y x + x, ossia x y x y. Abbiamo visto che x y x y x y e possiamo perciò concludere utilizzando (ii). 5. Alcune proprietà dei numeri reali. Dall assioma di completezza si può derivare una importante conseguenza, nota come la proprietà archimedea di R. Essa è una proprietà più debole della completezza. Infatti, anche Q è archimedeo, pur non essendo completo. Teorema 5.1 (Archimedeità di R). Per ogni y R ed ogni x R, x > 0, esiste un intero positivo n tale che nx > y. Dimostrazione. Se y < 0 oppure 0 < y x non c è nulla da dimostrare. Dunque è lecito assumere x < y. Supponiamo che la tesi sia falsa. Posto A = {nx : n N}, si ha a y per ogni a A, cosicché se B = {b R : b a per ogni a A} risulta B in quanto y B. Sia s un elemento separatore tra A e B. Poiché x > 0, s x < s. Se d = s x soddisfacesse d nx per ogni n, allora sarebbe d B cosicché s d per definizione di elemento separatore; ma questo contraddice il fatto che d < s. Pertanto deve esistere un intero positivo n tale che d = s x < nx ossia s < (n + 1)x. D altra parte (n + 1)x A e s a per ogni a A. Da questa contraddizione segue che la tesi è vera. Corollario 5.2. Sia x R. Se per ogni intero n > 0 si ha x 1/n, allora x = 0.

Numeri reali 25 Dimostrazione. Se fosse x > 0, allora in virtù del teorema precedente esisterebbe un intero positivo tale che n x > 0, contro l ipotesi. Un altra proprietà importantissima di R è la cosiddetta densità dei razionali, ossia il fatto che tra due reali qualunque cade sempre un razionale. Teorema 5.3 (Densità di Q). Se x, y R e x < y, allora esiste r Q tale che x < r < y. Dimostrazione. Poiché x < y si ha y x > 0 e per la proprietà archimedea di R esiste un intero positivo n tale che n(y x) > 1. Applicando ancora due volte la proprietà archimedea, otteniamo due interi positivi m 1 ed m 2 tali che m 1 = m 1 1 > nx e m 2 = m 2 1 > nx, ossia m 2 < nx < m 1. Perciò esiste un intero m con m 2 m m 1 tale che Dalle disuguaglianze precedenti otteniamo Infine, siccome n > 0 si ha m 1 nx < m. nx < m 1 + nx < ny. x < m n < y e l asserto è dimostrato con r = m/n. 6. Estremo superiore e inferiore. L assioma di completezza riveste, come abbiamo visto, un ruolo di fondamentale importanza. Come spesso accade in matematica, un concetto può essere riformulato ed assumere una valenza maggiormente operativa. E questo il caso dell assioma di completezza, che risulta essere equivalente all esistenza del cosiddetto estremo superiore di ogni insieme non vuoto che si trovi, per così dire, tutto a sinistra di un certo punto. Si potrebbe dire che l estremo superiore di un siffatto insieme S è il punto più appiccicato ad S tra quelli che stanno ancora a destra di S, quando non ne è proprio l elemento più grande. La definizione di estremo superiore non è molto più concreta di quella di elemento separatore ma le caratterizzazioni che se ne possono dare ne consentono un uso in un certo senso abbastanza pratico. Mediante la nozione di estremo superiore è possibile esprimere in modo sintetico e persino intuitivamente soddisfacente molte verità sottili dell Analisi Matematica. Iniziamo col precisare che cosa abbiamo inteso dire con l espressione S sta tutto a sinistra (o a destra) di un certo punto. Definizione 6.1. Sia S un sottoinsieme non vuoto di R. Diremo che S è superiormente limitato se esiste M R tale che s M per ogni s S. In questo caso, M si dirà un maggiorante di S. Analogamente, diremo che S è inferiormente limitato se esiste m R tale che m s per ogni s S. In questo caso, m si dirà un minorante di S. Diremo infine che S è limitato se è superiormente e inferiormente limitato.

26 Analisi Matematica 1 Si può riformulare la definizione precedente considerando l insieme dei maggioranti di S, ponendo cioè S = {M R : M s per ogni s S} e dicendo che S è superiormente limitato se S. Analogamente si può procedere introducendo l insieme S = {m R : m s per ogni s S} dei minoranti di S. Esempi. (1) Le semirette (, 0] e (, 0) sono entrambe superiormente limitate ma non inferiormente limitate. In effetti, 0 è un maggiorante per entrambe ma non vi sono minoranti ne per l una ne per l altra. Quindi non sono limitate. (2) L intervallo (0, 1] è limitato inferiormente da 0 e superiormente limitato da 1. Quindi è limitato. (3) L insieme I = {1/n : n N \ {0}} è limitato inferiormente da 0 e superiormente da 1, perché 1/n 1 per ogni naturale non nullo n. Quindi è limitato. In particolare abbiamo provato che I (0, 1]. (4) Prendendo spunto dall esempio precedente, possiamo dimostrare che se A B e B è limitato, tale è anche A. Infatti se M ed m sono rispettivamente un maggiorante ed un minorante di B, allora m b M per ogni b B. D altra parte, per ogni a A risulta a B cosicché m a M per ogni a A. Se un insieme S ha un maggiorante M, sono maggioranti di S anche tutti i numeri maggiori di M. Non è invece detto che ve ne sia qualcuno più piccolo di M. Se c è un maggiorante M < M, possiamo dire che M è meglio di M nel senso che M descrive più accuratamente la regione in cui è localizzato S, approssimandone meglio il confine destro. Poniamoci quindi la seguente domanda: esiste il migliore, cioè il più piccolo, dei maggioranti? Questo certamente avviene se S possiede un elemento che è più grande di tutti gli altri suoi elementi: esso marca il confine. Definizione 6.2. Sia S un sottoinsieme non vuoto di R. Diremo che S ammette massimo e che M R è il massimo di S se M S e se M x per ogni x S. In tal caso scriveremo M = max S. Analogamente, diremo che S ammette minimo e che m R è il minimo di S se m S e se m x per ogni x S. In tal caso scriveremo m = min S. Possiamo ora definire i concetti di estremo superiore e di estremo inferiore. Si noti che la definizione fa uso esclusivamente della relazione d ordine e di nessun altra proprietà di R. Definizione 6.3. Sia S un sottoinsieme non vuoto di R. Si chiama estremo superiore di S il minimo dei maggioranti di S, se esso esiste. In tal caso esso si denota sup S. Si chiama estremo inferiore di S il massimo dei minoranti di S, se esso esiste. In tal caso esso si denota inf S. Definiamo inoltre sup S = + se S non è superiormente limitato e inf S = se S non è inferiormente limitato. Osserviamo che se S ammette un massimo M, allora M è anche l estremo superiore di S. Infatti, M è un maggiorante e se ve ne fosse uno più piccolo M, si avrebbe M < M, contraddicendo il fatto che M sia un maggiorante, in quanto M S ; perciò

Numeri reali 27 M è il minimo dei maggioranti, cioè M = sup S. Similmente, se S ammette minimo m, allora m = inf S. Ne segue in particolare che se esiste sup S ma sup S S, allora S non ha massimo. Infatti, se esistesse il massimo M esso coinciderebbe con l estremo superiore, cioè M = sup S, cosicché si avrebbe sup S S, contro l ipotesi. Similmente, se esiste inf S ma inf S S, allora S non ha minimo. Esempi. (5) Riprendiamo l esempio (1) e proviamo che max(, 0] = sup(, 0] = 0. Infatti 0 (, 0] e x 0 per ogni x (, 0], da cui max(, 0] = 0. Per quanto osservato sopra, sup = max se il massimo esiste e quindi sup(, 0] = 0. Proviamo ora che sup(, 0) = 0, mentre il massimo di (, 0) non esiste. Chiaramente, 0 è un maggiorante. Se M < 0, M non è un maggiorante in quanto M < M/2 < 0 e M/2 (, 0). Perciò per ogni maggiorante M si ha 0 M e questo prova che 0 è il minimo dei maggioranti, cioè 0 = sup(, 0). Infine, siccome 0 (, 0), il massimo di (, 0) non esiste. (6) Riprendiamo l esempio (4) e proviamo che, posto I = {1/n : n N \ {0}}, si ha max I = sup I = 1, inf I = 0, ma min I non esiste. Per ogni intero positivo n si ha n 1, cosicché 1/n 1 e 1 è un maggiorante di I. Siccome 1 = 1/1 I, esso è il massimo e quindi anche il sup. Ora, 0 è un minorante per I in quanto ogni elemento di I è strettamente positivo. Sia ora m un numero reale positivo. Siccome R è archimedeo, dati i numeri reali m > 0 e 1, esiste un intero positivo n tale che nm > 1, cioè 1/n < m. Abbiamo provato che nessun numero positivo m può essere un minorante per I. Quindi, per ogni minorante m di I si ha m 0 e 0 è dunque il massimo dei minoranti, cioè 0 = inf I. D altra parte, I non ha minimo perché 0 I. La definizione di estremo superiore può essere riformulata mediante l insieme S dei maggioranti di S, ponendo min S se S e se S ammette minimo sup S = + se S =. Potrebbe quindi darsi che S sia superiormente limitato, cioè S, ma che S non ammetta minimo, nel qual caso non esisterebbe l estremo superiore di S. Ciò non si verifica mai, nel senso che se S, allora esiste min S R, ossia ogni insieme superiormente limitato ammette estremo superiore. Omettiamo la non difficile dimostrazione del seguente teorema, a cui abbiamo accennato all inizio di questa sezione e da cui segue l affermazione che abbiamo appena fatto, nonché l analoga per l estremo inferiore. Teorema 6.4. Sia F un corpo ordinato. Le asserzioni seguenti sono equivalenti: (i) F è ordinalmente completo; (ii) ogni sottoinsieme non vuoto e superiormente limitato di F ammette estremo superiore in F ; (iii) ogni sottoinsieme non vuoto e inferiormente limitato di F ammette estremo inferiore in F.

28 Analisi Matematica 1 Dal Teorema (6.4) segue appunto che poiché R è ordinalmente completo, cioè vale la proprietà (i), allora ogni sottoinsieme non vuoto e superiormente limitato di R ammette estremo superiore, ossia vale la proprietà (ii). Di più è vero: si potrebbe sostituire l assioma di completezza ordinale (C) con una qualunque delle proprietà (ii) oppure (iii) e ancora si otterrebbe un unico corpo ordinato con tale proprietà, ossia R. Passiamo ora a dare una caratterizzazione di sup e inf. Proposizione 6.5. Sia S un sottoinsieme non vuoto di R. Il numero β R è l estremo superiore di S se e solo se (i) β è un maggiorante per S ; (ii) per ogni x R con x < β esiste s S tale che x < s. Il numero α R è l estremo inferiore di S se e solo se (i) α è un minorante per S ; (ii) per ogni x R con x > α esiste s S tale che s < x. Dimostrazione. Supponiamo che β = sup S e proviamo che β soddisfa (i) e (ii). La (i) è banalmente soddisfatta. Sia ora x R con x < β. Siccome β è il minimo dei maggioranti, x non è un maggiorante e quindi esiste un s S più grande di x, cioè tale che s > x. Viceversa, supponiamo che β soddisfi (i) e (ii) e proviamo che allora β = sup S. Dobbiamo provare che β è il minimo dei maggioranti. Supponiamo invece che vi sia un maggiorante x più piccolo di β, cioè tale che x < β. Per la (ii) esiste allora s S tale che x < s, in contraddizione con l ipotesi che x sia un maggiorante. Pertanto β è il minimo dei maggioranti. La dimostrazione dell enunciato relativo all estremo inferiore è del tutto analoga e viene lasciata per esercizio. 7. Potenze e radici. Se x R ed n N \ {0} è ben noto che cosa si intenda per la potenza n-esima di x, denotata x n, ossia x n = x } x {{ x}. n volte La associatività del prodotto rende non ambigua l espressione precedente. Si osservi che se x > 0 allora x n > 0 per ogni intero positivo n (mentre se x < 0, il segno di x n dipende da n: se n è pari allora x n > 0 mentre se n è dispari, allora x n < 0). In particolare quindi, se fissiamo un intero positivo n l insieme P n = {x n : x > 0} è un sottoinsieme di R + = (0, + ). Una domanda naturale da porsi è se P n sia un sottoinsieme proprio di R + o se viceversa coincida con esso. In questo secondo caso, che è naturalmente quello che si verifica, si ha che per ogni intero positivo n ed ogni y > 0 esiste x > 0 tale che x n = y (vedi il Teorema (7.3) qui sotto). Il numero reale positivo x si chiama la radice n-esima di y, e si denota con uno dei simboli y 1/n oppure n y. Per poter dimostrare questo semplice ma fondamentale teorema, premettiamo due semplici osservazioni.

Numeri reali 29 Lemma 7.1. Sia k un intero positivo. Se 0 < a < b allora 0 < a k < b k. Dimostrazione. Esercizio. Lemma 7.2. Se 0 < a < b ed n è un intero positivo, allora (7.5) b n a n n(b a)b n 1 Dimostrazione. Fattorizzando ed utilizzando il lemma precedente si ha b n a n = (b a)(b n 1 + b n 2 a + + ba n 2 + a n 1 ) (b a)(b n 1 + b n 2 b + + bb n 2 + b n 1 ) = (b a)nb n 1. Teorema 7.3. Per ogni numero reale positivo y ed ogni intero positivo n esiste una ed una sola radice n-esima positiva y 1/n. Dimostrazione. L unicità è ovvia per via del Lemma (7.1): se 0 < x 1 < x 2 si ha anche 0 < x n 1 < x n 2. Sia ora y > 0 fissato e consideriamo l insieme A = {x R : x n y}. Questo insieme non è vuoto, perché α = min{1, y} A ed è limitato superiormente perché β = max{1, y} è un maggiorante. Infatti: α n = (min{1, y}) n min{1, y} y β n = (max{1, y}) n max{1, y} y. Esiste quindi x = sup A. Proveremo ora che x n = y. Scegliamo un qualunque numero positivo ε. Siccome x α > 0, posto { ε δ = min n2 n x ; x } n 1 2 si ha ovviamente 0 < δ < x. Allora, da 0 < x δ < x < x + δ segue (x δ) n < x n < (x + δ) n. D altra parte, per le proprietà dell estremo superiore, tra x δ ed x vi è certamente un elemento di A, mentre senz altro x + δ A. Quindi Da queste diseguaglianze, e da (7.5), segue (x δ) n < y < (x + δ) n. x n y < (x + δ) n (x δ) n 2δn(x + δ) n 1 < 2δn(2x) n 1 = δn2 n x n 1 ε. Poiché quindi x n y < ε per ogni ε > 0 si ha x n = y, come volevasi.

30 Analisi Matematica 1 Esercizi 1. Provare che gli assiomi dell addizione implicano le seguenti proprietà (a) Se x + y = y + z allora x = z. (b) Se x + y = y allora x = 0. (c) Se x + y = 0 allora y = x (unicità dell opposto). (d) ( x) = x. 2. Provare che gli assiomi della moltiplicazione implicano le seguenti proprietà (a) Se x 0 e xy = xz, allora y = z. (b) Se x 0 e xy = y, allora x = 1. (c) Se x 0 e xy = 1, allora y = 1/x (unicità del reciproco). (d) Se x 0, allora 1/(1/x) = x. 3. Provare che gli assiomi di corpo implicano le seguenti proprietà (a) 0x = 0. (b) Se x 0 e y 0, allora xy 0. (c) ( x)y = (xy) = x( y). (d) ( x)( y) = xy. Nota: gli esercizi dal (4) al (13) servono per ripassare l algebra delle disuguaglianze. Essi sono in ordine, nel senso che per svolgerne uno può essere necessario utilizzarne uno precedente. 4. Siano x, y R. Provare che x y se e solo se y x 0 e x < y se e solo se y x > 0. Dedurne che l opposto di un numero positivo è un numero negativo e l opposto di un numero negativo è un numero positivo. 5. Siano x 1, x 2, y 1, y 2 R. Provare che se x 1 y 1 e x 2 y 2 allora si ha anche x 1 + x 2 y 1 + y 2 ; provare inoltre che quest ultima diseguaglianza è stretta (ossia < ) se e solo se una delle due precedenti lo è. 6. Provare che la somma di un numero finito di numeri reali non negativi è non negativa e che se almeno uno di essi è positivo, la somma è positiva. 7. Siano x, y, z R con z < 0. Provare che se x y, allora xz yz e se x < y, allora xz < yz. 8. Provare che per ogni numero reale x si ha x 2 0 e che se x 2 = 0 allora x = 0. 9. Siano x 1, x 2, y 1, y 2 R. Provare che (a) se 0 x 1 y 1 e 0 x 2 y 2 allora x 1 x 2 y 1 y 2 ; (b) se y 1 > 0 e y 2 > 0 e x 1 < y 1 oppure x 2 < y 2, allora x 1 x 2 < y 1 y 2.

Numeri reali 31 10. Provare che il prodotto di un numero finito di numeri reali positivi è positivo. 11. Provare che se x R è positivo, allora 1/x > 0 e se è negativo allora 1/x < 0. 12. Siano x e y due numeri reali positivi. Provare che x y se e solo se y/x 1 e x < y se e solo se y/x > 1. 13. Siano x, y R entrambi non nulli. Provare che (a) se 0 < x < y oppure x < y < 0, allora 1/x > 1/y; (b) se x < 0 < y allora 1/x < 1/y. 14. Risolvere le seguenti disequazioni (i) x(x + 2) 2 < 0; (ii) (2x + 3) 4 (x + 4) < 0; (iii) 2x 1 x + 2 0; (iv) x2 3x 10 x 2 + x + 1 < 0. 15. Siano A k = {x R : kx 5 0} e B = {x R : x 3 < 0}. Per quali k R si ha A k B? Per quali k R si ha A k B? 16. Sia s Q tale che s 2 < 2. (i) si provi utilizzando l archimedeità di Q che esiste un intero n > 1 per il quale n(2 s 2 ) > 2s + 1; (ii) utilizzando il punto precedente, si provi che esiste un numero razionale del tipo r = s + 1/n con n intero positivo, tale che r 2 < 2. 17. Si provi che se esistesse un razionale s che separa gli insiemi A = {a Q : a 2 < 2} e B = {b Q : b 2 > 2}, allora necessariamente s 2 = 2. [Traccia: si proceda provando che né s 2 < 2 né s 2 > 2 possono essere vere per via di quanto visto all esercizio precedente.] 18. Provare che se A e B sono sottoinsiemi limitati di R tali sono anche A B e A B. 19. Dimostrare il punto (ii) della Proposizione 6.5. 20. Dimostrare il Lemma 7.1.