Elementi di Risk Management Quantitativo

Elementi di Risk Management Quantitativo Marco Bee (marco.bee@economia.unitn.it) Marzo 2006 Indice 1 Introduzione 2 2 Nozioni preliminari 2 2.1 Prezzi e rendimenti........................ 2 2.2 Capitalizzazione......................... 4 2.3 Sconto............................... 4 2.4 Il concetto di portafoglio..................... 5 2.5 Il Capital Asset Pricing Model................. 7 2.6 Relazione fra duration modificata e rischio........... 8 2.7 Il moto browniano........................ 9 2.8 Pricing di opzioni: il modello binomiale ad un periodo.... 10 2.9 Formula di Black & Scholes................... 14 3 Rischio e Misure di Rischio di Mercato 15 3.1 Modelli parametrici........................ 16 3.2 Metodi parametrici per il VaR di portafoglio......... 18 3.3 Metodi per la stima della varianza............... 21 3.4 Volatilità implicita........................ 25 3.5 Backtesting............................ 26 4 Riferimenti bibliografici 29 1

1 Introduzione La disciplina del Risk Management può essere suddivisa in due branche correlate ma distinte: 1. il risk measurement ha lo scopo di fornire misure quantitative di rischio individuate tramite la modellazione e la stima delle proprietà statistiche dei portafogli. Preliminarmente, è spesso necessario utilizzare tecniche di pricing per determinare i prezzi degli strumenti finanziari; 2. il risk management utilizza tali misure allo scopo di determinare l allocazione di capitale necessaria all istituzione finanziaria per coprirsi dai rischi. Dal punto di vista quantitativo, le tecniche utilizzate sono di tipo sia statistico (in quanto i portafogli sono variabili casuali di cui è necessario stimare i parametri) che matematico (strumenti di matematica finanziaria per prezzare le attività, metodi di ottimizzazione, ecc.) Argomenti: Strumenti quantitativi di base e misure di rischio; Rischi di mercato e operativi; Rischio di credito: stima della probabilità di def ault, modelli di portafoglio. 2 Nozioni preliminari 2.1 Prezzi e rendimenti Sia P t il prezzo di un attività finanziaria. La variazione percentuale di prezzo (rendimento netto) è data da R t = P t P t 1 P t 1. 2

Il rendimento lordo è dato da R l t = P t P t 1. Infine, il rendimento logaritmico è dato da ( ) r t = ln(rt) l Pt = ln = ln(p t ) ln(p t 1 ) = p t p t 1. P t 1 Teorema 1 Il rendimento logaritmico è un approssimazione lineare del rendimento netto. Dimostrazione. Si approssimi la funzione f(x) = ln(x) in un intorno di x 0 = 1 tramite la formula di Taylor troncata al primo termine: ln(x) = ln(x 0 ) + (x x 0 ) 1 x 0 + o(x x 0 ) 2 = (x 1) + o(x x 0 ) 2. Ponendo x = P t /P t 1 e trascurando il resto si ottiene ( ) Pt ln P t 1 = P t P t 1. P t 1 P t 1 P t 1 Teorema 2 Il rendimento logaritmico relativo a n periodi è dato da Dimostrazione. Esercizio. r n 0 = ln(p n /P 0 ) = r 1 0 + r 2 1 + + r n n 1. Perché è conveniente usare i rendimenti logaritmici? Principalmente per ragioni statistiche: i prezzi sono lognormali se e solo se i rendimenti logaritmici sono normali. Si supponga infatti che i rendimenti logaritmici siano normali: r t = µ + σɛ t, ɛ t N(0, 1), t = 1,..., T. Poiché r t = ln(p t /P t 1 ) = ln(p t ) ln(p t 1 ), e ponendo per semplicità µ = 0, abbiamo p t = p t 1 + σɛ t, t = 1,..., T. (1) Quindi p t p t 1 N(p t 1, σ 2 ). Applicando la funzione esponenziale all equazione (1) si ottiene il modello per l evoluzione temporale dei prezzi: e pt = e p t 1+σɛ t, 3

vale a dire P t = e p t 1 e σɛt = P t 1 e σɛ t t = 1,..., T, (2) che è una distribuzione lognormale di parametri p t 1 e σ 2. 2.2 Capitalizzazione Si supponga di investire x$ per n anni al tasso annuo R, con capitalizzazione solo alla fine dell anno. Allora il valore futuro dopo n anni è F V n = x(1 + R) n $. Se la capitalizzazione ha luogo m volte all anno si ottiene: ( F V n = x 1 + m) R nm $. Quando m, otteniamo la capitalizzazione continua: ( F Vn c = lim x 1 + R nm $ = xe m m) Rn $. Osservazione. Passando dalla capitalizzazione annuale a quella continua, il valore futuro (sul medesimo orizzonte temporale) aumenta progressivamente. 2.3 Sconto Le corrispondenti formule di sconto sono: x = F V n (1 + R) n $; F V n x = ( ) 1 + R nm $; m x = F V c n e Rn $. 4

2.4 Il concetto di portafoglio Un portafoglio di N attività è costruito come segue. Sia r i,t+1 il rendimento logaritmico dell attività i nel periodo [t, t + 1). I pesi delle attività nel portafoglio sono w = (w 1,..., w N ). Sia r = (r 1,..., r N ) ; siano inoltre E(r) = µ; var(r) = Σ. Sia r w = w r il rendimento del portafoglio. La sua media e varianza sono E(r w ) = w µ def = µ w ; var(r w ) = w Σw def = σ 2 w. Esempio. Sia r N N (µ, Σ), dove µ = (µ 1,..., µ N ) e Σ = diag(σ 2 1,..., σ2 N ). Allora r w N(w µ, w Σw), ovvero r w N( N i=1 w iµ i, N i=1 w2 i σ2 i ). Esempio 1. Il ruolo della correlazione ρ è essenziale nello studio della diversificazione di portafoglio. Si supponga che α i = 1/N, i = 1,..., N, che la PD e la correlazione siano uniformi: formalmente, L i Bin(1; π), i = 1,..., N; cov(l i, L j ) = ρ (i, j = 1,..., N, i j). Allora la varianza di L ptf = (1/N) N i=1 L i è data da: var(l ptf ) = 1 N N N 2 var(l i ) + cov(l i, L j ) i=1 = 1 N N 2 π(1 π) + i=1 i,j=1 i j N ρπ(1 π) i,j=1 i j = 1 [Nπ(1 π) + N(N 1)ρπ(1 π)] (3) N 2 π(1 π) (N 1)ρπ(1 π) = + N N π(1 π) ρπ(1 π) = + ρπ(1 π), N N dove la (3) discende dal fatto che il numero di elementi di una matrice quadrata (N N) al di fuori della diagonale è pari a N 2 N. La varianza del portafoglio è dunque composta da tre addendi. Il primo ed il terzo tendono a zero all aumentare del numero di controparti; il 5

secondo invece, non dipendendo da N, non può essere ridotto aumentando le dimensioni del portafoglio. Per questo motivo la quantità ρπ(1 π) è definita rischio non diversificabile. In definitiva si ha che lim (var(l ptf )) = ρπ(1 π). (4) N Da questo risultato si ricava che, quando le controparti sono correlate, per quanto si aumenti il numero delle controparti, non si può ridurre la varianza sotto una certa soglia. Dalla (4) emerge che la varianza asintotica del portafoglio è uguale a ρπ(1 π), che può assumere valori compresi fra 1 e +1. Ne risulterebbe dunque che la varianza asintotica, quando ρ < 0, è negativa. Questa conseguenza assurda può essere evitata se si impone che la matrice di covarianza sia definita positiva. Formalmente, si può dimostrare che, all aumentare di N, il range di valori ammissibili per il parametro ρ si restringe. Infatti la (4) è maggiore di zero per ogni α R N se e solo se cov(l) = Σ è definita positiva. Quando, come nel caso presente, Σ è data da 1 ρ ρ ρ ρ 1 ρ ρ Σ =....... ρ ρ 1 ρ ρ ρ ρ 1, il valore minimo di ρ per cui è definita positiva cresce al crescere di N. Più precisamente, è possibile dimostrare il seguente risultato. Proposizione 1 Sia X un vettore aleatorio N-dimensionale con E(X) = µ e cov(x) = Σ. Allora Σ è definita positiva (o, equivalentemente, cov(α X) = α Σα > 0 α R N ) se e solo se ρ > 1/(N 1). Ne segue che, per esempio, quando N = 2 la matrice è definita positiva per ρ > 1, quando N = 3 è definita positiva per ρ > 0.5, quando N = 3 è definita positiva per ρ > 0. 3, e così via. 6

2.5 Il Capital Asset Pricing Model Il Capital Asset Pricing Model è un modello di equilibrio dei rendimenti delle attività finanziarie. Si può dimostrare che ( ) σim µ i = r + (µ M r); E(R i ) = r + σ 2 M ( cov(ri, R M ) var(r M ) ) (µ M r), (5) dove r è il tasso di interesse risk-free µ M e σm 2 sono rispettivamente il valore atteso e la varianza del rendimento del portafoglio di mercato, che è il portafoglio contenente tutte le attività rischiose presenti sul mercato. Il beta per l i-esima attività è dato da cosicché il CAPM risulta essere β i = cov(r i, R M ), var(r M ) µ i = r + β i (µ M r). (6) Sia ora rp i = β i (µ M r); allora il CAPM può essere riscritto come µ i = r + rp i, che dà una misura esplicita del premio al rischio. Il CAPM cambia il nostro concetto di rischio da σ i a β i. Per esempio, si consideri un attività incorrelata col mercato: il suo beta è uguale a 0, quindi, anche se la sua volatilità, misurata da σ, è molto alta, il suo rendimento, in equilibrio, sarà uguale al tasso di interesse risk-free, perché il suo rischio può essere completamente diversificato. In altre parole, il beta di un attività dà una misura del suo rischio non diversificabile. Se σ i = σ M = 1, allora β i = cov(r i, R M ) = ρ nell esempio 1. Si noti che l equazione (6) può essere riscritta come un modello di regressione: dove ɛ i N(0, σ 2 ɛ i ). E(R i R M ) r = β i (E(R M ) r) R i r = β i (R M r) + ɛ i, 7

Risultati. 1. cov(ɛ i, R M ) = 0 [schema della dimostrazione: cov(ɛ i, r M ) = cov(r i β i r M, r M ) = cov(r i, r M ) β i σm 2 = σ im (σ im /σm 2 )σ2 M ) = 0]. 2. var(r i ) = βi 2σ2 M +σ2 ɛ i ; σm 2 è una misura del rischio sistematico, mentre è una misura del rischio specifico (o idiosincratico). Quest ultimo σ 2 ɛ i può essere ridotto (eliminato, asintoticamente) tramite diversificazione, cioè semplicemente aggiungendo altre attività al portafoglio. 3. L extra rendimento sull attività i-esima è collegato alla covarianza dei rendimenti fra l attività i ed il portafoglio di mercato. Un attività con beta uguale ad uno è, in media, rischiosa come il mercato; un attività con un beta maggiore di uno è, in media, più rischiosa del mercato; un attività con un beta minore di uno è, in media, meno rischiosa del mercato. In questa sede, più (meno) rischioso significa che l attività si muove più (meno) del mercato, cioè è un titolo aggressivo (difensivo). 4. La covarianza fra due attività è interamente determinata dai rispettivi beta: cov(r i r, R j r) = cov(r i, R j ) = E(R i R j ) E(R i )E(R j ) = = E(β i (R M r)β j (R M r)) β i β j (µ M r) 2 = β i β j (E(R M r) 2 (µ M r) 2 ) = = β i β j (E(RM) 2 µ 2 M) = = β i β j σm 2 5. Tecnicamente, il CAPM è un modello fattoriale, in cui il fattore è R M. 2.6 Relazione fra duration modificata e rischio La duration di un titolo obbligazionario è la derivata prima della funzione prezzo-rendimento; essa è data dalla media ponderata delle scadenze di tutti i flussi di cassa: D = N i=1 t F C t/(1 + y) t, P 8

dove F C sono i flussi di cassa (pagamento di cedole e rimborso del nominale) ed y è il tasso di rendimento effettivo a scadenza. Si definisce duration modificata la quantità DM = D/(1 + y). Si dimostra che vale la relazione Si ha dunque dp P dp P = DM dy. = DM dy r DM dy σ(r) DM σ(dy) 2.7 Il moto browniano Che ipotesi distribuzionali si adottano in tempo continuo? Normalmente si ipotizza che il prezzo del sottostante S t sia un moto browniano geometrico ds = µsdt + σsdz. Nella formula precedente, Z è un moto browniano standard, definito dalle seguenti proprietà: (i) Z 0 = 0; (ii) Z t Z s N(0, t s). (iii) Z t è funzione continua di t; (iv) se t 0 < t 1 < < t n, le v.c. indipendenti. Z 0, Z 1 Z 0,..., Z n Z n 1 sono In altre parole, dz N(0, dt) e dunque nel discreto si ottiene S n S n 1 S n 1 = µ + σ(z n Z n 1 ), da cui si ricava che i rendimenti percentuali sono normali con media nulla e varianza σ 2. Si può dimostrare tramite la formula di Ito che ) d ln S = (µ σ2 dt + σdz. 2 Nel discreto si avrebbe dunque vale a dire ln S n ln(s n 1 ) = ) (µ σ2 + σ(z n Z n 1 ). 2 S n = S n 1 e µ σ 2 +σ(z 2 n Z n 1 ). 9

2.8 Pricing di opzioni: il modello binomiale ad un periodo Un opzione è uno strumento finanziario che dà il diritto di comprare (opzione call) o vendere (opzione put) una quantità stabilita di una attività finanziaria (il sottostante) ad un prezzo prestabilito K (strike price) alla scadenza del contratto (opzione europea) o in qualsiasi momento tra l emissione e la scadenza (opzione americana). Il payoff a scadenza di una call è dato da max{s T K, 0}, quello di una put è dato da max{k S T, 0}. Le opzioni sono strumenti non lineari, nel senso che il loro prezzo reagisce in modo non proporzionale ad una variazione del prezzo del sottostante (che è la principale variabile che ne influenza il prezzo) e questa caratteristica è il motivo per cui prezzare questi strumenti è più difficile e richiede un approccio diverso rispetto, per esempio, ai bond; il metodo di pricing delle opzioni è noto come pricing by arbitrage. Si supponga che esistano sul mercato solo due strumenti: un azione e un opzione call il cui sottostante è l azione; inoltre è disponibile un conto corrente il cui rendimento lordo (rendimento lordo risk-free) è indicato con r (se dunque il rendimento netto è uguale al 5%, r = 1.05). Infine, operiamo in tempo discreto, con due soli tempi, 0 e 1. Costruiamo, al tempo 0, un portafoglio ottenuto prendendo a prestito β 0 $ in contanti e comprando α 0 azioni del sottostante. Il valore iniziale di questo portafoglio è dato da V 0 = β 0 + α 0 S 0. Il sottostante al tempo T = 1 può assumere due soli prezzi, e la sua distribuzione di probabilità è di tipo bernoulliano: us 0 con prob. π S 1 = gs 0 con prob. 1 π, 0 < g < u. Data questa struttura di prezzo per il sottostante, in T = 1 anche l opzione può assumere esclusivamente due valori: C u = max{us 0 K, 0} con prob. π C 1 = C g = max{gs 0 K, 0} con prob. 1 π. 10

Sulla base di queste sole informazioni, è possibile ricavare il prezzo dell opzione al tempo 0. A questo scopo, si considerino i due possibili valori del portafoglio al tempo 1: V u = us 0 α 0 + rβ 0 con prob. π V 1 = V g = gs 0 α 0 + rβ 0 con prob. 1 π. Scegliamo ora α 0 e β 0 in modo che le due equazioni seguenti siano simultaneamente soddisfatte: Si ricava facilmente us 0 α 0 + rβ 0 = C u gs 0 α 0 + rβ 0 = C g. α 0 = C u C g (u g)s 0 def =, β 0 = uc g gc u (u g)r. (8) Dunque il portafoglio costituito, in t = 0, da quote dell azione e β 0 $ ha, con certezza, lo stesso payoff dell opzione; ne segue che l opzione e il portafoglio devono avere lo stesso prezzo al tempo 0. Se così non fosse, sarebbe infatti possibile costruire un arbitraggio, cioè una strategia di trading che fornisce un profitto privo di rischio. Infatti, si ipotizzi che sia V 0 > C 0 : in questo caso un investitore potrebbe acquistare l opzione e vendere il portafoglio al tempo 0, con un introito pari a V 0 C 0 ; al tempo 1 il riacquisto del portafoglio al prezzo V 1 sarebbe esattamente compensato dalla vendita dell opzione. Svolgendo i calcoli (esercizio), si trova che il prezzo dell opzione al tempo 0 è dato da C 0 = S 0 + β 0 = 1 r dove π = (r g)/(u g). [( ) r g C u + u g ( ) ] u r C g u g = 1 r [π C u + (1 π )C g ] = 1 r E π (C 1), (9) (7) La strategia di copertura (hedging strategy) corrispondente alle operazioni matematiche descritte in precedenza consiste nelle seguenti operazioni: si costruisce, al tempo 0, un portafoglio ottenuto prendendo a prestito β 0 $ in contanti, comprando α 0 azioni del sottostante e 11

vendendo l opzione. Dunque, operazioni e relativi cashflow al tempo 0 sono come segue: vendo l opzione +C 0 prendo a prestito contanti +β 0 (10) acquisto azioni α 0 S 0. La strategia di copertura si conclude al tempo 1 nel modo seguente: rimborso l opzione C 1 rimborso il prestito β 0 r vendo le azioni α 0 S 1. (11) Sia nella (10) che nella (11) ovviamente bisogna sostituire i valori e β 0 ai valori α 0 e β 0. Esempio. Siano r = 1, S 0 = 10, K = 15, 20 con prob. π S 1 = 7.5 con prob. 1 π. (12) Ne segue che 5 con prob. π C 1 = 0 con prob. 1 π. (13) Dunque, applicando la (8), si ricava = 0.4, β0 = 3$, V 0 = 3$ + 0.4 10$ = 1$ e π = 0.2. Al tempo 0, la strategia di copertura consiste in vendere l opzione, il cui prezzo è uguale a V 0 (= +1$), prendere a prestito 3$ e comprare 4$ di azioni. Al tempo 1 ci sono due possibilità: 1. S 1 = 20$. L opzione viene esercitata ( 5$); rimborso il prestito ( 3$), vendo le azioni (+0.4 20$ = +8$). Bilancio netto: 0$. 2. S 1 = 7.5. L opzione non viene esercitata (0$); rimborso il prestito ( 3$), vendo le azioni (+0.4 7.5$ = +3$). Bilancio netto: 0$. 12

Osservazioni. 1. La (9) non dipende dall avversione al rischio degli investitori, ma solo dal fatto che preferiscano più denaro a meno denaro (questa è condizione necessaria per eliminare possibilità di arbitraggio); 2. la (9) non dipende dalla probabilità π, che è ignota ma riguardo alla quale ogni investitore ha una propria opinione; tale opinione è dunque irrilevante per la determinazione del prezzo; 3. la (9) è il valore atteso scontato del payoff dell opzione, dove il valore atteso è calcolato rispetto alla pseudo probabilità π, denominata probabilità risk-neutral. Rispetto a questa misura di probabilità il rendimento del portafoglio di replica è uguale al rendimento risk-free in quanto ha rendimento certo (non dipende dal valore del sottostante al tempo 1); 4. la distribuzione di probabilità determinata da π = (r g)/(u g) nel modello binomiale ad un periodo è definita risk-neutral nel senso seguente. Si verifica (esercizio) che: E π (V 1 V 0 ) = rβ0 + π us 0 α0 + (1 π )gs 0 α0 = rβ0 + rα0s 0 = rv 0, (14) dove la penultima uguaglianza si ottiene sviluppando la quantità π us 0 α0 + (1 π )gs 0 α0, utilizzando π = (r g)/(u g). La (14) dice che il rendimento atteso dell investimento nel portafoglio di replica è uguale al rendimento risk-free; equivalentemente, non c è premio al rischio; 5. condizione necessaria affinché π identifichi una misura di probabilità è che g r u. Osservazioni. Dal modello binomiale ad un periodo emergono fondamentalmente due messaggi. 1. Una posizione nell opzione è strettamente equivalente ad una posizione nel sottostante; quindi un portafoglio contenente l opzione e un appropriata quantità ( ) del sottostante è localmente privo di 13

rischio (con l avverbio localmente si intende per piccole variazioni del prezzo del sottostante ); essendo tale portafoglio privo di rischio, il suo rendimento deve essere il rendimento risk-free. Un portafoglio di opzioni e di posizioni nei rispettivi sottostanti è detto -neutral. 2. Il prezzo dell opzione al tempo t < T può essere calcolato scontando al tasso risk-free il valore atteso del payoff a scadenza calcolato sulla base della probabilità risk neutral. 2.9 Formula di Black & Scholes Il prezzo di un opzione call alla scadenza è dato da C T = max(0, S T K), dove K è lo strike price. Al tempo t < T, sulla base dei criteri del pricing risk-neutral, il prezzo è dato da C t = e r(t t) E π [max(0, S T K)], (15) dove π è la probabilità risk-neutral e r è il tasso di interesse risk-free. Analogamente, il prezzo di una put alla scadenza è C T = max(0, K S T ); al tempo t < T si ottiene: C t = e r(t t) E π [max(0, K S T )]. Si dimostra che la (15) si può scrivere nella forma C t = S t Φ(d 1 ) Ke r(t t) Φ(d 2 ), dove S t è il prezzo dell azione sottostante, T è la data di scadenza, K è lo strike price e d 1 e d 2 sono definiti come segue: d 1 = ln(s t/k) + (r + σ 2 /2)(T t) σ T t d 2 = ln(s t/k) + (r σ 2 /2)(T t) σ = d 1 σ T t. T t In termini puramente intuitivi, in t < T, S t Φ(d 1 ) è il valore atteso, calcolato rispetto alla probabilità risk-neutral, di una v.c. discreta che vale S T se S T > K e 0 altrimenti. Il termine Φ(d 2 ) è invece la probabilità, sempre risk-neutral, che l opzione venga esercitata alla scadenza. 14

Si noti che il prezzo C t di un opzione è funzione di S t, r, σ: C t = f(s t, r, σ). Inoltre dipende, ma in modo deterministico, dal tempo a scadenza T t e dallo strike price K. Osservazioni. La formula di B&S vale sotto le seguenti ipotesi: (i) la distribuzione del prezzo è un moto browniano; (ii) il tasso di interesse riskfree e la varianza σ 2 sono costanti; (iii) il mercato è perfetto (cioè le vendite allo scoperto sono ammesse, il mercato è sempre aperto, i costi di transazione sono nulli). Vale la pena di sottolineare esplicitamente che la formula è valida esclusivamente per opzioni di tipo europeo; per le opzioni americane ed esotiche il prezzo può essere determinato solo tramite metodi numerici, non in forma chiusa (eccezione: per un opzione call americana su un azione che non paga dividendi l esercizio anticipato rispetto alla scadenza non è mai conveniente; quindi il suo prezzo è identico a quello della corrispondente opzione europea e può essere ottenuto tramite la formula di B&S). 3 Rischio e Misure di Rischio di Mercato Definizione 1 Rischio finanziario. Si distinguono principalmente tre tipi di rischio. 1. Rischio di mercato: è il rischio di cambiamento di valore di una posizione finanziaria dovuto a cambiamenti di valore dei sottostanti da cui la posizione dipende (prezzi di azioni od obbligazioni, tassi di cambio e di interesse, prezzi di commodity, ecc.) 2. Rischio di credito: è il rischio di non ricevere rimborsi promessi a fronte di investimenti già effettuati, quali prestiti od obbligazioni, a causa del fallimento (def ault) della controparte. 3. Rischio operativo: rischio di perdite derivanti da processi o sistemi interni inadeguati o non andati a buon fine, da errati comportamenti di persone o da eventi esterni. Il Valore a Rischio (VaR) è la più usata misura di rischio. Definizione 2 Il VaR è la massima perdita a cui è soggetto un portafoglio, con probabilità data, su un orizzonte temporale predefinito. 15

A che cosa serve il VaR? Comparazione del rischio di strumenti diversi; misura riassuntiva del rischio di un portafoglio eterogeneo. Determinazione del capitale richiesto: il capitale è un cuscinetto, destinato ad assorbire le perdite; va proporzionato alla rischiosità degli attivi. Limiti all operatività. RiskMetrics c è un sistema, sviluppato da JP Morgan, costituito da un insieme di metodologie e dati per misurare il rischio di mercato. In questo contesto, per rischio di mercato si intende il cambiamento potenziale di una posizione derivante da variazioni dei prezzi di mercato. Si supponga di conoscere la densità f rw (r w ) della v.c. r w, ovvero del Profit & Loss (P&L) del portafoglio, al tempo T. Allora il VaR al tempo T al livello di confidenza α è il quantile α di tale distribuzione, cioè il numero V ar α tale che V arα f rw (x)dx = α. Una misura di rischio alternativa, che gode di proprietà migliori, è l Expected Shortfall (ES). Essa è definita come il valore atteso (condizionato) della distribuzione delle perdite superiori al VaR: ES α = E(r w r w > V ar α ) = V ar α xf rw (x)dx P (r w V ar α ). Altre misure di rischio sono specifiche alla misurazione di determinate tipologie di rischio: è per esempio il caso della probabilità di default, che è ovviamente pertinente al solo rischio di credito. In generale la distribuzione della v.c. r w non è nota, quindi è necessario introdurre ipotesi distribuzionali e stimare i parametri. 3.1 Modelli parametrici Nelle versioni base impiegano tutti, in misura diversa, l ipotesi di normalità. 16

Il VaR di una singola posizione. Si supponga r t N(0, σ 2 ). Allora il VaR giornaliero è dato da V ar α = V M σ z α, dove V M è il valore di mercato della posizione e z α è il quantile α della normale standard. Nelle medesime ipotesi, tuttavia, il VaR è normalmente calcolato come V ar α = V M δ σ f z α, dove V M è il valore di mercato della posizione, δ è un coefficiente di sensitività al fattore di rischio rilevante per l attività in questione, σ f è la volatilità del fattore di rischio e z α è il quantile α della normale standard. La scelta di δ dipende dall attività. RiskMetrics pone µ = 0 nella distribuzione dei rendimenti giornalieri. Infatti su un orizzonte temporale giornaliero µ è molto vicino a zero difficile stimarne il segno. Esempio. Sia r t = µ + σɛ t, t = 1,..., T, dove ɛ t N(0, 1), µ = 1/1000, σ = 1/1000. Siano le corrispondenti stime uguali a ˆµ = 1/10000 e ˆσ = 1/1000. Quindi P (r t > 0) = P (µ + σɛ t > 0) = P ( ɛ t > µ ) = σ ( = 1 Φ µ ). σ Con i veri valori di µ e σ si ottiene P (r t > 0) = 1 Φ( 1) = 0.8413; con i parametri stimati ˆµ e ˆσ, si ha invece P (r t > 0) = 1 Φ(0.1) = 0.4602. Anche ponendo µ = 0 non si risolve il problema in modo particolarmente convincente, in quanto si ottiene P (r t > 0) = 1 Φ(0) = 0.5, che può essere un valore molto distante da quello vero. Esempio. Posizione in BTP decennali, V M = 1000000$, duration modificata pari a 7 anni. Sia α = 0.01; sia inoltre la volatilità del tasso di rendimento giornaliero dei BTP decennali pari a σ = 0.0015. Allora il VaR giornaliero è dato da V ar α = 1000000$ 7 0.0015 2.326 = 24423$. 17

Esempio. Posizione in un azione, V M = 1000000$, volatilità giornaliera dell indice di riferimento σ M = 0.0061, β = 1.939; sia α = 0.99. Allora il VaR giornaliero è dato da V ar α = 1000000$ 1.939 0.0061 2.326 = 27512$. Alternativa: utilizziamo direttamente la volatilità giornaliera dell azione, che risulta σ = 0.0193. Dunque: V ar α = 1000000$ 0.0193 2.326 = 44892$. Si veda RiskMetrics Technical Document, sez. 6.3.2.2. Problema: volatilità multiperiodale. Si supponga che r t,t+1 N(µ, σ 2 ). Sulla base del teorema 2 si ha r t,t+n N(µn, σ 2 n). Dunque la volatilità n-periodale è uguale a σ n, cioè si ottiene dalla volatilità uniperiodale (tipicamente giornaliera) moltiplicando per la radice quadrata del tempo (square root of time rule). Esempio 1 (continua). Il VaR su un orizzonte temporale di 10 giorni è dato da V ar α = 1000000 7 0.0015 10 2.326 = 77232$. 3.2 Metodi parametrici per il VaR di portafoglio In tutti i metodi seguenti la formula di calcolo del V ar α è data da V ar α = z α σ w T. (16) L unica differenza riguarda la stima della volatilità dei rendimenti di portafoglio. (a) Portfolio-normal method. Si suppone che r w N(0, σw); 2 tuttavia NON si assume che i rendimenti delle singole posizioni siano normali. In questo caso, nella (16) si ha σ w = var(r w ) e z α è il quantile α della normale standard. Quando è ragionevole supporre che i rendimenti di portafoglio siano normali? Quando il portafoglio è molto frazionato (posizioni piccole e approssimativamente indipendenti): per il teorema del limite centrale, il portafoglio 18

è approssimativamente normale. Inoltre, la composizione del portafoglio deve essere approssimativamente costante nel tempo; in caso contrario non ha senso stimare i parametri tramite dati storici. Esempio. Portafoglio di N piccoli crediti al consumo; ogni posizione è caratterizzata da un indicatore dell evento default: 1 con prob. π i, D i = 0 con prob. 1 π i, i = 1,..., N, dove π i [0, 1]. Interpretazione: D i = 1 se la i-esima controparte è insolvente nell orizzonte temporale considerato, altrimenti D i = 0. D i ha distribuzione bernoulliana: P (D i = x) = π x i (1 π i ) 1 x, x = 0, 1, i = 1,..., N. Sia D = N i=1 w id i /N il tasso di default del portafoglio. Sotto le ipotesi w i = 1/N e D i iid Bin(1; π) potremmo applicare direttamente il teorema di De Moivre-Laplace. E ragionevole utilizzarlo anche se le ipotesi non sono interamente rispettate 1. (b) Asset-normal method. In questo caso si assume r N N (0, Σ). La differenza rispetto al caso precedente consiste nel fatto che ora nella (16) si ha σ w = w Σw. Due problemi. (i) E ragionevole ipotizzare la normalità dei rendimenti delle singole posizioni? Dipende dagli strumenti: per esempio la distribuzione dei rendimenti delle opzioni non è simmetrica e quindi nemmeno normale. (ii) Se il portafoglio è grande, la stima di Σ è dispendiosa in termini computazionali; in particolare, indicando con T il numero di osservazioni, è richiesto che T > N; in caso contrario, può accadere che la stima ottenuta ˆΣ non sia definita positiva, ovvero che esista α R N tale che α ˆΣα < 0; ma α ˆΣα < 0 = var(α r) è la stima della varianza del portafoglio α r, che dunque avrebbe varianza stimata negativa, il che è assurdo. 1 Esistono versioni del teorema del limite centrale che non richiedono l ipotesi di equidistribuzione; l ipotesi di indipendenza è invece essenziale, ed è importante anche che i w i siano approssimativamente uguali. 19

(c) Delta-normal method. Quando il numero di posizioni è molto maggiore del numero di tassi di mercato che determinano il valore del portafoglio si può tentare di ridurre la dimensione del problema concentrandosi sui fattori di rischio anziché sulle posizioni di rischio. Sia dunque S il vettore M-dimensionale (M < N) contenente i fattori di rischio; sia inoltre δ il vettore (M 1) delle sensitività degli strumenti in portafoglio rispetto ai fattori di rischio. Infine si assume la normalità multivariata di S: S N N (0, Σ S ). Per fattori di rischio si intendono i tassi di mercato, vale a dire tassi di interesse, di cambio, di rendimento di indici azionari ecc., ma non tassi calcolati sulla base dei prezzi delle posizioni come nell approccio Asset-normal. Poiché si assume la normalità non solo dei tassi di mercato ma anche del rendimento di portafoglio r(s), implicitamente si assume che le funzioni che legano i prezzi degli strumenti in portafoglio ai tassi di mercato siano lineari, o almeno siano approssimativamente lineari, vale a dire possano essere approssimate con sufficiente precisione da un espansione di Taylor al primo ordine: r(s) θ + δ S, con δ = r(s)/ S. Dunque var(r(s)) δ Σ S δ. Esempio. Il VaR di un portafoglio contenente n 1 BTP decennali ed n 2 azioni italiane può essere calcolato tramite la matrice di covarianza (2 2) contenente varianze e covarianze dei fattori di rischio tasso di rendimento dei BTP decennali e tasso di rendimento dell indice S&P MIB. Quanto al vettore δ (2 2), è dato dalle sensitività medie di ciascun tipo di strumento rispetto al fattore di rischio: dunque δ 1 sarà dato dalla duration media dei BTP e δ 2 dal beta medio delle azioni. Pregi: riduce la dimensionalità del problema. Difetti: qualora le funzioni di prezzo non siano lineari, il metodo è appropriato solo su orizzonti temporali molto brevi (tanto più brevi quanto più non lineari sono le funzioni). 20

3.3 Metodi per la stima della varianza Fino a questo punto si è ipotizzato che: (i) i rendimenti abbiano distribuzione normale; (ii) la varianza sia stabile nel tempo. Entrambe le ipotesi sono piuttosto forti e per rendere più realistici i modelli si è cercato di eliminarle. Si supponga in primo luogo che la varianza sia time-varying; ciò equivale a modificare il modello dei rendimenti come segue: r t = σ t ɛ t, t = 1,..., T. In particolare, si ipotizza che la varianza al tempo t dipenda dalla varianza al tempo t 1 e dal quadrato del rendimento al tempo t: σ 2 t+1 = λσ 2 t + (1 λ)r 2 t. Per stimare la volatilità, nell approccio RiskMetrics si utilizza quindi uno stimatore che dipende dal tempo e viene definito Exponentially Weighted Moving Average (EWMA): la previsione della varianza al tempo t + 1 effettuata al tempo t è data da ˆσ t+1 t 2 = 1 + + λ i 1 (r t+1 i r t ) 2, λ < 1. (17) i=1 λi 1 i=1 E chiaro che in pratica la serie va troncata: è prassi utilizzare 75 osservazioni, ovvero ˆσ 2 t+1 t = 1 T i=1 λi 1 T i=1 λ i 1 (r t+1 i r t ) 2, λ < 1, (18) dove T = 75 e r t = (1/T ) T i=1 r t+1 i. Tramite il parametro λ si pesano di più le osservazioni più recenti. Quando λ = 1 tale formula si riduce alla varianza campionaria: ˆσ 2 t+1 t = 1 T T (r t+1 i r t ) 2. i=1 RiskMetrics fissa λ = 0.94 e r t = 0. Oltre al fatto di essere frutto di una scelta poco corretta dal punto di vista metodologico (i parametri andrebbero stimati sulla base dei dati), il valore 0.94 per il parametro λ è in generale troppo alto (esistono numerose verifiche empiriche in merito). 21

Un vantaggio di questo stimatore è che può essere calcolato (approssimativamente) tramite una formula ricorsiva a mano a mano che si rendono disponibili ulteriori osservazioni: ˆσ 2 t+1 t = λˆσ2 t t 1 + (1 λ)r2 t. (19) Teorema 3 La formula ricorsiva (19) per il calcolo dello stimatore EWMA tende, per T, alla formula esatta (17). Dimostrazione. E noto che + t=0 λ t = 1, λ < 1. 1 λ Allora lim T (1/ T i=1 λi 1 ) = 1 λ. Si ha dunque Quindi, ˆσ t+1 t 2 = 1 + λ i 1 r 2 i=1 λi 1 t+1 i lim T i=1 = (1 λ)(r 2 t + λr 2 t 1 + λ 2 r 2 t 2 + ) = (1 λ)r 2 t + λ(1 λ)(r 2 t 1 + λr 2 t 2 + λ 2 r 2 t 3 + ) = (1 λ)r 2 t + λˆσ 2 t t 1. 1 T i=0 λi 1 T i=1 λ i 1 r 2 t+1 i = (1 λ)r 2 t + λˆσ 2 t t 1. Come la volatilità, anche la covarianza può essere calcolata tramite una formula EWMA: σ 12 = 1 T i=1 λi 1 T i=1 λ i 1 (r 1,t+1 i r 1 )(r 2,t+1 i r 2 ). Tale formula può a sua volta essere espressa in forma ricorsiva (in questo caso λ è posto pari a 0.97): σ 12,t+1 t = λσ 2 12,t t 1 + (1 λ)r 1tr 2t. Osservazione. La stima della matrice di covarianza ottenuta tramite lo stimatore EWMA applicato ad ogni elemento della matrice ha una caratteristica negativa: non è infatti garantito che sia definita positiva. Indicando con S E (di dimensione p p) lo stimatore EWMA della matrice di covarianza 22

Σ, può succedere che, per qualche vettore α R p, si abbia α S E α < 0. Ne segue che, indicando con r = (r 1,..., r p ) il vettore dei rendimenti di p attività finanziarie (dove E(r) = µ e cov(r) = Σ) e con α = (α 1,..., α p ) il vettore dei pesi (dove α i [0, 1] i, p i=1 α i = 1), esiste un portafoglio α R la cui varianza stimata è negativa. Da questo punto di vista è dunque preferibile lo stimatore campionario S (ottenuto con λ = 1), che, sotto l ipotesi T > p, fornisce sempre una matrice definita positiva. Modelli GARCH. A partire dalla loro introduzione ad opera di Robert Engle nel 1982, i modelli della famiglia ARCH (AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity), poi estesi nella forma GARCH (Generalised AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity) hanno avuto una notevole diffusione in ambito finanziario. Il processo generatore dei dati è: r t = µ + σ t ɛ t. I modelli ARCH(q) e GARCH(p, q) sono dati rispettivamente da: σ 2 t = α + σ 2 t = α + q β i rt i; 2 i=1 q β i rt i 2 + i=1 p γ i σt i. 2 L idea che ha portato a tale formulazione è la seguente: osservando il grafico dei rendimenti di un attività finanziaria, generalmente si nota che la volatilità tende ad aggregarsi nel tempo. In altre parole, periodi di relativa calma, in cui cioè i rendimenti si muovono poco, e quindi la volatilità è bassa, si alternano a periodi turbolenti, in cui i rendimenti si muovono molto. Ne segue che ha senso ipotizzare che la volatilità al tempo t dipenda dai rendimenti al tempo t 1, t 2,..., t q (modelli ARCH(q)) o, più in generale, non solo dai rendimenti al tempo t 1, t 2,..., t q, ma anche dalla volatilità al tempo t 1, t 2,..., t p (modelli GARCH(p, q)). Nella forma più usata, si ipotizza che il processo generatore dei dati sia del tipo GARCH(1, 1): r t = σ t ɛ t, i=1 σ 2 t = α + βr 2 t 1 + γσ 2 t 1, 23

dove ɛ t N(0, 1). I due problemi principali associati ai modelli GARCH sono i seguenti: (i) stimare i parametri non è banale perché la funzione di verosimiglianza va massimizzata numericamente; (ii) in ambito multivariato i modelli sono molto complicati perché il numero di parametri cresce esponenzialmente. Se si assume che la varianza dei rendimenti segua un processo del tipo GARCH, la distribuzione condizionata della v.c. r t r t 1 è normale con media nulla e varianza σ 2 t, ma la distribuzione non condizionata non è normale: in particolare, si dimostra che la curtosi della distribuzione non condizionata, data da k = E(r4 t ) [var(r t )] 2 > 3, dove come è noto 3 è la curtosi di una v.c. normale; dunque la distribuzione non condizionata di r t ha code più pesanti della normale. Si noti che ponendo α = 0 e γ = 1 β si ottiene la formula ricorsiva per la volatilità EWMA. In particolare, la soluzione adottata da RiskMetrics si ottiene con β = 0.94. Esempio. Previsione della volatilità: si vuole prevedere la volatilità giornaliera dei rendimenti dell azione Enel e dell indice Mibtel per il giorno 23 luglio 2005 utilizzando i dati degli ultimi 75 giorni. I risultati sono esposti nella tabella seguente. Enel Mibtel Volatilità campionaria 0.975% 0.691% EWMA 0.916% 0.653% GARCH(1,1) 0.975% 0.578% Le misure di volatilità calcolate nella tabella sono molto simili fra loro; tipicamente, esse si differenziano in modo consistente quando l osservazione più recente è grande : in questo caso la volatilità EWMA (e, in misura minore, la volatilità GARCH) reagiscono rapidamente, aumentando sensibilmente, mentre la volatilità campionaria reagisce in misura molto minore. Dunque 24

l impiego della volatilità EWMA tende ad essere preferibile quando si voglia una misura di volatilità che si adegui rapidamente al mutare delle condizioni di mercato, mentre la volatilità campionaria è più adatta alle analisi rivolte al comportamento medio nel lungo periodo. 3.4 Volatilità implicita La volatilità viene normalmente stimata su base storica; tuttavia in alcuni casi è possibile fare ricorso alla cosiddetta volatilità implicita: ciò accade per esempio con la formula di Black & Scholes. Nella formula di B&S, infatti, tutto è noto eccetto C t e/o σ. Normalmente si calcola su base storica uno stimatore ˆσ e si ricava il prezzo. Di fatto, tuttavia, è di solito disponibile un prezzo di mercato Ct M ; se il mercato dell opzione in questione è sufficientemente liquido, tale prezzo può essere considerato attendibile, e si può quindi, in linea di principio, invertire la formula di B&S in modo da ottenere una funzione del tipo σ = g(k, S t, r, T t, C t ) da cui ricavare σ. In pratica non si riesce ad invertire esplicitamente la formula di B&S (e dunque ad ottenere la funzione g in forma chiusa), tuttavia il problema è facilmente risolvibile per via numerica tramite algoritmi iterativi che, senza determinare la funzione inversa, trovano il valore di σ corrispondente a Ct M. La volatilità implicita è generalmente considerata dai practitioner più affidabile della volatilità storica; la ragione principale starebbe nel fatto che la volatilità implicita è considerata, a differenza della volatilità storica, forward-looking. Tuttavia vanno evidenziati alcuni problemi riguardanti l utilizzo della volatilità implicita: (i) è strettamente connessa all utilizzo di un certo modello parametrico di pricing delle opzioni (la formula di B&S); se la formula non è corretta, per esempio perché qualcuna delle ipotesi su cui si basa non è rispettata, la volatilità implicita non è uno stimatore corretto della volatilità; (ii) spesso si ritene che la volatilità implicita rifletta più rapidamente degli stimatori ottenuti tramite dati storici i cambiamenti di volatilità causati da mutate condizioni di mercato; ma se la volatilità non è co- 25

stante, allora certamente la formula di B&S non è valida e quindi non ha senso ricavarne una volatilità implicita! (iii) si noti infine che se la formula di B&S valesse, le volatilità implicite ricavate da opzioni diverse sul medesimo sottostante dovrebbero essere identiche, il che in pratica non si verifica e dunque qualche ipotesi della formula di B&S non è rispettata. In conclusione, sembra opportuno ridimensionare l importanza della volatilità implicita; se la volatilità è time-varying, è preferibile costruire modelli a volatilità non costante, stimata sulla base di dati storici (GARCH, volatilità stocastica,...). Oltre alla varianza non costante nel tempo, il secondo problema concernente la distribuzione di probabilità dei rendimenti riguarda la loro possibile non normalità. Il problema, noto fin da quando si è cominciato a studiare le proprietà statistiche delle distribuzioni di probabilità dei rendimenti, consiste nel fatto che la v.c. r t è tipicamente leptocurtica. Esistono numerose metodologie (GARCH, misture di normali, Extreme Value Theory,...) in grado di adattare ai dati distribuzioni leptocurtiche, che certamente portano a calcolare misure di VaR più precise; a fronte di tale vantaggio, vanno considerate due difficoltà: 1. la stima dei parametri di tali distribuzioni richiede l uso di algoritmi numerici, la cui implementazione può non essere immediata; inoltre, in generale tali algoritmi richiedono tempi di calcolo lunghi e possono presentare problemi di convergenza; 2. per il calcolo del VaR è pressoché invariabilmente necessario ricorrere al metodo Monte Carlo, che causa un ulteriore aggravio computazionale. 3.5 Backtesting Se la distribuzione ipotizzata approssima bene la vera distribuzione dei rendimenti, ci si aspetta che il VaR calcolato preveda con precisione la frequenza 26

delle perdite che eccedono il VaR. Quindi la più semplice procedura per verificare l appropriatezza della misura di VaR consiste nel contare il numero di eccedenze, cioè il numero di volte in cui il rendimento giornaliero osservato è minore del VaR calcolato. Sia 1 {rt <V ar t }(r t ) una variabile aleatoria definita come segue: X t def = 1 {rt <V ar t }(r t ) = 1 se r t < V ar t ; 0 altrimenti. Se il VaR al livello α è effettivamente il quantile α della distribuzione dei rendimenti, la variabile aleatoria X assume valore 1 con probabilità α e 0 con probabilità 1 α. Dunque, X ha distribuzione bernoulliana di parametro α. Poiché la somma di T variabili aleatorie bernoulliane indipendenti di parametro α ha distribuzione binomiale di parametri (N, α), si ha che def Y T = T t=1 X t Bin(T, α). Quindi ci si aspetta di osservare un numero di eccedenze pari a E(Y T ) = T α. Per esempio, se α = 0.05, in 4 settimane (20 giorni lavorativi) ci si aspetta di osservare T α = 20 0.05 = 1 eccedenza. Si consideri la variabile aleatoria Z T = Y T T α T α (1 α). Per il teorema del limite centrale, Z T T N(0, 1). Allora per T sufficientemente grande si può costruire il seguente test: si calcola la quantità z T = (y T T α)/ T α (1 α). Fissato un livello di significatività β, si accetta l ipotesi nulla H 0 : al livello di confidenza α, il modello prevede correttamente la frequenza delle perdite se z T < z 1 β, dove z 1 β è il quantile 1 β della distribuzione normale standard. Altrimenti si rifiuta l ipotesi nulla. Per l azione Enel (luglio 2004 - luglio 2005), effettuando tutti i calcoli richiesti si osservano 10 eccedenze del VaR al 95%, con T = 260 e β = 0.05. Dunque z 0.05 = Posto β = 0.05, si trova z 1 β accetta l ipotesi nulla. (10 260 0.05) 0.05 0.95 260 = 0.8537. = 1.6449 e, poiché 0.8537 < 1.6449, si Per quanto riguarda il VaR al 99% si ottengono 27

invece 7 eccedenze e z 0.01 = 2.7425. Essendo 2.7425 > 1.6449, si rifiuta l ipotesi nulla. Per l indice Mibtel, per il VaR al 95% (calcolato sul medesimo periodo) si ottengono 12 eccedenze; la statistica test assume valore 0.2846 e dunque si accetta l ipotesi nulla. Per il VaR al 99% si trovano 8 eccedenze, la statistica test è uguale a 3.3658 e l ipotesi nulla è rifiutata. In termini applicativi, il fatto che l ipotesi nulla venga rifiutata significa che si osserva un numero di eccedenze maggiore di quanto previsto dal modello; in altre parole il VaR sottostima la frequenza delle perdite più consistenti. In conclusione, sulla base di questa analisi (i cui risultati sono confermati da numerosi studi analoghi) il VaR normale sembra essere accettabile al 95% ma non al 99%. Questo fenomeno conferma che la distribuzione dei rendimenti giornalieri di serie finanziarie è leptocurtica. 28

4 Riferimenti bibliografici Jorion, P. (1995), Value at Risk, New York, McGraw-Hill. Riskmetrics (1995), Technical Document, 3rd edition, New York, J.P. Morgan. Riskmetrics (2001), Return to RiskMetrics: The Evolution of a Standard, New York, J.P. Morgan. Sironi, A. (2005), Rischio e Valore nelle Banche, Milano, Egea. 29