1 TEOREMA DEL CAMPIONAMENTO nota per il orso di Teleomuniazioni a ura di F. Benedetto G. Giunta 1. Introduzione Il proesso di ampionamento è di enorme importanza ai fini della realizzazione dei dispositivi digitali per le teleomuniazioni. Il ontenuto del segnale ampionato risultante dipende dalla relazione fra la frequenza di ampionamento impiegata e le omponenti minime e massime di frequenza del segnale analogio in ingresso. I segnali a tempo disreto spesso sono una versione ampionata di segnali a tempo ontinuo; analogamente i segnali e dati numerii derivano da una quantizzazione di ampioni. Ciò è dovuto al fatto he l elaborazione di segnali analogii si può eseguire vantaggiosamente operando preventivamente una onversione analogia/numeria o, sintetiamente onversione A/D, sulle forme d onda, elaborando poi numeriamente le sequenze osì ottenute ed effettuando infine, se neessario, una onversione numerio/analogia o sintetiamente onversione D/A. In ipotesi molto bene approssimate in pratia, una forma d onda è adeguatamente rappresentata dai suoi ampioni: nel prosieguo si stabilirà innanzi tutto quali debbano essere tali ipotesi e si mostrerà ome la forma d onda possa essere riostruita a partire dai propri ampioni (Teorema del ampionamento). 2. Campionamento e Riostruzione Si onsideri una forma d onda x a (t), vediamo di stabilire se e in quali ipotesi la sequenza dei suoi ampioni x(n)=x a (nt ), on - <n<, rappresenti il segnale tempo ontinuo x a (t) senza aluna perdita di informazione; ovvero, in modo equivalente, se ed in quali ondizioni sia possibile riostruire esattamente x a (t) a partire da x(n): T e detto periodo di ampionamento ed il suo reiproo f =1/T è la frequenza di ampionamento. Campionamento ideale: la versione ampionata idealmente di una forma d onda x a (t) è il segnale:
2 + a T (1) n= () = ( ) δ ( ) x t x nt t n δ e he il ampionamento ideale è shematizzabile ome il prodotto di x a (t) per il treno periodio di impulsi di Dira (o impulsi matematii): δ T + () t ( ) ome illustrato in fig.1. = δ t nt (2) n= Figura 1: Campionamento ideale uniforme Riordando inoltre he, per le proprietà della trasformata di Fourier, ad un ampionamento nel dominio del tempo orrisponde una repliazione (periodizzazione) in frequenza, si ha he lo spettro di x δ (t) vale: + + 1 k X δ ( f ) = Xa f = f Xa( f k T k= T k= f ) (3)
3 Dunque lo spettro del segnale ampionato idealmente è ostituito da replihe dello spettro di x a (t) traslate di kf =k/t e salate in ampiezza seondo il fattore 1/ T =f. La fig. 2 fornise l interpretazione grafia della preedente relazione: preisamente la fig. 2a mostra lo spettro di un segnale x a (t) on banda B, la fig. 2b rappresenta lo spettro del segnale ampionato nel aso he le replihe di X a (f) non si sovrappongono (sovraampionamento), essendo soddisfatta entro un erto margine la ondizione di Nyquist: 1 1 = T ovvero f 2B ovvero f 2B 1 B (4) T 2 Figura 2: Analisi del ampionamento nel dominio della frequenza La fig. 2 si riferise invee al aso di ampionamento a frequenza di Nyquist f =2B, mentre la fig. 2d è relativa al aso in ui tale ondizione non sia soddisfatta (sottoampionamento).
4 Dall analisi in frequenza del ampionamento segue he, se il segnale è a banda limitata ed è soddisfatta la ondizione di Nyquist, allora x a (t) può essere riostruito dalla sua versione ampionata x δ (t). Se invee il segnale non è a banda limitata o se, pur essendolo, le disuguaglianze espresse dalla (4) non sono soddisfatte, allora le replihe di X a (f) si sovrappongono, ome mostrato in fig. 2d, e quindi la riostruzione non è più possibile: si die allora he il segnale ampionato è affetto da aliasing. La minima frequenza di ampionamento per ui un segnale on banda B può essere riostruitosenza dar luogo ad aliasing è pari a f =2B e viene detta frequenza o adenza di Nyquist. In onlusione sussiste il seguente: Teorema del Campionamento Uniforme (o di Shannon): un segnale analogio x a (t) è rappresentato dai suoi ampioni presi on passo ostante T, ovvero on adenza f =1/T, se: - il segnale x a (t) è a banda rigorosamente limitata, ovvero se il suo spettro soddisfa la ondizione ( ) 0, X f = f B; a - la adenza di ampionamento è maggiore o uguale a quella di Nyquist, ioè f 2B. Pertanto, se x(t) è un segnale on spettro on banda B limitata (diverso da zero per le frequenze entro [-B, B]), allora per ogni selta del passo di ampionamento T 1/2B, x(t) ammette lo sviluppo in serie: t nt xt () = xnt ( ) sin π (5) n T Il risultato espresso dalla (5) è il medesimo al quale eravamo giunti in preedenza potendosi la (5) risrivere nel modo seguente: t xt () δ( t nt ) sin π (6) n T he, nel dominio di Fourier la preedente diventa: 1 k X f f T ret 12T k T T f (7) ( ) δ ( )
5 avendo definito la ret nel modo seguente: 12T ( ) T ret f T -1/2T 0 1/2T f T =1 t sin π T -3T 3T -T T Ovvero, dalla (7) si ottiene uno spettro periodio (termine a sinistra in parentesi quadre), periodio di periodo 1/ T ovvero f, limitato nell intervallo [-f /2, f /2] dal 1 f prodotto per la funzione ret ( f ) ovvero T ret ( f ) f 2. 12T *) Esempi di segnali, banda oupata e minima frequenza di ampionamento: a. segnale voale telefonio: B=4 KHz, f =8 KHz b. segnale audio qualità CD: B=22 KHz, f =44.1 KHz
6 3. Considerazioni onlusive. In onlusione, il teorema del ampionamento impone he la frequenza utilizzata per il ampionamento debba essere pari al doppio rispetto alla massima frequenza del segnale analogio da ampionare 2 f max, il he assiura la perfetta riostruzione del segnale analogio a partire dai singoli ampioni. La frequenza 2 f max è hiamata frequenza di Nyquist. E importante he la frequenza di ampionamento abbia sempre un valore superiore rispetto alla frequenza di Nyquist in modo tale da evitare il noto problema dell aliasing, ossia della sovrapposizione delle replihe dello spettro, he omporta un aberrazione irreversibile sul segnale ampionato. Nelle appliazioni pratihe, essendo assai raro il aso di segnali rigorosamente limitati in banda, il ampionamento viene effettuato utilizzando una misura di banda effiae tale he l errore di riostruzione dai ampioni (aliasing) sia trasurabile in quanto omparabile on le altre forme di errore di approssimazione (esempio: quantizzazione e odifia dei ampioni on un numero finito di bit), i disturbi additivi (esempio: l interferenza on segnali utili di altri utenti) ed il rumore termio e di antenna.