Elementi di Matematica Finanziaria Mercati e operazioni finanziarie
Mercati finanziari Punti di vista 1. Tipologie dei beni scambiati; 2. Partecipanti; 3. Ubicazione; 4. Regole e modalità contrattuali.
Mercati e operazioni finanziarie Funzioni del mercato finanziario 1. allocazione del credito: mediazione tra la domanda e l offerta di capitali; 2. garanzia della liquidità: possibilità di rivendere titoli in qualsiasi momento; 3. agevolazione della formazione dei prezzi: trattazione continua dei titoli; 4. gestione del sistema dei pagamenti: trasferimento di fondi e titoli tra diverse controparti.
Mercati e operazioni finanziarie Partecipanti al mercato finanziario 1. detentori di surplus di risparmio (investitori risparmiatori); 2. prenditori caratterizzati da deficit di risparmio (imprese, stato); 3. intermediari finanziari.
Operazioni finanziarie Classificazione Operazioni in condizione di certezza Operazioni in condizione di incertezza
Operazioni finanziarie Ipotesi Mercato perfetto privo di frizioni perfettamente competitivo assenza di arbitraggi
Mercato Perfetto Privo di frizioni non vi sono costi di transazione; non vi sono imposte; i titoli sono infinitamente divisibili nel senso che non vi è un taglio minimo per ciascun titolo; sono consentite le vendite allo scoperto (short sales); non c'è rischio di insolvenza da parte dell'emittente.
Mercato Perfetto Perfettamente competivo i partecipanti non sono in grado di influenzare i prezzi, che vengono determinati dall interazione tra domanda e offerta; i partecipanti sono agenti massimizzanti, nel senso che ottimizzano rispetto alla propria funzione obiettivo;
Mercato Perfetto Assenza di arbitraggi non è possibile conseguire un profitto a costo zero
Mercato Perfetto Soggetti Il risparmiatore (investitore), che acquista attività remunerative in cambio della rinuncia a disporre del capitale per un certo periodo di tempo e, quindi, della posticipazione del proprio consumo e richiede un premio (interesse). 2. Il prenditore, che prende a prestito per fare fronte ad un deficit di fondi. L'anticipazione del proprio consumo e/o investimento necessita il pagamento di un prezzo.
Operazione finanziaria elementare Definizione: Un operazione finanziaria elementare è un contratto che prevede la cessione da parte di un soggetto di un importo S disponibile ad una certa data, ad un altro soggetto, in cambio di un altro importo T, disponibile ad un'altra data, successiva alla prima.
Operazione finanziaria elementare S T=S+I ------------------------------------- t=0 t=1 I = interesse
Principio di equivalenza itertemporale L importo S al tempo t=0 equivale alla somma T=S+I al tempo t=1
Il denaro ha una dimensione temporale: Un stessa somma nominale ha un valore diverso a seconda della data a cui si riferisce
Esiste un costo implicito nella rinuncia di una somma di denaro tra due importi disponibili alla stessa data è preferito quello di ammontare maggiore; tra due importi di uguale ammontare disponibili in due date differenti è preferito quello disponibile alla data più prossima. L interesse deve essere non negativo
Operazione finanziaria In uno o più istanti temporali, si ha un flusso di finanziario: {x 1, x 2,..., x n }/{t 1, t 2,..., t n } = x/t Gli elementi del flusso finanziario possono essere sia positivi che negativi l insieme dei tempi è detto scadenziario
Operazione finanziaria L operazione finanziaria elementare si indica: {S, -(S+I)}/{0,1} dal punto di vista del prenditore {-S, (S+I)}/{0,1} dal punto di vista dell investitore
Operazione di investimento Un soggetto rinuncia al tempo t 0 ad una somma C per ottenere al tempo t f una nuova somma M La somma C è chiamata CAPITALE La somma M è chiamata MONTANTE Il tempo t f e il montante M possono o meno essere predefiniti La differenza I = M - C è chiamata INTERESSE Il rapporto i = I/C è chiamato TASSO di INTERESSE: I=C. i Il rapporto m = M/C è chiamato FATTORE DI CAPITALIZZAZIONE: M=C. m (spesso è indicato con r) m = r = 1 + i
Operazione di sconto Un soggetto rinuncia ad una somma futura K (al tempo t f ) per avere ora (al tempo t 0 )una sommap La somma K è chiamata CAPITALE Il tempo t f e il capitale K possono o meno essere predefiniti La somma P è chiamata VALORE ATTUALE di K La differenza D = K - P è chiamata SCONTO Il rapporto d= D/K è chiamato TASSO di SCONTO: D=K. d Il rapporto p = P/K è chiamato FATTORE DI SCONTO: K=P. p (spesso è indicato con <) p = < = 1 d
Grandezze equivalenti Da un punto di vista finanziario, due somme, esigibili a tempi diversi, sono equivalenti se esiste una relazione che le lega: Il capitale C ed il montante M: Da un certo punto di vista, appare equivalente avere C subito o avere M al tempo t f. Il capitale K ed il valore attuale P Il futuro credito K appare equivalente alla disponibilità immediata della somma P
Grandezze equivalenti Il capitale C si può interpretare come il valore attuale del montante M Il capitale K si può interpretare come il montante del valore attuale P Risulta: < = C/M = P/K = 1/r ovvero: < r = 1 d = i/(1+i)
Funzione valore Le relazioni precedenti portano a definire l esistenza di una funzione che esprima il valore, nel tempo, di una somma S V(t) = il valore della somma S all istante t V(0) = S V(1) = S + I
Funzione valore Fissati due istanti temporali, t e t+τ, si definisce: Interesse V(t,t+τ) = V(t+τ ) V(t) = I(t, t+τ) Fattore di capitalizzazione r(t, t+τ) = V(t+τ)/V(t) Fattore di sconto <(t, t+τ) = V(t)/ V(t+τ)
Funzione valore Fissati due istanti temporali, t e t+τ, si ottengono: Montante V(t+τ) = r(t, t+τ). V(t) Valore attuale V(t) = <(t, t+τ) V(t+τ) Tasso di interesse i(t, t+τ) = r(t, t+τ)-1 = 1/<(t, t+τ) -1
Funzione valore La conoscenza del fattore di capitalizzazione o del fattore di sconto permette di caratterizzare la funzione valore e tutte le altre grandezze associate
ESEMPIO 1 Si supponga di investire a t=1 la somma di 85 e di ottenere, a t = 2, 100. Calcolare: Interesse fattore di capitalizzazione (montante) fattore di sconto (attualizzazione) tassi di interesse e di sconto
ESEMPIO 2 Dobbiamo riscuotere 100 a una certa data futura. Supponendo che il tasso di interesse per l operazione sia del 7%, determinare: La somma che ci potrebbe essere anticipata in sostituzione del credito a scadenza Il tasso di sconto
ESEMPIO 3 In sostituzione di un debito che scade tra un anno di 500 ci vengono richiesti oggi 470. Supponendo che il tasso di interesse annuo sia del 5%, determinare: se l operazione è conveniente tasso di sconto
ESEMPIO 4 Si contrae un prestito di 100 e viene data l alternativa tra pagare gli interessi, posticipatamente, al 14% anticipatamene, al 12% Qual è l azione più conveniente?
ESEMPIO 5 Si contrae un prestito di 100 e viene data l alternativa tra pagare gli interessi, posticipatamente, al 14% anticipatamene, al 12% Qual è l azione più conveniente sapendo che la somma prestata può essere investita al 18%?