Geometria analitica piana 1. La geometria analitica Il metodo della geometria analitica consiste nell applicare gli strumenti dell algebra allo studio della geometria. Il legame tra enti algebrici ed enti geometrici è stabilito mediante il concetto di misura, che permette di associare numeri a grandezze geometriche (in particolare, lunghezze). Tramite misure di lunghezza, è noto che i numeri si possono rappresentare su una retta orientata su cui si siano fissati un punto O ed un segmento scelto come unità di misura: In tale rappresentazione, i numeri razionali non coprono tutta la retta, sulla quale restano buchi non occupati da alcun numero razionale. Ricorrendo ai numeri irrazionali, si stabilsce invece una corrispondenza biunivoca tra R e la retta: ad ogni numero reale corrisponde un punto sulla retta e, viceversa, ogni punto sulla retta rappresenta un numero reale. Fissate nel piano due rette perpendicolari orientate, che costituiscono un cosiddetto riferimento cartesiano, un analogo procedimento consente di stabilire una corrispondenza biunivoca tra punti del piano e coppie ordinate di numeri reali. Di conseguenza, ogni punto risulta etichettato da una coppia ordinata di numeri, detti coordinate cartesiane del punto, e si potrà quindi parlare
dell uno parlando dell altra, identificando cioè ogni punto con la coppia delle proprie coordinate. Le coordinate di un generico punto P sono di solito indicate con x e y e l identificazione si esprime scrivendo P (x, y). N.B. La coppia di numeri (x, y) èordinata,nelsensocheèimportantedistinguerla dalla coppia (y, x) in cui i numeri x e y sono scritti in ordine inverso. La prima coordinata di un punto P è detta ascissa di P, la seconda è detta ordinata di P ; di conseguenza, le rette del riferimento cartesiano fissato, che sono dette assi di riferimento (o assi cartesiani o assi coordinati), si distinguono in asse delle ascisse (o asse x) easse delle ordinate (o asse y). I quattro angoli in cui gli assi di riferimento dividono il piano sono detti quadranti. Il punto O di incontro degli assi di riferimento viene chiamato origine del riferimento ed ha coordinate entrambe nulle: O (0, 0). L introduzione di coordinate nel piano ha importanti conseguenze. Molte grandezze geometriche possono esprimersi in termini di coordinate mediante formule algebriche: la distanza d (P 1,P 2 ) tra due punti P 1 (x 1,y 1 ) e P 2 (x 2,y 2 ),cheèdefinita come la lunghezza del segmento P 1 P 2, è data da d (P 1,P 2 )= (x 2 x 1 ) 2 +(y 2 y 1 ) 2 il punto medio M del segmento che unisce i punti P 1 (x 1,y 1 ) e P 2 (x 2,y 2 ), che è definito come il punto di tale segmento equidistante dai suoi estremi, ha coordinate x M = x 1 + x 2 2 e y M = y 1 + y 2. 2 Insiemi di punti possono essere descritti descrivendo le loro coordinate. In quest ottica, acquistano rilevanza i cosiddetti luoghi geometrici, ossiagliin- siemi di punti le cui coordinate soddisfano una certa proprietà (detta proprietà caratteristica del luogo); tipicamente, la proprietà caratteristica di un luogo è un equazione contenente le coordinate: il luogo corrispondente è allora l insieme di tuttiesoliipuntilecuicoordinatesonosoluzionedell equazione. M.Guida, S.Rolando, 2008
2. La retta Una qualsiasi equazione di 1 grado nelle incognite x e y ax + by + c =0 con a e b non entrambi nulli (2.1) rappresenta una retta nel piano e, viceversa, ogni retta del piano è rappresentata da un equazione di 1 grado nelle incognite x e y. A seconda del valore dei coecienti a, b, c si ottiene una retta piuttosto che un altra. Per disegnare una retta sono sucienti due suoi punti: nota l equazione della retta, è allora suciente determinarne due soluzioni; ad esempio, se allora r : 6x 3y =1 x y =2x 1 3 0 1/3 1 5/3 i punti P 0, 3 1 e Q 1, 5 3 appartengono ad r. La retta (2.1) è parallela all asse y se e solo se b =0, mentre è parallela all asse x se e solo se a =0; inoltre, passa per l origine O (0, 0) se e solo se c =0. La bisettrice dei quadranti I e III ha equazione y = x, mentre la bisettrice dei quadranti II e IV ha equazione y = x. Se una retta non è parallela all asse y, la sua equazione (2.1) può essere esplicitata rispetto a y (in quanto deve essere b = 0) e scritta quindi nella forma esplicita y = mx + q che ha rilevanza per il significato assunto dai coecienti m e q: m èdettocoeciente angolare della retta e misura la sua inclinazione rispetto all asse x; più precisamente, si ha m =tan dove è l angolo antiorario che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse q èdettoordinata all origine e coincide con l ordinata del punto in cui la retta interseca l asse x. 3
È naturale aspettarsi che parallelismo e perpendicolarità tra due rette possano essere espressi in termini dei loro coecienti angolari, in quanto essi ne caratterizzano l inclinazione. In eetti, si dimostra che due rette y = m 1 x + q 1 ed y = m 2 x + q 2 sono parallele se e solo se hanno lo stesso coeciente angolare, ossia m 1 = m 2 perpendicolari se e solo se il prodotto dei loro coecienti angolari vale 1, ossia m 1 = 1 m 2. La retta passante per il punto P 0 (x 0,y 0 ) ed avente coeciente angolare m ha equazione y y 0 = m (x x 0 ). (2.2) La retta passante per i due punti P 1 (x 1,y 1 ) e P 2 (x 2,y 2 ) ha equazione y y 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) (2.3) se x 2 = x 1 (altrimenti, si tratta della retta x = x 1, parallela all asse y). La distanza del punto P 0 (x 0,y 0 ) dalla retta r : ax + by + c =0èladistanzatra P 0 ed il punto di intersezione tra r e la retta perpendicolare ad r passante per P 0 (proiezione ortogonale di P 0 su r) e risulta data da d (P 0,r)= ax 0 + by 0 + c a2 + b 2. Esempio Si voglia determinare l equazione della retta parallela alla bisettrice dei quadranti II e IV e passante per il punto P (1, 2). La bisettrice y = x ha coeciente angolare m = 1, che è anche il coeciente angolare di qualunque retta ad essa parallela. La retta di cui dobbiamo determinare l equazione ha dunque coeciente angolare m = 1 e passa per il punto P (1, 2). La formula (2.2) con x 0 =1e y 0 = 2 fornisce allora y (2) = (x 1) y +2 = x +1 y = x 1. Esempio Si voglia scrivere l equazione della retta r passante per i punti P 1 (1, 1) e P 2 (5, 2), verificando poi se R(9, 5) e Q(2, 1) appartengono ad r. 4
Dalla formula (2.3) con x 1 =1, y 1 = 1, x 2 =5ed y 2 =2, si ottiene subito y +1 = 2+1 (x 1) 5 1 y = 3 (x 1) 1 4 y = 3 4 x 7 4. Dunque un punto P (x, y) appartiene ad r seesoloselesuecoordinate(x, y) soddisfano tale equazione. In particolare, R(9, 5) appartiene ad r perché 5= 3 4 9 7 4, mentre Q(2, 1) non appartiene ad r perché 1 = 3 4 2 7 4 = 1 4. 3. Le coniche (reali non degeneri) Si chiamano coniche reali non degeneri le curve che si ottengono intersecando una superficie conica con un piano non passante per il suo vertice. ellisse (reale non degenere) parabola (non degenere) iperbole (non degenere) Ogni conica reale non degenere è rappresentata da un equazione di 2 grado nelle incognite x e y Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F =0, la quale individua un ellisse (eventualmente una circonferenza), una parabola o un iperbole a seconda del valore dei coecienti A, B, C, D, E, F. Il viceversa non è vero in termini di coniche reali non degeneri 1. Nel seguito richiameremo solo alcuni casi particolari, quasi tutti rappresentati da equazioni prive del termine misto, e sottintenderemo che tutte le coniche di cui parliamo sono reali e non degeneri, evitandodispecificarlo ogni volta. 1 ma sarebbe vero considerando anche coniche degeneri e coniche a punti immaginari, di cui non ci occupiamo 5
4. Intersezione di curve Le soluzioni del sistema tra le equazioni di due o più curve coincidono con le coordinate di tutti e soli i punti di intersezione di tali curve. Infatti, risolvendo il sistema, si determinano le coppie (x, y) che soddisfano tutte le sue equazioni, cioè le coordinate di quei punti che appartengono a tutte le curve considerate. 5. La circonferenza I luoghi geometrici rappresentati da equazioni di 2 grado del tipo x 2 + y 2 + ax + by + c =0 con a2 4 + b2 c>0 4 (5.1) sono circonferenze, e viceversa. Infatti la circonferenza di centro C (, ) e raggio R>0 èperdefinizione il luogo dei punti P (x, y) tali che d (P, C) =R, ossia che, a conti fatti, equivale a (x ) 2 +(y ) 2 = R 2 (5.2) x 2 + y 2 2x 2y + 2 + 2 R 2 =0 che è della forma (5.1). Viceversa, una qualsiasi equazione del tipo (5.1) si riporta alla (5.2) con il cosiddetto metodo del completamento del quadrato (che è utile in numerose altre situazioni): ad esempio, l equazione equivale a x 2 + y 2 2x + y 1=0 x 2 2x +11 + x 2 2x +1 1+ (per cui (2)2 4 x 2 2x + y 2 +2 12 y y 2 +2 1 2 y + 1 4 1 4 y 2 +2 1 2 y + 1 4 + 12 4 (1) = 9 4 > 0) 1 = 0 1 = 0 1 4 1 = 0 (x 1) 2 + y + 1 2 = 9 2 4 e rappresenta quindi la circonferenza di centro C 1, 1 2 e raggio R = 9 4 = 3 2. Più in generale si verifica che la circonferenza (5.1) ha centro C e raggio R dati da Si noti che C a 2, b 2 ed R = a 2 4 + b2 4 c. 6
la circonferenza (5.1) passa per l origine O (0, 0) seesolosec =0; x 2 + y 2 =1rappresenta la circonferenza con centro nell origine e raggio 1. Osserviamo infine che, se a2 4 + b2 4 c =0, allora il luogo geometrico di equazione x 2 + y 2 + ax + by + c =0si riduce al solo punto a 2, 2 b (circonferenza degenere). Se invece a2 4 + b2 4 c<0, allora l equazione x2 + y 2 + ax + by + c =0è impossibile. 6. Parabole con asse parallelo agli assi coordinati I luoghi geometrici rappresentati da equazioni di 2 grado del tipo y = ax 2 + bx + c con a = 0 (6.1) sono parabole con asse parallelo all asse delle ordinate 2, e viceversa. La parabola (6.1) ha uno dei seguenti andamenti a seconda del segno del coeciente a = 0. Il sistema y = ax 2 + bx + c x =0 ha sempre l unica soluzione (0,c), che rappresenta quindi il punto di intersezione della parabola (6.1) con l asse delle ordinate x =0. Data la parabola P : y = ax 2 + bx + c, le eventuali soluzioni del sistema y = ax 2 + bx + c y =0 rappresentano le possibili intersezioni tra P e l asse delle ascisse y =0; si tratta quindi di studiare l equazione ax 2 +bx+c =0, il cui discriminante = b 2 4ac 2 ogni parabola ammette una retta come asse di simmetria, dettoasse della parabola 7
viene anche detto discriminante di P, e si potranno allora presentare le seguenti situazioni: < 0 no intersezioni = 0 1 intersezione > 0 2 intersezioni L asse della parabola (6.1) ha equazione x = b 2a mentre il punto V di intersezione tra parabola ed asse ha coordinate e viene detto vertice della parabola. V b 2a, 4a La parabola y = ax 2 + bx + c passa per l origine O (0, 0) seesolosec =0, mentre ha il vertice sul asse y se e solo se b =0. Stabilito (in base al segno di a) da che parte rivolge la propria concavità, per disegnare una parabola ci si accontenta in genere di posizionarne il vertice e le eventuali intersezioni con gli assi coordinati. 6.1. Parabole con asse parallelo all asse delle ascisse I luoghi geometrici rappresentati da equazioni di 2 grado del tipo x = ay 2 + by + c con a = 0 (6.2) 8
sono parabole con asse parallelo all asse delle ascisse, e viceversa. Esse hanno uno dei seguenti andamenti: con asse e vertice dati da y = b 2a e V 4a, b 2a. I ragionamenti circa le intersezioni della parabola (6.2) con gli assi coordinati si ripetono in modo analogo. 6.2. La parabola come luogo geometrico Si dimostra che ogni parabola è il luogo dei punti P (x, y) equidistanti da un punto F (fuoco della parabola) e da una retta d (direttrice della parabola). Per parabole (6.1) risulta F b 1, 2a 4a mentre per parabole (6.2) si ha 1 F 4a, b 2a e e d : y = 1+ 4a, d : x = 1+ 4a. 9
7.Ellisseconassiparalleliagliassicoordinati I luoghi geometrici rappresentati da equazioni di 2 grado del tipo (x x 0 ) 2 a 2 + (y y 0) 2 b 2 =1 (ovviamente con a, b = 0) (7.1) sono ellissi con assi paralleli agli assi coordinati e centro C (x 0,y 0 ) 3, e viceversa. Per disegnare l ellisse (7.1) è suciente posizionarne gli assi x = x 0 e y = y 0 e tenere presente il significato dei parametri a e b (che possono sempre essere scelti positivi), detti semiassi dell ellisse. I punti di intersezione tra l ellisse (7.1) ed i propri assi x = x 0 e y = y 0 hanno coordinate V 1 (x 0 + a, y 0 ), V 2 (x 0 a, y 0 ), V 3 (x 0,y 0 + b), V 4 (x 0,y 0 b) esonodettivertici dell ellisse. Per riconoscere se un equazione di 2 grado rappresenta un ellisse può essere necessario ricorrere al metodo del completamento del quadrato; ad esempio, l equazione x 2 +4y 2 2x +24y +33=0 equivale a x 2 +4y 2 2x +24y +33 = 0 x 2 2x +4 y 2 +6y +33 = 0 x 2 2x +1 1 +4 y 2 +6y +9 9 +33 = 0 x 2 2x +1 1+4 y 2 +6y +9 36 + 33 = 0 (x 1) 2 +4(y +3) 2 = 4 (x 1) 2 +(y +3) 2 1/4 = 1 3 ogni ellisse ammette una coppia di rette ortogonali come assi di simmetria, detteassi dell ellisse, il cui punto di intersezione è detto centro dell ellisse 10
che rappresenta l ellisse di assi x =1e y = 3, e semiassi a =1/2 e b =1. x 2 + y 2 =1con, > 0 è un ellisse riferita ai propri assi (ossia gli assi dell ellisse coincidono con gli assi di riferimento) e quindi con centro nell origine; in particolare, si tratta dell ellisse di semiassi a = 1 e b = 1 Se a = b, l ellisse (7.1) è in particolare una circonferenza. 7.1. L ellisse come luogo geometrico Si dimostra che ogni ellisse è il luogo dei punti P (x, y) per i quali la somma delle distanze da due punti F 1,F 2 (fuochi dell ellisse) ècostante.. Posto c = a 2 b 2,sea>bl ellisse (7.1) ha fuochi F 1 (x 0 c, y 0 ) ed F 2 (x 0 + c, y 0 ), mentre se a<brisulta F 1 (x 0,y 0 c) ed F 2 (x 0,y 0 + c). a>b 8. Iperbole con assi paralleli agli assi coordinati I luoghi geometrici rappresentati da equazioni di 2 grado del tipo a<b (x x 0 ) 2 a 2 (y y 0) 2 b 2 =1 (a, b = 0) (8.1) 11
oppure (x x 0 ) 2 a 2 (y y 0) 2 b 2 = 1 (a, b = 0) (8.2) sono iperboli con assi paralleli agli assi coordinati e centro C (x 0,y 0 ) 4, e viceversa. Iduerami delle iperboli (8.1) e (8.2) hanno rispettivamente gli andamenti riportati delle seguenti figure: 4 ogni iperbole ammette una coppia di rette ortogonali come assi di simmetria, dette assi dell iperbole, il cui punto di intersezione è detto centro dell iperbole 12
in cui sono evidenziati anche i relativi asintoti 5 e le loro equazioni (dove si è fatta la scelta, sempre possibile, di a e b positivi ). Per disegnare un iperbole èsuciente posizionarne gli asintoti ed eventualmente i vertici, che sono i punti comuni all iperbole ed all unico dei suoi due assi che la interseca (asse trasverso). Come si verifica facilmente, l iperbole (8.1) ha vertici mentre i vertici dell iperbole (8.1) sono V 1 (x 0 + a, y 0 ) e V 2 (x 0 a, y 0 ), V 1 (x 0,y 0 + a) e V 2 (x 0,y 0 a). Per riconoscere se un equazione di 2 grado rappresenta un iperbole può essere necessario ricorrere al metodo del completamento del quadrato, come per le ellissi. x 2 y 2 =1e x 2 y 2 = 1 con, > 0 sono iperboli riferite ai propri assi e quindi con centro nell origine; in particolare, si tratta delle iperboli di vertici V 1 (1/, 0),V 2 (1/, 0) e V 1 1/, 0,V2 1/, 0, rispettivamente, e asintoti y = ± /x. Un iperbole è detta equilatera se e solo se ha asintoti perpendicolari. Quindi, in particolare, le iperboli (8.1) e (8.2) sono equilatere se e solo se a = b (nel qual caso hanno per asintoti le bisettrici dei quadranti). 8.1. L iperbole come luogo geometrico Si dimostra che ogni iperbole è il luogo dei punti P (x, y) per i quali la dierenza delle distanze da due punti F 1,F 2 (fuochi dell iperbole) ècostante. 5 ogni iperbole ammette una coppia di rette, detti asintoti dell iperbole, che si incontrano nel suo centro ed alle quali, intuitivamente parlando, i rami dell iperbole si avvicinano indefinitamente, senza raggiungerle 13
I fuochi di un iperbole appartengono sempre al suo asse trasverso (detto per questo anche asse focale) ed in particolare, posto c = a 2 + b 2, l iperbole (8.1) ha fuochi F 1 (x 0 c, y 0 ) ed F 2 (x 0 + c, y 0 ), mentre i fuochi dell iperbole (8.2) sono dati da F 1 (x 0,y 0 c) ed F 2 (x 0,y 0 + c). 9. Iperbole equilatera con asintoti paralleli agli assi coordinati I luoghi geometrici rappresentati da equazioni di 2 grado equivalenti a equazioni del tipo y = ax + b con c = 0e ad = bc (9.1) cx + d sono iperboli equilatere con asintoti paralleli agli assi coordinati e centro C d c, a c (dette anche funzioni omografiche), e viceversa. Per disegnare un iperbole riferita ai propri asintoti ci si accontenta di solito di sapere che essa ha uno dei seguenti andamenti, a seconda dei coecienti a, b, c, d : ad < cb ad > cb Volendo essere più precisi, si può tenere presente che gli assi dell iperbole (9.1) passano per C e sono paralleli alle bisettrici dei quadranti, mentre i vertici si trovano naturalmente all intersezione dell iperbole con il proprio asse trasverso. Ad esempio y = 2x 2x 1 è l iperbole equilatera di centro C 1 2, 1,asintotix = 1 2 e y =1,assiy = x +1/2 e y = x +3/2 (si usi la formula (2.2)) e vertici dati dalle soluzioni di y = 2x 2x1 y = x + 1 2 y = 2x 2x1 2x 2x1 = x + 1 2 y = 2x 2x1 4x(2x+1)(2x1) 2(2x1) =0 y = 2x 2x1 4x 2 4x 1=0, cioè V 1 1+ 2 /2, 2+ 2 /2 e V2 1 2 /2, 2 2 /2. Notevole caso particolare di iperbole equilatera (9.1) è y = k x con k = 0,cioè xy = k con k = 0, 14
che è un iperbole riferita ai propri asintoti (ossia ha gli assi coordinati come asintoti) ed ha quindi l origine come centro e le bisettrici dei quadranti come assi. k>0 k<0 15