Esercizi di Aalisi II Ao Accademico 008-009 Successioi e serie di fuzioi. Serie di poteze. Studiare la covergeza della successioe di fuzioi (f ) N, dove f : [, ] R è defiita poedo f (x) := x +.. Studiare la covergeza della successioe di fuzioi (f ) N, dove f (x) = x e x x R. 3. Studiare la covergeza della successioe di fuzioi (f ) N, dove f (x) = + x + x x R. 4. Determiare gli isiemi di covergeza putuale, uiforme ed assoluta della serie di fuzioi [ ] arcta(x/) [,] (x), dove, per ogi isieme A, si poe: A (x) := { se x A ; 0 se x A. 5. Determiare gli isiemi di covergeza putuale, uiforme ed assoluta della seguete serie di fuzioi + x. 6. Si determii l isieme A di covergeza putuale della serie di fuzioi si ( ) e x. Si provi che su A o può esserci covergeza uiforme e si idividuio dei sottoisiemi di A sui quali la covergeza è uiforme.
7. Si cosideri la serie di fuzioi ( ) x +. Studiare la covergeza putuale, assoluta, uiforme e totale della serie. Idicata co F (x) la fuzioe somma della serie, discutere la cotiuità e la derivabilità di F (x). 8. Calcolare la somma delle serie cos(x) e si(x). 9. Determiare il raggio e l isieme di covergeza della serie x!. 0. Determiare gli isiemi di covergeza putuale, uiforme, assoluta e totale della serie x. =. Determiare il raggio di covergeza e l isieme di covergeza della serie di poteze x ( + ).. Determiare il raggio di covergeza e l isieme di covergeza della serie di poteze + + x3 3. 3. Trovare il raggio e l isieme di covergeza della serie x α (α > 0). 4. Determiare il raggio di covergeza e l isieme di covergeza della serie 5. Discutere la covergeza della serie (x ) 3 +.! x.
6. Studiare la covergeza putuale, assoluta ed uiforme della serie ( / ) x. 7. Al variare del parametro reale a 0, discutere la covergeza della serie a x. 8. Calcolare x. 9. Sviluppare i serie di poteze la fuzioe f(x) = precisado il raggio di covergeza. Calcolare poi f () (0) per ogi 0. x 8 x 8x +, 0. Determiare il raggio di covergeza e la somma delle segueti serie di poteze: ( ) x () x + ( + ) x ( )!. Provare che, per ogi x (, ) ed ogi α R, risulta ( + x) α = x, dove () (3) ( ) ( ) x (4) se = 0 ; = α(α ) (α + ) se.!. Verificare che la fuzioe f : R R defiita poedo { e /x se x 0 f(x) := 0 se x = 0 è di classe C, ma o è aalitica. 3
Cei di soluzioi. Per ogi x [, ] si ha lim f (x) = x = x, quidi la successioe coverge putualmete alla fuzioe f : [, ] R data da f(x) = x. Per studiare la covergeza uiforme osserviamo che, per ogi itero ed ogi puto x [, ], si ha f (x) f(x) =. x + + x Essedo poi x + + x x +, si ottiee D altra parte, f (x) f(x). f (0) f(0) =. Si coclude che dode sup f (x) f(x) =, x [,] [ ] lim sup f (x) f(x) x [,] per cui la covergeza è ache uiforme.. I progress 3. I progress = lim = 0, 4. Si osservi che arcta(x/) [,] (x) arcta() = π 4 <. Pertato il termie esimo della serie si maggiora i modulo co (π/4) : dal criterio di Weierstrass segue allora la covergeza (totale) uiforme, assoluta e putuale della serie su R. 5. Evidetemete la serie o coverge se x =. Essedo poi 0 + x x, la serie coverge assolutamete e putualmete i R \ {0}. 4
La covergeza uiforme i u isieme A implica la covergeza putuale ei puti di accumulazioe di A (Teorema del doppio limite): pertato 0 o può essere di accumulazioe per A i caso di covergeza uiforme su A. Viceversa, se 0 o è di accumulazioe per A, si ha che A (, ɛ] [ɛ, ) per qualche ɛ > 0: pertato 0 + x + ɛ x A, dode la covergeza (totale) uiforme i A i virtù del criterio di Weierstrass. 6. Per x = 0 il termie geerale della serie umerica otteuta vale si e o è ifiitesimo, quidi o c è covergeza. Se ivece x A := R \ {0}, si ha 0 < e x <, dode 0 < si ( e x ) e x : i tal caso, perciò, la serie umerica associata è maggiorata dalla serie geometrica di ragioe e x, la quale coverge perché e x <. Si coclude che la serie assegata coverge putualmete su A. Idichiamo adesso co S k (x) la somma parziale k esima della serie, cioè S k (x) := k si ( ) e x. Lo zero è puto di accumulazioe dell isieme A; ioltre ciascua delle fuzioi S k (x) è cotiua i R, quidi esiste fiito il limite lim x 0 S k (x), e azi lim S k(x) = x 0 k si = k(si ). D altra parte, la successioe (k si ) k diverge: per il teorema del doppio limite, allora, la successioe (S k ) k o può covergere uiformemete i A, duque la serie di fuzioi assegata o coverge uiformemete i A. Si ha ivece covergeza uiforme sugli isiemi della forma R \ ( ξ, ξ), dove ξ > 0: ifatti, poiché 0 < e x < π, e poiché sull itervallo [0, π/] la fuzioe seo è crescete, risulta D altra parte, la serie sup si(e x ) = si(e ξ ) e ξ. x R\( ξ,ξ) e ξ coverge (si tratta di ua serie geometrica di ragioe e ξ < ): di cosegueza, la serie assegata coverge totalmete, quidi uiformemete, su R \ ( ξ, ξ). 7. I progress 8. Essedo e ix = cos(x) + i si(x) N, 5
si ha cos(x) + i si(x) = e ix = ( ) e ix. Quest ultima è ua serie geometrica di ragioe e ix /, la quale coverge i quato e ix = e ix = (cos x + si x) = <. Ioltre ( ) e ix = Si coclude che = cos(x) + i e ix / = e ix = ( cos x) i si x = (4 cos x) + i( si x) 5 4 cos x. si(x) (4 cos x) + i( si x) =. 5 4 cos x Uguagliado le parti reali e quelle immagiarie, si ottiee pertato cos(x) = 4 cos x 5 4 cos x e si(x) = si x 5 4 cos x. 9. Possiamo vedere questa serie f (x) come ua serie di poteze co coefficieti { se i =! per qualche ; a i := 0 altrimeti. oppure come serie di fuzioi geerica. Chiaramete 0 f (x) x, pertato sicuramete coverge putualmete ed assolutamete i (, ) e uiformemete i [ + ɛ, ɛ]. D altro cato, f (±) 0 se, pertato o coverge putualmete i {x : x }. Il raggio di covergeza è. ( 0. Raggio di covergeza. Covergeza putuale i [, ) (si) utilizzi il criterio di Leibiz i dopo aver mostrato che la successioe decresce. Covergeza assoluta i (, ). Covergeza uiforme (e totale) i A se e solo se A [ + ɛ, ɛ) per qualche ɛ > 0.. Raggio di covergeza. Covergeza putuale, assoluta ed uiforme (ache totale) i [, ] (per esempio, utilizzare il criterio di Weierstrass).. I progress 3. Raggio di covergeza (per ogi α R). 6
0 < α. Covergeza putuale i [, ), assoluta i (, ) ed uiforme (e totale) i A se e solo se A [ + ɛ, ɛ) per qualche ɛ > 0. < α. Covergeza putuale, assoluta ed uiforme (e totale) i [, ]. 4. I progress 5. Ricordiamo la formula di De Moivre-Stirlig! (/e) π. Ioltre se a b (etrambe di sego defiitivamete positivo) e k M ogi N allora a k bordi si ha quidi o c è covergeza. b k. Pertato!/ π/e /e, da cui R = e. Ai!(±e) / (±) π 0, C è covergeze putuale ed assoluta i (, ) e covergeza uiforme i ogi isieme A [ + ɛ, ɛ] per qualche ɛ > 0. 6. Calcoliamo da cui R =. Ai bordi si deve calcolare Ora, duque si ha covergeza. ( / ) = ( / ) 3/(), (±) ( / ). ( (±) / ) = ( / ) e 3/, Pertato la serie coverge putualmete, assolutamete, uiformemete (e totalmete) i [, ]. 7. Se a = 0 chiaramete la serie è quella ulla. Se a > 0 si ha che lim a = lim a / =, pertato il raggio di covergeza della serie è. Ai bordi si hao le due serie (±) a. Se a il termie esimo o tede a 0 quidi o c è covergeza. Viceversa, se a <, allora si ha che 0 a = a / M, poiché a 0 se e quidi è limitata. Quidi si ha covergeza, per il criterio di Weierstrass. Pertato Se a < si ha covergeza putuale, assoluta, uiforme (e totale) su [, ]. Se a si ha covergeza putuale ed assoluta su (, ) ed uiforme (e totale) su ogi isieme A [ + ɛ, ɛ] per qualche ɛ > 0. 7
8. Osserviamo che x = x x, el seso che le due serie hao lo stesso carattere e il limite, dove esiste, soddisfa questa uguagliaza. Ovviamete x = d dx x = d dx x = ( x), da cui 9. Si osservi che Essedo allora x = x ( x). x 8 x 8x + = x 8 (x 6)(x ) = x 6 + x. x 6 = 6 (x/6) = 6 x = (x/) = ( x ), 6 ( x ), di raggio rispettivamete 6 e, si ha x 8 x 8x + = ( x co raggio di covergeza. Ifie 0. I progress ) 6 ( x ) = 6 ( f () (0) =!a =! + + ) 6 +.. La serie di McLauri associata alla fuzioe ( + x) α è ( + ) 6 + x,! d [ ( + x) α ] dx (0) x ( ) D altra parte, u semplice ragioameto iduttivo mostra che d dx [ ( + x) α ] = α(α ) (α + )( + x) α, duque d [ ( + x) α ] dx (0) = α(α ) (α + ). La serie ( ) diviee allora + α(α ) (α + )! 8 x = x.
Applicado il criterio del rapporto, si trova che il raggio di covergeza di questa serie è. Per cocludere, si deve provare che, ell itervallo (, ), la serie ( α ) x coverge alla fuzioe ( + x) α. Posto si ha da cui (+x) f (x) = f(x) := f (x) = x x (, ), x, x + x = h=0 Ma dalla defiizioe di ( α ) segue facilmete che ( ) ( ) ( ) α α α (h + ) + h = α. h + h h [ ( ) ( )] α α (h + ) + h x h. h + h Di cosegueza Posto allora si ha ( + x) f (x) = α g(x) := h=0 x h = α f(x). h f(x) ( + x) α, g (x) = f (x) ( + x) α α f(x)( + x) α ( + x) α = = ( + x)α [ ( + x) f (x) α f(x) ] ( + x) α = 0, così che g(x) = λ, dove λ è ua costate. Pertato f(x) = λ( + x) α. Ma f(0) = = λ, per cui f(x) = ( + x) α. Questo coclude la dimostrazioe.. I progress 9