Idraulca e Idrologa: Lezone 7 Agenda del gorno - Uso delle dstrbuzon statstche; - Dstrbuzone d Gumbel; - Carte probablstche; - Plottng poston; - Elaborazon delle precptazon estreme; - Curve d probabltà pluvometrca; - Calcolo della Lnea Segnalatrce d Probabltà Pluvometrca tramte Ecel.
Quantle Defnzone: Il quantle relatvo alla probabltà p è l valore caratterzzato da una probabltà d non superamento par a p. Nota che p può essere collegata al tempo d rtorno da p=-(/) 2
Indcazon sul tempo d rtorno Volendo dare qualche ndcazone ntorno al tempo d rtorno da adottare n problem applcatv, s possono assumere gl orentament rportat n tabella. po d opera tempo d rtorno Pont e dfese spondal 00-50 Dfese de torrent 30-50 Dghe 500-000 Bonfche 5-25 Fognature urbane 5-0 ombn e pontcell d cors d acqua 30-50 Sottopass stradal 50-00 Cunette e foss d guarda 0-20 3
Parametr statstc L obettvo della statstca è quello d estrarre l nformazone essenzale da un nseme d dat sntetzzandolo n un certo numero d parametr. popolazone campone f ( ) d tendenza centrale ( meda) n n n 2 2 2 2 ( ) f ( ) d varablta' (varanza) s ( ) n ( ) f ( ) d 3 3 smmetra ( coeff. d asmmetra) C s n n ( ) ( n )( n 2) s 4 3 3
Msure d dspersone: varanza e devazone standard La varanza, come pure la devazone standard (la radce quadrata della varanza) costtusce una msura classca d dspersone. Come la meda, rsulta sensble alla presenza d outlers. 2 ( ) 2 f ( ) d dsperson e (varanza ) s 2 n ( ) n 2 Devazone standard = s s 2 2 s 5
Msure d dspersone: devazone standard e coeffcente d varazone Una msura d dspersone frequentemente utlzzata è costtuta dal coeffcente d varazone (CV), defnto come rapporto fra la devazone standard camponara s e la meda camponara m. CV s m Il coeffcente d varazone rsulta defnto solo se la meda è dversa da zero. Vene utlzzato soprattutto per confrontare la dspersone d campon dvers. 6
rattamento probablstco de dat drologc Come collegare la magntudo degl event estrem alla loro frequenza d accadmento tramte l mpego d dstrbuzon d probabltà? L nseme de dat dsponbl (p. es. 30 valor d portate massme annual osservate presso una certa sezone d chusura d un bacno) vene consderato come un campone estratto da una potetca popolazone d dmensone nfnta. Le propretà statstche de campon (meda, varanza,..) varano da campone a campone, mentre quelle della popolazone sono unche. ramte tecnche d nferenza statstca, le propretà della popolazone vengono stmate a partre da quelle del campone dsponble. Inferenza statstca tolo dagramma Popolazone Campone osservato Campone Campone 2 Campone 3... Campone n... Inseme de campon da cu è formata la popolazone 7
Uso d una funzone d dstrbuzone d probabltà per descrvere un campone d dat Processo d nferenza statstca Dato un campone d dat, 2, 3,.., n, della varable casuale X, c s pone l problema d determnare la forma d una funzone F() atta a rappresentare, con ragonevole approssmazone, la dstrbuzone vera, ma ncognta, della X. Processo d nferenza statstca scelta della dstrbuzone In base a ragonament sulla naturale varabltà d X s presuppongono una o pù forme analtche per la dstrbuzone ncognta stma de parametr della dstrbuzone metodo de moment metodo della massma verosmglanza metod grafc test d controllo vene valuata l'affdabltà delle dstrbuzon potzzate test d Kolmogorov-Smrnov test del Ch-quadro 8
Stma de parametr della dstrbuzone Una funzone d dstrbuzone d probabltà rmane un astrazone fno a quando non vene collegata alle osservazon del fenomeno fsco. Questo s ottene stmando parametr della dstrbuzone sulla base de dat del campone dsponble. ecnche dsponbl: - metodo de moment - metodo della massma verosmglanza - metod grafc Metodo de moment - I parametr delle dstrbuzon sono esprmbl n funzone de parametr statstc della popolazone (meda, varanza,..) - S assume che parametr statstc della popolazone concdano con quell del campone - I parametr della dstrbuzone prescelta vengono espress n funzone de parametr statstc del campone 9
Dstrbuzone d probabltà utlzzata nel corso Dstrbuzon: Gumbel 0
Dstrbuzone d Gumbel - Funzone d denstà d probabltà u u f ( ) ep ep F( ) ep u ep I due parametr sono: e u Le funzon possono essere espresse utlzzando la varable rdotta w=(-u)/ Metodo de moment per stma d e u u 6s 0. 5772 Dstrb. d denstà d probabltà d Gumbel w=(-u)/
Dstrbuzone d Gumbel - 2 Determnazone del valore d caratterzzato da un tempo d rtorno w u w F F X P X P è poché F w w F ln ln ) ( ) ( ) ( ) ( : ) ( ln ln )] ep( ep[ ) ( 2
Dstrbuzone d Gumbel - 3 Determnazone del valore d corrspondente ad un osservazone Noto l valore d ed de parametr u e, s calcola l valore d w, (varable rdotta), da cu s calcola F(X) e qund l valore del tempo d rtorno u w F( ) ep[ ep( w)] F( ) 3
Esempo d applcazone: dstrbuzone d Gumbel Stazone pluvografca d rento prncpal statstc del campone e valor de parametr della dstrbuzone d probabltà d GUMBEL Stma de parametr u e con l metodo de moment. Durata (ore) N cas mnmo massmo meda Devazone standard 52.0 45.0 2. 7.7 7.69288 6.00279 3 52 6.0 62.0 3.3.0 26.3538 8.59703 6 52 25.0 82.4 42.5 4.4 35.98954.23940 2 52 30.0 23.0 58.6 2.8 48.7789 7.0272 24 52 40.2 47.6 76.8 25.5 65.3335 9.89397 u Valor de quantl regolarzzat d precptazone (mm) con la dstrbuzone d probabltà d GUMBEL empo d rtorno () w Durata 2 5 20 50 00 2 0.3665 9.9 26.7 35.5 4. 45.3 5.49994 3 29.5 39.2 5.9 59.9 65.9 20 2.97020 6 40. 52.8 69.4 79.8 87.7 50 3.9094 2 55.0 74.3 99.3 5.2 27. 00 4.6005 24 72.6 95.2 24.4 42.9 56.8 4
Eserczo: calcolare con l metodo d Gumbel la pogga orara d tempo d rtorno ventennale per la stazone d Lago Verde Stazone Lago Verde (PAB) Valor pogga massma annuale Durata: ora 8.4 8.6 9.0.2 3.4 0.4 0.4 3.0 6.2 0.4 5.4 8.4 9.8 23.6 8.0 6s 3.44 u 0.5772.09 6s 3.44 u 0.5772.09 F() ep[ ep( w)] w ln ln poché è : P(X ) P(X F( ) w ln ln u w w 20 2.97 20 F() ) F(.09 3.44 2.97 2.3mm ) Meda=3.08 mm Dev St=4.4 mm 5
EJ Gumbel: matematco ed oppostore al regme nazsta EJ Gumbel nasce a Monaco l 8 luglo 89 e muore a New York l 0 settembre 966. EJ Gumbel non è noto solo per la sua attvtà d rcerca nel campo della matematca, ma anche per la sua attvtà come pacfsta ed oppostore al regme nazonalsocalsta. Gumbel nza la sua attvtà d rcerca ad Hedelberg nel 923. uttava, le sue crtche alle attvtà del partto nazsta lo costrngono a rparare n Franca nel 932, ed nfne negl USA dal 940. Vene accolto all unverstà d Standford, e nel 958 pubblca la sua opera pù famosa: Statstcs of etremes, dove appare anche la dstrbuzone che da lu prende nome. Nell ntroduzone a questo lbro, EJ Gumbel scrve: "hs book s wrtten n the hope, contrary to epectaton, that humanty may proft by even a small contrbuton to the progress of scence". 6
Le carte probablstche Le carte probablstche sono specfche per ogn tpo d funzone d probabltà (log-normale, Gumbel,..) e vengono costrute n modo tale che le curve d probabltà della funzone corrspondente v vengono rappresentate da rette. le carte probablstche possono essere utlzzate per verfcare l ammssbltà della funzone d probabltà prescelta per descrvere l campone, ancor prma d stmare parametr: se l tpo d funzone d dstrbuzone prescelto è adatto ad nterpretare le osservazon, punt devono addensars ntorno ad una retta. Su queste carte, normalmente n ascssa vene rportata la varable, mentre n ordnata vene rportata la probabltà P(X) o P(X), l tempo d rtorno, o la varable rdotta della dstrbuzone. 7
Metodo Grafco Q Probabltà Log normal Log Pearson III Gumbel empo rtorno Cascuna dstrbuzone d probabltà ha la propra carta probablstca I dat vengono rportat n cascuna carta, dove vengono anche nterpolat lnearmente Vene selezonata la dstrbuzone cu corrsponde la carta probablstca dove punt s dspongono con mnmo scarto ntorno alla retta regolarzzatrce. 8
La carta probablstca d Gumbel Carta probablstca d Gumbel 9
Carte probablstche e plottng poston PLOING POSIION Per rportare un punto sulla carta probablstca, è necessaro conoscere d esso l valore e la probabltà P(X) o P(X). Se parametr della dstrbuzone non sono stat ancora determnat, non è possble calcolare la probabltà attraverso le formule consuete. Nelle carte probablstche vene qund utlzzata un approssmazone della probabltà d superamento, detta plottng poston. Approssmazone normalmente utlzzata: dove m P ( X ) m : poszone del dato nella sere ordnata n senso N decrescente, N : numerostà del campone Dopo aver rportato valor sulla carta probablstca, ed avere accertato che s addensano ntorno ad una retta, è possble: - utlzzare drettamente l dagramma per dentfcare la retta che meglo regolarzza valor (p.es. tramte l metodo de mnm quadrat) oppure - procedere n modo analtco alla determnazone de parametr (p. es. tramte l metodo de moment) e qund rportare la retta rsultante sul grafco al fne d valutarne la capactà descrttva (questo metodo è preferble). 20
Applcazone: stazone pluvografca d rento Le fgure rportano le carte probablstche d Gumbel relatve a valor d precptazone massma annuale d durata par ad e 24 ore. Le rette ntrodotte ne grafc sono quelle stmate tramte l metodo de moment. Infatt nelle carte vene rportata n ascssa la varable rdotta ed n ordnata l dato. y u y u massm annual ( ora) massm annual 24 ore (mm) 50 45 40 35 30 25 20 5 0.05.0 Stazone pluvografca d rento - 932-990 Cartogramma probablstco d GUMBEL.25.45.65.5.35.55.75 5-3 -2-0 2 3 4 5 50 40 30 20 0.05.0.85 y : varable rdotta Stazone d rento - (932-990) cartogramma probablstco d GUMBEL.25.45.65.5.35.55.75 00 P. es.: u rappresenta l valore 90 80 dell ntercetta 70 dall applcazone del metodo de moment 60 50 s rcava 40 30 u (h) = 7.7 20-3 -2-0 2 3 4 5 u (24h) = 65.3 2 y : varable rdotta.85.95.95.99.99 Etr.Val Epected Observ ed Etr.Val Epected Observ ed
Elaborazone delle precptazon - Premessa - Le tecnche d elaborazone statstca-probablstca descrtte alle sezon precedent possono essere applcate sa per l anals delle sere d valor massm annual d portata che d precptazone. Generalmente, l obettvo dell anals è costtuto dall ndvduazone del valore d portata al pcco caratterzzato da un assegnato tempo d rtorno (quantle d portata). Il modo pù dretto per consegure questo rsultato è rappresentato dall elaborazone delle sere d dat d portata massma annuale (per una certa sezone drometrca). uttava, la dstrbuzone delle stazon d msura drometrca sul terrtoro, per quanto estesa possa essere la rete d montoraggo, non è tale da coprre l fabbsogno d conoscenza che s ha ntorno a queste grandezze; ovvero, non sempre (anz, quas ma) la sezone fluvale o torrentza presso la quale s attende l valore del quantle, è corredata da una stazone drometrca. 22
Elaborazone delle precptazon - 2 Premessa - 2 L esgenza d poter stmare quantl d nteresse n modo generale, ha stmolato qund l affermars d una sere d metodologe e d modell att a consentre la stma della grandezza d nteresse (l quantle d portata) a partre dalle pogge. Il processo d modellazone che s segue n tal caso, è quello relatvo alla trasformazone affluss-defluss. Lo studo delle precptazon estreme (massme annual) è qund l prmo passo per poter utlzzare effcacemente tal modell. La prma osservazone da fars a tal punto è la seguente: A partà d rartà dell'evento d pogga, l'altezza totale d precptazone non cresce proporzonalmente al crescere della durata. Questo sgnfca che l ntenstà dell evento decresce al crescere della durata. Infatt, a partà d rartà, event brev sono generat da fenomen convettv (ntens), mentre gl event pù prolungat sono generat da fenomen stratform (meno ntens). 23
Elaborazone delle precptazon - 3 Perché c nteressa studare la relazone delle precptazon estreme con la durata? Perché bacn drografc d estensone dversa entrano n rsonanza (ovvero: producono un drogramma d pcco massmo detto crtco) n corrspondenza d durate d precptazon dverse: bacn pù estes sono sollectat crtcamente da precptazon prolungate nel tempo, mentre bacn pù pccol hanno una durata crtca mnore. Per dsporre d uno strumento generale è qund necessaro dsporre d una relazone localmente generale fra pogge estreme e loro durata. 24
Curve d probabltà pluvometrca La curva che fornsce la relazone tra durata t e altezza d precptazone h con tempo d rtorno assegnato prende l nome d curva d probabltà pluvometrca (a volte s usa anche l termne d lnea segnalatrce d probabltà pluvometrca, oppure: curva segnalatrce d possbltà clmatca curva d possbltà clmatca curva segnalatrce d possbltà pluvometrca) Costruzone della curva segnalatrce d possbltà clmatca (è rappresentata nella fgura n un pano logartmco). Metodo dell'anals de massm annual. Legge probablstca adoperata: Gumbel o lognormale. Il tempo d rtorno convenzonale della curva è quello comune a sngol punt adoperat per costrurla. h at n h altezza d pogga t durata d pogga a,n parametr tempo rtorno 25
DEERMINAZIONE DELLA CURVA DI PROBABILIA PLUVIOMERICA Stma de parametr a ed n della curva d probabltà pluvometrca - S determnano quantl d precptazone per le dverse durate (, 3, 6, 2 e 24 ore, se l nteresse è per le durate orare) per dvers temp d rtorno d nteresse - S consderano quantl relatv ad un assegnato tempo d rtorno e s regolarzzano medante la relazone h at n dove a ed n sono due parametr che dpendono dal tempo d rtorno (l valore d n è compreso fra 0 ed ). 26
DEERMINAZIONE DELLA LINEA SEGNALARICE DI PROBABILIA PLUVIOMERICA Stma de parametr a ed n della lnea segnalatrce d probabltà pluvometrca Il metodo pù rapdo per determnare parametr a ed n d cascuna lnea segnalatrce consste nell nterpolarl lnearmente n un pano n scala logartmca (ovvero: n un pano n cu n ascsse v sa log t ed n ordnata log h). Infatt: t n a h at h n log log log A tal fne, sa: =log t, y=log h, b=log a, per cu ) (5, 2 2 2 2 2 normalmente utlzzat punt numero d dove m m y y b m y y m n m m m m m m m m m m m 27
DISRIBUZIONE SPAZIALE DELLE CARAEISICHE DELLE PIOGGE IN IALIA SEENRIONALE Lnee segnalatrc per alcune regon dell Itala Settentronale per tempo d rtorno par a 50 ann e valor massm osservat d portata specfca 28
DISRIBUZIONE SPAZIALE DELLE CARAERISICHE DELLE PIOGGE IN IALIA SEENRIONALE Isoete delle precptazon d durata par a 2 ore e tempo d rtorno par a 50 ann 29
CALCOLO PARAMERI LINEA SEGNALARICE CON EXCEL - -h -3h -6h -2h -24h 2 8 28 38 54 66 5 23 39 5 73 86 0 26 45 60 85 99 50 33 60 79 3 28 00 36 67 87 25 40 200 39 73 95 36 52 Insersco dat n ecel Vsualzzo dat con Insersc e qund Grafco a dspersone 30
CALCOLO PARAMERI LINEA SEGNALARICE CON EXCEL - 2 Dopo aver marcato l area del grafco, vado n Layout e selezono Anals dove, successvamente, selezono Lnea d tendenza. 3
CALCOLO PARAMERI LINEA SEGNALARICE CON EXCEL - 3 Selezono l formato d funzone nterpolatrce desderata ( Potenza ) e rchedo d vsualzzare sa l equazone sul grafco che l valore d R2. 32
CALCOLO PARAMERI LINEA SEGNALARICE CON EXCEL - 4 L equazone così calcolata rappresenta la LSPP Il grafco può essere mportato nel documento word della relazone, ma è necessaro qualfcare le varabl rappresentate n asse ed y ed aggungere anche le untà d msura. h = at n h = 38.908t 0.4367 33