Studio delle oscillazioni del pendolo semplice e misura dell accelerazione di gravita g. Abstract (Descrivere brevemente lo scopo dell esperienza) In questa esperienza vengono studiate le proprieta del pendolo semplice. I dati raccolti vengono utilizzati per misurare l eccelerazione di gravita g. Introduzione fisica (Descrivere il problema fisico) Un pendolo semplice e costituito da un filo di lunghezza L inestensibile e di massa trascurabile a cui e appesa un corpo di massa m come mostrato in fig. 1. Figure 1: Il pendolo semplice. Se spostiamo il corpo dalla sua posizione di equilibrio, con il filo che forma un angolo θ con la verticale, esso tende a ritornare nella sua posizione di equilibrio oscillando su un arco di cerchio di raggio L. Il moto viene prodotto dalla componente della forza peso lungo la direzione tangente al cerchio. Applicando la II legge di Newton: 1
mgsinθ = ma (1) Se ci poniamo nel regime delle piccole oscillazioni sinθ θ e possiamo ricavare lo spostamento s lungo l arco di cerchio dalla misura di θ: θ = s L () Sostituendo nella (1) e semplificando la massa otteniamo a = g L s (3) che e l equazione differenziale del moto armonico. Ponendo ω = g L (4) possiamo ricavare il periodo di oscillazione del pendolo: T = π ω = π L g Da questa equazione possiamo dedurre le osservazioni di Galileo sul pendolo semplice. T non dipende dall ampiezza delle oscillazioni. T non dipende dalla massa. T dipende solo dalla lunghezza L del filo. L espressione (5) puo essere utilizzata per misurare l accelerazione di gravita. Elevando al quadrato otteniamo: (5) T = 4π L = kl (6) g Quindi esiste una relazione lineare fra T e la lunghezza del filo L il cui coefficiente angolare e dato da k = 4π g (7)
Realizzazione dell esperienza (Descrivere il dettagli dell esperienza) Materiale occorrente: supporto con pendolo bifilare, orologio, riga. La figura mostra l apparato sperimentale. Figure : Schema del pendolo bifilare utilizzato nell esperianza. Utilizziamo un pendolo bifilare poiche in questo modo otterremo che il pendolo oscilli sempre in un piano ben definito, quello definito dai due fili. In questo caso la lunghezza L e data dalla perpendicolare dal corpo alla sbarra di sospensione. L esperienza consiste nel variare la lunghezza L e, per ogni valore di L, misurare il periodo di oscillazione utilizzando il cronometro digitale. La misura di tale periodo e affetta da errori di misura dovuti ai tempi di reazione. Le fasi di start e di stop del cronometro sono alterate dai tempi di reazione dello sperimentatore. Per minimizzare l errore prodotto da queste incertezze, misuriamo il tempo impiegato dal pendolo a compiere 10 oscillazioni cosi che l errore totale viene diviso per 10. Inoltre, per ogni lunghezza L, effettuiamo 5 misure del periodo di oscillazione cosi da avere una valutazione dell errore di misura. I dati raccolti sono mostrati nella Tabella 1. Nella tabella sono anche riportati i valori medi 5i=1 T i T = 5 che ovviamente sono divisi per 10 e gli errori massimi: T = T max T min (8) (9) 3
L (cm) T 1 T T 3 T 4 T 5 T/5 T T T 31.5 11. 11.99 11. 11.5 11.0 1.138 0.039 1.94 0.090 35.5 11.7 11.85 11.71 11.75 11.81 1.177 0.007 1.385 0.016 41.5 1.78 1.81 1.81 1.79 1.79 1.80 0.00 1.673 0.004 45.0 13.7 13. 13.31 13.31 13.31 1.337 0.05 1.789 0.067 48.5 13.88 13.84 13.81 13.88 13.78 1.384 0.005 1.915 0.014 5.0 14.38 14.38 14.47 14.35 14.48 1.441 0.006.077 0.019 57.5 15.09 15.09 15.10 15.00 15.07 1.507 0.005.71 0.015 6.0 15.60 15.56 15.7 15.81 15.68 1.567 0.01.457 0.039 Table 1: Misure di 10 periodi di oscillazione del pendolo in secondi. Sono inoltre riportati i valori di T e il relativo errore T = T T (10) La figura 3 mostra la distribuzione di T verso L. Osserviamo come la relazione fra T e L sia effettivamente una linea retta. Vogliamo ora calcolare il coefficiente angolare di questa retta e ricavare quindi l accelerazione di gravita. Per semplicita consideriamo tutti uguali gli errori di misura cosi da poterli ignorare. La pendenza di una retta passante per l origine si ottiene, con il metodo dei minimi quadrati: y = kx (11) k = xi y i x i (1) Nel nostro caso, utilizzando le variabili usate per il pendolo: k = Li T i L i (13) Dai dati sperimentali otteniamo: k = 4π g = 0.03966 sec /cm (14) 4
Figure 3: Distribuzione di T in funzione della lunghezza del filo L. Le barre di errore sono ottenute con gli errori massimi. Da questa possiamo ottenere g g = 4π K = 995. cm/sec = 9.95 m/sec (15) Da confrontare col valore conosciuto di 9.8 m/sec. In questa relazione abbiamo ignorato gli errori di misura e il calcolo del errore su k e quindi su g. Conoscendo tale errore avremmo potuto fare un confronto statisticamente piu accurato. Verifichiamo ora le proprieta del pendolo enunciate prima. Il periodo del pendolo non dipende dall ampiezza delle oscillazioni Per la lunghezza di 5 cm ripetiamo la misura del periodo di oscillazione aumentando leggermente l ampiezza delle oscillazioni. Otteniamo un valore: 5
T a = 1.451 ± 0.007 sec (16) da confrontare col valore di T = 1.441 ± 0.006 sec, precedentemente misurato nella tabella 1. Se effettuiamo la differenza e calcoliamo l errore sulla differenza come otteniamo (T a T) = T a + T (17) T a T = 0.010 ± 0.009 sec (18) Per cui i valori sono compatibili: il periodo del pendolo non dipende dall ampiezza delle oscillazioni. Il periodo del pendolo non dipende dalla massa Ripetiamo la misura del periodo di oscillazione, sempre per la lunghezza di 5 cm, incollando a quello esistente un nuovo peso di eguali dimensioni cosi che la massa si e raddoppiata. Otteniamo un valore: Usando lo stesso metodo otteniamo T b = 1.437 ± 0.005 sec (19) T b T = 0.004 ± 0.008 sec (0) Per cui i valori sono compatibili: il periodo del pendolo non dipende dalla massa. Conclusioni In questa esperienza abbiamo studiato le proprieta del pendolo semplice verificando gli enunciati di Galileo. Abbiamo inoltre ricavato la relazione fra T e lunghezza del filo che e compatibile con una retta. Abbiamo quindi ricavato la pendenza della retta utilizzando il metodo dei minimi quadrati effettuando una misura dell accelerazione di gravita che risulta in accordo con il valore conosciuto. 6