ESPERIENZA DEL PENDOLO

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1 ESPERIENZA DEL PENDOLO SCOPO: Misura della costante di accelerazione gravitazionale locale mediante il pendolo reversibile Il momento angolare rispetto a un punto O di una massa m a distanza r da O e che si muove su un piano con velocità v è dato da: e in modulo: L = r p = r m v = m( r v) L = m r v sinθ Consideriamo una massa appesa a un punto di sospensione O per mezzo di un filo inestensibile di lunghezza l e in moto oscillatorio. La variazione del momento angolare nell unità di tempo vale: 1

2 dl dt = d ( ) d r d v (m r v) = m v + r dt dt dt Poiché r = cost la sua derivata rispetto al tempo vale 0 e quindi: d L dt = m r a = r F = M dove M è il momento della forza e l uguaglianza d L dt = M è il teorema del momento della quantità di moto. Consideriamo ora un corpo rigido vincolato a ruotare intorno a un asse di sospensione. Chiamiamo S l asse di sospensione, G il baricentro del corpo, m la massa del corpo, θ l angolo di inclinazione dalla verticale e infine a s la distanza fra il baricentro e l asse di sospensione. Trascurando gli attriti, il momento della forza vale: M = F g a s e in modulo: M = m g a s sinθ dove il segno indica che si tratta di una forza di richiamo.

3 Il momento angolare della massa infinitesima dm del corpo in oscillazione, che trova a distanza r dall asse di sospensione, è: Siccome v e r sono ortogonali, si ha: d L = dm( v r) dl = dm v r = dm ( θr) r = θr dm Per ottenere il momento angolare totale, bisogna integrare sul volume del corpo: L = θr dm = θ r dm = I s θ V V dove I s è il momento di inerzia del corpo rispetto all asse di sospensione. Per il teorema del momento della quantità di moto si ha: I s θ = m g as sinθ Dobbiamo risolvere questa equazione differenziale. Poniamo φ(θ) = θ, da cui: θ = d θ dt = d dφ dθ φ(θ) = dt dθ dt = dφ dθ θ = dφ dθ φ Sostituendo si ottiene: I s dφ dθ φ = m g a s sinθ dφ dθ φ = m g a s sinθ Chiamiamo A la quantità costante m g a s I s, I s dφ dθ φ = Asinθ e integriamo φ dφ = Asinθ dθ φ θ φ dφ = Asinθ dθ φ 0 θ 0 3

4 ottenendo come risultato ossia 1 (φ φ 0) = A(cosθ cosθ 0 ) 1 ( θ θ 0 ) = A(cosθ cosθ0 ) Riscrivi- Facciamo una breve considerazione su quest ultima uguaglianza. amola nel modo seguente: 1 I θ s m g a s cosθ = 1 I sθ 0 m g as cosθ 0 L energia cinetica dell elemento infinitesimo dm del corpo oscillante è : dk = 1 v dm E l energia cinetica totale: K = 1 v dm = 1 Mentre l energia potenziale è: V V ( θr) dm = 1 θ V r dm = 1 I s θ U = m g (a s cosθ) Per cui l uguaglianza precedente di fatto equivale alla conservazione dell energia totale del sistema: K + U = K 0 + U 0 Riprendiamo l equazione differenziale e assumiamo che il corpo inizi a oscillare con velocità angolare nulla, sia cioè θ 0 = 0. Usiamo le formule di bisezione: θ = A(cosθ cosθ 0 ) cosθ = 1 sin θ 4

5 Da cui: ( θ = 4A sin θ 0 θ ) sin ( dθ dt = ± A sin θ 0 θ ) 1/ sin Delle due soluzione consideriamo quella con il segno, poiché il corpo si muove in direzione opposta al senso in cui è definito l angolo θ. θ θ 0 dθ ( A sin θ 0 sin θ t t 0 = 1 θ A θ 0 Facciamo un ulteriore sostituzione: ) 1/ = dθ t t 0 dt sin θ 0 (1 sin θ sin θ 0 ) 1/ sinξ = sin θ sin θ 0 Gli estremi dell integrazione diventano: θ = 0 sinξ = 0 ξ = 0 E inoltre: θ = θ 0 sinξ = 1 ξ = π/ cosξ dξ = 1 cos θ sin θ 0 dθ Da cui si ottiene: dθ = sin θ 0 cosξ dξ cos θ t t 0 = 1 ξ A π/ sin θ 0 cosξ sin θ 0 cos θ 1 sin ξ dξ = 1 ξ A π/ dξ 1 sin θ 0 sin ξ 5

6 A questo punto facciamo un ulteriore sostituzione e poniamo: t t 0 = 1 A π/ ξ sin θ 0 = k dξ 1 k sin ξ = 1 [ π/ A 0 dξ ξ 1 k sin ξ 0 ] dξ 1 k sin ξ Poiché è il periodo del pendolo quello che stiamo cercando, possiamo concentrarci solo sul primo dei due integrali, cioè quello da 0 π/ che corrisponde a 0 θ 0, e moltiplicare il risultato per 4. L integrale in questione non è di semplice soluzione analitica, si tratta di un integrale ellittico. È necessaria l applicazione della seguente trasformazione in serie binomiale: (1 x) 1/ = x x +... Quindi, se chiamiamo x = k sin ξ abbiamo: 1 1 k sin ξ = (k sin ξ) (k sin ξ) +... E il periodo del pendolo diventa: T = 4 π/ dξ A 1 k sin ξ = 4 0 A [ π/ 0 π/ 1 π/ ] dξ+ 0 k sin 3 ξdξ+ 0 8 k4 sin 4 ξdξ+... Il primo integrale vale π/, mentre per il secondo dobbiamo risolvere l espressione: pi/ 0 sin xdx Per farlo, usiamo ancora le formule di bisezione: da cui si ottiene: sin x = 1 cosx π/ 0 ( 1 cosx ) dx = 1 π/ 0 dx 1 4 π/ 0 cosxd(x) = π [sinx]π/ 0 = π 4 E quindi possiamo esprimere il periodo del pendolo nel modo seguente: 6

7 Ossia: e infine: T = 4 π A T = π A [1 + [ 1 + ( ) 1 k + ( ) 3 k ] 8 ( ) ] (n 1) k n 4... n n=1 I s T = π F (k ) m g a s Mettiamoci ora nella condizione di piccole oscillazioni. Sia cioè: sin θ 0 θ 0 sin θ θ t t 0 = 1 θ A θ 0 t t 0 = 1 A θ/θ0 1 dθ θ 0 (1 θ /4 θ 0 /4 ) 1/ d(θ/θ 0 ) ) 1 (θ/θ 0 t t 0 = 1 ( )] θ/θ0 θ [arc cos = 1 ( ) θ arc cos A θ 0 1 A θ 0 Da cui si ricava che: θ θ 0 = cos[ A(t t 0 )] = cos( At At 0 ) Posto A = ω e At 0 = φ si ha: θ θ 0 = cos(ωt + φ) che è l espressione per l onda di periodo: 7

8 T = π ω = π A e quindi in definitiva: T = T F (k ) Studiamo il comportamento della serie F (k ). Sia k < 1. La serie F (k ) converge in quanto minorante della serie geometrica di ragione k : 1 + ( ) 1 k + F (k ) < n=0 k n ( ) 3 k 4 + < 1 + k + k Moltiplicando e dividendo il secondo membro della disuguaglianza per (1 k ) si ha: n=0 Sia k = 1. n 1 k k 1 k = 1 + k + k k k 4... = 1 1 k 1 k La serie F (k ) diverge in quanto maggiorante della serie armonica, moltiplicata per 1/4: In effetti, F (k ) > 1 4 n=1 1 n k = 1 sin θ 0 = 1 θ 0 = π θ 0 = π che corrisponde a una posizione di equilibrio instabile. 8

9 Il resto n esimo della serie geometrica di ragione k vale: ɛ = kn 1 k Il limite superiore all ampiezza massima θ 0 in corrispondenza alla quale si commette un errore non maggiore di ɛ trascurando il resto n esimo nello sviluppo in serie di F (k ), vale: r n < kn 1 k = ɛ k n = ɛ( k ) k = ɛ ɛ + k n Per n = 1 (piccole oscillazioni) si ha: k = ɛ ɛ ɛ + 1 θ 0 = arc sin ɛ + 1 Per n = si ha: [ k 4 + ɛk ɛ + 4ɛ ɛ ɛ = 0 θ 0 = arc sin Da cui si ricava la seguente tabella: ] 1/ ɛ θ 0 (rad) θ 0 (rad) tgθ 0 tgθ 0 n = 1 n = n = 1 n = Vediamo adesso due tipi di pendolo, il pendolo semplice e il pendolo composto. 9

10 Pendolo semplice Un massa m di forma sferica e raggio r è appesa ad un punto di sospensione S con un filo inestensibile di lunghezza l e di massa trascurabile. Sia G il baricentro del sistema che in questo caso coinciderà con il baricentro della massa e sia a s = l + r. Per il teorema di Steiner: I s = I G + ma s I G = 5 mr Il periodo del pendolo vale: Quindi, T s πf (k ) = I s m g a s = T s πf (k ) = T s = π A F (k ) ma s + 5 mr (l + r) + 5 = r m g a s g (l + r) l g 10 ( 1 + r ) + l 5 ( r l ) 1 + r l

11 T s = π l g F (k ) ( 1 + r ) + l 5 ( r l ) 1 + r l Il secondo termine sotto radice quadrata è un termine correttivo che diventa pari a 1 quando r l, per cui il periodo del pendolo ritorna quello del caso ideale. Pendolo composto Consideriamo un corpo di massa m oscillante attorno a un punto di sospensione S. Il baricentro del sistema si chiami G e sia collocato a distanza a s dal punto di sospensione. Per il teorema di Steiner: e il periodo del pendolo vale: T s πf (k ) = I s = I G + ma s ma s + ma G a = s + a G mga s ga s dove a G è il raggio giratore : relativamente ad un sistema rigido rotante intorno ad un asse fissato, è la distanza dal baricentro dove tutta la massa dovrebbe concentrarsi per ruotare intorno al baricentro con un momento di inerzia pari a quello del sistema Consideriamo adesso un secondo punto di sospensione S, avremo che: 11

12 a G = T s ga s [πf (k )] a s = T s gas [πf (k )] a s Da questa uguaglianza si ricava un espressione per g: g = [πf (k )] a s a s T s a s T s a s Supponiamo ora che S sia tale da rendere uguali i periodi T s e T s. In generale questo non implica l uguaglianza delle distanze del baricentro da S e S, cioè a s a s. dove a s + a s Da T s = T s [ ] πf (k ) g = (a s + a s ) T s viene chiamata lunghezza ridotta. si ottiene anche: a s + a G a s + a = G ga s ga s a sa s + a Ga s = a s a s + a Ga s che ha come soluzioni: (a s a s )(a s a s a G) = 0 1) a s = a s, cioè punti di sospensione simmetrici attorno al baricentro; ) a s = a G as Usando questa seconda soluzione, il periodo del pendolo composto diventa: T s = πf (k ) a s + a s a s ga s as + a s = π F (k ) g che è praticamente il periodo del pendolo semplice assumendo come lunghezza la lunghezza ridotta del pendolo composto. 1

13 PENDOLO REVERSIBILE DI KATER Il principio del pendolo reversibile di Kater consiste nel lasciare inalterati i due assi di sospensione e variare il momento di inerzia del sistema finché i periodi relativi ai due assi, nei limiti di errore, coincidono. Sia m la massa totale, m F la massa della parte fissa, m V la massa della parte mobile, a w la coordinata del baricentro del sistema, a wf la coordinata del baricentro di m F, a wv la coordinata del baricentro di m V, I w il momento di inerzia di m, I w F il momento di inerzia di m F, I w V il momento di inerzia di m V e infine d la distanza fra i punti di sospensione S e S. Per la proprietà del baricentro: e per il teorema di Steiner: (m F + m V )a w = m F a wf + m V a wv I w = I wf + I wv = (m F a wf + m F a GF ) + (m V a wv + m V a GV ) 13

14 dove a GF e a GV sono il raggio giratore relativo ad un asse parallelo all asse di sospensione e passante per il baricentro della parte fissa e della parte mobile, rispettivamente. Il periodo del pendolo reversibile sarà : T w πf (k ) = I w mga w = ( mf a wf + m F a GF + m V a GV + m ) V a wv g(m F + m V ) m F a wf +m V a wv m F +m V Dopo aver semplificato la quantità m F +m V, conviene dividere e moltiplicare il numeratore per d e il denominatore per d, ed esprimere il periodo in funzione della distanza del baricentro della parte mobile dall asse di sospensione: d + k w1 dove: T w = πf (k ) g a wv d a wv d + k w k w1 = m F a wf + a GF m V d sono termini costanti. + a GV d k w = m F a wf m V d Chiamiamo x = a wv d. È chiaro che 0 < x < 1. Il periodo del pendolo diventa: T w = Tw x + k w1 x + k w [ 1 ± ] 1 + 4(k w k w1 ) T w = T w x + k w1 x + k w = 1 x = 1 Vi sono quindi 3 possibilità: se 1 + 4(k w k w1 ) > 0, si hanno due coppie distinte di configurazione reciproche; se 1+4(k w k w1 ) = 0, si hanno due coppie coincidenti di configurazione reciproche; se 1 + 4(k w k w1 ) < 0, non si ha alcuna coppia di configurazione reciproche 14

15 x Studiamo la funzione f w (x) = +k w1 x+k w. Essa è definita per x + k w > 0. x + k w = a wv d + m F a wf m V d = (m F + m V ) m V d se x + k w > 0 a w > 0, e quindi si ha moto oscillatorio se x + k w = 0 a w = 0, e quindi si ha moto rotatorio uniforme se x + k w < 0 a w < 0, e quindi si ha moto rotatorio non uniforme a w La funzione per x + tende a un arco di parabola con vertice nell origine e fuoco sull asse delle ascisse. lim f w(x) = lim x = + x + x + lim f w (x) = + x k w f w (x = 0) = kw1 k w Calcoliamo l intersezione fra la funzione e la parabola: x + k w1 x + k w L ordinata corrispondente vale Calcoliamo i punti estremali: f w(x) = 1 La derivata si annulla per = x x + k w1 = x + xk w x = k w1 k w1 k w. ( x + k w1 x + k w x = k w ± ) 1/ [ ] 1 k w + k w1 = 0 (x + k w ) k w + k w1 Delle due soluzioni possibili consideriamo solo k w 15

16 x = k w + kw + k w1 perché l altra è fuori dal dominio di esistenza della funzione. Il valore della funzione in x è: ( x ) 1/ f w (x + k w1 ) = = x x + k w cioè il punto estremale si trova sempre al di sopra della parabola. A questo punto consideriamo due configurazioni coniugate a parità di ampiezza iniziale dell oscillazione: x s e x s, con x s + x s = d. Avremo che le espressioni per i periodi saranno: T s = Ts x s + k s1 T s = T x s + k s 1 s x s + k s x s + k s Come si vede le due curve hanno 3 punti di intersezione: uno di essi corrisponde alla configurazione dove il baricentro del sistema è equidistante dai due assi di sospensione, mentre le altre due corrispondono alla configurazioni reciproche tali per cui si ha: T s = T s 16

17 OPERAZIONI DI MISURA Assicurarsi di essere nelle condizioni in cui vale l approssimazione di piccole oscillazioni, per rendere trascurabile la dipendenza del periodo dall ampiezza di oscillazione. h indica la distanza tra il punto di sospensione e il banco preso come riferimento e b lo spostamento del pendolo dall asse verticale sempre rispetto al banco. Si sceglie un riferimento sul banco e si individuano i due valori b e h a cui corrisponde un angolo iniziale θ 0 in modo che l errore massimo nell approssimazione delle piccole oscillazioni sia dell ordine di 10 (θ 0 < 0.0rad). 17

18 Prima serie di misure: Si pone la massa mobile sui 10 cm della scala graduata e si determina il tempo di 10 oscillazioni Per minimizzare l incertezza sull intervallo di tempo che intercorre tra il punto massimo dell oscillazione e l avvio del cronometro si cronometra a partire dalla seconda oscillazione Si inverte l asse di sospensione e si ripete la misura del tempo di 10 oscillazioni Si ripetono le misure precedenti per un altra posizione della massa mobile di 10 cm in 10 cm fino a 90 cm che è a fondo scala Esistono coppie di configurazioni coniugate corrispondenti a coppie di configurazioni reciproche? I periodi corrispondenti coincidono nei limiti di errore? Seconda serie di misure: Le intersezioni tra le due curve del grafico precedente permettono di determinare graficamente le configurazioni reciproche. Si considera l intersezione più nitida, che in questo caso si ha attorno a x 0 1 cm. 18

19 Si eseguono altre 6 determinazioni di tempi di oscillazione nell intorno di questa posizione della massa mobile, in modo tale che 3 cadano a sinistra e 3 a destra dell intersezione delle due curve. In questo caso, x = 18,19,0,,3,4 cm Si ripetono le misure del tempo di oscillazione (in questo caso per 50 oscillazioni) per la configurazione dritta e rovescia. In questo modo si determina con maggiore precisione la configurazione reciproca. Dal grafico risulta che l intersezione tra le due curve è localizzata per x 0.51 cm ossia 0.51 ± 0.05 cm. Considerando il quadrilatero d errore dei punti più vicini all intersezione con i loro errori si individuano le rette di massima e minima pendenza e proiettando sull asse delle ordinate il minimo e il massimo valore dei tempi (nel caso in cui con le rette di massima e minima pendenza non si riuscisse a risolvere lintersezione si utilizzano le rette parallele). Noto il periodo del pendolo possiamo calcolare l accelerazione di gravità. Dalla relazione che lega il periodo T alla lunghezza ridotta del pendolo si ricava: g = 4π d T F (k ) l errore di g è dovuto all errore di T, a quello della misura di d distanza tra i due assi di sospensione e a quello di F (k ): g = g d d + g T T + g F F 19

20 Nell ipotesi di piccole oscillazioni si consideri F (k ) arrestata a n = 1 : F (k ) = θ 4 sin 0 = cosθ 0 = ( 1 h ) 4 8 b + h Quindi l errore di F (k ) va valutato considerando gli errori massimi su h e b. Verifichiamo, infine, la dipendenza del periodo dall ampiezza dell oscillazione. Si posiziona la massa mobile nella posizione individuata dall intersezione delle due curve Si determina il tempo necessario per compiere 50 oscillazioni per ampiezze di oscillazione che soddisfano l approssimazione di piccole. Si considera un intervallo di ampiezze (ad esempio tra b = 3 cm a b = 15 cm) in cui compiere le misure Si calcola il periodo per ogni ampiezza in rapporto al periodo determinato precedentemente: T = T F (k ) T T = F (k ) e si calcola l errore di (T /T ) propagando l errore associato a F (k ). Come al solito, si crea un grafico mettendo in ascissa F (k ) e in ordinata T /T, si riportano i punti con i rettangoli di errore e si determinano il 0

21 coefficiente angolare della generica retta che passa per tutti i rettangoli d errore e la relativa incertezza. Verificare nei limiti di errore la dipendenza lineare di T /T da F (k ). 1