Modelli di asset allocation risk-based per gli investitori istituzionali Risk & Return Italia 26 novembre 2009, Milano Riccardo Cesari (Università di Bologna) 1
Innovazioni nella gestione finanziaria Obiettivi Nuovi benchmark Nuovi target assoluti Rischi Nuovi fattori (credito, liquidità, operativo) Nuove misure (CVaR) Metodi Approcci robusti Approcci dinamici life-cycle 2
Una tassonomia generale Gestioni a target relativo (a benchmark) Gestioni a benchmark passive Benchmark a capitalizzazione Benchmark a stile (large/small, value/growth etc.) altri benchmark non standard Gestioni a benchmark attive Gestioni a target assoluto A target di rendimento: minimo rischio per dato rendimento atteso minimo A target di rischio: massimo rendimento per dato rischio massimo 3
Indici Value, Growth, Totale 200 INDICI AZIONARI MONDIALI 180 160 VALUE 140 120 100 GROWTH 80 60 1997199819992000200120022003200420052006200720082009 Source: DATASTREAM 4
Indici Large Cap, Small Cap, Totale 300 INDICI AZIONARI MONDIALI 250 SMALL CAP 200 150 100 LARGE CAP 50 1997199819992000200120022003200420052006200720082009 Source: DATASTREAM 5
Nuovi target: dal rendimento al rischio µ Min rischio Rendimento atteso target (minimo) σ µ Max rendimento Rischio atteso target (massimo) σ 6
Motivazioni sul target di rischio Le misure di rischio sembrano più affidabili (controllabili) di quelle di rendimento atteso Il rischio inatteso sembra impattare più del rendimento inatteso Il rischio è un indicatore di momentum 7
L impatto psicologico della vol quota Illusione-delusione quota vol Shockripresa Tempo t Tempo t Vol come sommatoria di illusioni-delusioni e shocks 8
Il rischio come indicatore di momentum Correlazione inversa tra vol e variazione dei prezzi Se la vol cresce il prezzo cala (calerà) Conseguenza: controllare la vol induce una protezione nel portafoglio 9
DJ Euro Stoxx DJ Euro Stoxx 50: price change and volatility change 60.00% 50.00% 40.00% 30.00% 20.00% y = -2.5493x + 0.0012 R 2 = 0.5264 10.00% 0.00% -10.00% -5.00% 0.00% 5.00% 10.00% 15.00% -10.00% -20.00% -30.00% -40.00% 10
S&P500 S&P 500: price change and volatility change 80.00% 60.00% 40.00% y = -3.2353x + 0.0017 R 2 = 0.5424 20.00% 0.00% -15.00% -10.00% -5.00% 0.00% 5.00% 10.00% 15.00% -20.00% -40.00% -60.00% 11
Nasdaq Nasdaq: price change and volatility change 50.00% 40.00% 30.00% y = -1.4566x + 0.0008 R 2 = 0.3619 20.00% 10.00% 0.00% -15.00% -10.00% -5.00% 0.00% 5.00% 10.00% 15.00% 20.00% 25.00% -10.00% -20.00% -30.00% -40.00% 12
Smirk sul Nasdaq Quotazioni più basse Vol più alta 13
Nuovi fattori di rischio (non-market) Rischio di credito downgrading, default Rischio di (il)liquidità Liquidity Marketability Bid-ask spreads Rischio operativo 14
Nuove misure di rischio: VaR Vol Misura classica di Markowitz Rischi simmetrici, normalità VaR = Value at Risk: massima perdita conseguibile con data probabilità (es. 95%) VaR : Pr ob(x ~ VaR ) = α (es. α = α 5%) 15
Nuove misure di rischio: CVaR CVaR Conditional VaR o expected shortfall: perdita media superiore al VaR α CVaR VaR e CVaR sono misure di downside risk 1 = VaR du = E X ~ X ~ u VaR α 0 ( ) α CVaR 16
Dalla Vol al VaR Il superamento della Vol non riflette solo l asimmetria delle distribuzioni di probabilità Il rischio è un concetto asimmetrico (rischio come rischio di perdita) Gli effetti in termini di utilità (benessere) sono asimmetrici: -10 danneggia più del beneficio di +10 (avversione alla perdita, utilità marginale decrescente) 17
Dal VaR a CVaR Il VaR non soddisfa i criteri di coerenza delle misure di rischio (Artzner, Delbaen, Eber, Heath, 1997) VaR non è sempre sub-additivo VaR(A+B) > VaR(A) + VaR(B) CVaR è sub-additivo (l aggragazione-diversificazione non aumenta il rischio) 18
Nuovi metodi gestionali 1. Approcci robusti di AA tattica Max-min: massimizzazione dei risultati negli scenari peggiori (con dato livello di confidenza) 2. Approcci dinamici life-cycle Modifica dell AA strategica con riduzione dell esposizione al rischio all avvicinarsi della scadenza (pensionamento) 19
1. Ottimizzazione robusta (lavoro congiunto con A. G. Quaranta) Problema classico (diretto): min f ( x,c) A Problema con incertezza: min A x x f ( x,c) b (c, A,b) I Soluzione robusta: min t t f (x,c), A x t, x x x b Insieme incertezza dei parametri Misura di rischio { b for all (c, A, b) } 20
Problema di portafoglio con obiettivo di rischio e incertezza sui rendimenti attesi max min x r I { T } r x, f(x) R,1 T x = 1 Soluzione di max-min Il migliore tra i peggiori portafogli Target di rischio massimo Applicazione al 2007-2009 con 10 benchmark 21
Portafogli non robusti: performance nella crisi 2007-2009 140 Confronto tra Indici di Performance del Portafoglio ottenuti con i diversi modelli IPP_VaR, IPP_CVaR, IPP_Vol IPP_Libor 130 120 110 100 90 80 70 mesi IPP_VaR IPP_CVaR IPP_Vol IPP_Libor 22
Portafogli robusti: performance nella crisi 2007-2009 140 Confronto tra Indici di Performance del Portafoglio ottenuti con i diversi modelli IPP_VaR, IPP_CVaR, IPP_Vol IPP_Libor 130 120 110 100 90 80 70 mesi IPP_VaR IPP_CVaR IPP_Vol IPP_Libor 23
0.04 0.02 0-0.02-0.04-0.06-0.08 Back-test di rischio: Vol Back-Test per la Vol Back-Test per la Vol 0.04 0.02 0-0.02-0.04-0.06-0.08 mesi mesi Soglia Vol Rendimento effettivo da modello Vol Non robusto Robusto 24 S o g lia V o l e r e n d im e n to e ffe ttiv o o tte n u to p e r il p o r ta fo g lio d a m o d e llo V o l S o g lia V o l e r e n d im e n t o e f f e t t iv o o t t e n u t o p e r il p o r t a f o g lio d a m o d e llo V o l Soglia Vol Rendimento effettivo da modello Vol
Back test di rischio: VaR Back-Test per il VaR Back-Test per il VaR 0.06 0.06 0.04 0.04 S o g l i a V a R e r e n d i m e n t o e f f e t t i v o o t t e n u t o p e r i l p o r t a f o g l i o d a m o d e l l o V a R 0.02 0-0.02-0.04-0.06-0.08-0.1-0.12 S o g lia V a R e r e n d im e n t o e f f e t t iv o o t t e n u t o p e r il p o r t a f o g lio d a m o d e llo V a R 0.02 0-0.02-0.04-0.06-0.08-0.1-0.12-0.14-0.14 mesi mesi Soglia VaR Rendimento effettivo del portafoglio da modello VaR Soglia VaR Rendimento effettivo del portafoglio da modello VaR Non robusto Robusto 25
Back test di rischio: CVaR Back-Test per il CVaR Back-Test per il CVaR 0.08 0.08 0.06 0.04 0.02 0-0.02-0.04-0.06 0.06 0.04 0.02 0-0.02-0.04-0.06 Nessuno sforamento ex-post del rischio ex-ante -0.08-0.08 mesi mesi Soglia CVaR Rendimento effettivo da modello CVaR Non robusto Robusto 26 S o g lia C V a R e r e n d im e n t o e f f e t t iv o o t t e n u t o p e r il p o r t a f o g lio d a m o d e llo C V a R S o g lia C V a R e r e n d im e n t o e f f e t t iv o o t t e n u t o p e r il p o r t a f o g lio d a m o d e llo C V a R Soglia CVaR Rendimento effettivo da modello CVaR
2. Conviene un approccio life-cycle? Half stocks all the time or all stocks half the time? (F. Black) Obiettivo del LC: riduzione del rischio quindi confronto tra rischiosità Rothschild-Stiglitz (1070): Y + rischioso di X: Se ogni soggetto avverso al rischio preferisce X Se Y=X+Z con E(Z X)=0 (Y mps di X) Se ( F ) y(u) Fx (u) du 0 dominanza stocastica del II ordine di X su Y Analisi stocastica in termini risk-adjusted Non arbitraggio=prezzi come valori attesi con prob. Risk-adj Le prob. Risk-adj eguagliano i rendimenti attesi degli asset e delle gestioni 27
116 120 124 128 132 136 140 143 18.0% 16.0% 14.0% 12.0% 10.0% 8.0% 6.0% 4.0% 2.0% 0.0% Confronto tra distribuzioni DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA' DEI MONTANTI FINALI downside upside 28 20 24 28 32 35 39 43 47 51 55 59 62 66 70 74 78 82 86 89 93 97 101 105 109 113
Ipotesi di base Versamenti periodici su 35 anni Dinamica stocks e bonds ds(t) = rsdt + σ S SdẐ S (t) db(t) = rbdt dẑ S (t)dẑ B + σ B (t) = ρdt BdẐ (t) r=2%, σs=20%, σb=1%, ρ tra -0.8 e +0.8 B 29
Variabilità della correlazione 0.60 CORRELAZIONI CON LE OBBLIGAZIONI EURO 1-3Y 0.40 0.20 0-0.20-0.40-0.60-0.80-1.00 AZIONI EUROPEE AZIONI MONDIALI IN EURO AZIONI MONDIALI IN DOLLARI 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 30
Modelli LC a confronto Vari casi di life-cycle 1. 70-30 per 32 anni e bond per 3 anni 2. 60-40 per 22 anni, 80-20 per 10 anni, bond per 3 anni 3. 40-60 per 12 anni, 60-40 per 10 anni, 80-20 per 8 anni, bond per 5 anni 4. LC continuo: da 52-48 a 86-14 5. Target date continuo: da 64-36 (1 vers.) a 98-2 (ultimo vers.) NB: per maggior confrontabilità esposizione media =25% Controlli 1. Monocomparto: 75-25 per 35 anni 2. LC perverso:bond per 27 anni, 40-60 per 8 anni 3. Solo bond: 100-0 31
Perché il monocomparto bilanciato? Modello di AA intertemporale Utilità CRRA 1 γ U(W) w s = W 1 γ 1 µ s r = γ σ 2 s = 1 4 6% 2% 4% = 25% Quota ottimale costante (Dynamic) Asset Allocation could be dangerous to your health, Samuelson (1990) 32
Andamenti dell esposizione azionaria 100 Caso 1 100 Caso 2 80 80 60 40 20 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 60 40 20 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 100 Caso 3 100 Caso 4 80 80 60 60 40 40 20 20 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 33
Risultati: tabella degli scenari Probabilità Media ρ = - 0.8 < Mono in linea > Mono < Mono in linea > Mono Caso 1 0.48 0.09 0.44 1.55 1.97 2.53 Caso 2 0.46 0.10 0.45 1.66 1.96 2.38 Caso 3 0.45 0.10 0.45 1.67 1.95 2.37 Caso 4 0.29 0.27 0.43 2.29 2.04 1.81 Target 0.14 0.61 0.26 2.71 2.05 1.56 Probabilità Media ρ = 0 < Mono in linea > Mono < Mono in linea > Mono Caso 1 0.46 0.09 0.45 1.61 1.95 2.43 Caso 2 0.43 0.10 0.47 1.72 1.97 2.30 Caso 3 0.43 0.10 0.47 1.73 1.96 2.28 Caso 4 0.27 0.27 0.45 2.40 2.06 1.75 Target 0.13 0.61 0.26 2.88 2.07 1.48 Probabilità Media ρ = +0.8 < Mono in linea > Mono < Mono in linea > Mono Caso 1 0.44 0.10 0.46 1.67 1.95 2.35 Caso 2 0.42 0.10 0.48 1.78 1.99 2.22 Caso 3 0.42 0.11 0.48 1.81 1.99 2.2 Caso 4 0.26 0.29 0.46 2.52 2.08 1.69 Target 0.11 0.64 0.26 3.05 2.09 1.41 34
Risultati: utilità come indice riassuntivo Versamenti periodici γ = 4 ρ = - 0.8 ρ = 0 ρ = + 0.8 Caso 1-79.5-76.6-71.7 Caso 2-61.6-60.4-58.1 Caso 3-60.0-58.1-56.4 Caso 4-45.3-49.1-52.7 Target -52.2-58.2-63.7 Mono -61.8-70.4-78.2 60, 40, 20, 0 LC continuo Versamento unico γ = 4 ρ = - 0.8 ρ = 0 ρ = + 0.8 Caso 1-87.5-84.4-78.1 Caso 2-72.4-70.5-67.3 Caso 3-81.8-77.5-73.1 Caso 4-45.7-49.5-53.2 Target -104.0-121.3-137.3 Mono -61.4-69.8-77.5 Samuelson 35
Conclusioni Metodi robusti di AA tattica possono migliorare i risultati risk-adj Con versamenti periodici, AA strategiche di tipo life-cycle sembrano migliorare i risultati finali per investitori avversi al rischio 36