LASER e MASER. Il MASER all ammoniaca e l esperimento di Gordon, Zeiger e Townes Il MASER all ammoniaca funziona sulla transizione indotta fra i livelli 0a e 0s dell ammoniaca. La differenza di energia E fra i due livelli (v. Alonso es..7) è pari a 9.84 0-5 ev, che corrisponde a una frequenza ν= E/h=870 Mcicli/s. Nel 954 Gordon, Zeiger e Townes realizzarono un esperimento storico con il quale essi mostrarono per la prima volta non solo il processo di transizione indotta ipotizzato da Einstein ma anche la possibilità di amplificare la radiazione elettromagnetica nella regione delle microonde, costruendo così il primo MASER (Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation). L apparato sperimentale da loro utilizzato è mostrato in figura. Il gas di molecole, all uscita dalla sorgente, viene collimato e fatto passare attraverso un campo elettrico di tipo quadrupolare, che ha un effetto divergente sulle molecole che si trovano sul livello 0s e convergente su quelle che si trovano sul livello 0a. Come risultato solo queste ultime entrano, attraverso il foro d ingresso posto sull asse del fascio, nella cavità mostrata a destra nella figura. Nella cavità viene inviata, attraverso una guida d onda, una radiazione e.m. la cui frequenza può essere variata attraverso una rampa intorno alla frequenza risonante. La potenza in uscita viene raccolta attraverso un altra guida d onda e inviata a un oscillografo. L ampiezza del segnale in uscita segue fedelmente l ampiezza del segnale in ingresso lontano dalla frequenza risonante, quando però la frequenza si avvicina alla frequenza risonante compare un forte picco, dovuto all emissione stimolata da parte delle molecole che passano dal livello 0a al livello 0s. 0s 0a. Inversione di popolazione Per poter estrarre un flusso netto di radiazione laser occorre mantenere stabilmente una inversione di popolazione, cioè occorre che il numero di atomi (oppure di molecole, come nel caso del maser NH o del LASER a CO, o di elettroni, come nel caso di un laser a stato solido) nel livello energetico alto sia stabilmente maggiore del numero di particelle nel livello basso, in modo che il numero di fotoni prodotti per emissione stimolata dal livello sia maggiore di quelli assorbiti dal livello.
Ciò è contrario a quanto ci si aspetta in condizioni di equilibrio termodinamico, in cui il rapporto fra il numero N di atomi che si trovano sul livello E di energia maggiore e il numero N di atomi che si trova sul livello di energia E minore è quello previsto dalla statistica di Boltzmann: N g ( E E ) / kbt e = N g dove g i è la degenerazione dell iesimo livello e k B è la costante di Boltzmann, k B =0,9 0-4 ev/k. La minima differenza necessaria per mantenere stabilmente il sistema in queste condizioni si chiama inversione critica. Il tipico apparato sperimentale è mostrato in figura. La cavità attiva è delimitata dai due specchi S ed S, di riflettività r ed r, posti a una distanza L, che fanno sì che solo i raggi che si propagano in direzione sufficientemente prossima all asse z possano restare all interno della cavità e quindi contribuire alla densità di radiazione ρ(ω) che produce l emissione stimolata. Nella cavità è contenuto il mezzo otticamente attivo, di lunghezza l, nel quale sono presenti gli atomi con i livelli energetici E ed E fra i quali avviene la transizione. L l fascio estratto F dz F+dF z S S Sia N la densità numerica degli atomi sul livello energetico E, N quella sul livello E ed F(z) il flusso di fotoni di pulsazione pari a ω incidente sull unità di superficie alla profondità z. La probabilità che un atomo transisca per emissione stimolata dal livello al livello nell unità di tempo è data da: Γ = B I(ω ) dove B è il coefficiente di Einstein di emissione stimolata e I(ω ) è l intensità della radiazione incidente di pulsazione ω. Poiché I(ω ) è proporzionale a F(z), possiamo scrivere che il numero dn di atomi sul livello che transiscono nel tratto dz per unità di tempo è proporzionale a F(z) e al numero di atomi sul livello contenuti nel tratto dz: dn = σ F(z) N dz dove la costante σ è proporzionale a B e ha le dimensioni di un area. Analoga espressione si ha per il numero dn di atomi sul livello che transiscono nel tratto dz per unità di tempo. L incremento df(z) di flusso nel tratto dz è pari alla differenza dn dn, quindi: df = σ F(z) (N N ) dz Integrando su tutta la lunghezza attiva, si ha che a ogni passaggio attraverso il mezzo attivo il flusso varia di: σ l( N N F ) out = Fine dove F out è il flusso uscente e F in quello entrante.
Se ora prendiamo in considerazione un passaggio completo nella cavità (cioè prendiamo, ad esempio, un raggio che attraversa la zona attiva, si riflette sullo specchio S, riattraversa la zona attiva, si riflette sullo specchio S e torna così al punto di partenza), si ottiene che il rapporto fra il flusso F n+ al passaggio n+ e il flusso F n al passaggio n è dato da: Fn l( N N) R = + = σ r r e Fn Le condizioni critiche si raggiungono quando questo rapporto diventa uguale a, cioè ad ogni passaggio l amplificazione ottenuta dall emissione stimolata nella zona attiva è tale da compensare le perdite che si hanno non solo per l assorbimento ma anche per le riflessioni sugli specchi. L inversione di popolazione critica si ottiene ponendo R= ed è quindi data da: ln( r r N N ) ( ) c = σ l Per avere condizioni favorevoli di inversione, occorre avere alti valori di l e di σ, oltre che coefficienti di riflessioni vicini a. Da notare però che, mentre uno dei coefficienti di riflessione può essere mantenuto altissimo, l altro sarà necessariamente inferiore a in modo sensibile, dato che si vuole estrarre parzialmente il fascio da una delle due facce riflettenti. Nel caso illustrato nella figura, il fascio si estrae dalla faccia S, il flusso del fascio estratto F estr vale: F estr = (-r ) F quindi r dovrà essere tenuto sufficientemente basso da permettere una ragionevole estrazione del fascio.. Pompaggio Per mantenere l inversione di popolazione occorre pompare nella cavità energia a un ritmo sufficiente da compensare la potenza laser estratta nonché tutte le perdite. Vi sono vari metodi di pompaggio: ottico, uso di una corrente elettrica, di una scarica elettrica, di una reazione chimica, di un campo elettrostatico (come nell esperimento di Zeiger), ecc. In tutti lo scopo è di massimizzare la differenza N N. Discuteremo quello ottico, perché più intuitivo dal punto di vista del bilancio energetico. Con puro pompaggio ottico, un laser non può funzionare se ci sono solo due livelli, perché la pompa deve funzionare a una frequenza diversa (e maggiore) della frequenza del laser. In figura sono mostrati un laser che funziona a livelli e uno che funziona a 4 livelli. livelli 4 livelli pompa transizione laser pompa transizione laser g
Nel laser a livelli, la pompa ha una frequenza ν tale da portare il sistema sul livello di energia E da cui decade rapidamente al livello di energia E. Da questo livello fa poi la transizione laser al livello. Questo laser può essere abbastanza efficiente, perché per ogni transizione laser si perde solo l energia E - E (l efficienza massima η che si può ottenere è pari a ν /ν ) però ha difficoltà a funzionare perché il livello compie due funzioni: è il livello di arrivo della transizione laser e contemporaneamente il livello di partenza della pompa. Quindi da un lato dovrebbe essere poco popolato per non riassorbire la radiazione laser, dall altro deve essere molto popolato per assorbire efficientemente la pompa. Nel laser a 4 livelli, c è un quarto livello detto ground: la pompa ha una frequenza ν g tale da portare il sistema dal livello ground al livello di energia E da cui decade rapidamente al livello di energia E e di qui con transizione laser al livello. Da questo livello torna poi rapidamente al ground. In questo laser la frazione η di energia utile per ogni transizione laser è minore rispetto al sistema a tre livelli, però il funzionamento è più facile perché la funzione del livello è ben separata da quella del ground. Discuteremo pertanto le condizioni critiche di pompaggio per questo tipo di laser. Sia w p il numero di fotoni di pompa per unità di volume e per unità di tempo (se V è il volume della zona attiva e W p la potenza della pompa, w p = W p / V hν g ). Supponiamo per semplicità che tutti gli atomi pompati sul livello decadano subito sul livello e che gli atomi sul livello decadano subito sul livello ground senza riassorbire radiazione laser che li riporterebbe sul livello. Abbiamo perciò che la variazione nel tempo della densità di atomi sul livello vale: dn = wp N g σnf( ω ) N Γ sp dt dove Γ sp è la probabilità di emissione spontanea per unità di tempo. La potenza critica di pompaggio corrisponde alla situazione in cui dn /dt=0, cioè la pompa compensa le perdite di N dovute all emissione laser e all emissione spontanea. Sostituendo si ottiene per la potenza critica di pompaggio W pc : Γ sp + σf( ω ) W pc = Vhωwpc = Vhω N g / N La potenza minima corrisponde all instaurarsi del processo laser, cioè al valore F=0. Al di sopra di tale valore, il flusso laser F che si può ottenere cresce linearmente con la potenza. 4. Larghezza naturale delle righe, cavità e modi longitudinali La pompa ottica serve a popolare il livello E di energia da cui inizia l emissione di fotoni di energia hν ma di per sé non stimola la transizione laser. All accensione della pompa il processo di emissione di fotoni di energia hν inizia con emissione spontanea. I fotoni emessi con questo meccanismo hanno distribuzioni angolari e in energia molto diverse da quelle che si stabiliscono poi effettivamente nel LASER attraverso il meccanismo di emissione indotta. La distribuzione angolare dell emissione spontanea è infatti isotropa, mentre quella proveniente dall emissione stimolata è fortemente direzionale. Infatti solo i fotoni emessi in direzione sufficientemente vicina a quella dell asse z sopravvivono alle riflessioni multiple sugli specchi e quindi, ripassando più volte nel mezzo attivo arricchito dalla pompa di stati sul livello E di energia, si moltiplicano per emissione stimolata. La distribuzione in energia (e quindi in lunghezza d onda) dell emissione spontanea ha una sua larghezza naturale che non può mai scendere al di sotto di un certo valore determinato dal principio di indeterminazione. Una riga spettrale infatti non può mai essere rigorosamente 4
monocromatica, perché proviene da una transizione fra stati di cui almeno uno è instabile e quindi non può avere una energia rigorosamente monocromatica, dato che decade e pertanto vive per un tempo t limitato. La larghezza E del livello è legata alla probabilità Γ tot di transizione nell unità di tempo dal principio di indeterminazione, E h/ t h Γ tot, dove Γ tot è la probabilità totale di transizione nell unità di tempo, somma di tutte le probabilità parziali di transizione da quel livello a qualunque altro livello energetico raggiungibile attraverso qualunque meccanismo. Il principio di indeterminazione serve unicamente ad avere un ordine di grandezza del valore E della larghezza della distribuzione di energia del livello; per avere lo spettro effettivo occorre esaminare l evoluzione temporale della funzione d onda. Se il livello eccitato di energia E ha una probabilità di transizione a un qualunque altro livello pari a Γ tot, l evoluzione temporale della sua funzione d onda sarà del tipo: r ( Γtot / iω ) t ψ (, t) = ψ oe dove ψ o è la funzione d onda all istante t=0. Per avere l ampiezza della funzione a una certa frequenza ω, occorre fare la trasformata di Fourier, cioè moltiplicare per e iω t e integrare sul tempo: ( i( ω ( ) ω) + Γ / ) t ψ A ω = ψ o o e tot dt = i( ω ω) + Γ / 0 tot Il modulo al quadrato di A(ω) fornisce la distribuzione in energia del livello: C A( ω) = ( ω ω) + ( Γ tot / ) La funzione è chiamata lorentziana e ha la forma di campana; il parametro Γ tot rappresenta la larghezza a metà altezza (FWHM=full width half maximum). Per passare alla distribuzione in energia basta moltiplicare per h, per cui Γ E = h Γ tot. 4.5 4.5.5.5 0.5 Γ E 0.49985.4999.49995.5.50005.500.5005 energia (ev) Tipiche larghezze di livelli che possono avere transizioni di dipolo elettrico che danno origine a linee spettrali nel visibile sono dell ordine di 0-5 ev, dato che le probabilità di transizione sono dell ordine di 0 9 0 0 Hz ( E h/ t h Γ ). La riga spettrale di pulsazione ω, che proviene dalla transizione fra i livelli di energia E ed E, ha una larghezza pari alla convoluzione delle larghezze dei due livelli. Abitualmente la larghezza viene espressa in unità di lunghezza d onda: poiché la larghezza è piccola rispetto 5
alla lunghezza d onda si può assumere che Γ λ /λ=γ/ω, per cui la distribuzione in lunghezza d onda di una linea spettrale prodotta per emissione spontanea è anch essa lorentziana. La distribuzione in lunghezza d onda delle righe spettrali dell emissione indotta può essere invece molto diversa. Le lunghezze d onda che riescono a propagarsi in modo stazionario in una cavità di lunghezza L sono solo quelle che sono sottomultipli di L, perché per queste l onda ha un nodo in corrispondenza degli specchi: λ = L / n Il numero intero n è detto modo longitudinale del laser. Normalmente n è un numero molto alto e facilmente il laser può risuonare su più valori di n. Ad esempio, per un laser a gas che emette nel visibile (λ 0,5 µm) con L 0 cm si ha n 0 5 e la differenza fra il modo n e il modo n+ è δλ/λ 0-5. Il numero di modi che si possono stabilire in una cavità dipende dalla lunghezza della cavità e dalla larghezza naturale Γ λ della riga. Se la larghezza naturale della riga è dell ordine della separazione fra due modi, c è un solo modo risonante, altrimenti tutti i modi che stanno all interno di Γ λ possono risuonare. La larghezza di ogni modo dipende principalmente dalla bontà degli specchi che delimitano la cavità e, in generale, è molto minore non solo di Γ λ ma anche di δλ. Nella figura sono mostrati, a scopo puramente illustrativo, i modi risonanti di una oscillazione LASER di 650 nm (rosso) avente una larghezza di riga di 0,5 nm che oscilla in una cavità di,5 mm con larghezza di ogni singolo modo di 0,0 nm: la separazione fra due linee è di circa 0,08 nm, il numero n che caratterizza i modi varia fra 7698 e 7686. 8 Γ λ 6 4 0 8 6 4 0 649.4 649.6 649.8 650 650. 650.4 650.6 lambda (nm) La cavità quindi serve non solo a creare una sufficiente densità di radiazione necessaria per stimolare la transizione ma anche a definire in modo molto preciso la lunghezza d onda risonante. Di tutti i modi che possono in principio risuonare, uno solo alla fine si stabilirà e finirà col prevalere sugli altri perché verrà amplificato attraverso il processo di emissione stimolata. Se si vuole avere un particolare modo risonante, occorre ovviamente provvedere a stabilizzare la cavità in modo che oscilli sul modo scelto: questo intervento viene chiamato aggancio della cavità al modo scelto. 6