Risoluzioni di alcuni esercizi Reti topografiche, trasformazioni di coordinate piane In una poligonale piana il punto è nell origine delle coordinate, l angolo (in verso orario fra il semiasse positivo e il lato, che è lungo m, è di 6, l angolo (in verso orario fra il lato e il lato, che è lungo 7m, è di Determinare le coordinate di θ 6, θ L angolo in verso orario fra la direzione dell asse (tratteggiata e è coordinate di sono sin 6 cos 6 + 7sin 5 + 7 cos5 74447m 897m + θ +8 5 Si consideri la poligonale trattata nell esercizio precedente e si esegua una rotazione piana che porta il punto sul semiasse positivo Determinare le coordinate del punto nel nuovo sistema di assi La rotazione che porta l asse lungo è di in verso antiorario Quindi Le X Y cos sin sin cos 94m 65779m In alternativa, basta osservare che nel nuovo sistema di assi X m, Y m, e la direzione è X + 7 cos(8 inclinata di rispetto all asse Quindi Y 7sin(8 Dai punti (, e (, si esegue un intersezione in avanti per determinare le coordinate del punto Facendo stazione in e collimando e si trova che l angolo azimutale (in verso orario fra e è di Facendo stazione in e collimando e si trova che l angolo azimutale fra e (sempre in verso orario è di Determinare la coordinata di
ˆ (orario ˆ 6 (antiorario ˆ (orario Il punto sta evidentemente nel quadrante >, < Se, sono le coordinate di, si ha tan 6, tan Quindi (, da cui ( +, 4 4 4 Un sistema locale piano di assi cartesiani è ruotato di in verso antiorario rispetto al sistema esterno e la sua origine ha coordinate (, nel sistema esterno Determinare le coordinate nel sistema esterno del punto sul semiasse negativo del sistema locale a distanza dall origine Y X La rotazione che rende il sistema di assi parallelo a XY è di sistemi è una roto-traslazione della forma in verso orario La trasformazione fra i X cos + Y sin sin cos Quindi il punto nel sistema locale si trasforma in / / / + / / / 5 Dal punto di coordinate (, nel sistema di assi X,Y e origine del sistema di assi, si collimano i punti di coordinate (, nel sistema di assi X,Y e sull asse con coordinata 4 L angolo azimutale fra le direzioni collimate risulta essere in verso antiorario da a Scrivere
esplicitamente in forma matriciale la trasformazione fra, e X,Y, e determinare le coordinate di nel sistema di assi X,Y Y X ˆ ˆ O 45, L asse deve ruotare di 5 in verso antiorario per sovrapporsi a X ( 5 8 45 La X cos5 trasformazione da a XY è + Y sin5 4 sistema ha coordinate, si trasforma in sin5 cos5 cos5 sin5 4 4cos5 867 + sin5 cos5 + 4sin5 5 Quindi il punto, che nel 6 Dai punti (, e (, si esegue un intersezione in avanti per determinare le coordinate del punto Facendo stazione in e collimando e si trova che l angolo azimutale (in verso orario fra e è di Facendo stazione in e collimando e si trova che l angolo azimutale fra e (sempre in verso orario è di 45 Determinare le coordinate di ˆ (orario ˆ 6 (antiorario ˆ 45 (orario Il punto sta nel semipiano > Se, sono le coordinate di, si ha tan 6, + tan 45 Quindi ( + ( + 98, 99 +
7 Dai punti (, e (, si esegue un intersezione in avanti per determinare le coordinate del punto Facerdo stazione in e collimando e si trova che l angolo azimutale (in verso orario fra e è di 6 Facendo stazione in e collimando e si trova che l angolo azimutale fra e (sempre in verso orario è di 55 Determinare le coordinate di β 6, 55 8 75 β Dal disegno risulta ( + tan ( tan β da cui tan 75 + tan 6 4598 Dalla figura è chiaro che è negativo, quindi 4 598 tan 75 tan 6 Sostituendo si ottiene 9696 In alternativa si può applicare il teorema dei seni: sin(6 55 sin(8 (6 55 6 sin5, da cui si ricava Quindi + cos6, sin 6 -- Lunghezze di archi, ampiezze di angoli, rotazioni Calcolare la lunghezza di un arco di parallelo di ampiezza a ( ( a 6787m, e 67 45 di latitudine La lunghezza l dell arco è data da l N( ϕ cosϕ, dove / N ( ϕ a( e sin ϕ Nel nostro caso, ϕ 45, ' (da trasformare in radianti: π Δ λ 8 Si ottiene l 6 8 km
Assumendo che il raggio equatoriale sia di 6787m, determinare la differenza in longitudine (in gradi sessagesimali, primi e secondi fra gli estremi di un arco equatoriale la cui lunghezza è 9km La differenza di longitudine in radianti è data dal rapporto fra la lunghezza dell arco e il raggio Applicando la trasformazione da radianti a gradi sessagesimali si ottiene: 9 8 8848 8 5' 545'' 6787 π Un arco di parallelo a latitudine è lungo 85km Determinare la differenza in longitudine fra gli estremi in gradi sessagesimali, primi e secondi ( a 6787m, e 67 La lunghezza l dell arco è data da l N( ϕ cosϕ, dove / N ( ϕ a( e sin ϕ Nel nostro caso, ϕ, l 85km Si ottiene l 8 N( ϕcosϕ 6' 48447' ' 4 Calcolare la lunghezza (in km con cifre decimali del grado di longitudine a latitudine ( a 6787m, e 67 4 La lunghezza l dell arco è data da l N( ϕ cosϕ, dove / N ( ϕ a( e sin ϕ Nel nostro caso, ϕ 4, ( π /8 rad Si ottiene l 8594km 5 Calcolare la lunghezza (in km con cifre decimali dell arco di parallelo a latitudine 45 4' compreso fra le longitudini 9 54' e 7' ( a 6787m, e 67 La differenza in longitudine fra i due estremi dell arco è 4' La lunghezza dell arco è data da 4 π l N( ϕ cosϕ, dove N ( ϕ a / e sin ϕ, ϕ 45 4', (rad 6 8 Il risultato è l 55848km NOTA L ampiezza angolare dell arco è una differenza piccola fra due numeri grandi Se le longitudini degli estremi vengono calcolate separatamente con degli arrotondamenti, può accadere che l errore relativo sulla differenza sia grande, e di conseguenza sia grande anche l errore relativo sulla lunghezza dell arco Se si vuole che i decimali nel risultato siano esatti, bisogna che l errore sia non più grande di m su più di 5 55km, corrispondente ad un errore relativo dell ordine di
In ogni caso, quando si eseguono calcoli con la calcolatrice, è opportuno evitare arrotondamenti memorizzando nella macchina e richiamando i numeri che via via devono essere riutilizzati, anziché trascriverli manualmente ------------------ 6 Calcolare la matrice di rotazione ottenuta componendo nell ordine una rotazione in verso orario di del sistema di assi attorno all asse con una di 6 in verso antiorario attorno all asse z Si ricorda che la composizione di rotazioni corrisponde al prodotto righe per colonne delle corrispondenti matrici, in cui la matrice della prima rotazione sta a destra Quindi cos6 R sin 6 sin 6 cos 6 cos sin sin cos 5 866 75 4 5 4 5 866 ropagazione dell errore osto u + 4v, dove u ha sqm, v ha sqm e il loro coefficiente di correlazione è 5, determinare lo sqm di Si può scrivere ( u 4 er costruire la matrice di covarianza, si tenga presente che v, 4 ; ρ / 5, dove è l elemento fuori diagonale della matrice u v u v di covarianza Quindi C, e, per il teorema di propagazione dell errore, 4 44 ( 4 97, 97 9 85 osto u + v, u v, dove u e v sono quantità affette da errori incorrelati con lo stesso scarto quadratico medio, determinare il coefficiente di correlazione fra e L espressione nella forma matriciale è u v u la matrice di covarianza di v è C er il teorema di propagazione dell errore 6 C 6 Il coefficiente di correlazione è ρ /( 6 /
osto u +, v, dove e sono quantità con scarto quadratico medio e coefficiente di correlazione 5, determinare la matrice di covarianza di u e v e il loro coefficiente di correlazione u L espressione in forma matriciale è La matrice di covarianza di v 5 C er il teorema di propagazione dell errore 5 è 5 C Il coefficiente di correlazione è ρ /( u v 5 4 Le coordinate, di un punto sono determinate con errori incorrelati i cui sqm sono 6 mm, 4mm Viene eseguita una rotazione oraria degli assi di covarianza delle nuove coordinate X,Y e in particolare i loro sqm 5 Calcolare la matrice di 6 La matrice di covarianza delle coordinate, è 6 La trasformazione di coordinate è X R Y con cos5 sin 5 89 576 R sin 5 cos5 576 89 er la regola di propagazione dell errore nelle trasformazioni lineari C XY RC R T cos5 sin 5 sin 5 cos5 6 cos5 6 sin 5 sin 5 cos5 94 9969 9969 ; 5798 X Y 9 4 544, 5798 4758 5 osto r sin, dove r ha un valore approssimato di m e uno sqm di mm, e ha un valore approssimato di 45 e uno sqm di, assumendo che le misure di r e di siano incorrelate, determinare, in approssimazione lineare, lo sqm di L espressione linearizzata di è δr r sin r sin + sin δr + r cos δ r sin + ( sin r cos, δ dove r, sono i valori approssimati: r r + δ r, + δ
Dato che le misure sono incorrelate, la matrice di covarianza C è diagonale: C r, dove r mm * m, '' 5 rad er il teorema di propagazione dell errore 4* ( sin r cos 6 m r sin cos r * 4* 6 * Quindi 4 * 6 m mm