Esame di stato di istruzione secondaria superiore Indirizzi: LI02, EA02 SCIENTIFICO LI03 - SCIENTIFICO - OPZIONE SCIENZE APPLICATE Tema di matematica

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1 Nicola De Rosa maturità 5 Esame di stato di istruzione secondaria superiore Indirizzi: LI, EA SCIENTIFICO LI - SCIENTIFICO - OPZIONE SCIENZE APPLICATE Tema di matematica Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario PROBLEMA Sei il responsabile del controllo della navigazione della nave indicata in igura con il punto P. Nel sistema di rierimento cartesiano Oy le posizioni della nave P, misurate negli istanti t = e t = (il tempo t è misurato in minuti, le coordinate e y sono espresse in miglia nautiche), sono date dai punti (, ) e (, ). Negli stessi istanti la posizione di una seconda nave Q è data dai punti (, ) e (, ). Entrambe le navi si muovono in linea retta e con velocità costante, come rappresentato in Figura (non in scala). L area indicata con ZMP è una Zona Marittima Pericolosa. Il raggio luminoso di un aro posto nel punto F di coordinate (, ) spazza un quarto di un cerchio di raggio miglia (vedi Figura ).. Calcola dopo quanto tempo, rispetto all istante in cui la nave P avvista per la prima volta il aro F, essa raggiunge la minima distanza dal aro, e la misura di tale distanza.. Determina la posizione della nave P nell istante in cui per la prima volta la sua distanza dalla nave Q è pari a 9 miglia.. Determina l istante t nel quale la distanza tra le due navi è minima e calcola il valore di tale distanza.

2 Nicola De Rosa maturità 5 Nel punto (, ) si trova una boa che segnala l inizio della ZMP. La deitazione della ZMP può essere descritta dai graici delle unzioni e g che si intersecano nel punto B e sono deinite da:,, e dalla retta =.. Calcola l'area della ZMP. g,, B B

3 Nicola De Rosa maturità 5 SVOLGIMENTO a cura di Nicola De Rosa. La nave P si muove lungo la retta y pertanto il generico punto in cui si trova la nave ha coordinate,, La distanza del generico punto dal aro è data da d. Minimizzare la distanza d è equivalente a minimizzare d. La unzione d è una parabola con minimo V pertanto la distanza minima è pari a d e viene nel punto di vertice, raggiunta quando la nave sta nel punto, La retta P. m y incontra il quarto di cerchio di equazione y 8 7 aro viene visto per la prima volta nel punto 8,7 nei punti per cui 6. Scartando la soluzione negativa, il 8 B ; il percorso BP m misura BP m 7 ; poiché il tratto P P viene percorso in secondi, il percorso BP 7 viene percorso in un tempo che deve soddisare la proporzione : 7 : t t 5 minuti.. La nave P si muove lungo la retta y con equazione parametrica della traiettoria at y y bt ; sapendo che y, y y e che per t= passa in (,) si ha:, t at a 5 a b bt b 5 y t 5 quindi il punto generico in cui si trova la nave P è t, t. 5 5 Analogamente si ricava l equazione parametrica della traiettoria lineare y percorsa dalla nave Q: y y a at a bt b b quindi il punto generico in cui si trova la nave Q è Quindi la distanza tra le due navi è pari a: d t ed è pari a 9 miglia quando m t y t t, t. t t t t t 5 t 5 5

4 Nicola De Rosa maturità 5 t t 5 t 9 9t 8 t 7 7 t 7 t Le due navi sono a distanza 9 miglia per la prima volta dopo t= minuti e P si trova nella 5 posizione P. y l equazione di una parabola, il minimo è raggiunto nell ascissa del vertice ovvero per t 7. La distanza tra le due navi è minima quando è minima d t t t 9 ; essendo d t 7 9 d miglia. 5 minuti cui corrisponde , 85. Le unzioni e g si incontrano nel punto ad ascissa tale per cui. L area della zona ZMP è pari a d 7 d 9

5 Nicola De Rosa maturità 5 PROBLEMA a. Sia data la amiglia di unzioni b. Determina per quale valore di a e b il graico della unzione passa per l'origine e ha un massimo nel punto di ascissa ;. trovata l espressione analitica della unzione, dopo aver deinito il campo di esistenza, determina le equazioni degli eventuali asintoti;. determina l'area della regione piana deitata dalla retta tangente alla curva nell'origine, dalla curva stessa e dalla retta passante per il suo punto di massimo e parallela all'asse y;. calcola inine il volume del solido generato dalla rotazione attorno all'asse della parte di piano deitata dalla tangente in O, dalla bisettrice del primo quadrante e dalla retta passante per il suo punto di massimo e parallela all'asse y. 5

6 Nicola De Rosa maturità 5 6 SVOLGIMENTO. La unzione b a passa per l origine se a a a. La derivata della unzione b è b ' ed imponendo che ' si ricava b b pertanto la unzione è.. La unzione deinita per,. Poiché si deduce che è asintoto verticale sinistro. Poiché si deduce che non esistono asintoti orizzontali. Vediamo se esistono asintoti obliqui di equazione q m y con m. Applicando il teorema di De L Hospital al primo ite si ha: pertanto m. Il valore noto q è pari a q pertanto non esistono asintoti obliqui.. La retta tangente nell origine alla curva ha equazione y '. Di seguito l area da calcolare raigurata in grigio.

7 Nicola De Rosa maturità 5 7 L area è pari a d d d d d d d S 8 Applicando l integrazione per parti si ha: C d d C d d arctan pertanto 6 arctan 6 8 d d In conclusione l area è pari a: S.. La regione di piano da ruotare è di seguito raigurata.

8 Nicola De Rosa maturità 5 8 Il volume richiesto è pari alla dierenza tra il volume del cono di altezza e raggio e quello di altezza e raggio, ovvero V

9 Nicola De Rosa maturità 5 QUESTIONARIO. La unzione ( ) è continua per [, ] il suo graico è la spezzata passante per i punti: (-, ), (-, ), (-, ), (, -), (, ), (, ), (, ). Qual è il valor medio di ( ) per [, ]?. Da un analisi di mercato è risultato che il % della popolazione usa il prodotto A. Scelto a caso un gruppo di persone, determinare il valore medio, la varianza e la deviazione standard della variabile casuale X = «numero di persone che usa il prodotto A». Calcolare inoltre la probabilità che, all interno del gruppo scelto, il numero di persone che usano detto prodotto sia compreso tra e 5, estremi inclusi.. In un rierimento cartesiano Oyz, si veriichi che la circonerenza, intersezione della sera di equazione + + = e del piano = ha centro in (,, ) e raggio. Si immagini che una sorgente di luce puntiorme S sia situata sul semiasse positivo delle. A quale distanza dal centro della sera si deve trovare S ainchè sia il conine tra la zona della sera che risulta illuminata e quella cheresta in ombra?. Sia P b c P P P P P.. Si suppne che P e che P. Calcolare 5. Risolvere l integrale improprio: d 6. La popolazione di una colonia di batteri è di batteri al tempo = e di 65 al tempo =. Si suppone che la crescita della popolazione sia esponenziale, rappresentabile, cioè, con dy l equazione dierenziale k y, dove k è una costante e y la popolazione di batteri al tempo dt t. Al tempo =, la popolazione supererà i batteri? 7. Una particella si muove lungo una certa curva secondo le seguenti leggi: t cost, yt sint Disegnare la traiettoria percorsa dalla particella per t che va da a secondi e determinare la velocità di variazione di θ, l angolo ormato dalla tangente alla traiettoria con l asse, per t secondi. 8. Se t dt per, qual è il valore di '? 9. Risolvere il seguente problema posto nel 57 da Ludovico Ferrari a Niccolò Tartaglia: Si divida il numero 8 in numeri reali non negativi in modo che sia massimo il prodotto di uno per l altro e per la loro dierenza.. Trovare l equazione della retta perpendicolare al graico di 7 nel punto di ascissa. 9

10 Nicola De Rosa maturità 5 SVOLGIMENTO ( ) d. l ampiezza Il valor medio richiesto corrisponde a: ( ) d. ( ) 8 Di atto, l integrale può essere velocemente calcolato valutando le aree di regioni interne a poligoni che la spezzata e l asse delle ascisse deitano, e poi eettuandone un opportuna somma attribuendo un segno negativo a quelle che si estendono al di sotto dell asse. Più precisamente le regioni suddette sono: - un triangolo (tra le ascisse e ) di base ed altezza, quindi con area: S (da sommare) - un triangolo (tra le ascisse e ) di base ed altezza, quindi con area: S (da sottrarre) - un triangolo (tra le ascisse e ) di base ed altezza, quindi con area: S (da sommare) - un trapezio (tra le ascisse e ) di basi e ed altezza, quindi con area: sommare) ; S (da l integrale suddetto vale:. 8 6 S S S S ed il valor medio richiesto è pertanto:. Variabile aleatoria a distribuzione binomiale, con probabilità: P n k k nk [ X k] pn, k p q, 68 dove: n, p., q p. 68. Il valor medio è: M[ X ] np.. 8; la varianza e la deviazione standard sono rispettivamente: Var[ X ] npq e Var[ X ]. 6. La probabilità richiesta è: P[ X 5]

11 Nicola De Rosa maturità 5. Sostituendo z nell equazione della sera si ottiene: y, che nel piano z è l equazione di una circonerenza di centro A (,, ) z S e raggio AT. Inoltre, è: OT, da cui si ottiene: sin ˆ AT TOA OT che è la distanza richiesta. ˆ TOA OS OT tantoˆ A, T A O y. Risulta: P() b c e P() b c ; per la richiesta: P ( P()) P( P()) risulta che ed sono le soluzioni (distinte in quanto dev essere P( ) P() ) dell equazione: b c. Per una nota proprietà delle equazioni di secondo grado, dev essere: 5 b c b b c b c b c b c b c c 5 ( )( ) c c c pochi calcoli si ottiene: b c. Pertanto: 5 P ( ) c. c c da cui con 5. L integrale improprio corrisponde a: h h h h h d d h h h h. L indeterminazione contenuta nell ultimo ite si rimuove usando il Teorema di De L Hopital: h h h ( H ) / h h h h h h h h e pertanto l integrale proposto converge a:.

12 Nicola De Rosa maturità 5 6. L equazione dierenziale che descrive la crescita della popolazione y (t) dei batteri è a variabili separabili, risolvendola si ottiene: dy y kdt ) kt y ktc y( t Ae, con condizione iniziale: y ( ), da cui: y C A e costante da determinare in base alla kt ( t) e. La costante k si determina imponendo che sia: y ( ) 65, da cui: 65 e k 65 k k.6. 8 L espressione della unzione che descrive la popolazione risulta pertanto: t si trova: y ( t) 8, che risulta maggiore di. 8 Per t 8 y( t) e Riscritte le equazioni parametriche della traiettoria nel modo seguente: cos t y sin t tali espressioni nell identità: cos t sin t si ottiene l equazione cartesiana della traiettoria:, e sostituendo t ( ) ( y ) 9 ; si tratta evidentemente di un ellisse, centrata nel punto (, ) con assi y P v paralleli agli assi cartesiani e di semiassi e rispettivamente nelle dell asse ed dell asse y (vedere graico qualitativo a destra). Per t si ottiene il punto P, indicato nel graico; la velocità (che in ogni punto risulta tangente alla traiettoria) è data dal vettore le cui componenti rispetto agli assi coordinati sono date dalle rispettive derivate temporali delle coordinate del punto; altrimenti detto, indicate con ed y le derivate temporali di e di y, si hanno per il vettore velocità le seguenti componenti: sin t y cos t, che nel punto P risultano essere: P yp.

13 Nicola De Rosa maturità 5 L angolo che la velocità (e quindi la retta tangente) orma col semiasse positivo delle ascisse è dato dalla relazione: y cos t tan cot an t ; sin t in particolare, per t si ottiene: tan P cotan da cui P. 7 rad. La velocità di variazione dell angolo è: d d 6 ( t) t dt dt arc tan cotan 9 cot t sin t sin t 9cos t, che calcolata per 6 8 rad t ornisce:. 7 s 9 8. Per il teorema ondamentale del calcolo integrale ' pertanto '. 9. Siano, y due numeri reali tali per cui y 8 e y con, y 8. Il prodotto richiesto è pari a La derivata prima è pari a ' pertanto il prodotto è massimo per. ed è positiva in.,,, Pertanto i due numeri sono, y.. Il punto ha coordinate (,5). La retta tangente al graico in (,5) ha equazione y ' 5 dove ' 66 y 66 5 pertanto l equazione diventa. La perpendicolare al graico non è altro che la perpendicolare alla tangente pertanto ha equazione 99 y