grandezze fisiche vettoriali vettori : coordinate polari Appunti di Fisica Prof. Calogero Contrino

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1 006 grandezze fisiche vettoriali vettori : coordinate polari rof. Calogero Contrino

2 Rappresentazione di un vettore in coordinate polari Dato un vettore in forma cartesiana A = A x i + A y j (vedi fig.1), il suo modulo si determina immediatamente applicando il teorema di itagora al triangolo H, si ha infatti: A = A x A + y = x y + Detto l angolo che il vettore forma con il semiasse positivo delle ascisse si ha : tg H = A y y = = da cui H A x x = tg -1 A y = tg -1 y A x x I valori di A e di determinano in modo univoco il vettore cosi come le sue componenti cartesiane; A ed sono dette le coordinate polari del vettore A. L angolo prende il nome di fase o anomalia del vettore. Applicando il primo teorema sui triangoli rettangoli al triangolo H, si ottengono le formule per il passaggio dalle coordinate polari a quelle cartesiane: fig. 1 A y j y A x = A cos A y = A sen A x i H x rof Calogero Contrino 07/04/014 /8

3 Nota sul calcolo dell anomalia di un vettore Nota : dovendo determinare l anomalia di un vettore, conoscendo i valori A x ed A y delle sue componenti, se il rapporto A x /A y non corrisponde a nessuno dei valori di tg di angoli noti, si deve effettuare il calcolo con l ausilio di una calcolatrice tascabile. In tal caso si devono superare due problemi : In generale il valore che ritorna la calcolatrice è un valore decimale (gradi o radianti) esso pertanto deve essere approssimato con un determinato numero di cifre decimali. Valori positivi di A x /A y si hanno sia nel caso in cui A x ed A y siano positive (1 quadrante ) sia nel caso in cui siano entrambe negative (3 quadrante), mentre valori negativi di A x /A y si hanno sia nel caso in cui A x è positiva ed A y è negativa (4 quadrante) sia nel caso opposto ( quadrante). er quanto riguarda il secondo punto, la calcolatrice non è in grado di valutare in quale quadrante ricade il vettore, pertanto per convenzione ai valori positivi assegna angoli acuti ricadenti nel primo quadrante ed ai valori negativi angoli acuti ricadenti nel quarto quadrante (quindi angoli negativi, il quarto quadrante coincide infatti con il primo quadrante per angoli orari e quindi negativi) Spetta all alunno valutare, dal segno delle componenti, l eventuale correzione del risultato addizionando al risultato della calcolatrice 180, se in radianti (vedi fig.) rof Calogero Contrino fig. 1 y 1 >0 <0 1 In rosso i valori forniti dalla calcolatrice nei due casi 07/04/014 3/8

4 Si riportano qui degli esempi di calcolo. Determinare la fase del vettore A = 3 i + j. Si ha : = tg -1 A y = tg -1, la calcolatrice fornisce il seguente risultato: 33, A x 3 Il risultato non va corretto perché le due componenti sono entrambe positive ed il vettore ricade nel primo quadrante si decide inoltre di arrotondare il risultato p.e. 33,69. fig. 3 y = 1 33,69 x =3 rof Calogero Contrino 07/04/014 4/8

5 Determinare la fase del vettore B = - i - 3 j. Si ha : = tg -1 B y = tg -1-3 = tg -1 1,5, la calcolatrice fornisce il seguente risultato: B x - 56, Il risultato va corretto perché le due componenti sono entrambe negative ed il vettore ricade nel terzo quadrante si decide inoltre di arrotondare il risultato p.e. 56,3. Si ha dunque : = +180 = 56, = 36,3 fig. 4 x = - 56,3 y = -3 rof Calogero Contrino 07/04/014 5/8

6 Determinare la fase del vettore C = i - j. Si ha : = tg -1 C y = tg -1 - = tg -1 (-), la calcolatrice fornisce il seguente risultato: C x 1-63, Il risultato non va corretto perché le due componenti sono discordi ed il vettore ricade nel primo quadrante negativo. È opzionale riferirsi ad un angolo positivo (quarto quadrante) in tala caso bisogna aggiungere 360, si decide inoltre di arrotondare il risultato p.e Si ha dunque : = - 63 oppure = +360 = = 97 fig. 3 x = y = - rof Calogero Contrino 07/04/014 6/8

7 Determinare la fase del vettore D = - i + j. Si ha : = tg -1 D y = tg -1 1 = tg -1 (-0,5), la calcolatrice fornisce il seguente risultato: D x - - 6, Il risultato va corretto perché le due componenti sono discordi ed il vettore ricade nel secondo quadrante, si decide inoltre di arrotondare il risultato p.e. 6,57. Si ha dunque : = = 180-6,57 = 153,43 fig ,43 y =1 x = - - 6,57 rof Calogero Contrino 07/04/014 7/8