Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI. Esempi di soluzione per sistemi dinamici LTI TC

Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI Esempi di soluzione per sistemi dinamici LTI TC

Esempi di soluzione per sistemi LTI TC Scomposizione in fratti semplici (parte I) Esempio di soluzione 1 Scomposizione in fratti semplici (parte II) Esempio di soluzione Scomposizione in fratti semplici (parte III) Esempio di soluzione 3 Considerazioni finali

Esempi di soluzione per sistemi LTI TC

Scomposizione in fratti semplici: introduzione Sia F (s ) una funzione razionale fratta rappresentata nella forma polinomiale F( s) b s + b s + + bs + b N ( s) = = ( s) m m 1 m m 1 1 0 F n n 1 s + an 1s + + a1s + a0 DF Supponiamo che: N F (s ) e D F (s ) siano polinomi in s, di grado m ed n rispettivamente (m < n F (s ) strettamente propria) N F (s ) e D F (s ) non abbiano radici in comune Il denominatore di F (s ) abbia n radici distinte p 1,, p n, (con molteplicità unitaria) 4

Scomposizione in fratti semplici: definizione Si può fattorizzare il denominatore di F (s ) mettendo in evidenza le n radici distinte: F( s) = b s b s bs b m m m 1 + m 1 + + 1 + 0 ( s p )( s p ) ( s p ) 1 n La scomposizione i fratti semplici (detta anche sviluppo di Heaviside) di F (s ) è definita da: F( s) n R1 R Rn Ri = + + + = 1 n i = 1 s p s p s p s p i 5

Scomposizione in fratti semplici: residui Nella scomposizione in fratti semplici: F( s) n R1 R Rn Ri = + + + = 1 n i = 1 s p s p s p s p i I termini R 1,, R n sono detti residui Nel caso considerato (radici distinte), i residui vengono calcolati come: R = lim( s p ) F( s), i = 1,, n i s p i i 6

Formulazione del problema Si consideri il seguente sistema LTI TC: 0 1 1 xt () = + xt () ut () 3 0 Determinare l espressione analitica del movimento dello stato x (t ) nel caso in cui L ingresso sia un gradino di ampiezza (u (t ) = ε (t )) Le condizioni iniziali siano: x (0) =[ ] T 8

Procedimento di soluzione I passi da seguire sono: Calcolo della soluzione X (s ) nel dominio della trasformata di Laplace Calcolo della scomposizione in fratti semplici (e dei corrispondenti residui) di X (s ) Calcolo di x (t ) tramite antitrasformazione della scomposizione in fratti semplici di X (s ) 9

Impostazione dei calcoli in dom(s ) (1/) Soluzione nel dominio della trasformata di Laplace: Con: 1 1 ( ) ( ) X ( s ) = si A x (0) + si A BU ( s ) X ( s) X ( s) 0 1 1 A = = = =, B, x(0), U( s) 3 0 s f 10

Impostazione dei calcoli in dom(s ) (/) 1 1 ( ) ( ) X ( s ) = si A x (0) + si A BU ( s ) X ( s) X ( s) Per calcolare X (s ) procediamo con i seguenti passi: Calcolo del termine (s I A ) -1 Calcolo del movimento libero X l (s ) Calcolo del movimento forzato X f (s ) Calcolo di X (s ) come X (s ) = X l (s ) + X f (s ) Scomposizione i fratti semplici di X (s ) f 11

Calcolo di (s I A) -1 1 1 Ricordiamo che: ( si A) = Adj ( si A) det( si A) ( si A) 1 1 s 0 0 1 s 1 0 s 3 s + 3 1 = = = s + 3 1 1 s + 3 1 ( s + 1)( s + ) ( s + 1)( s + ) = s 3s = + + s s det( si A) Adj ( si A) ( s + 1)( s + ) ( s + 1)( s + ) 1

Calcolo di X l (s ) s + 3 1 1 ( s + 1)( s + ) ( s + 1)( s + ) X ( s) ( si A) x(0) = = s = ( s 1)( s ) ( s 1)( s ) + + + + x (0) 1 ( si A) s + 8 ( s + 1)( s + ) = s 4 ( s + 1)( s + ) 13

Calcolo di X f (s ) s + 3 1 1 ( s + 1)( s + ) ( s + 1)( s + ) 1 Xf ( s) = ( si A) BU( s) = s 0 = s ( s 1)( s ) ( s 1)( s ) + + + + B Us ( ) 1 ( si A) s + 3 ( s + 3) ( s + 1)( s + ) s( s + 1)( s + ) = = s 4 ( s 1)( s ) + + s( s + 1)( s + ) 14

Calcolo di X (s ) X (s ) viene calcolato come somma di X l (s ) e X f (s ) s + 8 ( s + 3) ( s + 1)( s + ) s( s + 1)( s + ) X( s) = X ( s) Xf ( s) + = + = s 4 4 ( s + 1)( s + ) s( s + 1)( s + ) s + 10s + 6 ss ( + 1)( s+ ) = s 4s 4 ss ( + 1)( s+ ) X ( s) X ( s) f 15

Scomposizione in fratti semplici di X (s) X( s) s + 10s + 6 (1) (1) (1) R1 R R 3 X1( s) + + ss ( + 1)( s+ ) s s + 1 s + = = = () () () X( s) s 4s 4 R1 R R 3 + + ss ( + 1)( s+ ) s s + 1 s + 16

Calcolo dei residui per X 1 (s ) X ( s) 1 (1) (1) (1) s + 10s + 6 R1 R R3 = = + + ss ( + 1)( s+ ) s s+ 1 s+ R = lim sx ( s) (1) 1 s 0 1 R = lim ( s + 1) X ( s) (1) s 1 1 R = lim ( s + ) X ( s) (1) 3 s 1 3 3 X1( s) = + s s + 1 s + s + 10s + 6 = lim s = 3 s 0 ss ( + 1)( s + ) s + 10s + 6 = lim ( s + 1) = s 1 ss ( + 1)( s+ ) s + 10s + 6 = lim ( s + ) = 3 s ss ( + 1)( s+ ) 17

Calcolo dei residui per X (s ) X ( s) () () () s 4s 4 R1 R R3 = = + + ss ( + 1)( s+ ) s s+ 1 s+ s s = lim ( ) = lim = ( + 1)( + ) () 4 4 R1 sx s s s 0 s 0 ss s () s 4s 4 R = lim ( s + 1) X( s) = lim ( s + 1) = s 1 s 1 ss ( + 1)( s+ ) () s 4s 4 R3 = lim ( s + ) X( s) = lim ( s + ) = 6 s s ss ( + 1)( s+ ) 6 X( s) = + s s + 1 s + 18

Risultato Pertanto: X( s) 3 3 + X + + 1( s) s s 1 s = = X( s) 6 + s s + 1 s + Si può procedere con l antitrasformazione ricordando che: Re at () t R -1 ε = L s a x () t 3+ e 3e t t 1 () = () t t t x() t = ε e + 6e xt 19

Scomposizione in fratti semplici con radici C Quando nel denominatore di F (s ) sono presenti coppie distinte di radici complesse coniugate del tipo: p 1 = σ 0 + jω 0, p = p 1* = σ 0 - j ω 0 m m 1 bms + bm 1s + + bs 1 + b0 F( s) = ( s σ0 jω0)( s σ0 + jω0)( s p3) ( s pn ) ( s p ) ( s p ) 1 Il procedimento della scomposizione in fratti semplici rimane invariato: R1 R R3 Rn F( s) = + + + s σ jω s σ + jω s p s p 0 0 0 0 3 s p s p 1 n 1

Calcolo dei residui con radici C R R R 1 n ( ) = + + + F s s σ j ω s σ + j ω s p 0 0 0 0 n Anche il procedimento di calcolo dei residui rimane invariato: R = lim ( s σ jω ) F( s) 1 0 0 s σ + jω 0 0 R = lim ( s σ + jω ) F( s) = R * s σ jω 0 0 1 0 0 Notiamo che i residui associati ad una coppia di radici complesse coniugate sono numeri complessi coniugati

Antitrasformazione in presenza radici C (1/) Occorre però fare attenzione all antitrasformata della coppia di fratti semplici: * R1 R1 + s σ j ω s σ + j ω 0 0 0 0 at -1 R Applicando la proprietà: Re ε() t = L si s a ottiene: * R1 R 1 L + = + s σ0 jω0 s σ0 + jω0 ( ( σ + jω ) t * ( σ jω ) t ) 1 1 0 0 0 0 Re R e t ε() 3

Antitrasformazione in presenza radici C (/) Utilizzando le formule di Eulero si ha: ( ( + ) * ( ) ) σ0 jω0 t σ0 jω0 t σ0t Re + R e ε t = R e ωt + R ε t () cos( arg( )) ( ) 1 1 1 0 1 Im( R ) R = Re ( R ) + Im ( R ),arg( R ) = arctan Re( R ) 1 1 1 1 1 1 Pertanto, l antitrasformata di una coppia di fratti semplici corrispondenti a radici va sempre considerata nel suo insieme 4

Formulazione del problema Si consideri il seguente sistema LTI TC: 3 1 xt () = xt () ut () 3 + 0 yt () = 0 1 xt () Determinare l espressione analitica del movimento dell uscita y (t ) nel caso in cui: L ingresso sia un gradino di ampiezza unitaria (u (t ) = ε (t )) Le condizioni iniziali siano: x (0) =[1 1] T 6

Procedimento di soluzione I passi da seguire sono: Calcolo della soluzione Y (s ) nel dominio della trasformata di Laplace Calcolo della scomposizione in fratti semplici (e dei corrispondenti residui) di Y (s ) Calcolo di y (t ) tramite antitrasformazione della scomposizione in fratti semplici di Y (s ) 7

Impostazione dei calcoli in dom(s ) Soluzione nel dominio della trasformata di Laplace: ( ) 1 ( ) 1 Y ( s) = C si A x(0) + C si A B + D U( s) Y ( s) Y ( s) Con 3 1 1 1 A =, B, C 0 1, D [0], x(0), U( s) 3 = = = = = 0 1 s f 8

Passi della soluzione in dom(s ) ( ) 1 ( ) 1 Y ( s) = C si A x(0) + C si A B + D U( s) Y ( s) Y ( s) Per calcolare Y (s ) procediamo come segue: Calcolo del termine (s I A ) -1 Calcolo della risposta libera Y l (s ) Calcolo della risposta forzata Y f (s ) Calcolo di Y (s ) come Y (s ) = Y l (s ) + Y f (s ) Scomposizione i fratti semplici di Y (s ) f 9

Calcolo di (s I A) -1 1 1 Si ricordi che: ( si A) = Adj ( si A) det( si A) ( si A) 1 s + 3 1 s + 3 s 3 s 6s 13 + + + s + 3 1 = = = s + 3 s + 6s + 13 s + 6s + 13 = s + 3 s + 6s + 13 s + 6s + 13 det( si A) Adj ( si A) 30

Calcolo di Y l (s ) s + 3 1 s + 6s + 13 s + 6s + 13 1 Y ( s) = C( si A) x(0) = 0 1 = s 3 1 + C s + 6s + 13 s + 6s + 13 x (0) s + 3 1 s + 1 = = s + 6s + 13 s + 6s + 13 1 s + 6s + 13 C( si A) 1 x (0) ( si A) 1 31

Calcolo di Y f (s ) s + 3 1 s + 6s + 13 s + 6s + 13 1 1 Yf ( s) = C( si A) B + D U( s) = 0 1 s 3 0 + s C U( s) D = 0 s + 6s + 13 s + 6s + 13 B s + 3 1 1 1 = = s + 6s + 13 s + 6s + 13 = 3 0 s s + 6s + 13 s s + 6s + 13s C( si A) 1 B U( s) ( si A) U( s) 1 3

Calcolo di Y (s ) Y (s ) si calcola come somma di Y l (s ) e Y f (s ) s + s Y ( s) = Y ( s) + Yf ( s) = = 3 s + 6s + 13s s + s = ss ( + 3 j)( s+ 3+ j) Notiamo che nel denominatore di Y (s ) è presente una coppia di radici C con σ 0 = - 3 e ω 0 = 33

Fratti semplici e residui di Y (s ) Scomposizione in fratti semplici di Y (s ): * s + s R1 R1 R Y ( s) = = + + ss ( + 3 j)( s+ 3+ j) s+ 3 j s+ 3+ j s Calcolo dei residui: R = lim ( s + 3 j) Y( s) = 1 s 3+ j s + s = lim ( s + 3 j) = 0.5769 + 0.3846j s 3+ j ss ( + 3 j)( s+ 3+ j) R = lim sy( s) = s 0 s + s = lim s = 0.1538 s 0 ss ( + 3 j )( s + 3+ j ) 174

Risultato in dom(s ) Si ottiene quindi: 0.5769 + 0.3846j 0.5769 0.3846j 0.1538 Y ( s) = + s + 3 j s + 3+ j s Per l antitrasformazione della coppia di fratti semplici corrispondenti alle radici complesse coniugate si ha: σ 0 0 1 1 = 3, ω = R = 0.5769 + 0.3846j R = + = (0.5769) (0.3846) 0.6934 0.3846 arg( R1) = arctan = 0.588rad 0.5769 35

Risultato in dom(t ) L espressione analitica di y (t ) è quindi: σ0 ω0 3 t y ( t) = 1.3868 e cos( t + 0.588) 0.1538 ε( t) R arg( R 1 1) 36

Caso di F (s ) con radici multiple F( s) b s + b s + + bs + b N ( s) = = ( s) m m 1 m m 1 1 0 F n n 1 s + an 1s + + a1s + a0 DF Supponiamo ora che: N F (s ) e D F (s ) non abbiano radici in comune Il denominatore di F (s ) abbia r (r < n) radici distinte con molteplicità maggiore o uguale a 1 F (s ) sia strettamente propria (m < n ) Indichiamo con p i i - esima radice distinta del denominatore di F (s ), (i =1,, r ) μ i molteplicità della radice 38 p i, (i =1,, r, Σ r i=1 μ i = n)

Scomposizione in fratti semplici con radici multiple Si può fattorizzare il denominatore di F (s ) mettendo in evidenza le radici distinte con la rispettiva molteplicità: F( s) = b s + b s + + bs + b m m m 1 m 1 1 0 μ1 μ μ 1 r ( s p ) ( s p ) ( s p ) r La scomposizione in fratti semplici di F (s ) è definita da: F( s) R R R R = + + + = μ1 μ μr r μi 1, k, k r, k i, k k k k k k= 1( s p1) k= 1( s p) k= 1( s pr) i= 1 k= 1( s pi) 39

Calcolo dei residui con radici multiple (1/) In questo caso, la formula generale per calcolare i residui R i,k (associati alla radice p i di molteplicità μ i ) è: 1 d R s p F s k μi k ( ) μi ( ) i, k = lim, 1,, ( ) i = i s p μi k i μi k! ds Nel caso μ i = 1 si ottiene la formula nota μ Ri,1 = lim( s pi) F( s) s p i 40

Calcolo dei residui con radici multiple (/) μi k 1 d lim ( ) μi R = s p F ( s), k = 1,, μ ( μ k ) i, k i i s p μi k i i! ds Nel caso μ i = si ha: d ( ) R ( ) i,1 Ri,1 = lim s pi F s s pi ds s p R s p F s R ( ) ( ) i, i, = lim i s p i ( s p1) 1 Nota: il medesimo procedimento si applica al caso di radici complesse 41

Formulazione del problema Si consideri il seguente sistema LTI TC: 0 16 1 xt () = xt () ut () 1 8 + yt () = 0 1 xt () Determinare l espressione analitica del movimento dell uscita y (t ) nel caso in cui L ingresso sia una rampa di ampiezza (u (t ) = t ε (t )) Le condizioni iniziali siano nulle 43

Procedimento di soluzione I passi da seguire sono: Calcolo della soluzione Y (s ) nel dominio della trasformata di Laplace Calcolo della scomposizione in fratti semplici (e dei corrispondenti residui) di Y (s ) Calcolo di y (t ) tramite antitrasformazione della scomposizione in fratti semplici di Y (s ) 44

Impostazione dei calcoli in dom(s ) Soluzione nel dominio della trasformata di Laplace: ( ) 1 ( ) 1 Y ( s) = C si A x(0) + C si A B + D U( s) Y ( s) Y ( s) Con: f 0 16 1 0 A =, B, C 0 1, D [0], x(0), U( s) 1 8 = = = = = 0 s 45

Passi della soluzione in dom(s ) ( ) 1 ( ) 1 Y ( s) = C si A x(0) + C si A B + D U( s) Y ( s) Y ( s) Per calcolare Y (s ) notiamo innanzi tutto che, essendo nulle le condizioni iniziali, è necessario trovare la sola risposta forzata Procediamo quindi nel seguente modo: Calcolo del termine (s I A ) -1 Calcolo della risposta forzata Y f (s ) Y (s ) = Y f (s ) Scomposizione i fratti semplici di Y (s ) f 46

Calcolo di (s I A) -1 Si ricordi che: ( si A) = Adj ( si A) det( si A) 1 1 1 s 16 1 s + 8 16 1 s + 8 s + 8s + 16 1 s 1 A = = = ( si ) det( si A) Adj ( si A) s + 8 16 s + 8 16 s 8s 16 s 8s 16 ( s 4) ( s 4) + + + + + + = = 1 s 1 s s + 8s + 16 s + 8s + 16 ( s + 4) ( s + 4) 47

Calcolo di Y (s ) =Y f (s ) s + 8 16 1 ( s + 4) ( s + 4) 1 Y ( s) = Yf ( s) = C( si A) B D U( s) 0 1 + = = 1 s s C ( ) D 0 ( 4) ( 4) B U s = s + s + 1 s 1 (s + 1) (s + 1) = ( s 4) ( s 4) = = + + s ( s + 4) s s ( s + 4) C( si A) 1 B U( s) ( si A) 1 48

Scomposizione in fratti semplici Si ha quindi: Y ( s ) = (s + 1) s ( s + 4) Notiamo che nel denominatore di Y (s ) sono presenti le radici p 1 = 0 e p = - 4 entrambe di molteplicità (μ 1 = μ = ) La scomposizione in fratti semplici è pertanto: Y ( s) (s + 1) R R R R = = + + + s ( s + 4) s s s + 4 s + 4 1,1 1,,1, ( ) 49

Calcolo dei residui (1/) (s + 1) R R R R Y ( s) = = + + + s ( s + 4) s s s + 4 s + 4 1,1 1,,1, ( ) Calcolo dei residui associati alla radice p 1 = 0: R = R 1,1 = lim s 0 1, = d ds lim s Y( s) s 0 d (s + 1) ds s ( s + 4) = lim s s 0 4( s + 4) (s + 8) (s + 1) lim s Y( s) s 0 ( s + 4) lim 0.15 s 0 (s + 1) = s = s ( s + 4) 4 ( s + 6) = lim = 0.1875 s 0 3 ( s + 4) 50

Calcolo dei residui (/) (s + 1) R R R R Y ( s) = = + + + s ( s + 4) s s s + 4 s + 4 1,1 1,,1, ( ) Calcolo dei residui associati alla radice p = 4: d R,1 = lim ( s + 4) Y( s) s 4ds d (s + 1) = lim ( s + 4) s 4ds s ( s + 4) = 4s s (s + 1) = lim s 4 4 s 4 3 s 4( s + 1) = lim = -0.1875 s R, = s + Y s lim ( 4) ( ) s 4 (s + 1) = + = s ( s + 4) lim ( s 4) 0.875 s 4 51

Risultato Si ottiene quindi: R R R R Y ( s) s s s s 1,1 1,,1, = + + + = + 4 + 4 ( ) 0.1875 0.15 0.1875 0.875 = + s s s + 4 + 4 ( s ) Si può procedere con l antitrasformazione ricordando che: Re ε() t = L, s a at -1 R Rte ε () t = L ( s a) at -1 R ( 4t 4t ) y ( t) = 0.1875 + 0.15t 0.1875e 0.875 te ε( t) 5

Caso di F (s ) non strettamente propria (1/3) F( s) b s + b s + + bs + b N ( s) = = ( s) m m 1 m m 1 1 0 F n n 1 s + an 1s + + a1s + a0 DF Nel caso in cui F (s ) non sia strettamente propria (m = n ) prima di procedere alla scomposizione in fratti semplici occorre compiere la divisione (polinomiale) tra il numeratore N F (s )il denominatore D F (s ) 54

Caso di F (s ) non strettamente propria (/3) F( s) Indicando con K = b m il quoziente N ( s) ' F il resto della divisione tra N F (s )e D F (s ) si ha: ' = NF ( s) K + D ( s) = F ' F N ( s) g g 1 cgs + cg 1s + + c1s + c0 = bm + = b '( ), n n 1 m + F s g < n s + an 1s + + a1s + a0 F '( s) 55

Caso di F (s ) non strettamente propria (3/3) A questo punto, i procedimenti di scomposizione in fratti semplici visti in precedenza si possono applicare alla funzione F (s ) (strettamente propria) L espressione dell antitrasformata di F (s ) sarà quindi la somma di un termine impulsivo del tipo b m δ (t ) e del risultato di antitrasformazione corrispondente a F (s ): L { F( s)} = L { b + F '( s)} = 1 1 m = b δ t +L F s m 1 () { '( )} 56

MatLab Il calcolo dei residui della scomposizione in fratti semplici può essere svolto in MatLab mediante l istruzione:[r,p,k]=residue(num,den) num, den: numeratore e denominatore (in formato polinomiale) della funzione da scomporre F (s ) R: vettore dei residui p: radici del denominatore della funzione da scomporre K: quoziente della divisione tra numeratore e denominatore di F (s ) Per maggiori dettagli, digitare help residue al prompt di MatLab 57