LEZIONE N Rihiami i ul omportamento t delle ezioni i in emento armato normale empliemente inlee e preo-inlee Il diagramma momento urvatura Il alolo del momento di eurazione Il alolo del momento di nervamento Il alolo del momento ultimo
Il omportamento t di una ezione in.a Il diagramma omento () - Curvatura (χ) omento di Feurazione omento di Snervamento u omento Ultimo Punti aratteritii del diagramma -χ Not N N omen nto u Curvatura χ
Il omportamento leionale di una ezione in..a Ipotei ul omportamento ezionale Generali Conervazione delle ezioni piane Peretta aderenza aiaio-aletruzzo I tadio Sezione interamente reagente ateriali a omportamento elatio lineare II tadio Cl teo non reagente ateriali a omportamento elatio lineare III tadio Cl teo non reagente ateriali a omportamento non-lineare
Il omportamento t di una ezione in.a Zone aratteritihe del diagramma -χ I Stadio Il momento lettente e lo orzo normale reitenti della ezione i valutano oniderando la ezione interamente reagente omogeneizzata a CLS II Stadio Il momento lettente e lo orzo normale reitenti della ezione i valutano oniderando la ezione elatia ma parzializzata. III Stadio Il momento lettente e lo orzo normale reitenti i valutano oniderando per la ezione le ondizioni di tato limite ultimo.
Il omportamento t di una ezione in.a Il diagramma -χ empliiato (χ, ) Not (χ, ) III Stadio () II Stadio (1) (3) (χ u, u ) Il diagramma -χ può eere otruito in orma empliiata determinando i punti di tranizione tra i diveri tadi della ezione (1) Feurazione del l () Snervamento armature I Stadio (3) Collao ezionale per rottura del l o dell aiaio χ
Il omportamento t di una ezione in.a Il legame urvatura - deormazione Legame urvatura-deormazione odello Cinematio χ ε z φ Deormazione della ibra a livello z r dφ dφ 1 d r χ u z u φ du ε d z dφ d z d d+ε d traurabile rd φ d + ε d
IL omportamento t al I Stadio Il alolo del momento di Feurazione A Zona tea i Ae neutro N σ, t + * A J * A A + na J * * J + nj i t Tenione al lembo ineriore del l Caratteritihe della ezione omogeneizzata a aletruzzo * * * A t A N J W * ( t A N) * * A A t i * W (leione emplie) t La ezione i può aimilare ad una ezione ompota da olo aletruzzo, mentre le aree vengono peate da un oeiiente he vale 1 per l area del aletruzzo e ne/e (oeiiente di omogeneizzazione) per l area dell aiaio.
IL omportamento t al I Stadio Il alolo della urvatura di Feurazione Not A h χ (χ, ) III Stadio (χ u, u ) Zona tea (χ, ) A II Stadio t I Stadio χ t h E χ
IL omportamento t al I Stadio Eempio (leione emplie) Calolare l il momento e la urvatura di eurazione di una ezione in.a.rettangolare bh3 m e armatura ineriore uguale all armatura uperiore pari a φ. Si auma N E. pa, E33. pa, oeiiente di omogeneizzazione n6, t1.5 Pa, d 4 m Per ragioni di immetria il barientro i trova nel barientro geometrio della ezione e quindi a 15 m dal bordo uperiore e φ ineriore. φ * A 3+ 6 4 3.14 3 975,36 m 3 3 3 76618 1 3 * J + 6 6.8 ( 4) m 4 * J 76618 t.15 766. 18 15 i knm χ 5.15 33 4.54 1 6 1 3.3 1 m 15 15
Il omportamento t al II Stadio Il alolo del momento allo nervamento (le. emplie) Ae neutro Feurazione del l per leione A Zona tea In tal ao la ezione i può anora aimilare ad una ezione ompota da olo aletruzzo, mentre le aree vengono peate da un oeiiente he vale 1 per l area del aletruzzo e ne/e (oeiiente di omogeneizzazione) per l area dell aiaio. Deve però eere eluo il aletruzzo teo oniderato non reagente A i t
Il omportamento t al II Stadio Il alolo del momento allo nervamento (le. emplie) b d S * L ae neutro i valuta mediante A n l equilibrio alla tralazione della ezione oia annullando il momento tatio h della ezione omogeneizzata Sn A ' Zona Ae neutro n( A + A ) tea A h b d 1+ 1 ' ' t A h+ A d h ' A + A Calolo delle tenioni nel l e nell aiaio A σ, ma * σ, ma n ( d ) * J J J * b 3 3 + n k A, k d k
Il omportamento t al II Stadio Il alolo del momento allo nervamento (le. emplie) Per il alolo l del momento di nervamento e della relativa urvatura χ i può proedere imponendo he nell armatura tea di veriihi una tenione pari alla tenione di nervamento dell aiaio di ui è ompota : d h d A Zona tea A A Ae neutro χ * J n d ( ) ( d ) E
Il omportamento t al II Stadio Eempio (leione emplie) Calolare il momento e la urvatura di eurazione di una ezione in.a. rettangolare bh3 m e armatura ineriore uguale all armatura uperiore pari a φ. Si auma N E. Pa, E33. Pa, oeiiente di omogeneizzazione n6, t1.5 Pa, d 4 m φ φ h 1 1 + 6. 5m h n ' ( A + A ). 51 m b ' ' A d + A d 15 m ' A + A J 3 3 * b 3 6.5 + n A, kdk + 6 6.8 (6.5 4) + 6 6.8 (6 6.5) 3 k 3 J * 55. 38 knm n d E 5 1 χ 9.59 1 ( d ) m ( ) 1739 m 4
Il omportamento t al II Stadio Il alolo del momento allo nervamento (le. ompota) Nel ao di leione ompota (N,, ) ) oorre ditinguere il ao di piola eentriità dal ao di grande eentriità. Il primo ao i veriia quando il entro di preione è ituato all interno del noiolo entrale d inerzia, ao per il quale l ae neutro è eterno alla ezione. Se il entro di preione è eterno al noiolo l ae neutro taglia la ezione he riulta eere parzializzata. d N A A N h A Zona tea A i Ae neutro d Zona tea A Ae neutro t
Il omportamento t al II Stadio Ellie entrale d inerzia Si deinie ellie entrale d inerzia di un area, l ellie on entro nel barientro dell area tea e i ui ai minore e maggiore ono ripettivamente i raggi giratori d inerzia maimo e minimo della ezione. Ea ornie una indiazione rapida ul omportamento leionale della ezione. Nel problema della preoleione eite una relazione di natura geometria tra ae neutro e entro di preione: L ae Lae neutro è l antipolare lantipolare del entro di preione ripetto + 1 ρ all ellie entrale d inerzia. Inatti e riviamo la ormula di ρ Navier per la preoleione i ha: Ellie entrale d inerziaia N A N I N I + + ρ ρ + 1 ρ + ρ Retta antipolare di ripetto all ellie entrale d inerzia
Il omportamento t al II Stadio Noiolo Centrale d inerzia Il luogo dei entri di preione antipoli delle rette tangenti alla ezione è la rontiera del noiolo entrale d inerziai iniemei dei entri ti di preione per i quali la ezione riulta interamente omprea. Detta A n l area del noiolo entrale d inerzia, la ondizione per ui la ezione riulti tutta omprea tale i eprime ome egue + + 1 > ρ, A n ρ Nel ao di preoleione retta i è in genere intereati ai punti del noiolo per i quali l ae neutro è ortogonale all ae di olleitazione ed è tangente alla ezione ripettivamente al lembo ineriore e uperiore. Tali punti ono detti punti di noiolo ineriore e uperiore. Nel ao ad eempio della igura aanto, per individuare la loro poizione bata ar rierimento all equazione della retta i antipolare on la ondizione he ea pai per i punti e i per individuare e per individuare i : i i Ci ρ W C i i + 1 Ci + 1 C A ρ i A Ci ρ ρ W
Il omportamento t al II Stadio Deinizione di Noiolo Centrale d inerzia NOCCIOLO CENTRALE D INERZIA DI UNA SEZIONE RETTANGOLARE b/3 h/3 h 3 bh I 1 h ρ h /1 ρ Ci h/6 A bh 1 h/ h /1 ρ b C h/6 h/ i ESEPIO: Sezione 5 m ESEPIO: Sezione 5 m i 8.33 m -8.33 m
Il omportamento t al II Stadio Deinizione di Noiolo Centrale d inerzia b e G n 1) Si determina la poizione del barientro h b h ( b b ) S + n G A b h + ( b b ) h ) Si determina il raggio giratore d inerzia ripetto all ae barientrio (ae ) i b ρ I A b h 3 3 + 3 ( b b ) h 3 ( b b )( b h + ( b b ) G ) b h( G ) 1.5.85 e p.5 G.5 A p.5 3) Una volta noto il giratore d inerzia i punti di noiolo i determinano on le ormule preedentemente ornite. ESEPIO: Per la igura aanto i ha: G.4 m, ρ.487 m i.8 m,.59 m
Il omportamento t al II Stadio Il alolo del momento allo nervamento (le. ompota) d Nel ao di leione ompota (N,, ) ) on piola eentriità la ezione è interamente reagente e dunque è da oniderari al primo tadio. In ao ontrario la ezione è al II tadio. Oorre quindi valutare la poizione dell ae neutro mediante la relazione eguente, he per ezioni rettangolari è un equazione algebria di 3 grado: h d J * ( ) e S ( ) * n n (eq. 3 grado per ezioni rettangolari) A Zona tea e N A A dove e/n (ae neutro) N σ S n N n σ ( d ) Sn, i N n S n i χ Ne E d ( ) Sn n d ( )
Il omportamento t al III Stadio Il alolo del omento e della urvatura ultima Al III tadio il aletruzzo è eurato e i materiali preentano un omportamento non lineare he le normative hematizzano ome egue. Leggi Cotitutive CLS ACCIAIO σ Eε ε < E ε > E
Il omportamento t al III Stadio Il alolo del omento e della urvatura ultima Per il alolo del momento ultimo oorre rieriri ai oì detti ampi dirotturaiquali deiniono ampi di deormazione entro i quali è il aletruzzo o l aiaio a raggiungere il uo tato limite ultimo (reitenza) A A b d (4) h () ε u Campi di Rottura ε (3) (1) ( ) ε 1 () ε u 3/7 h ε ε ε ε u u 1 3.5 1 E d (, ) piola eentriità (Compreione) (1) ez. ortemente armata () Sez. normalmente armata (3) Sez. debolmente armata (4) Piola eentriità (Trazione)
Il omportamento t al III Stadio Il alolo del omento e della urvatura (le. Semplie) Per il alolo del momento ultimo oorre rieriri ai oì detti ampi dirotturaiquali deiniono ampi di deormazione entro i quali è il aletruzzo o l aiaio a raggiungere il uo tato limite ultimo (reitenza) La valutazione del momento ultimo di una ezione in.a. on ingola o doppia armatura, oggetta a momento lettente, i eettua ome egue: Determinazione del meanimo di rottura: onronto perentuali meanihe di armatura on quelle relative alle deormate limite Determinazione della poizione dell ae neutro: equilibrio della ezione alla tralazione Calolo del momento ultimo della ezione: equilibrio della ezione alla rotazione ripetto ad un polo qualiai
Il omportamento t al III Stadio Il alolo del omento e della urvatura (le. Semplie) Per la valutazione del ampo di rottura è uiiente determinare i valori delle perentuali meanihe di armatura orripondenti al paaggio da una zona e la ueiva, e onrontare poi il valore della perentuale d armatura preente nella ezione on i predetti limiti. μ A d μ ' bd d A ' bd d d Perentuali meanihe di armatura Criteri per la determinazione della zona di rottura e μ μ ' >.81K1 Sezione ortemente armata e.81k 3 > μ μ ' >. 81K1 Sezione normalmente armata e μ μ ' <.81K 3. 1 Sezione debolmente armata K K 1 3.5 3.5 + ε 3.5 3.5 + 1 3.59
Il omportamento t al III Stadio Il alolo del omento e della urvatura (le. Semplie) Una volta determinato il ampo di rottura i valuta la poizione dell ae neutro riorrendo alla equazione di equilibrio alla tralazione della ezione. Ad eempio per ezioni in zona i ha: d b ε u zona 3 ε zona ε ε u zona 1 Ae neuro σ (ε ) d C C T Ri iultanti C. 81b d C' T A ' σ ( ε ') A d Equazione di equilibrio alla tralazione ε ' > ε ε ' < ε.81bd dk + A ' d A d μ μ '. 81K K δ.81bdd K + A ' E ε u A d K K μ μ '.81
Il omportamento t al III Stadio Il alolo del omento e della urvatura (le. Semplie) Determinata la poizione dell ae neutro rimane olamente da alolare il momento ultimo della ezione oniderata. A tale opo è uiiente imporre l equilibrio della ezione alla rotazione ripetto ad un polo qualiai. Sezione ortemente armata: In queto ao onviene aumere ome polo per l equilibrio ai momenti il barientro dell armatura tea pota alla ditanza d dal bordo uperiore della ezione. u C( d.416 ) + C'( d d') Sezione normalmente armata: In queto ao i può aumere ome polo per l equilibrio dei momenti il barientro delle ompreioni nel aletruzzo u T ( d.416 ) + C'(.416 d') Sezione debolmente armata: In queto ao i può aumere ome polo per l equilibrio dei momenti il barientro delle ompreioni nell armatura omprea u T ( d d') + C(.4 d')
ESEPIO : ezione normalmente armata Determinare il momento ultimo della ezione di igura oniderando per un Cl di lae Rk3Pa, un aiaio Feb44K e un oprierro d 3 m. 3 m 45 m Calolo reitenze aratteritihe: Rk d.83.85 13.6 Pa 1.6 A 4. m k d 374Pa 1.15 d 3 ε 1.8 1 E A 13.51 m Determinazione ampo di rottura: μ A bd d d 13.6 37.4.35 3 4 1.33 μ' A ' bd d d.9
Controlliamo e in orripondenza della linea di eparazione tra zona e 3 l armatura uperiore ia nervata: 3 K δ.59.7 3 3 3 u 3.5.55 1 ε ε ε 1.8 1 > e dunque l aiaio ompreo K.59 è nervato. A queto punto poihé l equazione alla tralazione della ezione i rive μ-μ μ.15>.81k 1- la ezione è hiaramente in zona e dunque la ezione è normalmente armata. Determinazione poizione ae neutro Hp: armatura omprea nervata (ε >εε ) K μ μ '.65.81 eendo δd /d.7 la deormazione dell aiaio ompreo riulta pari a ε K δ K 3 3 εu.6 1 > 1.8 1 dunque l ipotei iniziale è veriiata Calolo omento Ultimo C ' A ' d 149. 6 kn T A d 13.6 37.4 59. 38 kn u T ( d.416 ) + C'(.416 d') 19.8 knm
Il omportamento t al III Stadio Il alolo del omento e della urvatura (le. Semplie) Per l ipotei di onervazione delle ezioni piane il alolo della urvatura ultima di una ezione empliemente inlea i alola eattamente ome per il I e II tadio. Oorre però tener preente il ampo di rottura della ezione: N (χ, ) III Stadio (χ u, u ) ε u χ u Zone 1, (χ, ) II Stadio χu ε Zona 3 d u I Stadio χ