4. Linearità e Linearizzazione

4. Linearità e Linearizzazione

4 Linearità e Linearizzazione Principio di sovrapposizione degli effetti Considera il sistema lineare tempo-discreto, tempo-invariante: < : x(k +) = Ax(k)+Bu(k) x() = x La soluzione esiste ed è unica: y(k, x,u)=ca k x + y(k) = Cx(k)+Du(k) k X i= CA i Bu(k i) Indichiamo con y(k, x,u) la risposta dell uscita y(k) per sottolineare l effetto dello stato iniziale x + ingresso u(), u(),..., u(k). Principio di sovrapposizione degli effetti : y(k, αx + βx,αu+ βu )=αy(k, x,u)+βy(k, x,u ) l uscita complessiva è data dalla sovrapposizione delle uscite dovute agli effetti di (x,u) edi(x,u ). Vale anche per sistemi lineari tempo-continui Vale anche se il sistema è lineare tempo-variante Non vale se il sistema è non lineare. A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / 4-

4 Linearità e Linearizzazione Dimostrazione: y(k, αx + βx,αu+ βu )=CA k (αx + βx )+ P k i= CAi B(αu(k i)+βu (k i)) = CA k αx + CA k βx + P k i= CAi Bαu(k i)+ P k i= CAi Bβu (k i)) = α(ca k x + P k i= CAi Bu(k i))+ β(ca k x + P k i= CAi Bu(k i)) = αy(k, x,u)+βy(k, x,u ) Caso particolare: somma degli effetti (α = β =) y(k, x + x,u+ u )=y(k, x,u)+y(k, x,u ) Caso particolare: moltiplicazione per costante (β =) y(k, αx,αu)=αy(k, x,u) Esempio: x = x =[ ], u(k), u (k) =k/. 4 4 3.5 3.5 3 3.5.5 y(k) u(k).5.5.5.5 5 5 k 5 5 k A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / 4-

4 Linearità e Linearizzazione Linearizzazione Considera il sistema non lineare < : ẋ(t) = f(x(t),u(t)) y(t) = g(x(t),u(t)) Sia (x r,u r ) un equilibrio: f(x r,u r )= Obiettivo: studiare il sistema per piccole variazioni u(t) u(t) u r e x() x() x r. L evoluzione di x(t) x(t) x r è data da x(t) =ẋ(t) ẋ r = f(x(t),u(t)) = f( x(t)+x r, u(t)+u r ) f x (x r,u r ) z } A In maniera simile, y(t) g x (x r,u r ) z } C x(t)+ f u (x r,u r ) u(t) z } B x(t)+ g u (x r,u r ) u(t) z } D dove y(t) y(t) g(x r,u r ) è la deviazione dell uscita dall equilibrio. Le variazioni x(t), y(t),e u(t) sono quindi governate (in prima approssimazione) dal sistema linearizzato (A, B, C, D). Per sistemi non lineari a tempo-discreto, vale un ragionamento analogo. A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / 4-3

4 Linearità e Linearizzazione Esempio: Serbatoio u Modello tempo continuo: < p d dt : h(t) = a g A h(t)+ u(t) A q(t) = a p g h(t) h h() = h Equilibrio per ingresso costante u(t) u r, t : q ḣ r == a g A hr + A u r h r = g ur a Sistema linearizzato: A h B u C h D u < : a g A a g A a g h a g h h + h + fi fi fifihr,ur fifihr,ur A u fi fifihr,u r A u fi fifihr,u r = a g u r = = a g Au r = A h(t) = a g h(t)+ Au r A u(t) q(t) = a g h(t) u r h() = h h r Il sistema linearizzato permette di analizzare in maniera semplice (seppur approssimata) la dinamica di h, q per piccole variazioni della portata di ingresso u(t) dalla portata nominale u r e per piccole variazioni della cond. iniz. h() dall equilibrio h r. A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / 4-4

4 Linearità e Linearizzazione A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / 4-5

5. Stabilità

Concetto intuitivo di stabilità: Considera il sistema non lineare < : ẋ(t) = f(x(t),u r) y(t) = g(x(t),u r ) Sia x r lo stato di equilibrio relativo a u r : f(x r,u r )= Il punto di equilibrio x r si dice stabile se per ogni condizione iniziale x vicino a x r la relativa traiettoria x(t, x,u r ) rimane vicino a x r per ogni t. a Il punto di equilibrio x r si dice inoltre asintoticamente stabile se è stabile e x(t, x,u r ) x r per t Altrimenti, il punto di equilibrio x r si dice instabile x (t)..6.4...4.6. x (t).5.5.5.5.5.5 x (t) (as.) stabile 3 3 x (t) instabile a Def. analitica: ɛ > δ > tale che x x r < δ x(t, x,u r ) x r <ɛ, t. A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / 5-

Stabilità di traiettorie Sia x(t, x,u [,t) ) una traiettoria generata dal sistema ẋ = f(x, u) partendo da condizione iniziale x() = x e applicando l ingresso u(τ), τ [,t). Tale traiettoria si dice stabile se ɛ > δ > tale che x x <δ x(t, x,u [,t) ) x(t, x,u [,t) ) <ɛ, t. (comunque sia piccolo ɛ, per condizioni iniziali suff. vicine le due traiettorie non si discostano piùdiɛ) asintoticamente stabile se è stabile e se in aggiunta lim t x(t, x,u [,t) ) x(t, x,u [,t) ) =. (le due traiettorie asintoticamente coincidono) instabile se ɛ > tale che δ > x ed t tali che x x <δe x(t, x,u [,t) ) x(t, x,u [,t) ) >ɛ. (comunque parta vicino a x, le due traiettorie si scosteranno sempre di una certa quantità fissata) Nota: l attrattività (cioè lim t x(t, x,u [,t) ) x(t, x,u [,t) ) =) non implica la stabilità A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / 5-

Stabilità dei sistemi lineari (tempo-continuo): Considera il sistema del primo ordine < : ẋ(t) = ax(t)+bu(t) y(t) = cx(t) Equilibrio per u(t) u r : =ax r + bu r x r = b a u r (Hp: a ). Per u(t) u r, t, la quantità z(t) =x(t) x r soddisfa l equazione differenziale da cui: Pertanto: ż(t) =ax(t)+bu r = ax(t) ax r = az(t) z(t) =e at z x(t) =x r + e at (x x r ) x r è instabile se a> x r è stabile se a x r è asintoticamente stabile se a< 5 4.5 4 3.5 a> x(t) 3.5.5 x x r a< a=.5..4.6. A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / 5-3 t

Stabilità dei sistemi lineari (tempo-discreto): Considera il sistema del primo ordine < : x(k +) = ax(k)+bu(k) y(k) = cx(k) Equilibrio per u(k) u r : x r = ax r + bu r x r = (Hp: a ). b a u r Per u(k) u r, k =,,..., la quantità z(k) =x(k) x r soddisfa l equazione alle differenze z(k+) = ax(k)+bu r x r = ax(k)+( a)x r x r = az(k) da cui: Pertanto: z(k) =a k z x(k) =x r + a k (x x r ) x r è instabile se a > x r è stabile se a x r è asintoticamente stabile se a < x(k) 3.5.5 x a> x r a= <a<.5 4 6 A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / 5-4 k

Stabilità di sistemi lineari Per sistemi lineari ẋ = Ax + Bu: la traiettoria nulla x(t) per u(t) è stabile (as. stabile, instabile) una qualsiasi traiettoria x(t, x,u [,t) ) è stabile (as. stabile, instabile) Dimostrazione. Chiama z(t) =x(t, x,u [,t) ) x(t, x,u [,t) ).Sihaż(t) =Az(t), z() = x x. Osserva che le definizioni di stabilità diz(t) edix(t, x,u [,t) ) coincidono. Si parla pertanto di stabilità del sistema: Un sistema lineare (A, B, C, D) si dice stabile se la risposta libera è limitata per ogni valore di x(). Un sistema lineare (A, B, C, D) si dice asintoticamente stabile se la risposta libera tende a per ogni valore di x(). Un sistema lineare (A, B, C, D) si dice instabile se per almeno una condizione iniziale x() la risposta libera è illimitata. A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / 5-5

Relazione fra stabilità e autovalori di A (tempo continuo): ẋ(t) = Ax(t) x(t) =e At x x() = x Teorema Sia ẋ(t) =Ax(t) un sistema lineare tempo-invariante tempo-continuo di ordine n, e siano λ,...,λ m, m n, gli autovalori di A. Il sistema è: asintoticamente stabile la parte reale di λ i <, i =,...,m (marginalmente) stabile se () la parte reale di λ i, i =,...,m, e () gli autovalori a parte reale nulla hanno molteplicità algebrica uguale a quella geometrica Se esiste i tale che la parte reale di λ i > il sistema è instabile. È quindi la parte reale degli autovalori che determina la stabilità del sistema a a Mentre per sistemi non lineari si parla solo di stabilità di traiettorie, nei sistemi lineari l origine (x(t), t ) è (as/in)stabile una qualsiasi traiettoria è (as/in)stabile. A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / 5-6

Dimostrazione (a grandi linee) La soluzione è x(t) =e At x (ricorda: la matrice esponenziale è definita come e At I + At + A t +... + An t n n! +... ) Se la matrice A è diagonalizzabile: A = T ΛT, Λ= 6 4 λ... λ.............. λ n 3 7 5 e At = T 6 4 e λ t... e λ t.............. e λ nt 3 7 5 T Per autovalori complessi λ = a + jb : e λt = e at e jbt = e at Nota: se molteplicità algebrica = molteplicità geometrica, la matrice è diagonalizzabile Se la matrice non è diagonalizzabile, la si può scrivere in forma di Jordan. Nella risposta x(t) compaiono termini del tipo t j e λt, j>. A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / 5-7

Esempio >< >: ẋ(t) = 4 3 x() = [ x x ] 3 5 x(t) Autovalori di A: {, } soluzione: < : x (t) = x (e t e t )+x ( e t + e t ) x (t) = x (e t e t )+x ( e t +e t ) Asintoticamente stabile.5.5 x (t) x (t).5 4 6 t.5 4 6 A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / 5- t

Esempio >< >: ẋ(t) = 4 x() = [ x x ] 3 5 x(t) Autovalori di A: {+j, j} soluzione: < : x (t) = x cos t x sin t x (t) = x sin t + x cos t Stabile.5.5.5.5 x (t) x (t).5.5.5 5 t.5 5 A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / 5-9 t

Esempio 3 >< >: ẋ(t) = x() = [ x x ] 3 4 5 x(t) Autovalori di A: {, } soluzione: < : x (t) = x + x t x (t) = x Instabile x (t) 6 4 4 x (t).5.5.5.5 6 5 t 5 t A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / 5-

Esempio 4 >< >: ẋ(t) = x() = [ x x ] 3 4 5 x(t) Autovalori di A: {, } soluzione: < : x (t) = x e t x (t) = x e t +(x x )e t Instabile 6 6 4 4 x (t) x (t) 4 4 6 6 5 t 5 A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / 5- t

Relazione fra stabilità e autovalori di A (tempo discreto): x(k +) = Ax(k) x(k) =A k x x() = x Teorema Sia x(k +)=Ax(k) un sistema lineare tempo-invariante tempo-discreto di ordine n, e siano λ,...,λ m, m n, gli autovalori di A. Il sistema è: asintoticamente stabile il modulo di λ i <, i =,...,m (marginalmente) stabile se () il modulo di λ i, i =,...,m, e () gli autovalori con modulo unitario hanno molteplicità algebrica uguale a quella geometrica Se esiste i tale che il modulo di λ i > il sistema è instabile. Quindi: a tempo continuo la parte reale degli autovalori determina la stabilità del sistema, a tempo discreto è invece il modulo degli autovalori a determinare la stabilità A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / 5-

Dimostrazione (a grandi linee) La soluzione è x(k) =A k x Se la matrice A è diagonalizzabile: A = T ΛT, Λ= 6 4 λ... λ.............. λ n 3 7 5 A k = T 6 4 λ k... λ k.............. λ k n 3 7 5 T Per autovalori complessi λ = ρe jθ : λ k = ρ k e jkθ = ρ k e jkθ = ρ k Nota: se molteplicità algebrica = molteplicità geometrica, la matrice è diagonalizzabile Se la matrice non è diagonalizzabile, la si può scrivere in forma di Jordan. Nella risposta x(k) compaiono termini del tipo k j λ k, j>. A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / 5-3

Esempio >< >: x(k +)= x() = [ x x ] 4 3 5 x(k) Autovalori di A: {, } soluzione: < : x (k) =,k=,,... k x (k) = x + x k,k=,,... Asintoticamente stabile.5 x (k).5 x (k).5.5.5 5 k 5 A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / 5-4 k

>< >: Esempio x(k +)= x() = [ x x ] 4 3 5 x(k) Autovalori di A: {+j, j} soluzione: < : x (k) = x cos kπ + x sin kπ x (k) = x sin kπ + x cos kπ,k=,,...,k=,,..., Stabile x (k)..6.4...4.6. x (k)..6.4...4.6. 4 6 k 4 6 A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / 5-5 k

Esempio 3 >< >: x(k +)= x() = [ x x ] 3 4 5 x(k) Autovalori di A: {, } soluzione: < : x (k) = x + x k, k =,,... x (k) = x,k=,,... Instabile x (k) 7 6 5 4 3 x (k).5.5.5.5 3 4 6 k 3 4 5 A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / 5-6 k

Esempio 4 >< >: x(k +)= x() = [ x x ] 3 4 5 x(k) Autovalori di A: {, } soluzione: < : x (k) = k x,k=,,... x (k) = k x,k=,,... Instabile 6 6 4 4 x (k) x (k) 4 4 6 k 4 3 4 5 A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / 5-7 k

Ricapitolando: sistema tempo continuo (tempo discreto) as. stabile Re(λ i ) < i =,...,n ( λ i < ) instabile i tale che Re(λ i ) > ( λ i > ) stabile ) i,...,n, Re(λ i ) ( λ i ) ) λ i tale che Re(λ i )= ( λ i =) molt(alg.)=molt(geom.) A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / 5-

5. Stabilità - Criteri per Sistemi Non Lineari Considera il sistema non lineare ẋ = f(x), con f derivabile, e sia x =un punto di equilibrio (f() = ). Metodo indiretto di Lyapunov. Considera il sistema linearizzato ẋ = Ax, con A = df dx. x= Se ẋ = Ax è asintoticamente stabile, allora l origine x =è asintoticamente stabile per il sistema non lineare (localmente). Se ẋ = Ax è instabile, allora l origine x =è instabile per il sistema non lineare. Se A è marginalmente stabile, allora nulla si può dire sulla stabilità dell origine per il sistema non lineare. Aleksandr Mikhailovich Lyapunov (57-9) A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / 5-9

5. Stabilità - Criteri per Sistemi Non Lineari Esempio: Pendolo y(t) angolo di deflessione u(t) mg forza peso hẏ(t) forza di attrito viscoso y(t) l m h Modello matematico: u(t)= mg ml ÿ(t) = lmg sin y(t) hẏ(t) Equazione in forma di stato: (x = y, x =ẏ) ẋ = x ẋ = g l sin x Hx, H h ml Equilibrio: 3 3 x 4 r < 5 = 4 5 g sin x l r Hx r : x r = x r = ±kπ, k =,,... u(t)= mg m h l l m h u(t)= mg x r =, x r =, ±π,... x r =, x r =, ±π, ±3π,... A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / 5-

5. Stabilità - Criteri per Sistemi Non Lineari Sistema linearizzato (x r =, x r =) ẋ(t) = 4 g l H 3 5 z } A p H ± H 4 g l x(t) Autovalori di A: det(λi A) =λ + Hλ + g = l λ, = Parte reale < : as. stabile.5.5 y(t).5.5 4 6 t Sistema linearizzato (x r = π, x r =) ẋ(t) = 4 g l H 3 5 z } A x(t) Autovalori di A: det(λi A) =λ + Hλ p g = l λ, = H ± H +4 g l Parte reale > e < : instabile 4 3 y(t) 3 4 4 6 t A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / 5-

5. Stabilità - Criteri per Sistemi Non Lineari Criterio diretto di Lyapunov Idea base: se l energia di un sistema (anche non lineare) diminuisce nel tempo per dissipazione, il sistema asintoticamente deve fermarsi Considera ancora il sistema non lineare ẋ = f(x), con f derivabile, e sia x =un punto di equilibrio (f() = ). Alcune definizioni: Una funzione V : R n R si dice localmente definita positiva se V () = ed un intorno B dell origine tale che V (x) > x B, x. V : R n R si dice globalmente definita positiva se B = R n V : R n R si dice definita negativa se V è definita positiva V : R n R si dice semidefinita positiva se V (x) x B, x (e analogamente semidefinita negativa) Esempi: per x R, V (x) =x + x è globalmente definita positiva, V (x) =x + x x 3 è localmente definita positiva, V (x) =x 4 +sin (x ) è localmente definita positiva e globalmente semidefinita positiva. A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / 5-

5. Stabilità - Criteri per Sistemi Non Lineari Metodo diretto di Lyapunov. Sia V : R n R definita positiva in un intorno B dell origine, V C.Sela funzione V (x) = V (x)f(x) è semidefinita negativa su B, allora l origine x =è stabile, se V (x)f(x) è definita negativa su B, allora l origine x =è asintoticamente stabile. Nota: V : R n R si dice una funzione di Lyapunov per il sistema ẋ = f(x) V (x)f(x) è la derivata di V (x(t)) rispetto al tempo, essendo V (x) = V (x)ẋ = V (x)f(x) Riferimento: J.J.E. Slotine, W. Li, Applied Nopnlinear Control, Prentice Hall, 99 A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / 5-3

5. Stabilità - Criteri per Sistemi Non Lineari Criterio di Lyapunov applicato ai sistemi lineari Prendiamo V (x) =x Px, con P matrice definita positiva V (x) =ẋ Px+ x P ẋ = x (A P + PA)x Affinché V (x) sia definita negativa, occorre che A P + PA = Q dove Q è una matrice definita positiva (es: Q = I). Assegnata Q>, l equazione matriciale in P A P + PA = Q viene detta equazione di Lyapunov (LYAP.M in Matlab) Teorema: il sistema lineare tempo-invariante ẋ = Ax è asintoticamente stabile Q> l unica soluzione P all equazione di Lyapunov A P + PA = Q è definita positiva. A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / 5-4

5. Stabilità - Criteri per Sistemi Non Lineari Criteri di Lyapunov per sistemi a tempo discreto Il criterio diretto di Lyapunov vale anche per sistemi non lineari a tempo discreto x(k +)=f(x(k)), considerando funzioni definite positive V (x) e le differenze lungo le traiettorie V (x(k)) = V (x(k +)) V (x(k)). Anche il criterio indiretto (=linearizzazione) di Lyapunov vale per sistemi non lineari a tempo discreto. Riferimento: J.P. LaSalle, The Stability and Control of Discrete Processes, series in Applied Mathematical Sciences, vol. 6, Springer-Verlag, 96. Per sistemi lineari a tempo discreto: data V (x) =x Px, con P definita positiva, V (x)= (Ax) P (Ax) x Px= x (A PA P )x. Affinché V (x) sia definita negativa, occorre che A PA P = Q Assegnata Q>, l equazione matriciale in P A PA P = Q viene detta equazione di Lyapunov discreta (P=DLYAP(A,Q) in Matlab) A. Bemporad - Teoria dei Sistemi - A.A. / 5-5