Geomeria analiica del piano pag 7 Adolfo Scimone Ree in posizioni paricolari rispeo al sisema di riferimeno L'equazione affine di una rea a + + c = 0 può assumere forme paricolari in relazione alla posizione della rea rispeo al sisema di riferimeno o in relazione ad alri elemeni. Se una rea passa per l'origine 0 (0,0 vuol dire che (0,0 è una soluzione della sua equaz ione e quindi è c = 0.Viceversa,se c = 0 la rea passa per 0(0,0. Dunque le ree passani per l'origine 0(0,0 sono ue e sole le ree a + =0,con a e non enrami nulli. O 2Se nell'equazione di una rea il coefficiene a è nullo, cioè la rea è del ipo + c = 0 0, la rea sessa è parallela all'asse. Essa è infai il luogo dei puni (, con arirario e c = cosane. r O
Geomeria analiica del piano pag 8 Adolfo Scimone 3Analogamene, se nell'equazione di una rea il coefficiene è nullo, cioè la rea è del ipo a + c = 0 a 0, allora la rea è parallela all'asse. r O Precisiamo infine che l'equazione a + + c = 0 si chiama equazione complea di una rea. Equazione segmenaria della rea. Consideriamo una qualunque rea del piano di equazione generica r del piano di equazione a + + c = 0. Se la rea non passa per l'origine e non è parallela ad un asse, i coefficieni a,, c sono diversi da zero. Dividendo l'equazione per c si ha : a = c c 0 c c Ponendo = p = q oeniamo a + = ( p q Quesa equazione prende il nome di equazione segmenaria della rea. I coefficieni p, q di ale equazione hanno un evidene significao geomerico. Infai i puni P( p, 0 Q( 0, q della rea apparengono rispeivamene all'asse e, quindi p e q sono i segmeni che la rea sacca sugli assi.
Geomeria analiica del piano pag 9 Adolfo Scimone Q(0, q r P(p, 0 O Viceversa, noe le inersezioni P( p, 0 Q( 0, q della rea con gli assi, l'equazione della rea è proprio la (. Rappresenazione di una rea soo la forma di deerminane Consideriamo una rea r individuaa da due suoi puni P (, e P2 ( paramerica ( ( = + 2 = + 2 che si può anche scrivere nella forma affine = 2 2 eliminando i denominaori si ha ( ( = ( ( ( ( ( ( 2 2 cioè 2 2 = 0 ( La ( alro non è che il deerminane della marice, in forma 2 2 ( a
Geomeria analiica del piano pag 0 Adolfo Scimone per cui l'equazione ( è equivalene all'equazione 2 2 = 0 che si può anche scrivere nella forma = 0 Infai consideriamo la marice ( eseguiamo le segueni rasformazioni sulle righe R R R 3 3 2 R2 R R2 oeniamo la marice equivalene 2 2 0 0 ( c il cui deerminane a pare il segno è uguale al deerminane della marice (. Sviluppando il deerminane di ale marice secondo la erza colonna si oiene il deerminane della marice ( a, per cui risula De( a = 0 De( = 0 De( c = 0 In definiiva l'equazione ( della rea r si può scrivere nella forma = 0 che rappresena l'equazione della rea r passane per i puni P (, e P2 (,.
Geomeria analiica del piano pag Adolfo Scimone Condizione di allineameno di re puni Uilizzando l'equazione della rea soo forma di deerminane, si può esprimere analiicamene la condizione affinché re puni siano allineai. Teorema - Condizione necessaria e sufficiene affinché re puni P (,, P2 ( P3 ( 3, 3 siano allineai è che si aia :,, 3 3 = 0 Dimosrazione - Se i puni P (,, P2 ( 2, 2, P3 ( 3 3 apparengono ad una sessa rea, supponiamo che P3 ( 3 3 dai puni P (, e P2 ( = + ( 2 = + ( 2 Affinché P3 ( 3 3, sono allineai, essi, apparenga alla rea individuaa, e consideriamo l'equazione della rea in forma paramerica, apparenga alla rea P P 2, le sue coordinae si devono poer esprimere mediane le due equazioni parameriche per un opporuno valore di, cioè deve esisere un valore ale che si aia : ( ( 3 = + 2 3 = + 2 Dalla prima si oiene 3 = + 2 e quindi 3 = ( + 2 Dalla seconda risula 3 = + 2 cioè 3 = ( + 2 Tenendo presene che l'unià si può esprimere : = ( + si oengono le relazioni = ( + 3 2 = ( + 3 2
Geomeria analiica del piano pag 2 Adolfo Scimone = ( + Dalla marice 3 3 si vede che la erza riga è una cominazione lineare delle prime due, per cui il suo deerminane è nullo, cioè risula 3 3 = 0. Vale anche il viceversa, cioè se 3 3 = 0 ( * allora i re puni P (,, P2 ( 2, 2, P3 ( 3 3, sono allineai. Se il deerminane è nullo, una riga dovrà essere cominazione lineare delle alre due, supponiamo che ale riga sia la erza, avremo quindi che esiseranno dei parameri λ e µ ali che ( 3, 3, (,, ( 2, 2, ovvero = λ + µ = λ + µ = λ + µ 3 2 3 2 = λ + µ λ µ R Per dimosrare che P (,, P2 ( 2, 2, P3 ( 3 3, sono allineai doiamo verificare che apparengono alla sessa rea. Consideriamo le equazioni parameriche della rea passane per i puni P e P2 = + ( 2 = + ( 2, apparenga alla rea P P 2 deve esisere un valore del paramero ale che sosiuio nelle equazioni precedeni si oengono le coordinae di P 3.Le equazioni parameriche si possono scrivere Affinché P3 ( 3 3
Geomeria analiica del piano pag 3 Adolfo Scimone = + = + 2 2 = ( + = ( + Tali equazioni danno le coordinae ( 3 3 2 2, del puno P 3 se in esse si pone = λ = µ quindi il valore del paramero per cui si oengono le coordinae di P 3 sarà = λ. Possiamo concludere perano che i re puni sono allineai. Parameri direori e coefficiene direivo (o angolare di una rea Consideriamo una rea r passane per il puno P (, ed avene la direzione individuaa dal veore v( l, m ad essa parallelo. Aiamo viso che i parameri direori di una rea sono le componeni di un qualsiasi veore non nullo parallelo alla rea, quindi i parameri direori di r sono rispeivamene l, m. Per cui se si conoscono le componeni di un veore parallelo ad una rea, si può individuare il valore dei parameri direori di essa. Se la rea è daa in forma paramerica v(l, m r O = + l = + m I parameri direori sono i coefficieni del paramero, se la rea passa per i puni P ( P2 ( 2, 2 ( ( = + 2 = + 2,,
Geomeria analiica del piano pag 4 Adolfo Scimone si ha l = 2 m = 2 Se la rea è daa in forma caresiana = l m i parameri direori sono i denominaori. Daa l'equazione caresiana di una rea a + + c = 0 si ha a + c = e quindi + a = a per cui i parameri direori sono l = m = a In generale se la rea è rappresenaa dall'equazione a + + c = 0 i parameri direori saranno (, a. Consideriamo l'equazione caresiana di una rea a + + c = 0 e supponiamo che 0, avremo : = a c e quindi a = c Poso a c k = p = oeniamo = k + p quesa equazione prende il nome di equazione implicia (o ridoa della rea r, nella quale i coefficieni k e p hanno il seguene significao geomerico : p rappresena l'ordinaa del puno di inersezione della rea r con l'asse, infai, ponendo nell'equazione = 0 si oiene = p
Geomeria analiica del piano pag 5 Adolfo Scimone il coefficiene k prende il nome di coefficiene direivo (o angolare della rea r ed è uguale alla angene rigonomerica dell'angolo α che la rea r forma con l'asse. Osserviamo che si ha a m k = =, inolre l'equazione della rea, parallela all'asse ( = 0 non può essere scria l nella forma ridoa. Inersezione di due ree Condizione di parallelismo Siano r e r' due ree aveni rispeivamene equazioni r: a + + c = 0 r: a + + c = 0 Il prolema dell'inersezione delle due ree consise nella ricerca del puno comune delle due ree, per cui asa risolvere il sisema formao dalle equazioni delle due ree. a + + c = 0 a' + ' + c' = 0 Consideriamo la marice incomplea e complea del sisema a a c A = AB = a ' ' a' ' c' Affinché il sisema sia risoluile, per il eorema di Rouchè Capelli deve essere ρ(a = ρ(ab. Si possono presenare i segueni casi caso ρ(a = ρ(ab = 2 Il sisema è compaiile, per cui risula a a' ' 0 perano ammeerà una sola soluzione. Risolvendo il sisema con il meodo di Cramer si rova il puno di inersezione delle due ree. 2 Caso ρ(a = ρ(ab = Il sisema risula compaiile, e per il eorema di Rouchè Capelli ammee soluzioni. Ciò significa che le due ree hanno infinii puni in comune, cioè coincidono (le loro equazioni sono proporzionali e quindi si ha a c = = a' ' c'
Geomeria analiica del piano pag 6 Adolfo Scimone 3 Caso ρ(a = ρ(ab = 2 In queso caso il sisema è incompaiile, cioè non ammee soluzioni, e le due ree non hanno alcun puno in comune, cioè sono parallele. Inolre, essendo ρ(a = risula a a' ' = 0 e quindi le righe della marice A sono proporzionali a = a' ' menre, essendo P(AB = 2 le righe della marice AB non sono proporzionali ed esise un minore di ordine 2 avene il deerminane non nullo, ne segue che c a c ' c' a' c' in definiiva, si ha a c = a' ' c' Possiamo enunciare la condizione di parallelismo fra due ree. Dae due ree r: a + + c = 0 r: a + + c = 0 affinché siano parallele occorre e asa che sia a a' ' = 0 od anche a a' = ' = ρ a c In generale si ha = a' ' c' a c Se risula = = a' ' c' allora le due ree coincidono. Si ha Condizione necessaria e sufficiene affinché due ree r ed r' siano parallele è che i coefficieni di e delle rispeive equazioni, siano proporzionali. Indicando con k e k' i coefficieni direivi di ali ree avremo : a a' k = k' = ' per cui affinché le due ree siano parallele dovrà aversi k = k'.
Geomeria analiica del piano pag 7 Adolfo Scimone Osserviamo che : Due ree parallele hanno parameri direori proporzionali. 2 Due ree parallele hanno coefficieni direori uguali e viceversa. 3Se due ree sono parallele le loro equazioni differiscono al più per il ermine noo. Per cui, daa la rea di equazione a + + c = 0 enendo fissi a e e variando c, si oengono le equazioni di ue le ree parallele alla rea r.