Geometria analitica I supplementi sulle rette (M.S. Bernabei & H. Thaler)
Siano dati un vettore v = li + mj = (l, m) non nullo e un punto P 0 = x 0, y 0. Cerchiamo la retta r che passa per il punto P 0 ed è parallela a v. Un punto P = (x, y) appartiene alla retta se è solo se P P 0 è parallelo a v, cioè se esiste un t R tale che P P 0 = tv (*) L espressione (*) può essere riscritta come x = x 0 + tl y = y 0 + tm. (**)
P P 0 = tv, t R
Quindi al variare del parametro t i punti P formano la la retta r. Le equazioni (**) si chiamano le equazioni parametriche della retta r. Adesso supponiamo di avere due punti P 1 = (x 1, y 1 ) e P 2 = (x 2, y 2 ). Allora la retta r che passa per P 1 e P 2 è costituita da tutti i punti P per cui oppure P P 1 = t(p 2 P 1 ), t R, P = P 1 + t(p 2 P 1 ), t R.
P P 1 = t(p 2 P 1 ), t R
Esplicitamente le equazioni parametriche si scrivono x = x 1 + t(x 2 x 1 ) y = y 1 + t y 2 y 1. (Δ) In particolare, scegliendo t = 1/2, otteniamo il punto medio del segmento P 1 P 2 x = x 1 + x 2 2 y = y 1 + y 2 2 Risolvendo le equazioni (Δ) per t otteniamo (se x 1 x 2, y 1 y 2 ),.
t = x x 1 x 2 x 1 = y y 1 y 2 y 1 e per questo x x 1 x 2 x 1 = y y 1 y 2 y. (ΔΔ) 1 Quest ultima equazione è detta equazione normale della retta passante per i punti P 1 e P 2. Esempio. Trovare l equazione della retta passante per i punti P 1 = (3, 4) e P 2 = 2, 1. x 3 2 3 = y 4 1 4
x + 3 = y +4 5. Esempio. Trovare l equazione della retta passante per i punti P 1 = (2, 3) e P 2 = 2, 5. Visto che x 1 = x 2 otteniamo da (Δ) x 2 = 0. L equazione normale della retta x x 1 x 2 x 1 = y y 1 y 2 y 1
può essere scritta anche nella forma (x x 1 )(y 2 y 1 ) = (y y 1 )(x 2 x 1 ) oppure x y 2 y 1 y x 2 x 1 + y 1 x 2 y 2 x 1 = 0. Ponendo a = y 2 y 1, b = y 2 x 1, otteniamo x 2 + x 1, c = y 1 x 2 ax + by + c = 0. L ultima equazione è detta l equazione cartesiana della retta in forma implicita.
Esempio. Trovare l equazione cartesiana implicita della retta passante per i punti P 1 = ( 2, 1) e P 2 = 4, 2. L equazione normale di questa retta è da cui x + 2 6 = y 1 1 x + 2 = 6y 6 x 6y + 8 = 0. Ricordiamoci che l equazione iniziale di una retta r era P P 0 = tv,
dove v è il vettore che determina la direzione della retta. Quindi possiamo ugualmente prendere un vettore normale di essa n e scrivere la retta come insieme di punti per cui P P 0 n = 0 Sostituendo le coordinate di P = x, y, P 0 = (x 0, y 0 ) e n = (a, b) nell equazione precedente, si ottiene l equazione cartesiana della retta a x x 0 + b y y 0 = 0.
P P 0 n = 0
Ponendo c = ax 0 by 0, si ottiene l equazione cartesiana in forma implicita di prima, cioè ax + by + c = 0. Quindi i coefficienti (a, b) delle incognite (x, y)della retta in forma cartesiana implicita sono le componenti di un vettore perpendicolare ad essa. Esempio. Trovare l equazione della retta passante per il punto P 0 = (2,4) e perpendicolare a n = 3,1. x 2 y 4 3 1 = 0
3 x 2 + y 4 = 0 3x + y 10 = 0. Parallelismo e perpendicolarità fra rette Definizione. Siano date due rette r e r 1 di equazioni ax + by + c = 0 e a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 rispettivamente. Le due rette si dicono parallele se i vettori n = (a, b) e n 1 = (a 1, b 1 ) sono paralleli, cioè se esiste un numero reale k R, tale che a, b = k(a 1, b 1 ) = (ka 1,kb 1 ) (condizione di parallelismo)
condizione di parallelismo
Siano r e r 1 due rette come sopra. Queste due rette sono perpendicolari fra loro se e solo se lo sono i vettori n e n 1, cioè se e solo se aa 1 + bb 1 = 0 (condizione di perpendicolarità) Esempio. Trovare l equazione della retta passante per il punto P 0 = (1, 2) e perpendicolare alla retta di equazione 3x + 4y + 1 = 0. Sia ax + by + c = 0 l equazione della retta cercata. Dalla condizione di perpendicolarità abbiamo
condizione di perpendicolarità
3a + 4b = 0 e dal fatto che P 0 è un punto della retta cercata abbiamo a + 2b + c = 0. Perciò dobbiamo risolvere il seguente sistema omogeneo: 3a + 4b = 0 a + 2b + c = 0. Possiamo sostituire a = 2b c nella prima equazione, ottenendo da cui 6b 3c + 4b = 0 a = 2b c b = 3/2c a = 2c.
c è un parametro libero e ponendo c = 2 otteniamo a = 4, b = 3, c = 2. L equazione della retta cercata è dunque 4x 3y + 2 = 0. Se le rette r e r 1 sono date in forma parametrica x, y = x 0, y 0 + t l, m, x, y = x 1, y 1 + t l 1, m 1, Allora le rette sono parallele (perpendicolari) se e solo se lo sono i vettori (l, m) e l 1, m 1.
Esempio. Le rette r = 2,1 + t 3, 1, r 1 = 1,3 + t(6, 2) sono parallele, mentre le rette r = 1,3 + t 2, 4, r 1 = 3,1 + t(2,1) non lo sono.
Siano date due rette r e r 1 scritte in forma parametrica r x = x 0 + tl y = y 0 + tm r 1 : x = x 1 + tl 1 y = y 1 + tm 1 Definizione. L angolo θ fra le rette r e r 1 è l angolo (convesso) fra i vettori v = (l, m) e v 1 = (l 1, m 1 ) oppure il suo angolo complementare π θ. cos θ = ± v v 1 v v 1 Ovviamente si possono usare anche i vettori n, n 1 nella formula precedente.
Esempio. Trovare l angolo acuto θ fra la retta r di equazione x + y + 2 = 0 e la retta r 1 di equazione 3x + 4y + 2 = 0. cos θ = 3+4 2 25 quindi θ =arccos( 7 5 2 ) 1.412 (= 8 7 ).